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2025-2026学年四川省成都七中东安湖学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.-2023的相反数是（　　）
A. B. -2023 C. D. 2023
2.如图1是位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（　　）
A. B. C. D.
3.深度求索（DeepSeekAI）的崛起，其意义涉及国家战略乃至全球AI竞争态势的重塑.截至2月9日，DeepSeekApp的累计下载量超1.1亿次，周活跃用户规模最高近9780万，9780万用科学记数法表示为（　　）
A. 9780×104 B. 978×105 C. 9.78×107 D. 0.978×108
4.下列运算正确的是（　　）
A. 2a2+3a2=5a4 B. a2 a3=a5 C. （3a2）3=9a6 D. （a-b）2=a2-b2
5.诺贝尔奖是世界上最享有声望的科学奖项之一.到2023年，历史上获得诺贝尔奖的最年轻的10位得主的年龄（单位：岁）分别为：17，25，25，31，31，31，31，32，32，32，则这组数据的中位数是（　　）
A. 31 B. 31.5 C. 32 D. 33
6.如图，⊙O是△ACD外接圆，AB是⊙O的直径，连接BC，∠D=36°，则∠BAC的度数是（　　）
A. 26°
B. 36°
C. 44°
D. 54°
7.今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问：甲、乙持钱各几何？（选自《九章算术》）
题目大意：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱.甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了x钱，乙带了y钱.根据题意，列出的二元一次方程组为（　　）
A. B. C. D.
8.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-3，0），B（1，0），与y轴交于点C.有下列说法：
①abc＞0；
②抛物线的对称轴为直线x=-1；
③当-3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；
④当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
⑤am2+bm≥a-b（m为任意实数）.
其中正确的有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.因式分解：3a-3ax2= .
10.已知反比例函数的图象过点A（1，y1），B（2，y2），且y1＜y2，则k的取值范围是 .
11.关于x的分式方程的解是非正数，那么a的取值范围为 .
12.如图，菱形ABCD中，AC=8cm,BD=6cm,DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则DH= .
13.如图，平面直角坐标系xOy中，点A在反比例函数的图象上，直线AO与反比例函数图象交于点B，过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC，若三角形ABC的面积为5，则k的值为 .
14.已知m,n是一元二次方程x2-3x-1=0的两根，则m2-mn+3n= .
15.某品牌鞋子的长度y cm与码数x之间满足一次函数关系.若30码鞋子的长度为20cm,36码鞋子的长度为23cm,则44码鞋子的长度为 cm.
16.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中阴影部分的概率是 .
17.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosA=，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，点A的对应点为点F，线段DF恰好经过点C.若DE=EF，则的值为 .
18.在平面直角坐标系中，已知M（a,b），N（a,2-3a-b）两点，连接MN，设线段MN的长为p,若点M在二次函数y=x2的图象上，则当时，p的取值范围是 .
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
（1）计算：；
（2）解不等式组：.
20.(本小题8分)
某学校准备组织学生进行周末游湖研学活动，有沧浪湖、北湖、锦城湖、青龙湖4个目的地选择.为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个目的地），小强根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的总人数为______，请将条形统计图补充完整.
（2）扇形统计图中“青龙湖”对应的圆心角为______°，若该学校共有学生1200名，请估计参加“沧浪湖游湖研学”的学生有多少人？
（3）研学活动有文艺类的A：“现场绘画”，B：“情境写作”和实践类的C：“水质调研”，D：“植被调研”共4项活动，为平衡活动方案，以班级为单位随机选择2种活动参加，请用画树状图或列表法求出某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的概率.
21.(本小题8分)
小明班的数学课外活动小组进行校外研学活动，他们准备测量某建筑物AB的高度.如图，先将无人机升至距离地面垂直高度为25米的点C处，测得建筑物最高点A的仰角为21°，再将无人机上升15米到达点C的正上方点D处，此时测得建筑物最低点B的俯角为42°，已知点A，B，C，D在同一平面内，求建筑物AB的高度（结果精确到0.1米）.
（参考数据：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
22.(本小题10分)
如图，⊙O是△ABC外接圆，，直线CD∥AB，AO的延长线交BC于点E，交直线DC于点F.
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）若AB=6，tan∠B=3，求⊙O的半径及CF的长.
