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2026年山东省淄博市桓台县初中学业水平模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若|-7|=-a,则a的值是( )
A. 7 B. -7 C. D. -
2.如图，该几何体的主视图是（）．
A. B. C. D.
3.年春运期间，全国民航累计运输旅客万人次，比年春运同期增长，创历史同期新高．将万用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
4.有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（）
A. 这组数据的下四分位数是4
B. 这组数据的上四分位数是15
C. 这组数据的中位数是10
D. 被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13
5.如图, 若B+BAD=, 则下列结论正确的是( )
A. 1=2 B. 3=4
C. D+BAD= D. B=DCE
6.用我们数学课本上选用的科学计算器计算下列算式的值，其按键顺序正确的是（）
A. 计算，按键：
B. 计算，按键：
C. 计算，按键：
D. 计算，按键：
7.分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A. B. 且 C. D. 且
8.如下图，在四边形中，，，分别与扇形相切于点，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
9.如图，已知中，．D为边上一动点，连接．则的最大值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
10.如图，已知二次函数，顶点在轴上，为坐标原点，，为抛物线上的点．若四边形是菱形，且，则（ ）．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.请写出一个使在实数范围内有意义的的值为 ．
12.如图，五边形中，，，，则 ．
13.某科学小组制作了一个自主行走的机器人，为测试该机器人性能，制作迷宫如图．机器人从出发，只往下或往右走，到达终点，经过点的概率是 ．
14.为一个等边三角形．延长边到使得．类似的，延长边到使得，延长边到使得．则的面积和的面积的比值为 ．
15.在正边形里面画一个小的正边形，用一些不相交的线段连接它们的顶点，得到的三角形总数记为．例如，根据图，有，则 ．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题4分)
解不等式组．并把不等式①和②在数轴上表示出来．
17.(本小题10分)
如图，四边形中，．
(1) 若，求的度数
(2) 若M，N，E，F分别是，，，的中点，求证：．
18.(本小题10分)
废旧电池的危害主要集中在它所含的少量的重金属上，如铅、汞、镉等．由于机械磨损和腐蚀，使得废旧电池内部的重金属和酸、碱等泄漏出来，进入土壤或水源．为保护环境，学校环保小组成员去往某公园收集废旧电池．
(1) 环保小组共30人，由于路途较远，环保小组在老师的组织下决定租车前往．现有甲、乙两种车，它们的载人数和租金如表所示．若要求每车满员且不能超载，请列出所有乘车方案和相应费用；
车型 甲 乙
载人数 4 6
租金（元） 50 70
(2) 已知第一天收集了5节1号电池，6节5号电池，总质量为500；第二天收集了3节1号电池，4节5号电池，总质量为310．1节1号电池和1节5号电池的质量分别是多少？
19.(本小题16分)
为使学生更加了解家乡，热爱家乡，某市在全市中学中以“我为家乡代言”为主题开展了唱家乡民歌、讲家乡故事、做旅游方案、设计明信片、拍摄宣传片五项比赛．各学校均选派一支代表队积极参加，共有甲、乙等50支队伍参赛，每支队伍需要参加五项比赛．为了解参赛队伍的综合水平，将50支队伍各项成绩（成绩为百分制，均不低于60分）进行了统计整理．
下面给出了部分信息：
50支队伍讲家乡故事的成绩用表示，分成如下四组：第1组，第2组，第3组，第4组，绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
甲、乙两支队伍五项比赛成绩统计分析表
唱家乡民歌成绩（分） 讲家乡故事成绩（分） 做旅游方案成绩（分） 设计明信片成绩（分） 拍摄宣传片成绩（分） 五项成绩平均数（分） 方差
甲 92 94 87 92 90 91
乙 94 92 82 99 88 32.8
根据以上信息解决下列问题：
(1) 补全频数分布直方图并判断这50支队伍的讲家乡故事成绩的中位数处于第_____组；
(2) 在扇形统计图中，第4组对应的圆心角度数是 ；
(3) 填空：表格中的值为 ，的值为 ；
(4) 请根据表格中的数据，从甲、乙两支队伍中推荐一支成绩稳定的队伍为家乡代言，说明理由．
20.(本小题10分)
如图，过点分别作，轴的平行线，交曲线于，两点，的面积为．
(1) 求的值；
(2) 如图，，，分别为直线和图象第一象限上的点．求的最小值．
21.(本小题15分)
【综合与实践】
【问题情境】
王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥．
【问题提出】
为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路．
【方案设计】
方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路；
方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地．
【问题解决】
(1) 在第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式．
(2) 在第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式．
(3) 已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积．
22.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点．
(1) 求抛物线的表达式；
(2) D为抛物线的顶点，将抛物线沿射线平移一定距离，得到抛物线与直线有且仅有一个交点．
①求抛物线对应的函数表达式；
②若过点的直线交抛物线于、两点，过点、垂直于直线的垂线交直线于两点．证明．
23.(本小题15分)
【问题情境】
某数学兴趣小组在学习了图形旋转的相关知识之后，在等腰三角形纸片上进行了关于旋转的研究性学习．中，．同学们在边上取点，连接，将以点为中心旋转，由于同学们所取点的位置不同，的角度大小不同，产生了以下两种方案．
(1) 【探究感悟】
小明方案：取，旋转使点的对应点落到线段上；
如图1，小明发现，此时点的对应点与点的连线恰好平分，则线段的长是 ；
(2) 【深入探究】
小刚方案：如图2，旋转使点的对应点落到点上，折叠使点与点D重合，折痕为；
在图2中找出与相等的角，并证明；
(3) 如图3，F为线段上的点，．若，求的长．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】0/(答案不唯一)
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】37
15.【答案】
16.【答案】解：解①，得
解②，得
∴原不等式组的解集为，
不等式①和②在数轴上表示如数轴：

