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福建省南安市侨光中学等校2025-2026学年高一下学期第一次阶段考试数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知是等边三角形，边长为4，则（???）
A. B. 8 C. D.
2.在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=3AB，点E在对角线AC上，且，则=（　　）
A. B. C. D.
3.已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（????）
A. B. C. D.
4.已知,夹角为,且||=2,||=4,则|2+3|等于( )
A. 4 B. 4 C. 2 D. 10
5.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（??? ）
A. ??，， B. ，，
C. ，， D. ，，
6.已知中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则的形状为（????）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形
C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
7.复数z＝x+yi(x，y∈R)满足条件|z-4i|＝|z+2|，则2x+4y的最小值为? （??? ）
A. 2 B. 4 C. D. 16
8.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，对称中心为O，以O为圆心作半径为1的圆，点M为圆O上任意一点，则的取值范围为（　　）
A. [-6，4]
B. [0，8]
C. [-8，0]
D.


二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.给出下列命题，不正确的有（）
A. 两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同
B. 若为非零向量，则与同向
C. 若，则
D. 已知λ，μ为实数，若，则与共线
10.已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（??? ）
A. 复数z的虚部是 B.
C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限
11.已知△ABC中，，，，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（???????）
A.
B. △ABC的面积为
C.
D. P在△ABE的外接圆上，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，为虚数单位，若为实数，则 ??????????．
13.钟楼是银川二中校园的一大特色建筑，每逢新年，悠扬深远的钟声都会为大家祈福．小蓝为了测量钟楼的高度AB，采取了以下方法：在校园内D点处测得塔顶A点处的仰角为45°，后退36.8米后，在F点处测得塔顶A点处的仰角为30°，已知小蓝的眼睛距离地面高度为米，则钟楼高度AB约为________米．（结果保留小数点后一位，参考数据：）．

14.已知平面单位向量，满足．设，，向量，的夹角为θ，则cos2θ的最小值是??????????．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，．
（1）若，求m；
（2）若m＝-1，求在上的投影向量．
16.(本小题15分)
已知复数是关于的方程的两个根，且.
(1)求和的值；
(2)记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数.
17.(本小题15分)
如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.

(1)设，，试用，表示；
(2)求；
(3)设，，求的最小值.
18.(本小题17分)
在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,ABC的面积为S,且--=S.

(1)求角B的大小;
(2)在ABC中,b=2,求2a+c的取值范围;
(3)在(2)的条件下, 如图所示, D为ABC外一点,DCB=B,CD=, AC=AD, 求ACD外接圆半径R的长.
19.(本小题17分)
折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片中，，，所对的边分别为，，，的面积为，.
(1)证明：；
(2)若，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，是的中点，现需要对纸片做一次折叠，使点与点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积.

1.【答案】A?
2.【答案】A?
3.【答案】B?
4.【答案】A?
5.【答案】B?
6.【答案】A?
7.【答案】C?
8.【答案】C?
9.【答案】CD?
10.【答案】CD?
11.【答案】ABD?
12.【答案】?
13.【答案】51.9?
14.【答案】?
15.【答案】解：(1)由题意可知，
∵，则,
解得;
(2)当m=-1时，,
则,
则与同向的单位向量为,
则在上的投影向量.?
16.【答案】解：（1）由复数是实系数方程的一个根，
可知也是方程的一个根，
由韦达定理，可得，
，
所以，.
（2）因为，所以，则，
则得，由（1）可得，，
所以.
?
17.【答案】解：（1）由，得，
所以；
（2）在等边中，，
由（1）得，
，，
，
，
所以；
（3）由（1）知，，而，，
因此，而共线，则，
又，于是，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
?
18.【答案】解：（1）由可得：
，
解得：，
因为，所以；
（2）由正弦定理可得：，
所以

，
因为，所以，
所以，
则，
故的取值范围为；
（3）由（2）可知：，
在△ACD中，,
所以，
故，则,
故外接圆半径的长为.?
19.【答案】（1）证明：由正弦定理可得，则，
又因为，所以；
（2）解: 将代入，
得
即，所以，
即，解得：，
又因为，所以；
（3）解: 由余弦定理得，则，
即，所以解得
则；

设折痕为线段，其中在上，在上，设，，
则，，，，
在中，由余弦定理得，解得，
在中，由余弦定理得，解得，
重叠部分的面积为的面积，.
因为，
所以.
所以.
?

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