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专题11 二次函数综合问题（7大题型）
二次函数综合是中考数学压轴高频考点，常以动点、存在性、几何图形、角度、线段、面积、变换为载体，考查数形结合、分类讨论、方程与函数思想，综合性强、分值高、方法固定。
题型一： 与线段有关的问题
【例题1】（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D．
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值．
【答案】(1)
(2)①，②5
【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式；
（2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可．
【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为，
，
．
（2）解：①把代入，
得，
如图，延长与x轴相交于点G．
，
．
，
．
，
．
，
，
．
设直线的解析式为：，把代入，
得解得，
直线的解析式为：，
点D是直线与二次函数的交点，
联立解析式，
解得或，
．
②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点．
，且，
四边形是平行四边形，
．
，
．
为等腰直角三角形，
，
，，
，
．
，
当时，最小．
，
．
此时D、E、H三点共线且轴，
点F的坐标为与点C重合，满足在线段上．
的最小值为5．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解；
设动点坐标：设横坐标为 x，纵坐标用二次函数表示. 表示线段长：竖直线段 y上 －y下 ，水平线段 x右 －x左. 线段最值：转化为二次函数配方求最值. 线段相等 / 倍数 / 和差：列方程求解. 5）两点间距离： .
1．（2025·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且．
(1)求二次函数的表达式；
(2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点．
①当时，求的长；
②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，点坐标为
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）①求得直线为，由，则，，，，即可求得；
②表示出，，，，即可求得，，即可得到，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）把，，代入中得：
解得，
所以解析式为：；
（2）①点的横坐标是，
的纵坐标是
由，求得直线解析式为
的纵坐标是，
所以当时，
②存在，理由如下：
点在直线上，
点的横坐标是
，当时，最大
点坐标为．
2．（2025·广东汕头·二模）如图在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点．

(1)求抛物线的表达式和顶点的坐标；
(2)点是轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，求点的坐标．
(3)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，请直接写出的最小值为___________．
【答案】(1)，顶点的坐标为
(2)点的坐标为或
(3)
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式即可得顶点的坐标；
（2）过点作交轴于，连接，则，根据的面积为求出，则，可得直线的表达式为，联立抛物线即可求解；
（3）过点作轴，使，连接，，证明，可得，由三角形的三边关系可得，则当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）抛物线过，，
，
解得，
抛物线的表达式为，
，
顶点的坐标为．
（2）如图1，过点作交轴于，连接，
，
的面积为，
，
解得，
，
，
，，
求直线的表达式为，
，
设直线的表达式为，
，解得，
直线的表达式为，
联立与抛物线得，
，
解得，，
点的坐标为或；
（3）如图2，过点作轴，使，连接，，
轴，
，
，，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，
直线的表达式为，
，
，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质，待定系数法确定函数的解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质以及一次函数的图象与性质是解题的关键．
3．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离；
(3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点Q使，此时点Q的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线的解析式为；过点P作轴交于E，连接，设，则，可得；根据，可得，则当有最大值是，有最大值，可求出的最大值为；求出，设点P到直线的距离为h，根据三角形面积计算公式可得，则当有最大值时，h有最大值，据此可求出答案；
（3）分当点Q在x轴下方时，当点Q在x轴上方时，两种情况求出对称轴，设出点Q坐标，根据“一线三垂直”模型构造全等三角形，用点Q的坐标表示出点D的坐标，再根据点D在抛物线上构造方程求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过三点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
如图所示，过点P作轴交于E，连接，
设，则，
∴；
∵，
∴
，
∴当有最大值是，有最大值，
∵，，
∴当，即时，有最大值，最大值为，
∴的最大值为；
∵，
∴，
∵，
∴；
设点P到直线的距离为h，
∴，
∴，
∵当有最大值时，h有最大值，
∴h的最大值为，
∴点P到直线的最大距离为；
（3）解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴；
∵，
∴；
设点Q的坐标为，则；
由旋转的性质可得，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵点D在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴此时点的坐标为；
如图3-2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴，分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为，
∴；
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点D的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵点D在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴此时点的坐标为；
综上所述，存在点Q使，此时点Q的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于把求点P到的距离的最大值转换成求的面积的最大值，解（3）的关键在于通过“一线三垂直”模型构造全等三角形．
题型二： 与面积有关的问题
【例题1】（2025·湖北武汉·中考真题）抛物线与直线交于两点（在的左边）．
