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2025-2026学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（　　）
A. a＞-3 B. |a|＞3 C. b-a＞4 D. a+b＜0
2.数学中有许多精美的曲线.以下是“星形线”“三叶玫瑰线”“阿基米德螺线”和“笛卡尔叶形线”.其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3.若一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，则这个多边形的边数为（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
4.如图，直线AB，CD相交于点O，∠POC=∠AOC.若∠BOD=25°，则∠BOP的大小为（　　）
A. 25°
B. 120°
C. 130°
D. 155°
5.京剧作为中国戏曲的瑰宝，因其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴，深受大众喜爱.正面印有京剧人物的两张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这两张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率是（　　）
A. B. C. D.
6.DeepSeek-V3是由中国AI初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的LLM模型，于2024年12月发布，它具有Mixture-of-Experts架构，总共有671B个参数.这里“B”的含义是Billion,即1B等于十亿.将671B用科学记数法表示应为（　　）
A. 671×108 B. 671×1010 C. 6.71×1010 D. 6.71×1011
7.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AD上的一点（不与点A，D重合），连接CE.
求作：点F，使得点F在BC上，且AF∥CE.
甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下：
甲：以点C为圆心，AE的长为半径画弧，交BC于点F，连接AF；
乙：以点A为圆心，CE的长为半径画弧，交BC于点F，连接AF；
丙：以点B为圆心，DE的长为半径画弧，交BC于点F，连接AF.
上述三名同学的作法一定正确的是（　　）
A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙
8.图1是半径为1cm的圆形硬币，点M是硬币外沿上的一定点.图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为2：1的矩形、正方形和正六边形，周长均为6πcm,对称中心均记为点P.点N为轨道上一定点（除轨道①外，N均为AB的中点）.将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点M与N重合.若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点M第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为N′，则四个轨道中，∠NPN′最大的是（　　）
A. 轨道① B. 轨道② C. 轨道③ D. 轨道④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10.分解因式：ax2-9a= ．
11.方程的解为 .
12.某中学随机抽查了50名学生，了解他们每天完成家庭作业的时间，结果如表所示：
时间（小时） 0.5 1 1.5 2
人数 3 6 32 9
根据相关规定，初中学生每天完成家庭作业的时间不得超过1.5小时.如果该校共有学生2000人，估计该校学生完成家庭作业时间，符合要求的约有 人.
13.如图，点M在函数y1=图象上，过点M作MA⊥x轴于点A，交函数y2=图象于点N，连接OM和ON，如果△MON的面积为1，那么k= .
14.如图，将△ABC沿BC边向右平移2个单位长度得到△DEF.若BC=4，阴影部分的面积为2，则△DEF的面积为 .
15.如图，等边△ABC中，CD⊥AB于点D，点E在BC上，CE的垂直平分线交CD于点P，交BC于点F，连接PE.若AB=6，BE=2，则四边形BEPD的周长为 .
16.某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩.每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断.现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如表：
车辆序号 A B C D E
快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60
慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170
车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题：
（1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为 （写出一种即可）；
（2）这五辆车完成充电总用时最短为 分钟.
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.计算：.
四、解答题：本题共11小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
解不等式组：.
19.(本小题5分)
已知a2-2a-5=0，求代数式 的值.
20.(本小题6分)
如图.在△ABC中，∠B=2∠ACB，点D在BC上，AD=AB.过点A，C分别作BC，DA的平行线交于点E.
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若BD=6，，求AC的长.
21.(本小题5分)
每年的5月20日为中国学生营养日，2024年营养日的主题是“奶豆添营养，少油更健康”.某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下：
食品种类
营养成分 一盒牛奶 一盒豆浆
能量 280kJ 210kJ
蛋白质 3.5g 4.2g
脂肪 3.5g 2.4g
碳水化合物 5.6g 1.7g
钠 65mg 13mg
钙 130mg
某天，初中生小石从这两种食品中恰好摄入了770kJ能量和11.2g蛋白质.
（1）小石喝了牛奶和豆浆各多少盒？
（2）初中生每日脂肪摄入量约为59 73g.若小石这天已经从其它食品中摄入60g脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由.
22.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+3（k≠0）的图象与正比例函数y=2x的图象交于点（1，m）.
（1）求一次函数的表达式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，一次函数y=ax+1（a≠0）的值既大于函数y=kx+3（k≠0）的值又大于函数y=2x的值，直接写出a的取值范围.
23.(本小题5分)
2024年7月27日，联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》.某校组织七、八年级学生开展关于“北京中轴线”研学活动，其中八年级有200名学生，七年级有300名学生，两个年级所有学生都参加了有关“北京中轴线”知识问答，为了解两个年级学生的答题情况，进行了抽样调查，从七、八年级各随机抽取20名学生，对他们本次知识问答的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息：
a.八年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b.八年级成绩在70≤x＜80这一组的是：
74 74 75 77 77 77 77 78 79 79
c.七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
七年级 77 81.5
八年级 79.5 m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）两个年级分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本年级的平均分就可以赋予等级A，判断在本次抽取的学生中______年级赋予等级A的学生更多（填“七”或“八”）；
（3）在随机抽样的学生中，知识问答成绩为80分的学生，在______年级排名更靠前，理由是______；
（4）估计该校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分.
