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北京市第八中学2025-2026学年度九年级第二学期阶段练习（2026.04）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.若a＜b，则下列结论正确的是（）
A. ﹣a＜﹣b B. 2a＜a+b C. 1﹣a＜1﹣b D. 2a+1＞2b+1
3.若一个八边形每个内角都为，则的值是（ ）
A. 135 B. 120 C. 115 D. 100
4.盒子中有印着“勤奋”，“进取”“和谐”，“致美”4款八中特色纪念明信片各一张．小明抽取一张明信片后，工作人员立即补充一张相同的款式的明信片到盒子中，小亮也抽取了一张明信片．小明小亮至少有一人抽到“致美”的概率是（）
A. B. C. D.
5.若关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+4＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A. 1 B. ﹣1 C. ﹣5 D. ﹣6
6.科学家研发了一种新的蓝光唱片，其容量是普通唱片容量的8000倍．已知一张普通唱片的容量约为，则一张蓝光唱片的容量约为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，中，．甲、乙两人想在外部取一点D，使得与全等，其作法如下：
甲：①作的角平分线l；
②以B为圆心，长为半径画弧，交l于D点，则D即为所求
乙：①过B作平行的直线l．
②过C作平行的直线m，交l于D点，则D即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）
A. 两人皆正确 B. 两人皆错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点．
①与的面积一定相等；
②若点是边的中点，则点一定为的中点；
③在点的运动过程中，存在点使得；
④的形状不可能为等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ②④ B. ①③ C. ①②③ D. ①②④
二、填空题：本题共8小题，共18分。
9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
10.因式分解： ．
11.分式方程的解为 ．
12.为了了解某地区初中学生的视力情况，随机抽取了该地区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 5.0 5.0以上
人数 98 96 86 95 82 43
根据抽样调查结果，估计该地区15000名初中学生视力不低于4.9的人数为 ．
13.已知，反比例函数的图象上两点，当，时，有，则m的取值范围是 ．
14.如图，是的外接圆，，，平分，交于点D，则的度数为 ．
15.如图，在矩形中，点是对角线上一点，连接并延长交于点，过点作交于点，若，，则
16.甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现A共当裁判9局．
(1) 若B，C分别进行了17局，13局比赛，则这半天训练中，三人共进行了 局比赛；
(2) 三人至少进行了 局比赛．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.解不等式组：．
四、解答题：本题共11小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题3分)
计算：．
19.(本小题4分)
已知，求代数式的值．
20.(本小题4分)
如图，在中，，点在上，．过点，分别作，的平行线交于点．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 若，，求的长．
21.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，与函数的图象交于点．
(1) 求m的值和函数的解析式；
(2) 当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出k的取值范围．
22.(本小题4分)
羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛.如图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为4cm,场地的长比宽的2倍还多120cm（包含分界线宽），单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是12：7.根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离.
23.(本小题8分)
某学校生物社团开展丁一项关于“探究不同浓度生长素对绿豆幼苗生长的影响”的实验．社团成员将绿豆种子分别放置在5种不同浓度生长素溶液的培养皿中培养，每种浓度（单位：ppm）设置6个重复组、一段时间后测量绿豆幼苗的高度（单位：cm），得到相关的数据，对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．不同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的平均数与中位数统计图如下：
b．生长素浓度为10和15时，各重复组绿豆幼苗高度的数据如下：
生长素浓度 各重复组绿豆幼苗高度
10 9.9 10.0 10.1 10.2 10.7 10.7
15 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 9.2
c．同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的方差如下：
生长素浓度 0 5 10 15 20
方差 0.108 0.083 n 0.067 0.041
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 补全统计图，并标明数据；
(2) 从不同生长素浓度下绿豆幼苗高度的平均数的变化趋势来看，生长素浓度为 时对绿豆幼苗生长的促进作用更大；
(3) 若将每组绿豆幼苗高度平均数与生长素浓度看作两个变量，根据这组数据，尝试建立一个简单的函数模型来描述它们之间的关系，你认为可以选择的是 （填序号）；①正比例函数 ②一次函数 ③反比例函数 ④二次函数
(4) 请判断： （填“”“”或“”）．
24.(本小题6分)
如图，已知，为的直径，连接，，点是上一点，连接并延长交延长线于点，．
(1) 求证：．
(2) 若，．求．
25.(本小题9分)
科学兴趣小组利用不同材料制作了A，B两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为（单位：）时，A电池板的输出电压（单位：）和B电池板的输出电压（单位：）.部分数据如下：
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0 0.6 1.2 1.8 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0
0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0
通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，回答下列问题：
(1) ①可以看作是关于的正比例函数，则的值为 ；
②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高.请选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”.
(2) 结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出，两个函数的图象.
(3) 根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当光照强度为时，B电池板的输出电压与A电池板的输出电压之差约为 （结果保留小数点后一位）；
②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于，则光照强度应至少达到 （结果保留整数）.
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1) 用含的式子表示．
(2) 点是抛物线上一个动点，且其纵坐标始终小于点的纵坐标，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
①若，则___________；
②若线段的长随的增大而增大，求的取值范围．
27.(本小题6分)
已知中，，，是射线上一点，连接，将射线绕点顺时针旋转得到射线，作，垂足为点，点是线段上一点，连接，．
(1) 如图，点为线段中点，点与重合，直接写出与之间的数量关系；
(2) 如图，点在线段延长线上，用等式表示与之间的数量关系，并证明．
28.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，半径为1，是上不重合的两点，点是内或上一点（不与重合），点，分别在线段，上，如果存在点使（逆时针排列），则称点是线段关于点的“关联点”．
(1) 已知点，，，点与点重合，是线段中点．在中，是线段关于点的关联点的是 ．
(2) 若，点是线段关于点的“关联点”，
①若点，点，点所形成区域的面积为 ．
②若，线段的取值范围是 ．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】6600
13.【答案】m<1
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
21
【小题2】
17