(1)求两点的坐标．
(2)如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标．
(3)如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)2或
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）联立两函数解析式，并求出对应的解即可得到答案；
（2）设，则，，可得，，根据，可得，解方程即可得到答案；
（3）设，设直线解析式为，利用待定系数法可得，进而可得；求出直线解析式为，得到，同理可得，进一步可得，则，根据，可得，据此可得，，，即直线解析式为．
【详解】（1）解：联立，解得或，
∴；
（2）解：设，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为y轴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
解得或（舍去）或或（舍去），
∴点P的横坐标为2或；
（3）解：设，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（此时的面积相等，不符合题意），
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴，
∴直线解析式为．
常用方法：铅锤法、割补法、底 × 高。 铅锤法：面积 =× 水平宽 × 铅锤高。 设点→表示高 / 底→列面积表达式→配方求最值。 面积定值 / 比例：列方程求点坐标。 5）注意自变量取值范围。
1．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围；
(3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点P，横坐标为,，
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题．
（1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式；
（2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围；
（3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为，
∴由顶点公式，其中即
∴
∴抛物线表达式为 ．
（2）当时，即
解得或（舍去），
故．
当时，故．
设直线的方程为
将点与点代入得
∴直线的方程为．
向上平移m个单位后，直线方程为．
与抛物线联立：
整理得：
抛物线与直线有交点时，，
解得，又 ，
∴m 的取值范围为．
（3）抛物线对称轴为．
直线当时，故．
顶点当故．
点．
设在抛物线上，．
如图，
情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时，
因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为，
联立抛物线方程，
解得：或，
∴点P坐标为.
情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因，
∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离，
当过点时，代入
∴解析式为，
联立，
整理得：，
解得：，
即点的横坐标是，点的横坐标是.
综上所述，存在点横坐标为.
2．（2025·天津·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．
(1)若点在抛物线上．
①求抛物线的解析式及点的坐标；
②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式．
【答案】(1)①，；②，最大值是
(2)．
【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识，
（1）①把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标；
②设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解；
（2）根据抛物线，可知对称轴是，点坐标为，可知点在抛物线对称轴上，由线段绕点顺时针旋转后对应点是点，得，，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，则，先证明，得点坐标可表示为，把点坐标代入可求得，即可求解．
【详解】（1）解：①把点坐标代入，
有，解得．
抛物线的解析式为．
当时，有，解得，．
根据题意知点的坐标是
②设点坐标为（）
设直线的解析式为，把，分别代入，
得，解得
直线的解析式为．
如图，过点作轴的垂线，交于点，
则点坐标为．
．
即．
当时，面积最大，最大值是．
此时点坐标为．
（2）解：由抛物线解析式为，
可知其对称轴是直线，点坐标为，
故点在抛物线对称轴上．
线段绕点顺时针旋转后对应点是点，
，．
如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，
则
．
．
．
，
点坐标可表示为．
把点坐标代入，得，
解得（舍），．
抛物线的解析式为．
3．（2023 荆州）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是 　 　；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2．
①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）y关于x的函数应分一次函数与二次函数两种情况，其中二次函数应分为①与x轴有两个交点且一个交点为原点；②与x轴有一个交点，与y轴有一个交点两种情况讨论；
（2）①如图，设直线l与BC交于点F，待定系数法求得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8，当x＝0时，y＝8，得到C（0，8），P（1，9），求得直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，得到F（1，6），根据三角形的面积公式即可得到结论；
②如图，设直线x＝m交x轴于H，由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8），得到PH＝﹣m2+2m+8，根据相似三角形的性质得到OD＝8﹣2m，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）①当a﹣2＝0时，即a＝2时，
y关于x的函数解析式为y＝3x，
此时y＝3x与x轴的交点坐标为（，0），
与y轴的交点坐标为（0，）；
②当a﹣2≠0时，y关于x的函数为二次函数，
∵二次函数图象抛物线与坐标轴有两个交点，
∴抛物线可能存在与x轴有两个交点，其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点与y轴一个交点两种情况．
当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时，
由题意得b＝0，此时a＝0，抛物线为y＝﹣2x2+x．
当y＝0时，﹣2x2+x＝0，
解得x1＝0，x2．
∴其图象与x轴的交点坐标为（0，0）（，0）．
当抛物线与x轴有一个交点与y轴有一个交点时，
由题意得，y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b所对应的一元二次方程（a﹣2）x2+（a+1）x+b＝0有两个相等实数根．
∴Δ＝（a+1）2﹣4（a﹣2）a＝0，
解得a，
此时yx2x，
当x＝0时，y，
∴与y轴的交点坐标为（0，），
当y＝0时，x2x0，
解得x1＝x2，
