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2025-2026学年北京市海淀区清华附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征.窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案.下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）

A. a+2＞b+2 B. |a-1|＜|b-1| C. |a|＞|b| D. a+b＞0
3.芯片制造过程中，一种金属连线的宽度为0.000000000025米.某一层介质的厚度为a米.已知该层介质的厚度是金属连线的宽度的20倍，则a的值用科学记数法表示应为（　　）
A. 2.5×10-10 B. 5.0×10-11 C. 2.5×10-11 D. 5.0×10-10
4.关于x的方程x2-x+k2+2=0根的情况为（　　）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
5.有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟，刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑，“你们笑什么？”妈妈问“妈妈!”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢!”此事件发生的概率为（　　）
A. B. ???????
C. D. 1
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AH⊥BC交CB的延长线于点H，若BA平分∠DBH，AD=5，CH=4，则AH=( )
??????????????
A. 2.5 B. C. 3 D.
7.如图，已知∠AOB=58°，C为射线OB上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点E；②以点C为圆心，OD为半径作弧，交OC于点F；③以点F为圆心，DE为半径作弧，交上一步作的弧于点G；④连接CG并延长，交OA于点H.则∠AHC的度数为（　　）
A. 58° B. 64° C. 61° D. 116°
8.如图，在“探索二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的系数a,b,c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）.同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当a+b+c取得最大值时，图象经过这四个点中的（　　）


A. ABC B. ABD C. ACD D. BCD
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.使式子有意义的x的取值范围是??????? .
10.分解因式：2x2-8x+8=??????????．
11.若关于x的分式方程无解，则m的值为 ?????? .
12.完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形.展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值.如图，五边形ABCDE是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中∠1+∠5=120°，则∠2+∠3+∠4等于??????? °.

13.在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，实验数据如表：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
根据数据，估计袋中黑球有______个．
14.如图，点A在双曲线上，且OA=4，过点A作x轴的垂线，与x轴交于点C，OA的垂直平分线交OC于点B，则△ABC的周长为______．


15.如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC且AC=10，点D在BC上，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点Q为直径PD上方半圆的中点，连接AQ，则AQ的最小值为??????.


16.随着科技的发展，智能机器人逐渐走进了我们的生活.某科技公司研发了一种新型智能机器人（充电款），用于协助完成家务工作.该机器人在工作过程中，会根据不同的任务模式调整其工作效率.已知该机器人在“快速模式”下，每小时可以完成5个单位的家务工作；在“节能模式”下，每小时可以完成4个单位的家务工作.
该机器人充一次电需要2小时（每次必须充满才可断电），在满电状态下“快速模式”可连续工作3小时，“节能模式”可连续工作6小时，且选定模式后无法切换模式直至电量用完.现给你一台满电状态下的机器人，24小时内，该机器人最多可以完成??????? 个单位的家务工作.
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：.
18.(本小题5分)
解不等式组：.
19.(本小题5分)
先化简，然后a在-2，0，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
20.(本小题5分)
如图，点F在平行四边形ABCD的对角线AC上，EF∥AB，BE∥AC，连结FB，使得FB平分∠AFE.
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BE=5，AD=9，sin∠CBE=，求AC的长.

21.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x-1与函数y=kx+5的图象交于点（2，n）.
（1）求k,n的值；
（2）当x≥3时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值大于函数y=kx+5的值，且小于函数y=2x-1的值，直接写出m的取值范围.
22.(本小题5分)
某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4:3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？

23.(本小题5分)
七年级某班的学生进行了体能测试，以下是该班20名男生的测试成绩（百分制），对该组数据进行整理、描述、分析，得到部分信息：
a.这20名男生体能测试成绩如下：
95 94 93 91 90 90 89 88 88 88 86 85 83 80 76 73 69 68 62 57
b.这20名男生体能测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
c.这20名男生成绩数据的平均数、中位数、众数如表所示：
平均数 众数 中位数
82.3 m n
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）m= ______，n= ______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）现在要从甲、乙、丙三个选手中选取两个人代表该班参加学校运动会，为了更加全面的了解三名选手的实力，班主任询问了本次测试三个人的成绩，得知他们恰好是本次测试成绩的前三名，但不知道每个人对应的分数，班主任又从体育老师那调取了三位同学之前三次模拟测试的成绩，计算四次成绩的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.若甲、乙、丙三位选手的成绩如下：
成绩1 成绩2 成绩3 本次测试成绩
甲 93 94 95
乙 96 94 95
丙 93 94 94
则这三位选手中首先入选的是______；若第二位入选的选手和落选的那位选手平均分相同，则落选的那位选手为______.

24.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，过D作DH⊥AC于H，连接DE并延长交BA的延长线于点F.
（1）求证：DH是⊙O的切线；
（2）连接OH交DF于G，若，OA=1，求AF的值.

25.(本小题6分)
在科技活动中，数学小组的同学用所学数学知识和人工智能软件设计了三个形状不同的新水杯，并将其制作出来.三个水杯分别记为1号杯、2号杯和3号杯，当3个水杯中都有VmL水时，测量并记录水面高度，分别记作h1、h2、h3，得到如下数据：
V/mL 0 50 100 150 200 250 300 350 400
h1/cm 0 1.4 2.7 3.6 4.4 5.1 5.7 6.1 6.5
h2/cm 0 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 4.8
h3/cm 0 0.3 0.7 1.2 1.8 2.6 3.4 4.8 6.1
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画h1与V，h2与V，h3与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，已经给出部分图象，描出其余各点，补全函数的图象；

（2）以下是某同学绘制的三个杯子的轮廓示意图，根据表中数据和函数图象，填上三个杯子对应的杯号.