24.(本小题6分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D为的中点，⊙O的切线DE交OC的延长线于点E．
（1）求证：DE∥AC；
（2）连接BD交AC于点P，若AC=8，cosA=，求DE和BP的长．
25.(本小题6分)
某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的DGD′部分为一段抛物线，顶点G的高度为8米，它两侧AD和A′D′是高为5.5米的支柱，OA和OA′为两个方向的机动车通行区，宽都为15米，线段CD和C′D′为两段对称的上桥斜坡，其坡度（即垂直高度与水平宽度的比）为1：4.以CC′所在直线为x轴，横断面的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
（1）求桥拱DGD′所在抛物线的解析式及OC的长；
（2）BE和B′E′为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A′B′为两个方向的行人及非机动车通行区.直接写出宽AB的长度；
（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米.今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米.它能否从桥下区域安全通过？请说明理由.
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为y=-x2+2mx-m2+3m,线段AB的两个端点分别为A（1，3），B（7，3）.
（1）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；
（2）若m=4，且对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥6时，均满足y1≥y2，求t的取值范围；
（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围.
27.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=α（0°＜α＜45°），M是线段BC上的动点（不与点B，C重合），将线段MC绕点M顺时针旋转2α得到线段MN，连接AN.
（1）连接CN，求∠ACN的大小（用含α的代数式表示）；
（2）过点N作ND⊥AN交BC的延长线于点D，连接AD.
①依题意补全图形；
②用等式表示线段BM与DM的数量关系，并证明.
28.(本小题7分)
对于点P和⊙M，若在⊙M上或⊙M内存在一点K，使得△PQK是顶角为∠Q=α的等腰三角形，则称点Q为点P关于⊙M的“α-关联点”.
在平面直角坐标系xOy中，
（1）已知点A（-4，0），⊙O的半径为2，
①在点（-1，2），B4（-3，4）中，是点A关于⊙O的“90°-关联点”的是______；
②若直线y=x+b（b＞0）上存在点A关于⊙O的“60°-关联点”，则b的取值范围是______；
（2）已知E是x轴上一动点，点F满足EF=4，⊙F的半径为2，若点T既是点E关于⊙F的“60°-关联点”，也是点E关于⊙F的“120°-关联点”，设点T的纵坐标为t,直接写出t的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】x≥2
10.【答案】a（x+3）（x-3）
11.【答案】x=1
12.【答案】1640
13.【答案】1
14.【答案】8
15.【答案】5+3
16.【答案】ABCE（答案不唯一）
200

17.【答案】．
18.【答案】-2＜x＜3．
19.【答案】，．
20.【答案】见解析；
4．
21.【答案】小石喝了2盒牛奶，1盒豆浆；
在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量不超标，理由见解答．
22.【答案】y=-x+3；
a≥2．
23.【答案】m=78.5；
七；
八，学生成绩80分，位于八年级学生成绩的中位数78.5分之上，位于七年级学生成绩的中位数81.5分之下，因此在八年级名次更靠前；
78．
24.【答案】（1）证明：连接OD，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴OD⊥DE，
∵点D为的中点，
∴OD⊥AC，
∴DE∥AC；
（2）解：连接OD与AC交于点H，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=，
∴BC=，
∵点D为的中点，
∴AH=CH=4，OD∥BC，
∴OH=，
∵OD=AB=5，
∴DH=OD-OH=5-3=2，
∴AD=，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD=，
∵OD∥BC，
∴△OPD∽△CPB，
∴，即，
∴BP=，
∵HC∥DE，
∴△OHC∽△ODE，
∴，即，
∴DE=．
25.【答案】DGD′所在的抛物线的解析式为y=-x2+8；OC的长为37米；
AB的宽是6米；
该大型货车可以从OA（或OA′）区域安全通过．
26.【答案】解：（1）∵y=-x2+2mx-m2+3m=-（x-m）2+3m,
∴点C坐标为（m,3m）．
（2）当m=4时，抛物线对称轴为直线x=4，开口向下，
∴x＞4时，y随x增大而减小，
∵x2≥6，
当x=6时，y2取最大值，
∵直线x=6与直线x=2关于直线x=4对称，
∴2≤x≤6时，y≥y2，
∴，
解得2≤t≤5．
（3）∵抛物线顶点C坐标为（m,3m），
∴抛物线顶点在直线y=3x上运动，
如图，点A在直线y=3x上，点A与抛物线顶点重合时，m=1，
∴m≥1时满足题意，
把A（1，3）代入y=-x2+2mx-m2+3m得3=-1+2m-m2+3m,
解得m=1或m=4，
当m=4时，抛物线同时经过A（1，3），B（7，3），
∴1≤m＜4满足题意．
当m＞4时，抛物线与AB有一个交点，
把B（7，3）代入y=-x2+2mx-m2+3m得3=-49+14m-m2+3m,
解得m=4或m=13，
∴4＜m≤13满足题意．
综上所述，1≤m＜4或4＜m≤13．
27.【答案】α；
①见解析；②DM=BM，证明见解析．
28.【答案】B1、B3；
；
．
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