∴与x轴的交点坐标为（，0），
综上所述，若y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为2，0，，
故答案为：2或0或；
（2）①如图，设直线l与BC交于点F，
根据题意得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8，
当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，点P为抛物线顶点，
∴P（1，9），
∵B（4，0），C（0，8），
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，
∴F（1，6），
∴PF＝9﹣6＝3，
∴△PBC的面积OB PF6；
②S1﹣S2存在最大值，
理由：如图，设直线x＝m交x轴于H，
由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8），
∴PH＝﹣m2+2m+8，
∵OD∥PH，
∴△AOD∽△AHP，
∴，
∴，
∴OD＝8﹣2m，
∵S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AOD﹣S△OBC3m2+8m＝﹣3（m）2，
∵﹣3＜0，0＜m＜4，
∴当m时，S1﹣S2存在最大值，最大值为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，注意当函数没有明确为何函数时，要注意对函数进行分情况讨论．
题型三：与特殊三角形存在性问题
【例题1】（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①求点A的坐标；
②当时，根据图象直接写出x的取值范围________；
(3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①，②
(3)存在，，
【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等．
（1）将、代入得方程组，解方程组即可；
（2）①令，则，解方程即可求出点A的坐标；
②根据图象可知，当时，即抛物线在轴下方的部分，根据A，B两点的坐标即可得出结论；
（3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则；
当为斜边时，则；分别解方程即可．
【详解】（1）解：将、代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①令，则，
解得或，
∴点A的坐标为；
②根据图象可知，当时，x的取值范围为，
故答案为：；
（3）解：设点P的坐标为，
∵，，
∴，，，
∵是以为直角边的直角三角形，
∴分以下两种情况讨论：
当为斜边时，则，
∴，
解得，
∴；
当为斜边时，则，
∴，
解得，
∴．
综上所述，存在符合条件的P点，，．
等腰三角形：三边两两相等分类讨论（AB=AC、AB=BC、AC=BC）。 直角三角形：勾股定理逆定理、斜率乘积为 1、直径所对圆周角。 等腰直角三角形：直角 + 两腰相等。 4）用距离公式列方程，检验点在抛物线上。
1．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为，
①用含有的代数式表示线段的长度；
②是否存在点D，使是等腰三角形 若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②存在，或或
(3)
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可；
（3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，
∴，
∴
解得：，
∴抛物线表达式为；
（2）解：①对于抛物线表达式，
当，
∴，
设直线表达式为：，
则，
解得：，
∴直线：，
∵，
∴，，
∴，
∴；
②存在，
，而
当时，，
解得：或（舍），
，
∴；
当时，
整理得：，
解得：或（舍），
，
∴；
当时，
整理得：，
解得：或（舍）或（舍），
，
∴，
综上：是等腰三角形时，或或；
（3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，
由旋转得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在线段上运动（不包括端点），
∴当时，最小，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，
∴，
∴，
∴线段长度的最小值．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强．
2．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作轴，与抛物线交于另一点D，直线与相交于点M．
(1)已知点C的坐标是，点B的坐标是，求此抛物线的解析式；
(2)若，求证：；
(3)如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G，点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P的横坐标为t，点Q是直线上一点，是否存在这样的点P，使得是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出当时，抛物线的解析式为，由此求出，再求出，求出直线的解析式为，
设直线与y轴交于点E，则，得到，则，同理得，从而得到，即可证明；
（3）如图所示，连接，求出抛物线对称轴为直线，则，推出，求出直线的解析式为，设，然后分当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，证明，得到，解方程即可；当点Q在点P上方时，如图3-2所示，过点G作轴，过点P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为N、M，同理可得 ，解方程即可．
【详解】（1）解：把，代入得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线解析式为，
令，则，
解得或，
∴，
∴抛物线对称轴为直线，
∵轴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线与y轴交于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，连接，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，
当点Q在点P下方时，如图3-1所示，过点Q、P分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ，，
∴，
解得（负值舍去）；
当点Q在点P上方时，如图3-2所示，过点G作轴，过点P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为N、M，
同理可得 ，
∴，
∴，，
∴，
解得（负值舍去）；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标．
(3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，P点坐标为，或，或
【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得；
（2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答；
（3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答．