23.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.
（1）如图，过点P的直线分别与x轴，y轴交于点A，B，且AB=BP.
（i）求反比例函数的表达式；
（ii）点D为x轴正半轴上一点，点E在反比例函数图象上，若以点B，D，E，P为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标；
（2）过定点P的直线y=mx-3m+2交反比例函数在第一象限的图象于另一点Q，交y轴于点M，连接OP，OQ，设△POQ的面积为S1，△MOP的面积为S2，若2S1=S2，求m的值.
24.(本小题8分)
加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任.某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶.通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同.
（1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价；
（2）该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-2x+8与抛物线y=-x2+bx+c交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点C是直线AB上方抛物线上一点，过点C分别作x轴，y轴的平行线，交直线AB于点D，E.
（i）当时，求点C的坐标；
（ⅱ）点M为线段DE中点，当点C，M，O三点在同一直线上时，求的值.
26.(本小题12分)
关于具有“共角共边”特征的两个相似三角形的问题解决，在我们平常的学习中经常遇到，某数学兴趣小组针对此类问题，开展了如下探究活动：
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，在直线AB下方取一点C′，连接AC′，使得AC=AC′.
【基础回顾】
（1）如图1，过点C作CD⊥AB于点D，求证：AC2=AD AB；
【灵活运用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接C′B，C′D，作∠CAC′的平分线交边BC于点E，当AE∥C′B时，求线段C′D的长；
【综合探究】
（3）在射线CC′上取一点F，当∠CFB=∠CBC′时，试问：△BCF的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】3a（1+x）（1-x）
10.【答案】k＜1
11.【答案】a≤1且a≠0
12.【答案】cm
13.【答案】-5
14.【答案】11
15.【答案】27
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】＜p≤
19.【答案】 -1≤x＜5
20.【答案】20人；补全条形统计图见解答．
54；估计参加“沧浪湖游湖研学”的学生约有420人．
．
21.【答案】建筑物AB的高度约为41.9米．
22.【答案】（1）证明：连接OB，延长CO交AB于点L，
∵=，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOL+∠AOC=180°，∠BOL+∠BOC=180°，
∴∠AOL=∠BOL，
∵OA=OB，OL平分∠AOB，
∴OL⊥AB，
∵CD∥AB，
∴∠OCF=∠OLA=90°，
∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC，
∴直线CF是⊙O的切线．
（2）解：∵OA=OB=OC，AB=6，OL⊥AB，tan∠ABC=3，
∴∠BLC=90°，AL=BL=AB=3，
∴==tan∠ABC=3，
∴CL=9，
∵OL2+BL2=OB2，且OL=9-OC=9-OB，
∴（9-OB）2+32=OB2，
∴OC=OB=5，
∴OL=9-5=4，
∵∠OCF=∠OLA=90°，∠FOC=∠AOL，
∴=tan∠FOC=tan∠AOL==，
∴CF=OC=×5=，
∴⊙O半径长为5，CF的长为．
23.【答案】解：（1）i）过点P作PC⊥x轴于点C，
∵PC⊥x轴，OB⊥OA，
∴PC∥OB，
∴△AOB∽△APC，
∵AB=BP，
∴PC=OC=2，即P（2，2），
将P（2，2）代入反比例函数y=，得k=4，
∴反比例函数的表达式为y=；
ii）由i）可得B（0，1），P（2，2），设D（a,0），E（，b），
①当点B，D，E，P组成平行四边形BDEP时，
∵yB+yE=yD+yP，
∴1+b=0+2，
∴b=1，
∴E（4，1）；
