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2026年中考一轮复习
6.3 图形的相似
图形的变化
第6章
“—”
1．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．
2．通过具体实例认识图形的相似．了解相似多边形和相似比．
3．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
4．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．*了解相似三角形判定定理的证明．
5．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．
6．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小．
7．会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．
1．成比例线段
对于四条线段，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比________，如，则这四条线段是成比例线段．
2．比例的基本性质
比例的外项之积等于________．
．
相等
内项之积
3．相似三角形的有关概念
（1）相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别________，边________，那么这两个多边形叫相似多边形．
（2）相似比（或相似系数）：相似多边形___________叫作相似比（或相似系数）．
（3）相似三角形：三个角分别________，三条边________的两个三角形叫作相似三角形．
（4）全等形一定是________形，相似形不一定是________形．全等三角形的相似比等于．
相等
成比例
对应边的比
相等
成比例
相似
全等
4．相似三角形的判定
（1）预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________．
（2）判定定理1：两角分别________的两个三角形相似．
（3）判定定理2：两边________且夹角________的两个三角形相似．
（4）判定定理3：三边________的两个三角形相似．
相似
相等
成比例
相等
成比例
5．相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应边________，对应角________．
（2）相似三角形的_____________、_____________、_____________的比都等于相似比．
（3）相似三角形的周长比等于________．
（4）相似三角形的面积比等于_____________．
成比例
相等
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线
相似比
相似比的平方
6．位似图形
（1）位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线___________，对应边互相平行或在一条直线上，像这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作________，这时的相似比又称________．
（2）位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于________（________）．
相交于一点
位似中心
位似比
相似比
位似比
7．方法技巧
（1）判定三角形相似的几条思路
①条件中若有平行线，可采用相似三角形的预备定理．
②条件中若有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例（用判定2）．
③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等．
④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例．
⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例．
（2）常见相似三角形基本图形
①平行型：
②斜交型：
③垂直型：
三对相似：，，．
，，，
．
可灵活表示锐角三角函数：如
④M型：
若是中点，连接，则．
D
C
B
C
C
10
A 基础达标练
A
A
D
B
A
16
5
B 强化提升练
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第六章 图形的变化
6.3 图形的相似
1．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．
2．通过具体实例认识图形的相似．了解相似多边形和相似比．
3．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
4．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．*了解相似三角形判定定理的证明．
5．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．
6．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小．
7．会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．
1．成比例线段
对于四条线段，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比________，如，则这四条线段是成比例线段．
2．比例的基本性质
比例的外项之积等于________．
．
3．相似三角形的有关概念
（1）相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别________，边________，那么这两个多边形叫相似多边形．
（2）相似比（或相似系数）：相似多边形________叫作相似比（或相似系数）．
（3）相似三角形：三个角分别________，三条边________的两个三角形叫作相似三角形．
（4）全等形一定是________形，相似形不一定是________形．全等三角形的相似比等于．
4．相似三角形的判定
（1）预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________．
（2）判定定理1：两角分别________的两个三角形相似．
（3）判定定理2：两边________且夹角________的两个三角形相似．
（4）判定定理3：三边________的两个三角形相似．
5．相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应边________，对应角________．
（2）相似三角形的________、________、________的比都等于相似比．
（3）相似三角形的周长比等于________．
（4）相似三角形的面积比等于________．
6．位似图形
（1）位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线________，对应边互相平行或在一条直线上，像这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作________，这时的相似比又称________．
（2）位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于________（________）．
7．方法技巧
（1）判定三角形相似的几条思路
①条件中若有平行线，可采用相似三角形的预备定理．
②条件中若有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例（用判定2）．
③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等．
④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例．
⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例．
（2）常见相似三角形基本图形
①平行型：
②斜交型：
③垂直型：
三对相似：，，．
，，，．
可灵活表示锐角三角函数：如
④M型：
若是中点，连接，则．
■考点一 相似的有关概念与相似多边形
◇典例1：（2025·四川雅安·中考）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2026·甘肃兰州·一模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为______m．（结果保留根号）