【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵中，当时，，
∴，
∴设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
当时，
，，
∵，
∴，
解得（舍去），或（舍去），
∴点P不存在；
当时，，
∴，
解得解得，或（舍去），
∴，
∴；
当时，，点P不存在；
当时，，，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∴，
故点坐标为，

（3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则，
∵是以为斜边的等腰直角三角形．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得，，
∴P坐标为，或；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得，（舍去），
∴P坐标为；
故P坐标为，或，或．

【点睛】本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键．
题型四： 与特殊四边形存在性问题
【例题1】（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标；
(3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)二次函数解析式为
(2)
(3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或
【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到，由正切值的计算得到，结合题意，，设，过点作轴于点，代入计算即可求解；
（3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，
∴，
解得，，
∴二次函数解析式为；
（2）解：二次函数解析式为，
∴当时，，
因式分解得，，
解得，，
∴，
∴，
如图所示，连接，
∵，
∴，
∵点Q是抛物线在第三象限上的一点，
∴设，过点作轴于点，
∴，，
∵满足，
∴，
∴，
∴，
整理得，，
因式分解得，，
解得，，（舍去），
∴，则，
∴；
（3）解：二次函数解析式为，
∴对称轴直线为，
设，，且，
当四边形是平行四边形时，
∴对角线交点的横坐标相等，即，
解得，，
∴，
∴；
当四边形是平行四边形时，
∴，
解得，，
∴，
∴；
当四边形是平行四边形时，
∴，
解得，，
∴，
∴；
综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或．
平行四边形：中点坐标法（对角线互相平分）。 矩形：平行四边形 + 一个直角 / 对角线相等。 菱形：平行四边形 + 邻边相等 / 对角线垂直。 正方形：菱形 + 矩形条件同时满足。 5）分类讨论：定点为边 / 对角线。
1．（2024·天津西青·一模）如图，二次函数（）的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．
(1)求该二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；
(2)点P是直线BC上方的抛物线上任意一点，点P关于y轴的对称点记作点，当四边形为菱形时，求点P的坐标；
(3)点P是抛物线上任意一点，过点P作，垂足为点D．过点P作轴，与抛物线交于点Q．若，求点P的坐标．
【答案】(1)，；
(2)
(3)或或或
【分析】（1）把点， 代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解解析式即可；
（2）先画出图形，再利用菱形的性质可得再列方程求解即可；
（3）如图，过作轴交于证明设再分别表示 最后建立方程求解即可．
【详解】（1）解： 二次函数（）的图象经过点，与x轴点．
，解得：
所以抛物线的解析式为；
∴抛物线的解析式为，顶点坐标为．
（2）解：如图，四边形为菱形，
解得：
点P是直线BC上方的抛物线上任意一点，
即
（3）解：如图，过作轴交于 则
的解析式为
，垂足为点D．
设 则
抛物线的对称轴为： 轴，
整理得：或
解得：或
或或或
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，菱形的判定与性质，一元二次方程的解法，把转化为是解本题的关键．
2．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，已知抛物线与直线交于点，，点是抛物线上，A之间的一个动点，矩形的两个顶点、在直线上，点在点右侧．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当轴时，设点的坐标为，求关于的函数关系式；
(3)当点与点重合时，若矩形的邻边之比为，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式求得的值；然后把点A的坐标代入二次函数解析式求出的值，即可得到答案；
（2）根据点的坐标，表示出点的坐标，点的坐标，从而可表示点的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式可求出，之间的关系式；
（3）设，当时，过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，由∽，可求出，，故，又在直线上，有，可解得；
当时，过作轴交轴于，过作轴于，交于，同理可得．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
，
解得：，
，
点是抛物线上的一点，
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）解：如图，
直线的解析式为，点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，
把点代入得：
，
、之间的关系式为；
（3）解：设，
当时，过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，如图：
，，
，，
，
，
，
，，
，，
，
在直线上，
，
解得此时与重合，舍去或，
；
当时，过作轴交轴于，过作轴于，交于，如图：
同可得，
代入得：，
解得舍去或，
；
综上所述，点在点右侧，点与点重合时，若矩形的邻边之比为，点的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，动点问题，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．
3．（2025·山西中考·二模）如图1，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为P，求四边形的面积；
(3)如图2，点M从点C出发，沿的方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时点N从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
①当是直角三角形时，求t的值；
②在M、N运动的过程中，抛物线上存在点Q，使四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)①，；②
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）如图1，连接，求点坐标，根据，计算求解即可；
（3）①当时，在上运动，当时，在上运动，当时，是直角三角形分和两种情况求解：当时，如图2，根据，列方程求解即可；当时，如图3，根据，列方程求出满足要求的解即可；当时，在上运动， ，如图4，根据，列方程求解即可；②解：如图5，连接对角线、交于点，求，，设，则，，由平行四边形的性质可得①，②，求解满足要求的解即可．