17.【答案】解：解不等式，
，
；
解不等式，
，
，
，
，
不等式组的解集为．

18.【答案】解：
．

19.【答案】解：
，
∵，
∴，
∴原式．

20.【答案】【小题1】
证明：，，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，，
∴，
，
∴四边形是菱形；
【小题2】
解：如图，过点作于点，
，，且，
∴，
∵，，
，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
在中，由勾股定理得．

21.【答案】【小题1】
解：∵函数的图象经过点，
∴．
∵函数的图象经过点，，
∴
解得
∴函数的解析式为．
【小题2】
解：∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，
∴且．

22.【答案】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是12x cm,则中线同侧的单、双打边线间的距离是7x cm,
根据题意得：1180+2×12x+4×4=2（510+2×7x+4×4）+120，
解得：x=6，
∴12x=12×6=72（cm）．
答：球网同侧的单、双打后发球线间的距离是72cm.
23.【答案】【小题1】
解：生长素浓度为10的中位数为，
生长素浓度为15时的平均数为，
补全统计图如下：
【小题2】
【小题3】
④
【小题4】

24.【答案】【小题1】
解：如图，连接，
为的直径，
，
在和中，
，
，
．
【小题2】
解：，
设，则，，
，
，，
如图，连接，，
，，
，
为的直径，
，即，
，
，
，即，
，，
，
，，
，
，即，
，
，
，
，，
，
，即，
，
，
，
解得．

25.【答案】【小题1】
①
②解：当时，中不符合这条规律的数据是5.6.在表格中画“×”略.
【小题2】
描点、连线画出，两个函数的图象如图：
【小题3】
2.1
31

26.【答案】【小题1】
解：∵在平面直角坐标系中，抛物线经过点，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：由（1）得，当时，抛物线的解析式为，，
设直线的解析式为，则，解得，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，则，
在中，当时，，则，
∴；
②由（1）得抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线的开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵点是抛物线上一个动点，且其纵坐标始终小于点的纵坐标，
∴点M到对称轴的距离小于点P到对称轴的距离，
∴，
∴；
同理可得直线的解析式为，
在中，当时，，则，
在中，当时，，则，
∴
当时，则，
∴，
∵，
∴当时，随t的增大而增大，
∴当时，随t的增大而增大，
又∵当时，随t的增大而增大，
∴，
解得，即此时满足，
当时，则，
∴，
∵，
∴当时，随t的增大而增大，
∵当时，随t的增大而增大，
∴，
解得，不符合题意；
当时，则，
∴
∵，
∴当时，随t的增大而减小，
∴当时，随t的增大而减小，不符合题意；
综上所述，．

27.【答案】【小题1】
解：，，点为线段中点，
，，，
，．
，
，即，
；
【小题2】
解：；
证明：在射线上取，连接，，
，
垂直平分，
，
由旋转可得，
，
，
在中，，，
，
，
，
，即，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．

28.【答案】【小题1】
【小题2】


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