2．（2025·上海·模拟预测）定义：将对应角相等，对应边成比例的两个四边形称为相似四边形．
(1)已知：如图1，四边形是矩形，E、F分别在、上，且．如果，求证：；
(2)已知：如图2，四边形是梯形，，，E、F分别在、上，且．如果，求证．
■考点二 相似三角形的性质与判定
◇典例2：（2025·贵州·中考）如图，已知，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
◆变式训练
1．（2025·江苏南京·中考）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________．
2．（2026·贵州遵义·一模）如图，在正方形中，，点为的中点，延长至点，使，连接，，．
(1)求证：；
(2)若点为的中点，连接，求线段的长．
■考点三 图形的位似
◇典例3：（2026·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若点的对应点为，当时，则线段的长度是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
◆变式训练
1．（2026·广东东莞·一模）《墨子 天文志》记载： “执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美、如图，正方形的边长为1，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为__________．
2．（2026·安徽六安·一模）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，现作如下操作：
①以点A为旋转中心，将按顺时针方向旋转，点B与点D、点O与点E对应，得到；
②以点C为位似中心，放大，得到，其中点A与点G、点E与点F、点D与点H对应，使与对应边的比为，且点G在第三象限．
(1)在图中画出和；
(2)直接写出点H的坐标：________．
■考点四 一线三等角问题
◇典例4：（2025·山东威海·模拟）如图，四边形和四边形都是矩形，且点恰好在上．若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·上海·模拟预测）在半圆中作矩形，点C、D在圆弧上，点E在上，点F在上．连接交于点G，连接．若，则半圆的半径长为___________．
2．（2026·云南昭通·一模）如图，在矩形中，点E是边上一点，连接、，且，过点A、B分别作和的平行线，两条平行线交于点F．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
■考点五 相似三角形的实际应用
◇典例5：（2026·贵州遵义·一模）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·四川绵阳·中考）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m．
2．（2026·陕西西安·三模）某校综合与实践活动中，小杰计划测量自家小区居民楼附近一小型加压泵房的高度．如图，由于泵房旁边还有绿化带无法直接到达泵房下面测量，他先通过查询建筑说明得到居民楼的顶端到地面高度为24米，接着在居民楼的顶端处测得泵房的顶端的俯角为，某一时刻在太阳光的照射下，泵房顶端的影子落在地面上的点处，居民楼顶端的影子落在地面上的点处，测得米，米，已知泵房和居民楼均垂直于地面，且B，E，D，F在一条直线上，求泵房的高度．（参考数据：，）
A 基础达标练
1．（2026·云南·模拟预测）如图所示，已知，且相似比为，则与的对应边上的高之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·重庆大渡口·一模）如图，，它们的相似比是，已知，则的长是（ ）
A．8 B．10 C． D．
3．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2026·浙江湖州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·湖南长沙·二模）已知P是反比例函数图象上的一点，点B的坐标为，A是y轴正半轴上的一点，且，，那么直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在中，点D，E分别为，上的点，若，，则________．
7．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，(．若的长为10，则的长为______．
8．（2026·安徽合肥·一模）如图,小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得米，米，米，米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角），，，，则的长为______米．
9．（2025·浙江·模拟）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．
(1)填空：___________，___________；
(2)判断与是否相似？并证明你的结论．
B 强化提升练
10．（2025·山东德州·中考）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线．
(1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F．
①如图1，当点P与点O重合时，求证：；
②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
(2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）．
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第六章 图形的变化
6.3 图形的相似
1．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．
2．通过具体实例认识图形的相似．了解相似多边形和相似比．
3．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
4．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．*了解相似三角形判定定理的证明．
5．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．
6．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小．
7．会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．
1．成比例线段
对于四条线段，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，如，则这四条线段是成比例线段．
2．比例的基本性质
比例的外项之积等于内项之积．
．
3．相似三角形的有关概念
（1）相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形．
（2）相似比（或相似系数）：相似多边形对应边的比叫作相似比（或相似系数）．
（3）相似三角形：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫作相似三角形．
（4）全等形一定是相似形，相似形不一定是全等形．全等三角形的相似比等于．
4．相似三角形的判定
（1）预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
（2）判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
（3）判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
（4）判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．
5．相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应边成比例，对应角相等．
（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
（3）相似三角形的周长比等于相似比．
（4）相似三角形的面积比等于相似比的平方．
6．位似图形
（1）位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，像这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作位似中心，这时的相似比又称位似比．