【详解】（1）解：将，代入得，解得，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图1，连接，
∵，
∴，，
∴ ，
∴四边形的面积为10；
（3）①解：在中，由勾股定理得，
∴，，，
∴从运动到需要秒，从运动到再到需要秒，
∴运动5秒后停止，
∴当时，在上运动，当时，在上运动，
当时，是直角三角形分和两种情况求解：
当时，如图2，则，，，
∴，即，解得，经检验，是分式方程的解，
∴时，是直角三角形；
当时，如图3，
∴，即，解得，（不合题意舍去）
∴当时，时，是直角三角形；
当时，在上运动，当，是直角三角形，如图4，
，
∴，即，解得，经检验，是分式方程的解；
∴当时，时，是直角三角形；
综上所述，或时，是直角三角形；
②解：如图5，连接对角线、交于点，
由题意知，
∴的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴①，②，
解①得，，
代入②整理得，，则，
解得或（不合题意，舍去），
将代入得，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的性质，正弦、余弦，二次函数与平行四边形综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
题型五： 角度问题
【例题1】（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线．
(1)求二次函数关系式．
(2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
(3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值．
【答案】(1)
(2)抛物线上存在点，使，的坐标为，
(3)的最小值为
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据抛物线的对称轴为直线，得出则二次函数解析式为代入，得出，即可求解；
（2）设，根据点的坐标可得，，分量种情况讨论，①当在直线的下方时，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设关于的对称点为，则，验证可得点与点重合，得出，当在的上方时，作点关于的对称点，即，进而联立直线与抛物线解析式，即可求解；
（3）在上取一点，使得，得出，在上取一点，使得，垂足为，则，作关于的对称点，连接交于点，根据轴对称的性质可得当在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法求得，则，进而得出，根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即
∴二次函数解析式为
将代入得，
解得：，
∴二次函数关系式为；
（2）解：在中，当时，解得或，
∴，
当时，，则
∴，，
设，则
①当在直线的下方时，
如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，
∴，，
设关于的对称点为，则，
∴
∴
∴
∴
又∵
∴点与点重合，
∴
当在的上方时，作点关于的对称点
∵都是等腰直角三角形，
∴在轴上，
同理可得直线解析式为
联立
解得：或
∴
综上所述，抛物线上存在点，使，的坐标为，
（3）解：如图，在上取一点，使得
∴
设，则
在中，
∴，即
解得：
∴
∴
∵，
在上取一点，使得，垂足为，
∴
∴
即,
如图，作关于的对称点，连接交于点
∴
∴当在上时取得最小值，最小值为的长，
在中，
∴
∵，
∴
又∵，
∴
∴
∴的最小值为．
角度相等：转化为相似三角形、等腰三角形、三角函数相等。 角度为定值：构造直角三角形用正切值判断。 角度倍数 / 和差：倒角转化为等角。 特殊角（45°60°、90°、）：用三角函数列方程求点。 5）利用斜率、垂直、平行倒角。
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．
(1)如图1，求点的坐标；
(2)如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点的直线交的延长线于点，设的长为，求与的函数关系式；
(3)如图3，连接交于点，交抛物线于点，于点，连接， ，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令求解即可；
（2）令，表示出，，，然后根据的长为求解即可；
（3）设，证明得，求出，设，可得，在上取一点，使，连接，求出得，从而，根据得，求出，证明得，求出，求出，，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴，．
∴．
（2）∵抛物线与轴交于点．
∴令．
∴．
∴．
∵轴，
∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，即．
∵在直线上，
∴当时，．
∴．
∵轴，
∴．
当时，，
∴，，
∴．
∴．
（3）∵在抛物线上，
设．
∵，
∴，，．
∴．
∴．
∴，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
设，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
在上取一点，使，连接．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
在中，，
在中，．
∴．即．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∵轴，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴在中，．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，锐角三角函数，难度较大，属中考压轴题．
2．（2025·山东日照·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴，
①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围；
②当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值；
③如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①，且；②或或；③
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①首先得到，抛物线开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，且关于的对称点为，进而求解即可；
②根据题意分点M的纵坐标为和点M的纵坐标为两种情况讨论分别代入抛物线表达式求解即可；
③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，根据，得，，求出直线解析式，然后把点Q的坐标代入即可求解．
【详解】（1）∵抛物线过原点，
∴
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）①∵抛物线；
∴抛物线开口向下，对称轴为
则关于的对称点为，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，
∴当，且时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升；
②∵，矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4
∴当点M的纵坐标为时，
∴
解得；
当点M的纵坐标为时，
∴
解得，
综上所述，或或；