______号杯，______号杯，______号杯；
（3）根据以上数据与函数图象估算，注入相同多的水，当2号杯与3号杯中的水面高度相同时，1号杯的水面高度约为______cm（精确到小数点后1位），此时，若从1号杯中向2号杯和3号杯中各倒入一些水，使得三个杯子中的水面高度相同，操作完成后三个杯子的高度约为______cm（精确到小数点后1位）.
26.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与y轴交于点C.
（1）求抛物线的对称轴和点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）过点C作y轴的垂线l,将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形G，已知点P（a,p）和点Q（-2-a,q）是图形G上的点，设t=p+q,过点P作x轴的垂线交x轴于点M，当t随着OM的增大而增大时，求a的取值范围.
27.(本小题7分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将线段AB绕点A逆时针旋转α得到线段AG，连接BG交直线AC于点F，点E为BF中点，连接CE.
（1）如图1，若α=120°，求证：AG∥CE；
（2）如图2，若D为线段EG上一点，且，连接GC，延长DA至M，使GM=GC，延长BC至N，使CN=AM，连接GN，若∠MGD=∠ACG，求证：.

28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点M（0，2），直线l过点（a,0）且垂直于x轴，点M关于直线l的对称点为点M′.对于坐标平面内的点N和图形W做如下定义：若W上存在点P使△M′PN是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则称点N是M关于l和图形W的“对垂点”.
已知正方形ABCD的顶点A（1，1），B（-1，1），C（-1，-1），D（1，-1）.
（1）若a=2，下列点中，______（填序号）点是M关于I和A的“对垂点”；
①（2，-2）
②（5，-1）
③（3，5）
④（0，4）
（2）若a=2，以点（0，t）为圆心，2为半径的圆上存在N是M关于l和线段AB的“对垂点”，则t的取值范围是______；
（3）直线y=1上存在两个M关于l和正方形ABCD的“对垂点”，则a的取值范围是______.


1.【答案】D?
2.【答案】D?
3.【答案】D?
4.【答案】C?
5.【答案】A?
6.【答案】C?
7.【答案】D?
8.【答案】C?
9.【答案】x＜1?
10.【答案】2（x-2）2?
11.【答案】1或?
12.【答案】240?
13.【答案】8?
14.【答案】?
15.【答案】5?
16.【答案】78?
17.【答案】2．?
18.【答案】解：，
解不等式①得：x＞-2，
解不等式②得：x≤-1．
∴原不等式组的解集是：-2＜x≤-1．?
19.【答案】解：原式=
=
=，
，，，
且，
∴当a=0时，=．（答案不唯一）?
20.【答案】∵EF∥AB，BE∥AF，

∴四边形ABEF是平行四边形．
∵EF∥AB，
∴∠EFB=∠FBA，
∵FB平分∠AFE，
∴∠EFB=∠BFA，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形? 6+4?
21.【答案】k=-1，n=3；
??
22.【答案】解：设预留的上、下通道的宽度是x米，则矩形冰场的宽为（12-2x）米，长为（12-2x）米，
依题意得：2×（12-2x）×（12-2x）=×27×12，
整理得：（12-2x）2=81
解得：x1=，x2=．
当x=时，12-2x=12-2×=9＞0，符合题意；
当x=时，12-2x=12-2×=-9＜0，不符合题意，舍去．
∴x=，
∴左、中、右通道的宽度为：
[27-2×（12-2x）]÷3，
=[27-2××（12-2×）]÷3，
，
，
，
，
=1（米）．
答：预留的上、下通道的宽度为米，左、中、右通道的宽度为1米．?
23.【答案】88，87；
? 详见解析；
? 乙，甲．?
24.【答案】证明过程见解答．
? AF的值为2．?
25.【答案】详见解析；
? 2，1，3；
? 5.8，4.5．?
26.【答案】对称轴为直线x=-1，点C的坐标为??
27.【答案】∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
∵线段AB绕点A逆时针旋转α=120°得到线段AG，
∴AB=AG，
∴∠ABG=∠G=30°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABG=15°，
∵∠ACB=90°，点E为BF中点，
∴，
∴∠CBE=∠BCE=15°，
∴∠GEC=∠CBE+∠BCE=30°，
∴∠G=∠GEC=30°，
∴AG∥CE? 过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，
∵∠ACB=90°，
∴AC∥GH；∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BD=DG，
∵AB=AG，
∴AD⊥BG，
∴∠ADB=∠ADG=90°，
∴∠CHG=∠MDG=90°，
∵∠MGD=∠ACG，
∴90°-∠MGD=90°-∠ACG，
∴∠DMG=∠HCG，
∵GM=GC．
在△DMG和△HCG中，
∵，
∴△MDG≌△CHG（AAS）．
∴．
∴．
∴∠GBH=30°．
∴∠BGH=90°-∠GBH=60°．
∵MD=CH，CN=AM，
∴MD-AM=CH-CN，
∴AD=NH．
在△DAG和△HNG中，
，
∴△ADG≌△NHG（SAS）．
∴∠AGD=∠NGH，AG=NG．
∵∠BGH=∠BGN+∠NGH=60°，
∴∠AGN=∠AGD+∠BGN=∠BGN+∠NGH=60°．
∴△AGN是等边三角形．
∴AG=GN=AN．
∵AB=AG，
∴AG=GN=AN=AB．
∴∠ABC=∠ANB=45°．
∴∠ABC=∠ANB=∠CAN=∠CAB=45°．
∴．，
在△ACG和△NCG中，
，
∴△ACG≌△NCG（SSS）．
∴．
∴∠ACG=∠NCG=∠CGH=45°．
∴CH=GH=GD．
∵CH=CN+NH，
∴?
28.【答案】①④；
?；
??

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