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2025-2026学年重庆市九年级（下）第一阶段数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2026的相反数是（　　）
A. -2026 B. 2026 C. D.
2.重庆非遗文化底蕴深厚，传统造物中既有“对称和谐”的古典美学，也有“旋转灵动”的匠心设计.下列古典图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3.下列调查方式，你认为最合适的是（　　）
A. 调查一批耙耙柑的甜度情况，采用全面调查
B. 调查一批比亚迪新能源汽车电池的使用寿命，采用全面调查
C. 调查新一代近地载人飞船“梦舟”的零部件质量，采用抽样调查
D. 调查全市观众对电影《飞驰人生3》的喜爱程度，采用抽样调查
4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=70°，则∠DCE的度数为（　　）
A. 140°
B. 110°
C. 90°
D. 70°
5.某同学用大小相同的黑色棋子摆成如图所示的图形，图①由5颗棋子组成，图②由12颗棋子组成，图③由21颗棋子组成，…，按照这一规律，图⑥用的棋子数量是（　　）
A. 45 B. 60 C. 77 D. 96
6.已知，反比例函数的图象经过点（-3，2），则下列各点也在此函数图象上的是（　　）
A. （2，3） B. （-2，-3） C. （1，6） D. （1，-6）
7.下列四个数中最小的是（　　）
A. 9.46×10-12 B. 8.46×10-12 C. 9.46×10-15 D. 8.46×10-15
8.春节黄金周后，某杂货店生意逐渐转淡，第一天日盈利500元，第三天日盈利405元.若第一天到第三天盈利的日均下降率相同，则这段时间内，该商店每天盈利的下降率为（　　）
A. 20% B. 15% C. 10% D. 5%
9.如图，在正方形ABCD中，连接AC，点E在AC上，连接BE，过点E作BE的垂线交CD于点F，交BC的延长线于点G.若，点F是EG的中点，则EG的长度为（　　）
A. 8 B. 10 C. D.
10.已知整式，其中a0为自然数，n,a1=2，a2， ，an为正整数，且n+a0+a1+a2+ +an=7.下列说法：
①满足条件的所有整式A中有且仅有1个单项式；
②当n=3时，满足条件的所有整式A的和为4x3+4x2+4x；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共6个.
其中正确的个数是（　　）个
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.重庆市某中学校初2026届某班有45名同学，其中共有10名同学参加了周末的社区志愿服务活动.从该班随机抽取1名同学，抽到参加社区志愿服务活动的同学的概率是 .
12.若，其中n为正整数，则n= .
13.如图，直线a∥b,等腰三角形ABC的直角顶点A在直线b上，点B在直线a上，∠1=15°，则∠2的度数为 .
14.若实数x,y同时满足x+|y|=-4，|x|-y=6，则xy的值为 .
15.如图，四边形ABCD内接于圆O，AC为圆O直径，BD、AC交于点E，点B是的中点，DG切圆O于D，交CA延长线于G.若，点O到DC的距离为，则AC= ，AG= .
16.若一个四位自然数，满足千位数字与个位数字之和为5，百位数字与十位数字之和也为5，则称它为“丰登数”，请问最小的“丰登数”为 .将“丰登数”M的前三位数字组成的三位数记为m,它的后三位数字组成的三位数记为n,规定：，若F（M）能被7整除，则满足条件的M的最大值与最小值的差为 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解不等式组，并写出它的整数解.
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
在学习菱形的过程中，小林发现：在菱形ABCD中，E是CD边上的中点，BE与对角线AC相交于点F，如果BF=CF，则一定有BE⊥CD.为此小林进行了证明探究，请你根据他的思路，完成以下作图和填空：
（1）第一步：利用尺规作图，过点F作BC的垂线，垂足为G（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）第二步：利用三角形的全等证明他的猜想.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB=∠ACD，①______.
∵BF=CF，FG⊥BC，
∴BG=CG=BC，∠FGC=90°
∵E是CD中点，
∴CE=DE=CD，
∴②______，
在△CFE和△CFG中，
∴△CFE≌△CFG（SAS），
∴∠FGC=∠FEC=90°，
∴BE⊥CD.
19.(本小题10分)
为迎接2026年米兰冬季奥运会，某社区举办了“冬奥知识知多少”的趣味竞赛.现从该社区甲、乙两个参赛代表队中各随机抽取10名队员的竞赛成绩，并进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A.60≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.x≥90，下面给出了部分信息：
甲队10名队员的比赛成绩：69，79，88，90，92，94，94，96，98，100.
乙队10名队员的竞赛成绩在D组中的所有数据为：92，92，97，99，99，99.
甲、乙两队中抽取的队员比赛成绩统计表
代表队 平均数 中位数 众数 “C”组所占百分比
甲 90 a 94 10%
乙 90 92 b 20%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=______；b=______；m=______.
（2）根据以上数据分析，甲、乙哪个代表队的比赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由可）；
（3）该社区甲代表队有150名队员、乙代表队有200名队员参加了此次比赛，估计此次比赛成绩在A组的队员共有多少名.
20.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中m=tan45°-（π-3）0.