③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，顶点，

解得，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴ ，
∴，，
令点，则，
∴，
设直线解析式为，则，
解得，
∴，
将点Q代入可得：，
解得：，
∵点P在y轴下方，
∴，
∴，
∴P点的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，数形结合是解答本题的关键．
3．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为，的最小值为
(3)点N的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）先求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，点F的坐标为，求出长，再证明，根据对应边成比例求出的最小值，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，即可得到，连接，则，是最小值，利用勾股定理计算解题；
（3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，即可得到，设点N的坐标为，根据列等式求出a的值即可解题．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴；
（2）解：令，则，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，把和代入得：
，解得，
∴，
设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，
则点F的坐标为，
∴，
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为，
把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，
即，
由A，B关于对称性可得点A的坐标为，
连接，则的最小值为长，
即，
即的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即，
过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，
设点N的坐标为，
由平移得，
∴，
如图所示，∵，
即，解得（舍去）或，
这时点N的坐标为；

如图所示，则∵，
即，解得或（舍去），
这时点N的坐标为；
综上所述，点N的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
题型六： 与几何变换综合问题
【例题1】（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形中，且，，点，点在轴正半轴上，且．
(1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
(2)将沿轴水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，，设，与四边形重叠部分的面积为．
①如图②，当边与交于点，边与交于点，且与四边形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】(1)，
(2)① ②
【分析】本题主要考查了平移的性质、解直角三角形、等腰梯形的性质、二次函数的图象与性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）解和等腰梯形即可得解；
（2）①由重叠部分为五边形可知，再进再用梯形面积减去面积即可得解；
②由范围，分类讨论重叠部分的图形，进而画图求解即可．
【详解】（1）解：，．
在中，，
．
如图，过作于点，于点，
则，
．
在中，，
．
故答案为： ，．
（2）①如图，作于，于，
，．
又，
四边形为矩形，
．
．
，
．
在中，，，
．
则．
，．
四边形为平行四边形．
．
则．
，
．
，
．
，则．
．
．
②当时，如图，重叠部分为梯形，
由题可知，
．
，
．
当时，如图，重叠部分为梯形，
，，
点是中点．
．
．
当时，此时重叠部分为五边形，如①中情形，
．
此时在时，随增大而减小，
当时，，当时，，
．
当时，如图，此时重叠部分为，
，
为等边三角形．
此时，
．
．
当时，，当时，，
．
综上，．
平移：上加下减常数项，左加右减自变量。 对称：关于 x 轴y变号；关于 y 轴x变号；关于顶点对称开口反向。 旋转：90 /180 用坐标旋转规律。 4）先求变换后解析式，再联立求解存在性。
1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上．
(1)如图①，点的坐标为________，点的坐标为________；
(2)将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，，，的对应点分别为，，．旋转角为，的延长线交轴于点，与轴交于点．
①如图②，当时，点的坐标为________，点的坐标为________；
②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于的函数表达式，并直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)①，；②
【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、坐标与图形、二次函数的应用及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质、勾股定理、坐标与图形、二次函数的应用及旋转的性质是解题的关键；
（1）由正方形的性质可知，然后问题可求解；
（2）①过点作轴于点，由旋转可得：，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解；②由旋转的性质得：，则可证，然后可得是等腰直角三角形，则有，进而问题可求解．
【详解】（1）解：正方形的顶点的坐标为，
∴，
∵点在第一象限，点在轴正半轴上，
，，
故答案为：，；
（2）解：①过点作轴于点，
由旋转可得：，
，
，即，
，
，
故答案为：，；
②根据题意，由旋转的性质得：，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
在中，由勾股定理得：，
，
当点与重合时，，
又 ，
，
旋转角为，
，
．
2．（2024 湖北一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法，将点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；
（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），可得PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，由PE∥x轴，得△EPD∽△ABD，进而得出（t）2，再运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）设点P的坐标，则点M的坐标可表示，PM长度可表示，利用翻折推出PM＝CM，列方程求解即可求得答案．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+n，则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，如图，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），
∵PE∥x轴，
∴点E的纵坐标为﹣t2﹣2t+3，