17.【答案】【小题1】
解：∵，
∴，
∴；
【小题2】
证明：连接
又∵分别是的中点，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴．

18.【答案】【小题1】
解：设需要甲车辆，乙车辆，根据题意得，
因为x、y均为非负整数，所以对y进行取值：
当时，；当时，；当时，；
∴有三种方案：
方案一：甲车6辆，乙车1辆，费用370元；
方案二：甲车3辆，乙车3辆，费用360元；
方案三：甲车0辆，乙车5辆，费用350元；
【小题2】
解：设1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和，
则，
解得，
答：1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和．

19.【答案】【小题1】
解：第2组：，第4组：
补全频数分布直方图如下：
根据频数分布直方图，这50支队伍的讲家乡故事成绩的中位数为第支队伍成绩的平均数，由频数分布直方图可得中位数处于第3组；
【小题2】
【小题3】
91
5.6
【小题4】
解：甲、乙两支队伍的各项成绩相比较，甲队伍的成绩波动较小，，因此甲队伍的各项成绩更稳定，因此甲队伍更适合为家乡代言．

20.【答案】【小题1】
解：将代入，得，
∴点的坐标为，
同理，点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
解得或，
由图可知，点在反比例函数的图象上方，即，
∴；
【小题2】
解：设直线交轴于点，交轴于点，
∵垂线段最短，
∴当时，最小，
当时，如图，过点作轴的平行线，交直线于点，设点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，，
在直角中，，
∵轴，
∴，，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴当，即时，取得最小值．

21.【答案】【小题1】
解：设菜地的宽为米，
∵长、宽比为的长方形菜地，
∴菜地的长为米，
∴小路面积S关于的函数表达式为；
【小题2】
解：设道路的宽为米，根据题意得：
，
即菜地面积关于的函数表达式；
【小题3】
解：根据题意得：，
解得：，
由（2）得：菜地面积关于的函数表达式，
∵，，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值，最大值为，
即道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为．

22.【答案】【小题1】
解：∵抛物线与轴交于，两点，
得
解得
∴．
【小题2】
解：①由（1）得，
整理得，
∵D为抛物线的顶点，
∴，
∵将抛物线沿射线平移一定距离，得到抛物线
∴设抛物线：，
∴，
则，
∵与直线有且仅有一个交点．
∴，
解得，
∴抛物线：，
即，
②证明：∵过点的直线交抛物线于、两点，
∴设过点的直线为，
∵过点、垂直于直线的垂线交直线于两点．
则，
依题意，得，
∴，
则，
故，
∵，，
∴，
整理得，
∵，
∴，
∴，
即．

23.【答案】【小题1】
【小题2】
解：，证明如下：
由题意得垂直平分，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得：
∴；
【小题3】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

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