（2）位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比（位似比）．
7．方法技巧
（1）判定三角形相似的几条思路
①条件中若有平行线，可采用相似三角形的预备定理．
②条件中若有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例（用判定2）．
③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等．
④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例．
⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例．
（2）常见相似三角形基本图形
①平行型：
②斜交型：
③垂直型：
三对相似：，，．
，，，．
可灵活表示锐角三角函数：如
④M型：
若是中点，连接，则．
■考点一 相似的有关概念与相似多边形
◇典例1：（2025·四川雅安·中考）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
◆变式训练
1．（2026·甘肃兰州·一模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为______m．（结果保留根号）
【答案】
【分析】根据比例关系列式计算即可．
【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为，
由题意得，，
解得，
∴该兵马俑的眼睛到下巴的距离为．
2．（2025·上海·模拟预测）定义：将对应角相等，对应边成比例的两个四边形称为相似四边形．
(1)已知：如图1，四边形是矩形，E、F分别在、上，且．如果，求证：；
(2)已知：如图2，四边形是梯形，，，E、F分别在、上，且．如果，求证．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）先证四边形和四边形的四个角都是直角，从而可得四边形和四边形都是矩形，再证这两个矩形的四组对应边成比例即可得证．
（2）由四边形是梯形，，，可得，从而可得梯形和的四个角对应相等．梯形是等腰梯形可推出梯形和都是等腰梯形，则，．作交于G，作交于H，则可得则四边形和 都是平行四边形，进而得，从而可得，结合和等比性质可得，则可得．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，，，，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴， ， ，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵四边形是梯形，，
又∵，
∴，
∴，，，，
∵梯形中，，
∴梯形是等腰梯形，
∴，
∴，
∴梯形和都是等腰梯形，
∴，，
如图，作交于G，作交于H，
则四边形和 都是平行四边形，
∴，，，，
，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
根据等比性质可得，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似多边形的定义，相似三角形的判定和性质，比例的性质，平行四边形的判定和性质等．熟练掌握以上知识，正确理解相似多边形的定义是解题的关键．
■考点二 相似三角形的性质与判定
◇典例2：（2025·贵州·中考）如图，已知，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故选C．
◆变式训练
1．（2025·江苏南京·中考）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________．
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
则
∴，
故答案为：．
2．（2026·贵州遵义·一模）如图，在正方形中，，点为的中点，延长至点，使，连接，，．
(1)求证：；
(2)若点为的中点，连接，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）在正方形中，，，则，即可证明．
（2）过点作于点，证明，得出，根据题意得出，，结合点为的中点，即可求出，再根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：在正方形中，，，
，
，
又，
．
（2）解：过点作于点，
，
，
，
，
又，为中点，是正方形，
，
，
为中点，
，
，
∴，，
，
在中，．
■考点三 图形的位似
◇典例3：（2026·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若点的对应点为，当时，则线段的长度是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】B
【分析】根据题意可得与的相似比，即可得线段的长度．
【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，点的对应点为，
∴与的相似比为，
∵，
∴线段的长度是
◆变式训练
1．（2026·广东东莞·一模）《墨子 天文志》记载： “执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美、如图，正方形的边长为1，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为__________．
【答案】
【分析】连接，根据位似图形的性质，可得正方形的边长，用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：连接，
∵正方形与正方形是位似图形，正方形ABCD的边长为1，，
∴正方形的边长为，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形的外接圆的半径为．
2．（2026·安徽六安·一模）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，现作如下操作：
①以点A为旋转中心，将按顺时针方向旋转，点B与点D、点O与点E对应，得到；
②以点C为位似中心，放大，得到，其中点A与点G、点E与点F、点D与点H对应，使与对应边的比为，且点G在第三象限．
(1)在图中画出和；
(2)直接写出点H的坐标：________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据旋转的性质确定点B的对应点D、点O的对应点E，然后顺次连接可得；再根据位似的定义确定点A的对应点G、点E的对应点F、点D的对应点H，再顺次连接即可得到；
（2）直接根据（1）的作图读出点H的坐标即可．
【详解】（1）解：如图：，即为所求．
（2）解：由（1）作图可知：．
■考点四 一线三等角问题
◇典例4：（2025·山东威海·模拟）如图，四边形和四边形都是矩形，且点恰好在上．若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形；根据矩形的性质和勾股定理求出，再根据相似三角形求出，再计算求解即可．
【详解】解：∵四边形和四边形都是矩形，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵的面积；
故选：C．
◆变式训练
1．（2025·上海·模拟预测）在半圆中作矩形，点C、D在圆弧上，点E在上，点F在上．连接交于点G，连接．若，则半圆的半径长为___________．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形和全等三角形的判定与性质综合，垂径定理的推论等知识点，连接，证，得；；再证，推出，，；由题易知：，可推出，，即可求解；
【详解】解：连接，如图所示：
∵
∴；
∵，
∴；
∴；；
∵，
∴；
∵
∴；
∴，，
∴；
作，如图所示：
则；
∵，
∴四边形矩形，
∴；
同理可得：；
∴；
∴，，，
∴
即，
∴，
∴，
故答案为：
2．（2026·云南昭通·一模）如图，在矩形中，点E是边上一点，连接、，且，过点A、B分别作和的平行线，两条平行线交于点F．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，再结合一个角是直角，即可判定矩形；
（2）证明，根据相似三角形对应边成比例，求出，则，再结合矩形对角线相等求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
又，
．
∴四边形是矩形．
（2）解：在矩形中，，
．
，
．
，
又，
．
，
，，
，
，
，
∴在矩形中，．
■考点五 相似三角形的实际应用
◇典例5：（2026·贵州遵义·一模）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先证明，则利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴（米）．
