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2025-2026学年广东省佛山市南海区某校高二（下）段考数学试卷（一）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知数列{an}满足，则a2026=（　　）
A. 1 B. 5 C. D.
2.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若a5-a3=12，a6-a4=24，则=（　　）
A. 15 B. -14 C. D.
3.曲线y=ln（x-1）在x=2处的切线的倾斜角为（　　）
A. 30° B. 45° C. 135° D. 150°
4.已知曲线f（x）=x+alnx在点（1，1）处的切线与直线3x-y+1=0垂直，则a的值为（　　）
A. 3 B. C. D.
5.已知数列{an}满足a2=6，an+1-2=an+2n,则=（　　）
A. B. C. D.
6.已知f′（x）是定义域为[-2，2]的函数f（x）的导函数，且函数g（x）=xf′（x）的图象如图所示，则（　　）
A. f（x）在[-2，0]上为增函数
B. f（x）的最小值为f（0）
C. f（x）的极大值为f（0），极小值为f（1）
D. f（x）的极小值点为0，极大值点为1
7.设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则=（　　）
A. 264 B. 520 C. 521 D. 263
8.已知数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，若，当Tn取最小值时，Sn=（　　）
A. B. 1 C. 2 D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+1（n∈N*），则下列说法正确的是（　）
A. a5=-16 B. S5=-63
C. 数列{an}是等比数列 D. 数列{Sn+1}是等比数列
10.已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A. 当a=1时，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x
B. 当a=1时，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1
C. 当a=0时，曲线y=f（x）上不存在斜率为0的切线
D. 当a=0时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0
11.已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A. 函数f（x）在上单调递增，在上单调递减
B. f（3.2）＞f（2）
C. 若不等式在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是
D. 当时，若方程f（x）=bx（b∈R）有且只有一个根，则或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S2，S4，S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为 .
13.已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中T（t）为蜥蜴的体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）.当t=4min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为 ℃/min.
14.函数f（x）=（x-1）ex，过点A（a,0），a∈R，可以作函数f（x）的两条切线，求实数a的取值范围 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=2lnx-x.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[1，e]上的最值.
16.(本小题15分)
已知数列满足a1=3，且对任意的n∈N*，都有.
（1）令bn=an-2，证明：数列{bn}为等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式及数列{an}的前n项和Sn.
17.(本小题15分)
记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，{2an-Sn}为常数列.
（1）求{an}的通项公式；
（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=x3+（a+2）x2+bx-a2在x=-1处有极值为-2.
（1）求a,b；
（2）已知数列{an}的前n项和Sn，满足，记，求Tn.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx+x2-ax,
（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=-x+b,求a,b的值；
（2）若f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围；
（3）求证：当a＞3时，f（x）存在极大值，且极大值小于.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】BD
11.【答案】BCD
12.【答案】-
13.【答案】
14.【答案】（-∞，-3）∪（1，+∞）
15.【答案】解：（1）定义域为（0，+∞），，
令f′（x）=0，得x=2，
列表如下：
x （0，2） 2 （2，+∞）
f′（x） + 0 -
f（x） ↗ 2ln2-2 ↘
由上表知，在（0，2）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
在（2，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
∴f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）；
（2）f（1）=-1，f（2）=2ln2-2，f（e）=2-e,
∵f（e）-f（1）=3-e＞0，∴f（e）＞f（1），
由（1）知，f（x）在[1，2]上递增，在[2，e]上递减，
∴当x=2时，f（x）取最大值f（2）=2ln2-2；
∴当x=1时，f（x）取最小值f（1）=-1．
16.【答案】（1）由任意的n∈N*，都有，
可得an+1-2=3（an-2），
又bn=an-2，即bn+1=3bn，
所以{bn}是以a1-2=1为首项，3为公比的等比数列 （2），
17.【答案】
18.【答案】解：（1）f（x）=x3+（a+2）x2+bx-a2的导数为f′（x）=3x2+2（a+2）x+b,
由f（x）在x=-1处有极值为-2，可得f′（-1）=0，且f（-1）=-2，
即3-2（a+2）+b=0，-1+a+2-b-a2=-2，
解得a=1，b=3，或a=-2，b=-3，
当a=1，b=3时，f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0，f（x）递增，无极值；
当a=-2，b=-3时，f′（x）=3x2-3，符合题意，故a=-2，b=-3；
（2）=（3n2-3）+2=n2+1，
当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+1-（n-1）2-1=2n-1，
则Tn=+++...+=+++...+
=+（-+-+...+-）=+-=-．
19.【答案】a=4，b=-2；
（-∞，3]；
证明：因，若f（x）存在极大值，则方程2x2-ax+1=0有正实根，
而当a＞3时，Δ=a2-8＞0，此时方程有两正根为，
由f′（x）＞0可得或，由f′（x）＜0可得，
故函数f（x）在和上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数f（x）取得极大值．
不妨设，由a＞3可得，即得，
则f（x）的极大值为f（t）=lnt+t2-at，且因a＞3，则得lnt+t2-at＜lnt+t2-3t，
要证函数的极大值小于，只需证，
设，则，
因，则有g′（t）＞0，故函数g（t）在上单调递增，
则，
即，
故a＞3时，函数f（x）的极大值小于
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