②当点B，D，E，P组成平行四边形BDPE时，
∵yB+yP=yD+yE，
∴1+2=0+b,
即b=3，
∴E（，3），
综上所述，E点的坐标为（4，1）或（，3）；
（3）∵直线y=mx-3m+2=m（x-3）+2过定点（3，2），
∴点P的坐标为（3，2），代入反比例函数y=，
得k=6，
①如图，当点Q在线段MP上时，
∵S△MOP=2S△POQ，
∴MQ=PQ，
作QK⊥y轴于点K，PL⊥y轴于点L，
∴△MKQ∽△MLP，
∴，
∴KQ=，即，
∴Q（，4），
将Q（，4）代入直线y=mx-3m+2，得m=-；
②当点Q在线段MP的延长线上时，
∵S△MOP=2S△POQ，
∴MQ=3PQ，
作QK⊥y轴于点K，PL⊥y轴于点L，
∴△MKQ∽△MLP，
∴=，
∴KQ=，即，
∴Q（，），
将Q（，）代入直线y=mx-3m+2，得m=-；
综上所述，m的值为-或-．
24.【答案】解：（1）甲分类垃圾桶的单价是x元，则乙分类垃圾桶的单价是（x+40）元，
根据题意得=，
解得x=160，
经检验，x=160是原方程的解，且符合题意，
∴x+40=160+40=200．
答：甲分类垃圾桶的单价是160元，乙分类垃圾桶的单价是200元；
（2）设购买甲分类垃圾桶y个，则购买乙分类垃圾桶（20-y）个，
依题意得：200（20-y）+160y≤3600，
解得：y≥10，
∵y为正整数，
∴y的最小值为10．
答：最少需要购买甲种分类垃圾桶10个．
25.【答案】解：（1）直线y=-2x+8与抛物线y=-x2+bx+c 交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上，
∴令x=0，则y=8，令y=0，则x=4，
∴B（4，0），A（0，8），
将B（4，0），A（0，8）代入抛物线y=-x2+bx+c表达式得，，
解得，
∴抛物线的表达式为：y=-x2+2x+8；
（2）（i）∵点C是直线AB上方抛物线上一点，且CD∥x轴，CE∥y轴．
∴△CDE∽△OBA，
∴，
设点C（t,-t2+2t+8），（0＜t＜4），
则E（t,-2t+8），
∴CE=-t2+2t+8-（-2t+8）=-t2+4t,
∵A（0，8），
∴OA=8，
∵，，
∴，解得t=1，h=3．
∴C（1，9）或C（3，5）；
（ⅱ）由（i）知：∠DCE=90°，
又∵点M为线段DE中点，点C，M，O三点在同一直线上，
∴DM=CM=EM，
∴∠MDC=∠MCD，∠MCE=∠MEC，
∵CE∥y轴、CD∥x轴，
∴∠MCE=∠MOA，∠MEC=∠MAO，∠MDC=∠MBO，∠MCD=∠MOB，
∴∠MOA=∠MAO，∠MBO=∠MOB，
∴AM=OM，BM=OM，
∴AM=BM，
∴点M是AB的中点，
∴M（2，4），
∴直线OM的函数表达式y=2x,
∴，
解得，
∵0＜t＜4，
∴，
∴，
∵CE∥y轴，
∴△CEM∽△OAM，
∴，
故的值为．
26.【答案】解：（1）证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，∠B+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2=AD AB；
（2）如图，延长BC′交CA延长线于点H，连接CC'，过点C'作C′T⊥AB于点T，
∵AE平分∠CAC′，
∴∠EAC′=∠CAE，
∵AE∥BH，
∴∠CAE=∠H，∠EAC′=∠AC′H，
∴∠CAE=∠H=∠EAC'=∠AC'H，
∴AC′=AH=3=AC，
∴∠ACC'=∠AC'C，
∴，
∵CA=AH=3，
∴CH=6，
∴，
∴，
∴，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
设AT=x,则BT=AB-AT=5-x,
∴C'T2=AC'2-AT2=BC'2-BT2，
即，
解得：，
∴，
由（1）得AC2=AD AB，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点F作FM⊥CA延长线于点M，FH⊥CB延长线于点H，过点C′作C′P⊥CC′，交CA延长线于点P，
又∵∠ACB=90°，
∴四边形CMFH是矩形，
∴FH=CM，
∵∠CFB=∠CBC′，∠BCC′=∠FCB，
∴△CBC′∽△CFB，
∴，
∴CB2=CC' CF=16，
∵∠MCF=∠C'CP，∠CMF=∠CC′P，
∴△CMF∽△CC′P，
∴，
∴CC' CF=CM CP=16，
∵AC=AC′=3，
∴∠ACC'=∠AC'C，
∵∠CC'P=90°，
∴90°-∠ACC'=90°-∠AC'C，
∴∠CPC'=∠AC'P，
∴，
∴CP=6，
∴，
∴，是定值．
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