◆变式训练
1．（2025·四川绵阳·中考）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m．
【答案】10
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键．
先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可．
【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N，
∴，
由题意，得，，，
∴，
∴，，
∴四边形，，都是矩形，
∴，，，，
由题意，得，，，，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：10．
2．（2026·陕西西安·三模）某校综合与实践活动中，小杰计划测量自家小区居民楼附近一小型加压泵房的高度．如图，由于泵房旁边还有绿化带无法直接到达泵房下面测量，他先通过查询建筑说明得到居民楼的顶端到地面高度为24米，接着在居民楼的顶端处测得泵房的顶端的俯角为，某一时刻在太阳光的照射下，泵房顶端的影子落在地面上的点处，居民楼顶端的影子落在地面上的点处，测得米，米，已知泵房和居民楼均垂直于地面，且B，E，D，F在一条直线上，求泵房的高度．（参考数据：，）
【答案】泵房的高度为米
【分析】过点C作于点G，则，四边形是矩形，设米，则米，证明，得米，在中，根据解直角三角形的计算即可求解．
【详解】解：根据题意，，米，，米，
∴，
如图所示，过点C作于点G，则，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设米，则米，
根据题意，，
∴，且，
∴，
∴，即，
∴米，
∴米，
∴米，
在中，，
∴，即，
整理得，，
解得，，
∴米，
∴米，
∴泵房的高度为米．
A 基础达标练
1．（2026·云南·模拟预测）如图所示，已知，且相似比为，则与的对应边上的高之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可根据相似三角形对应边上的高的比等于相似比，可直接利用该性质确定对应高的比．
【详解】解：∵，相似比为，
∴与对应边上的高之比等于相似比，即为 ．
2．（2026·重庆大渡口·一模）如图，，它们的相似比是，已知，则的长是（ ）
A．8 B．10 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等且等于两个三角形的相似比．根据相似三角形的性质列比例式解答即可．
【详解】解：∵，它们的相似比是，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
3．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形得到，，然后可得，再由相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
4．（2026·浙江湖州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由可知与的位似比为，且图形位于原点两侧，故对应点坐标互为相反数且倍数关系为．
【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，，
∴与的相似比为，由图可知，与关于原点对称
∴点与点是对应点，且点的横、纵坐标分别是点横、纵坐标的倍，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∵点的坐标为，
∴，
解得，
∴点的坐标为．
5．（2026·湖南长沙·二模）已知P是反比例函数图象上的一点，点B的坐标为，A是y轴正半轴上的一点，且，，那么直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过P作轴，轴，根据矩形的判定与性质得出矩形，，，证明，得出，可设P的横坐标是，则纵坐标是，根据待定系数法求出点的坐标，进而求出A的坐标，然后根据待定系数法求解即可．
【详解】解：过P作轴，轴，
则四边形是矩形，
∴，，
又，
∴，
又
∴，
∴
∴设P的横坐标是，则纵坐标是，
∴，
解得，
∴P的坐标是，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴．
6．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在中，点D，E分别为，上的点，若，，则________．
【答案】/0.5
【分析】由平行得到，那么得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴（负值已舍去）．
7．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，(．若的长为10，则的长为______．
【答案】16
【分析】根据位似图形的性质得到，证明，即可求解．
【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，(
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
8．（2026·安徽合肥·一模）如图,小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得米，米，米，米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角），，，，则的长为______米．
【答案】5
【分析】设，则，证，根据求出，，再证，根据求解即可解答．
【详解】解：设，则，
∵，，
∴，
∵在点B处反射后为，
∴，
∴，
∴即，
解得，即，则，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，即，
解得．
9．（2025·浙江·模拟）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．
(1)填空：___________，___________；
(2)判断与是否相似？并证明你的结论．
【答案】(1)；
(2)．见解析
【分析】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
（1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长；
（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．
【详解】（1）解：，
；
故答案为：； ．
（2）解：．
证明：∵在的正方形方格中，
，，
∴．
∵， ，， ，
∴．
∴，
∴．
B 强化提升练
10．（2025·山东德州·中考）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线．
(1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F．
①如图1，当点P与点O重合时，求证：；
②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
(2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）．
【答案】(1)①证明见解析
②为定值，该定值为
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、正方形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）①过点P作、，根据四边形是正方形得到，证四边形是矩形，又得到，进而证明四边形是正方形，利用角度关系得到，证出，根据全等三角形的性质得到即可；
②过点P作、，根据①可得到，根据，证得并且，利用相似三角形的性质得到，最后进行面积转化得到定值即可；
（2）过点P作、，连接，易证得，根据相似三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的性质，同理可得，进而得到，是等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】（1）①证明：过点P作、，如图所示：
则
四边形是正方形
四边形是矩形
在中，
四边形是正方形
，
；
②过点P作、，如图所示：
由①可知四边形是正方形
、
故 为定值，该定值为；
（2）解：过点P作、，连接，如图所示：
四边形是正方形
射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F
、
同理可得
是等腰直角三角形
在中，
由勾股定理得
．
答：四边形的面积为．
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