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2025-2026学年广东省广州市培英中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在有理数中，最小的数是（　　）
A. B. -2 C. -0.7 D. 0
2.下面由正方形和圆组成的几何图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列计算中，正确的是（　　）
A. a2 a3=a6 B. （2a）3=6a3 C. a3+a3=a6 D. （a2）3=a6
4.若a＜b,则下列不等式变形正确的是（　　）
A. a+1＜b-1 B. -a＜-b C. -1+a＜-1+b D.
5.甲、乙从A地沿一条笔直的公路匀速前往B地，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论中错误的是（　　）
A. 甲步行的速度为60米/分 B. 乙走完全程用了30分钟
C. 乙用12分钟追上甲 D. 乙到达终点时甲离终点还有380米
6.元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯=1000文）.已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格.设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（　　）
A. （x-3）（x+47）=2975 B. （x-3）（x-47）=2975
C. （x+3）（x-47）=2975 D. （x+3）（x+47）=2975
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于D，∠EDF=90°，DE交AC于E，DF交BC于F，四边形DECF的面积为9，则AC长为（　　）
A. 6 B. C. D.
8.已知二次函数y=ax2+c（ac≠0）与反比例函数（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数y=kx-a的大致图象是（　　）
A.
B.
C.
D.
9.如图，四边形ABCD内接于半径为3的⊙O中，点E为的中点，若∠A=120°，则DE的长为（　　）
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
10.将一个底面直径为12cm的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了96cm2，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（　　）
A. 120° B. 150° C. 196° D. 216°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b,∠1=120°，∠2=56°，则∠3= .
12.已知（5x-9）（4x-17）+（9-5x）（x-8）因式分解为3（ax+b）（x+c），其中a,b,c均为整数，则a-b+c的值为 .
13.如图，EF是△ABC的中位线，BG平分∠ABC，交EF于点G.已知AB=8，BC=14，则GF的长为 .
14.若2x2+6x-2=0，则x2+3x+2026= .
15.定义新运算：，例如：-2 4=（-2）2-4=0，2 3=-2+32=7，若，则x的值为 .
16.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点A的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于点D，双曲线经过点D，交BC的延长线于点E，若菱形OABC的面积为80，有下列四个结论：①双曲线的解析式为；②点E的坐标是（4，8）；③；④.其中正确的结论有 .
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解分式方程：.
18.(本小题8分)
已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D，BC=BD，求证：△ABD≌△EBC．
19.(本小题8分)
关于x的方程x2-6x+10-m=0有两个不等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）化简：.
20.(本小题8分)
我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动.为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了______名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率.
21.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D是BC的中点.
（1）求作⊙O：使圆心O在BC上，且⊙O经过B、D两点，与AB交于点E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）连接DE，在（1）的条件下，求DE的长度.
22.(本小题8分)
如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现L2的长度y cm和重物B的质量xN之间近似存在一个函数关系，部分数据如表：
x/N … 10 16 20 25 40 50 …
y/cm … 8 5 4 3.2 2 1.6 …
（1）在图中描出表中数据对应的点（x,y）；
（2）根据表中数据，从y=ax+b（a≠0）和中选择一个函数模型，使它能近似地反映重物B的质量为xN和L2的长度为y cm的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若点A的坐标为（20，0），点B的坐标为（0，2），在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得S△ABC=40，请求出所有满足条件的点C的坐标.
23.(本小题8分)
坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力.为确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以下关键要求：最大坡度为1：12，这是国际通用标准.每段坡道垂直升高不宜超过75cm,超过时需设置休息平台.为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道的相关数据，如图1、图2、图3.
同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通行，可将坡道设计为折返形，如图4.折返形坡道（坡道OV一休息平台VR一坡道VC′）设计需满足以下关键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为1：10，水平长度最大560cm,休息平台宽度最小150cm,轮椅入口宽度最小150cm.
FG=39cm,DE=109cm,AC=250cm.
乙组
NK=91.2m,NM=26.6cm.
丙组
C′Q=9.8cm,PQ=33.6cm.
休息平台宽为VR，轮椅入口宽为OT，A′T=30cm,点T到连廊的距离TI为520cm.
（1）根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（BC或B′C′），并判断是否安全；
（2）为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道OV、坡道VC′）的坡度和坡高以及设计过程.
24.(本小题8分)
如图，在 ABCD中，∠B=45°，，点P在线段BC上运动，AP绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接PE、AC、CE.
（1）求证：当∠BAP=45°时，四边形APCE是正方形；
（2）若AB=4，⊙O为△ACE的外接圆，设⊙O的面积为S.
①求S的取值范围（结果保留π）；
②连接DE，直线DE能否与⊙O相切，如果能，求BP的长度；如果不能，请说明理由.
25.(本小题8分)
已知点P（m,n）在函数y=-（x＜0）的图象上.
（1）若m=-2，求n的值；
（2）抛物线y=（x-m）（x-n）与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E.
①m为何值时，点E到达最高处；
②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】64°
12.【答案】11
13.【答案】3
14.【答案】2027
15.【答案】或
16.【答案】①②④
17.【答案】x=0．
18.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EBD=∠2+∠EBD，
∴∠ABD=∠EBC，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（ASA）．
19.【答案】m＞1；
-2．
20.【答案】补全条形统计图，如图即为所求；
400 600名
21.【答案】如图所示，即为所求；
点O一定在线段BD的垂直平分线上，而圆心O在BC上，则点O为BD的中点，据此作线段BD的垂直平分线交BD于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径画弧交AB于点E即可
22.【答案】见解析；
；
满足条件的点C的坐标为（20，4）或（40，2）．
23.【答案】坡度i=7：24，坡高BC=70cm，不安全 坡道OV的坡高为22cm，坡度为1：10，坡道VC′的坡高为48cm，坡度为48：580
24.【答案】见解析；
①4π＜S≤8π；②能相切，BP=4．
25.【答案】解：（1）把m=-2代入y=-（x＜0）得n=-=1；
故n的值为1；
（2）①在y=（x-m）（x-n）中，令y=0，则（x-m）（x-n）=0，
解得x=m或x=n,
∴M（m,0），N（n,0），
∵点P（m,n）在函数y=-（x＜0）的图象上，
∴mn=-2，
令x=，得y=（x-m）（x-n）=-（m-n）2=-2-（m+n）2≤-2，
即当m+n=0，且mn=-2，
则m2=2，解得：m=-（正值已舍去），
即m=-时，点E到达最高处；
②存在；理由：
假设存在，
对于y=（x-m）（x-n），当x=0时，y=mn=-2，即点G（0，-2），
由①得M（m,0），N（n,0），G（0，-2），E（，-（m-n）2 ），对称轴为直线x=，
由点M（m，0）、G（0，-2）的坐标知，tan∠OMG==，
作MG的中垂线交MG于点T，交y轴于点S，交x轴于点K，则点T（m，-1），
则tan∠MKT=-m，
则直线TS的表达式为：y=-m（x-m）-1．
当x=时，y=-m（x-m）-1=-，
则点C的坐标为：（，-）．
由垂径定理知，点C在FG的中垂线上，则FG=2（yC-yG）=2×（-+2）=3．
∵四边形FGEC为平行四边形，
则CE=FG=3=yC-yE=--yE，
解得：yE=-，
即-（m-n）2=-，且mn=-2，
则m+n=，
∴E（-，-）或（，-）．
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