21.(本小题10分)
某社区为庆祝“三八”国际妇女节，计划采购一批洗发套装和品牌护手霜作为慰问品，赠送给社区的女性环卫工人.已知购进2套洗发套装和3支品牌护手霜的总费用为310元，购进4套洗发套装和1支品牌护手霜的总费用为370元.
（1）求每套洗发套装和每支品牌护手霜的进价分别是多少元？
（2）该社区联系到更优惠的供应商后，洗发套装的进价每套降低了a元，品牌护手霜的进价每支降低了元.若用240元购进洗发套装的数量与用160元购进品牌护手霜的数量相同，求a的值为多少？
22.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8.点D为线段AB上一点（点D与端点A、B不重合），AD=x（0＜x＜6），过点D作DE⊥BC于点E，点F在射线AC上，连接DF.△DAF的面积始终为3，线段DE的长为y1，线段AF的长为y2.
（1）请直接写出y1、y2分别关于x的函数表达式，并注明x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，请分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）请结合函数图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围.（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
23.(本小题10分)
春节期间，某公园举办“迎新春 闹花灯”主题活动.公园平面图如图所示，已知花灯区C在祈福区A的正北方向，游客服务中心D在A的北偏东30°方向，美食区B在A的北偏西75°方向相距400米处，C在B的东北方向，且C在游客服务中心D的南偏西75°方向.（参考数据：，，）
（1）求美食区B和花灯区C之间的距离；（结果保留根号）
（2）小顺和小意相约游玩，小顺从美食区B出发沿B→C路线行走，小意从祈福区A出发沿A→D路线行走，两人同时出发，小顺的速度是小意速度的2倍.当小顺到祈福区A的距离恰好是小意到祈福区A的距离的3倍时，求小意此时与游客服务中心D之间的距离.（结果保留整数）
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是（-4，0），抛物线的对称轴是直线.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是位于第二象限抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E.连接OP，线段OP与直线AC相交于点F.求当取得最大值时点P的坐标，当线段OC在y轴上滑动（线段OC长度保持不变），连接PC，OB，求PC+CO+OB的最小值；
（3）若点P是y轴左侧抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D.若∠OPD=2∠CAO，请直接写出所有符合条件的点P的横坐标，并写出求解点P的横坐标的其中一种情况的过程.
25.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是AC上一点，BD=DC.
（1）如图1，若AD=2，AC=7，求cos∠DBC的值；
（2）如图2，若AB=AD，DE⊥AC，BD=DE，连接BE，若点F是BE的中点，连接AF，求证：BC=2AF；
（3）如图3，若∠ACB=30°，，点P是直线BC上一点，点A关于DP的对称点是A′，连接BA′，CA′，当BA′-CA′取最大值时，请直接写出△A′BC的面积.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】7
13.【答案】30°
14.【答案】
15.【答案】6
2

16.【答案】1054
4266

17.【答案】解：
解不等式①，得x≥-2，
解不等式②，得x＜1，
∴不等式组的解集为-2≤x＜1，
∴不等式组的整数解有-2、-1、0．
18.【答案】 BC=CD；CG=CE；CF=CF
19.【答案】93;99;10 乙代表队的比赛成绩更好，因为乙代表队的比赛成绩众数为99大于甲代表队的比赛成绩众数94（答案不唯一） 估计此次比赛成绩在A组的队员共有35名
20.【答案】，2．
21.【答案】每套洗发套装的进价为80元，每支品牌护手霜的进价为50元 20
22.【答案】， 函数，的图象，如图即为所求；
当0＜x＜6时，y1随x的增大而减小（答案不唯一）；当0＜x＜6时，y2随x的增大而减小（答案不唯一） 当y1≥y2时x的取值范围是1.8≤x≤4.2
23.【答案】美食区B和花灯区C之间的距离为米 小意与游客中心D之间的距离约为552米
24.【答案】 最大值时，点P的坐标为（-2，3）；PC+CO+OB的最小值为 点P的横坐标为或；理由如下：
如图2，在x轴负半轴上取点M，使得MC=MA，连接MC，
设点M的坐标为（n，0），则OM=-n，MC=MA=n+4．
在Rt△MOC中，由勾股定理得：OM2+OC2=MC2，
∴（-n）2+22=（n+4）2，
解得：，
∴，
∴．
∵MA=MC，
∴∠MAC=∠MCA，
∴∠CMO=∠MAC+∠MCA=2∠CAO，
∵∠OPD=2∠CAO，
∴∠OPD=∠CMO．
在Rt△MOC中，，
∴，
设（t＜0），
在Rt△OPD中，，
∴，
解得：或（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
∴点P的横坐标为或时，∠OPD=2∠CAO
25.【答案】 如图2，延长AF交DE的延长线于G，
∵DG⊥AC，
∴∠ADG=∠BAC=90°，
∴AB∥DE，
∴∠BAF=∠G，
∵F是BE的中点，
∴BF=EF，
在△ABF和△GEF中，
，
∴△ABF≌△GEF（AAS），
∴AF=GF，EG=AB，
∵BD=DE，CD=BD，
∴DE=CD=BD，
∵AB=AD，
∴DE+EG=CD+AD，
∴DG=AC，
在△ABC和△DAG中，
，
∴△ABC≌△DAG（SAS），
∴BC=AG，
∴BC=AF+FG=2AF △A′BC的面积为
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