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2025-2026学年江苏省南京市金陵中学高二（下）段考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.（+）÷的值为（　　）
A. 6 B. 101 C. D.
2.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（　　）
A. B. （2，-1，2） C. D. （1，-2，1）
3.有6个座位连成一片排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数是（　　）
A. 36 B. 48 C. 72 D. 120
4.已知双曲线C：，则“它的渐近线方程为y=±2x”是“它的离心率为”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数f（x）=x-a?ex，若f（x）≤0对任意x∈[0，e]恒成立，则a的最小值为（　　）
A. ee-1 B. C. D. 0
6.对于事件A，B，，，P（A+B）=1，则=（　　）
A. B. C. D.
7.某空间站由A，B，C三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去A舱，则不同的安排方法的种数为（　　）
A. 35 B. 36 C. 42 D. 50
8.已知，若a1=27，则=（　　）
A. 3 B. 22 C. 43 D. 45
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若随机变量ξ的分布如表，则（　　）
ξ -2 -1 1 2 3
P 0.2 0.1 2m 0.25 m

A. m=0.15 B. P（|ξ|＜2）=0.55
C. E（2ξ-1）=0.5 D. D（3ξ+2）=9D（ξ）+2
10.已知函数f（x）=x3+tx2+3（t∈R），若x=1是f′（x）的极值点，则（　　）
A.
B. f（x）的图象关于点P（1，1）中心对称
C. 直线3x+y-4=0与曲线y=f（x）相切
D. 过点（-1，5）可以作三条直线与曲线y=f（x）相切
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M是DD1的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列结论正确的是（　　）
A. 若N到点M与点B1的距离相等，则N的轨迹为直线
B. 若N到直线BB1与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线
C. 若直线MN与平面ABCD所成的角为60°，则N的轨迹为椭圆
D. 若直线D1N与直线AB所成的角为60°，则N的轨迹为双曲线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，则b=??????.
13.甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球．则摸出红球的概率为______．
14.已知椭圆的左焦点为F，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D.若，则椭圆离心率的最大值为??????? .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中所有的有理项.
16.(本小题15分)
一个盒子中有6个大小重量相同的小球，其中2个白球，4个黑球，甲同学从盒子中分3次随机抽取，每次抽取1个球.
（1）若每次抽出的球放回，求恰有2次抽取到黑球的概率；
（2）若每次抽出的球不放回.
①记抽取到的黑球个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
②在抽取到1个黑球与2个白球的前提下，求第2次抽到黑球的概率.
17.(本小题15分)
已知数列{an}和{bn}满足：a1=2，an+1-an=2n+2，且.
（1）求an和bn的通项公式；
（2）①求数列的前n项和Sn；
②求集合{n∈N*|an＞bn}.
18.(本小题17分)
已知椭圆的焦距为2，点在C上，O为坐标原点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点.
（i）若点M的坐标为（4，0），证明：∠OMA=∠OMB；
（ii）若，当时，求弦长|AB|的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.
（1）若函数f（x）在x=0处的切线方程为y=3x+b,求b的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）当a=1时，记函数g（x）=f（x）-x（ex-1），求证：函数g（x）有唯一的极大值点x0，且.

1.【答案】C?
2.【答案】A?
3.【答案】C?
4.【答案】D?
5.【答案】C?
6.【答案】B?
7.【答案】D?
8.【答案】C?
9.【答案】AC?
10.【答案】BCD?
11.【答案】ABD?
12.【答案】?
13.【答案】0.7?
14.【答案】?
15.【答案】解：（1）展开式中第r+1项为，
所以前三项系数的绝对值依次为，
依题意有，，即，
整理得n2-9n+8=0，解得n=1（舍去）或n=8．
由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，
即．
（2）由（1）知，，
由可得r=0，3，6，
故展开式中的有理项为：
，，．?
16.【答案】解：（1）若每次抽出的球放回，则每次抽取到黑球的概率为，
则随机抽取3次，恰有2次抽取到黑球的概率；
（2）①由题意知：X所有可能的取值为1，2，3，
，
，
，
X的分布列为：
X ?1 2 ?3
?P



；
②记事件A为“抽取到1个黑球与2个白球”，事件B为“第2次抽到黑球”，
则事件AB为“第1次和第3次抽到白球，第2次抽到黑球”，
因为，
所以，
即在抽取到1个黑球与2个白球的前提下，第2次抽到黑球的概率为．?
17.【答案】an=n（n+1）；? ①=；②{2，3，4}?
18.【答案】? （i）证明如下，
当直线l与x轴重合时，显然成立；当直线l与x轴不重合时，设直线l为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立那么可得（3t2+4）y2+6ty-9=0，
根据韦达定理可得，那么根的判别式Δ=144（t2+1）．
==，
由于，
因此kMA+kMB=0．
故MA，MB的倾斜角互补，因此∠OMA=∠OMB；（ii）?
19.【答案】解：（1）f'（x）=2ae2x+（a-2）ex-1，
因函数f（x）在x=0处的切线方程为y=3x+b，
则 f′（0）=3a-3=3，f（0）=2a-2=b，
解得 a=2，b=2；
（2）f'（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（2ex+1）（aex-1），2ex+1＞0，
当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在R上单调递减，
当a＞0时，当f′（x）＜0时，得x＜-lna，
当f′（x）＞0时，得x＞-lna，
则 f（x）在（-∞，-lna）上单调递减，在（- lna,+∞）上单调递增，
综上所述，a≤0时，f（x）在R上单调递减，
a＞0时，f（x）在（-∞，-lna）上单调递减，在（-lna,+∞）上单调递增；
（3）证明：当a=1时，
g（x）=f（x）-x（ex-1）=e2x-ex-x-x（ex-1）=e2x-（x+1）ex，
则g'（x）=2e2x-（x+2）ex=ex（2ex-x-2），
令h（x）=2ex-x-2，则h′（x）=2ex-1，
当时，得，当h（x）＜0时，得，
则h（x）在上单调递减，在上单调递增，
故，
又h（0）=0，h（-1）=2e-1-1＜0，h（-2）=2e-2＞0，
则由零点存在性定理可知，?x0∈（-2，-1）使得，
则当x＜x0或x＞0时，h（x）＞0，g'（x）＞0，
当x0＜x＜0时，h（x）＜0，g'（x）＜0，
故g（x）在（-∞，x0）和（0，+∞）上单调递增，在（x0，0）上单调递减，
则g（x）有唯一的极大值点x0，
且g（x0）=-（x0+1）=（-x0-1）
=（-x0-1）=-=-，
令φ（x）=-xex，x∈（-2，-1），
则φ′（x）=-（x+1）ex＞0，
则φ（x）在（-2，-1）上单调递增，
则φ（x）＜φ（-1）=，
故．?

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