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2025-2026学年湖南长沙市周南中学高二（下）质检数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合M={x|3x+2≤8}，N={0，1，2，3}，则M∩N=（　　）
A. {0，1，2，3} B. {0，1，2} C. {1，2} D.
2.设随机变量X B（2，p），Y B（4，p），若，则D（Y）=（　　）
A. B. C. D.
3.若多项式，则a9=（　　）
A. 9 B. 10 C. -9 D. -10
4.十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期.某公司生产的飞行器的某一部件质量指标ξ服从正态分布N（80，σ2）（σ＞0），其中指标ξ∈（79.94，80.06）的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于0.3%，则σ的值不可能为（　　）
（参考数据：ξ～N（μ，σ2），P（μ-2σ＜ξ＜μ+2σ）≈95.4%，P（μ-3σ＜ξ＜μ+3σ）≈99.7%）
A. 0.015 B. 0.016 C. 0.02 D. 0.021
5.某人在n次射击中击中目标的次数为X，且X B（n,0.8），记Pk=P（X=k），k=0，1，2， ，n,若P7是唯一的最大值，则n的值为（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
6.若A，B为两个随机事件，0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则“A，B相互独立”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5200的偶数个数是（　　）
A. 87 B. 129 C. 132 D. 138
8.若曲线y=2lnx+a（a∈R）与圆有公共点P（x0，y0），且在点P处的切线相同，则a=（　　）
A. 1 B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A. 样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23的第70百分位数为23
B. 若一组样本数据x1，x2， ，x10的方差，则x1+x2+ +x10=60
C. 在做回归分析时，可以用决定系数R2刻画模型的回归效果，若R2越大，则说明模型拟合的效果越好
D. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高
10.甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A1，A2和A3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（　　）
A. B. 事件A1与事件B相互独立
C. D.
11.下列说法正确的是（　　）
A. 若成对样本数据（xi，yi）（i=1，2， ，n）都落在一条直线上，则变量x和变量y的样本相关系数r满足|r|=1
B. 若P（A）＞0，P（B）＞0，则事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立
C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把2×2的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响
D. 数据x1，x2， ，xm的平均数和方差分别为和，数据y1，y2， ，yn的平均数和方差分别为和，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为和，若，则必有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（x-2y）（2x-y）5的展开式中x2y4的系数为 .
13.已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为5：4：1，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为95%，90%，90%，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为 .
14.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，点P在正方形ABB1A1内，若AB=2，A1P∥平面AEF，则DP的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（1）根据散点图判断，y=bx+a与y=cedx（其中e=2.718 为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.
（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中
参考数据（z=lny）
5215 17713 714 27 81.3 3.6
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a,b,c,.
（1）求角A；
（2）若a=1，，c＞b,求AB边上的高.
17.(本小题15分)
近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了2020～2024年的年份代码x（x=1，2，3，4，5）与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如表所示：
年份代码x 1 2 3 4 5
App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300
（1）求样本相关系数r,并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱；
（2）从2020～2024年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y,记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望E（X）.
注：样本相关系数，当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，.
18.(本小题17分)
已知椭圆的一个焦点F1（-2，0），长轴长为8.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点F1作两条互相垂直的直线m,n,直线m与椭圆E交于A，B两点，直线n与椭圆E交于C，D两点，且|AB|=λ|CD|，求实数λ的取值范围.
19.(本小题17分)
乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利.
（1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9.已知甲、乙两人共进行了m（m∈N*）场比赛，请根据小概率值α=0.010的K2独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响.
（2）若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p,没有平局.记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B，试证明：P（A）=P（B）.
（3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是p（p＞0.5），没有平局.若采用“赛满2n-1局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为P（n）.若采用“赛满2n+1局，胜方至少取得n+1局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为P（n+1），试比较P（n）与P（n+1）的大小.
附：，其中n=a+b+c+d.
P（K2≥k0） 0.05 0.025 0.010
k0 3.841 5.024 6.635
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】ACD
11.【答案】AB
12.【答案】90
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】y=cedx更适宜 y=e0.3x-4.5
16.【答案】
17.【答案】r≈0.99，变量x与y之间有很强的线性正相关关系 X的分布列为：
X 80 150 210
P
E（X）=114
18.【答案】
19.【答案】解：（1）由题设，赛制与甲获胜情况列联表如下，
甲获胜场数 乙获胜场数
5局3胜 0.8m 0.2m m
7局4胜 0.9m 0.1m m
1.7m 0.3m 2m
零假设H0：赛制对甲获胜的场数没有影响，
则，
由≥6.635，可得m≥169.1925，
所以当m≥170时，根据小概率值α=0.010的K2独立性检验，我们推断H0不成立，
即推断赛制对甲获胜的场数有影响，
当m＜170时，根据小概率值α=0.010的K2独立性检验，我们推断H0成立，
即没有证据认为推断赛制对甲获胜的场数有影响；
（2）证明：由题意，
=p3+3p3（1-p）+6p3（1-p）2
=6p5-15p4+10p3，
=10p3（1-p）2+5p4（1-p）+p5
=6p5-15p4+10p3，
综上，P（A）=P（B），得证；
（3）考虑赛满2n+1局的情况，以赛完2n-1局为第一阶段，第二阶段为最后2局，
设“赛满2n+1局甲获胜”为事件C，结合第一阶段结果，要使事件C发生，有两种情况：
第一阶段甲获胜，记为A1；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了n-1局，记为A2，
则P（C）=P（A1C）+P（A2C），
若第一阶段甲获胜，即赛满2n-1局甲至少胜n局，有甲至少胜n+1局和甲恰好胜n局两种情况，
甲至少胜n+1局时，无论第二阶段的2局结果如何，最终甲获胜，
甲恰好胜n局时，有可能甲不能获胜，此时第二阶段的2局比赛甲均失败，概率为，
所以P（A1C）=P（n）-，
若第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了n-1局，那么要使甲最终获胜，第二阶段的2局甲全胜，
得P（A2C）=P（A2）P（C|A2）=，
所以P（n+1）=P（C）=P（n）-，
则P（n+1）-P（n）=
=
=，
由，所以，
所以P（n+1）＞P（n）．
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