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2025-2026学年上海市浦东新区洋泾中学高二（下）质检数学试卷（4月份）
一、单项选择题：本大题共4小题，共14分。
1.有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（　　）
A. 24 B. 48 C. 72 D. 120
2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中错误的是（　　）
A. AC⊥BE B. B1E∥平面ABCD
C. 三棱锥E-ABC的体积为定值 D. 直线B1E⊥直线BC1
3.已知P1，P2，P3，…，P10是抛物线y2=8x上不同的点，点F（2，0），若，则=（　　）
A. 20 B. 40 C. 60 D. 80
4.若曲线在x=x1与x=x2处的切线互相垂直，且交点P在直线y=a上，则a的值可能是（　　）
A. B. C. D. 1
二、填空题：本题共10小题，共34分。
5.函数y=x2-5在区间[1，2]上的平均变化率为??????? .
6.同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数相等的概率为______．
7.（2x+1）5的二项展开式中x2项的系数为 ?????? .（用数值回答）
8.已知事件A和B互斥，且P（A∪B）=0.9，，则P（A）为??????? .
9.已知直线l1：ax-y-1=0，l2：ax-（a-2）y-1=0，若两直线垂直，则a=??????????.
10.已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为π，则该圆锥的侧面积等于______．
11.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD的边长为2，点P是CC1的中点，直线AP与平面BCC1B1成30°角.则正四棱柱的高为 ?????? .
12.已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PF2⊥F1F2，则该双曲线的渐近线方程是______．
13.记定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）-f（x）＞0，f（1）=1，则不等式f（x）＞ex-1的解集为______．
14.如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆x2+y2-4x+2y-20=0相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，有下列结论：
①弦AC长度的最小值为；
②线段BO长度的最大值为；
③点M的轨迹是一个圆；
④四边形ABCD面积的取值范围为．
其中所有正确结论的序号为______．


三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.
（1）写出这个试验的样本空间Ω；
（2）事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由.
16.(本小题8分)
长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=BC=2，直线A1C与平面ABCD所成角为.
（1）求三棱锥A-A1BD的体积；
（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小.

17.(本小题10分)
在平面内，动点M（x,y）到定点N（2，0）的距离和它到定直线的距离之比是常数，记动点M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程.
（2）设斜率为1的直线与曲线C交于A，B两点，记线段AB的中点为P，O为坐标原点，判断直线OP的斜率是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.
18.(本小题12分)
已知函数f（x）=a（ex+a）-x.
（1）当a=1时，求函数y=f（x）的图像在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论函数y=f（x）的单调性；
（3）证明：当a＞0时，.
19.(本小题14分)
已知椭圆C的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为Γ：x2+y2=a2+b2.已知椭圆C的离心率为，焦距为，O为坐标原点.
（1）求C的标准方程；
（2）已知直线l与C交于A，B两点，且OA⊥OB，求△OAB面积的取值范围；
（3）过C的蒙日圆上一点M，作C的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若直线OM，ON的斜率存在，设OM，ON的斜率分别为kOM，kON，证明：kOM?kON为定值.

1.【答案】B?
2.【答案】D?
3.【答案】B?
4.【答案】B?
5.【答案】3?
6.【答案】?
7.【答案】40?
8.【答案】0.3?
9.【答案】1或-2?
10.【答案】?
11.【答案】?
12.【答案】y=±x?
13.【答案】{x|x＞1}?
14.【答案】①③④?
15.【答案】答案见解析? 事件A和事件B相互独立，理由见解析?
16.【答案】解：（1）∵长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=BC=2，直线A1C与平面ABCD所成角为，
∴AA1=AC==2，
∴三棱锥A-A1BD的体积为：
====．
（2）∵A1D∥B1C，∴∠BA1D是异面直线A1B与B1C所成角（或所成角的补角），
∵A1B=A1D==2，BD==2，
∴cos∠BA1D==，
∴异面直线A1B与B1C所成角的大小为arccos．?
17.【答案】（1）? （2）是，．证明如下：
设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，则有，作差得，
等式两边同除x1-x2，得：，
即，因此，
因此，直线OP的斜率为定值，定值是?
18.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=ex-x+1，所以f′（x）=ex-1．
得f（0）=2，点（0，f（0））处的切线斜率为f'（0）=0，
所以函数y=f（x）的图像在点（0，f（0））处的切线方程为：y=2．
（2）由f（x）=a（ex+a）-x得f′（x）=aex-1，
当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，则f（x）在R上单调递减；
当a＞0时，令f′（x）=0得，
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；
当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．
（3）证明：由（2）可知，当a＞0时，
f（x）的最小值．
要证，
只需证
只需证
设
则，
令g′（a）=0得
当时，g′（a）＜0，g（a）单调递减；
当时，g′（a）＞0，g（a）单调递增．
所以，
所以得证，
即得证．?
19.【答案】?? 证明：由（1）得a2=4，b2=1，
则蒙日圆为x2+y2=a2+b2=5，
设椭圆的切线方程为y=k1x+n，由椭圆切线条件，
设切线与蒙日圆x2+y2=5的交点M（x3，y3），N（x4，y4），
联立切线与圆方程，
得，
由韦达定理得，
因为，
=
=?

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