则﹣t2﹣2t+3＝x+3，
∴x＝﹣t2﹣2t，
∴E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），
∴PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∵PE∥x轴，
∴△EPD∽△ABD，
∴，
∴（t）2，
∵0，
∴当t时，的值最大，最大值为，此时点P的坐标为（，）；
（3）如图，设P（m，﹣m2﹣2m+3），
则M（m，m+3），
∴PM＝|m+3﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|m2+3m|，
CM|m|，
∵△PCM沿直线PC翻折，M的对应点为点M′，M′落在y轴上，
而PM∥y轴，
∴PM∥CM′，PM＝PM′，CM＝CM′，∠PCM＝∠PCM′，
∴∠PCM′＝∠MPC，
∴∠PCM＝∠MPC，
∴PM＝CM，
∴|m2+3m||m|，
当m2+3mm时，
解得：m1＝0（舍去），m23，
此时点M（3，）；
当m2+3mm时，
解得：m1＝0（舍去），m23，
此时点M（3，）；
综上，点M的坐标为（3，）或（3，）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形与二次函数结合的问题，相似三角形的判定和性质，翻折变换的性质等，最后一问推出PM＝CM为解题关键．
3．（2025·天津和平·一模）已知抛物线（b，c是常数，）的顶点为D，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点E．
(1)若，
①求点D的坐标；
②点P是线段上一点，当时，求点P的坐标；
(2)若，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接．当取最大值时，点M恰好落在抛物线上，求c的值．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①由题意得，抛物线解析式为，代入求出的值，再将抛物线解析式化为顶点式，即可求出点D的坐标；②利用抛物线的解析式求出点的坐标，进而得到直线的解析式为，设，利用列出方程，解出的值即可解答；
（2）代入得到，得出抛物线的解析式为，得出点的坐标，过点作，使得，连接、、，通过证明得到，利用线段的性质可得当三点共线时，取得最大值，此时，过点作轴于点，作于点，通过证明，得出，，进而求出点的坐标，再代入到抛物线的解析式，即可求出c的值．
【详解】（1）解：①由题意得，抛物线解析式为，
代入，则，
解得：，
抛物线的解析式为，
抛物线的顶点为D，
点D的坐标为；
②令，则，
解得：，，
，
令，则，
，
抛物线的对称轴为，
，
设直线的解析式为，
代入，得，，
解得：，
直线的解析式为，
点P是线段上一点，
设，
，
，
，
解得：，
点P的坐标为．
（2）解：代入，则，
，
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为，
，
令，则，
解得：，，
，
，
如图，过点作，使得，连接、、，
将线段绕点M逆时针旋转得到线段，
，，
是等腰直角三角形，，，
，，
是等腰直角三角形，，，
，，
，即，
，
，
，
，
，即，
当三点共线时，取得最大值，此时，
过点作轴于点，作于点，
轴，，
，
，
，
，即，
又，
，
，，
设，，
由坐标系可得，
解得：，
，
又点M恰好落在抛物线上，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
的值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、旋转的性质、线段最值问题、相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会结合图形构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决压轴难题的学生．
题型七： 二次函数性质综合题
【例题1】（2025·山东德州·中考真题）已知抛物线（m，n为常数）过点．
(1)若该抛物线与y轴交于点．
①求该抛物线的解析式；
②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围；
(2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长．
【答案】(1)①抛物线的解析式为；②或；
(2)
【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键．
（1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式；
②根据解析式，计算出对称点，利用函数图象增减性，找到横坐标关系，列出不等式，计算即可求解；
（2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解．
【详解】（1）解：①∵抛物线过点和，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
②抛物线的对称轴为，
∴关于对称轴的对称点，
∵对于，都有，
∴或，
解得或；
（2）解：∵抛物线过点，
，
则，
∵对于任意实数，都有，
∴对任意实数都成立，
，
∴，
，
∴抛物线解析式为，
联立抛物线与直线，
得，
解得，
∴交点的横坐标分别为和，
．
开口、对称轴、顶点、最值、增减性。 与坐标轴交点：x=0 求 y 轴交点；y=0 解方程求 x 轴交点。 判别式判断交点个数。 4）结合不等式、方程、图象判断参数范围。 5）定点、定值、最值综合分析。
1．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数与一次函数交于点，与y轴交于点B．
(1)求b，k的值；
(2)若点，在二次函数上，且，在一次函数上．
①若，求m的值；
②若，求点M的坐标．
【答案】(1)，
(2)①；②或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）把代入，解得，再把代入，求解即可；
（2）①当时，，解得，，由，，可得，再列方程求解即可；
②先求得，，，再分当M在之间时及当M在Q右边时，进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入，
解得：，
把代入，解得：；
（2）解：①，
当时，，
解得：，，
当时，，即，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②点，在二次函数上，
，，，
当M在之间时，
，，
∵，
∴，
解得：，（舍），
当M在Q右边时，
，，
∵，
∴，
解得：，（舍），
综上所述，或，
或．
2．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．
(1)若．
①求抛物线的解析式；
②求线段长度的最大值；
③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）．
(2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由．
【答案】(1)①；②最大值为9；③见解析
(2)不发生变化，理由见解析
【分析】本题主要考查二次函数的判定和性质，待定系数法确定函数解析式，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键．
（1）①利用待定系数法代入计算求解即可；
②设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后结合图形得出，然后利用二次函数的性质求解即可；
③根据二次函数的性质结合图象求解即可；
（2）根据题意重新确定二次函数的解析式为，得出，然后即可求解．
【详解】（1）解：①∵，
∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线经过、两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
②设直线的解析式为，将点A、B代入得：
，解得：，
∴，
∵点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．
∴，，
∴，
由题意得：，
∴当时，取得最大值为9；
③∵，，
∴当，时，即时，的最大长度在处取得；
当，时，即时，的最大长度在处取得；
当，时，即时，的最大长度在处取得；
（2）解：不发生变化，理由如下：
∵抛物线经过、两点．
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵点是线段上的动点，
∴，
∵点Q在抛物线上，
∴点Q的坐标为，
∴，
∵解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致，
∴问题（1）中③的结论未发生变化．
3．（2025·天津河西·一模）已知抛物线（b、c为常数）的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
(1)若，，求点P和点A的坐标；
(2)当，且时，求点P的坐标；
(3)当，时，过直线上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H，当的最大值为4时，求b的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）抛物线的表达式为：，令，则，，即可求解；
（2）抛物线解析式为：，顶点，当时，，则点A、B的坐标分别为：，，判断为等边三角形，进而即可求解；
（3）设，则，设，故，其对称轴为，且，分两种情况：①当时，即；②当时，得；根据的最大值为4，分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意：，
，
当时，，
解得，，
又∵点A在B左侧，
；
（2）解：抛物线解析式为：，顶点，
当时，，
解得，，
，，
；
由抛物线对称性可知：，
，
为等边三角形，
，
过点P作于T，则，，
在中，，
，
解得（舍），，
；
（3）解：设，则，，
当时，，
令，
解得，，
，
，
∴点G在H的上方（如图1），
设，故，
其对称轴为，且，
分以下两种情况：
①当时，即，
由图2可知：
当时，t取得最大值，
解得或（舍去）；
②当时，得，由图3可知：
当时，t取得最大值，
解得（舍去）．
综上所述，b的值为．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
1．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________；
（2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化．
①若，当时，求的取值范围．
②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）
【答案】
（1）
（2）① ②
【分析】（1）根据“左加右减”的原则写出新函数解析式，由解析式求得平移后的图象与轴交点的坐标．
（2）由题意平移后的函数解析式为，则，
①若，则，利用二次函数的增减性即可求解；
②求得线段的两个端点，分两种情况讨论，利用二次函数的性质判断即可．
【详解】（1）解：由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为，
令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为．
（2）解：平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，
则平移后得到的顶点为，
平移后的函数解析式为，
当时，与轴交点的纵坐标，
①若，则，
是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线，
时，，时，，
当时，的取值范围是；
②函数的图象与轴、轴的交点分别为，，
，，
∵点在线段上，
当时，，
，
对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
，
随的增大而减小，
∵点在线段上，
当时，，
，
对称轴为直线，
，
随的增大而增大，
故可能的序号是．
2．（2025·浙江·中考真题）已知抛物线（a为常数）经过点．
(1)求a的值．
(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值．
(3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)8
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可；
（3）根据题意，易得要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
解得：；
（2）由（1）知：，
∴对称轴为直线，
∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，
∴关于对称轴对称，的纵坐标均为，
又∵点B为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴代入，得：，
∴；
（3）∵，
∴抛物线的顶点坐标，
当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时，
为直线与抛物线的交点，
∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，
又∵直线之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图：
∴当时，解得：，
即：，
∴的最大值为：．
3．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式；
（2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标；
（3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：把，代入中得，
，解得，
；
（2）解：，，
当的值最小时，则的周长最小．
作点关于对称轴的对称点，即为点，
由（1）可知抛物线的解析式为，
对称轴为直线，且，
．
如图，连接，与对称轴的交点即为点，
设直线的解析式为，
把，代入中得，
，解得，
直线的解析式为．
点的横坐标为，
把代入得，
；
（3）解：设，，
①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行四边形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，正确作出分类讨论是解答本题的关键．
4．（2025·甘肃·中考真题）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积；
(3)点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到．
①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)①，在抛物线上②
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出点的坐标，进而得到点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，求出点的坐标，根据的面积进行求解即可；
（3）①根据要求作图即可，连接，作于点，证明，得到，，进而得到为等腰直角三角形，求出点坐标，将点的横坐标代入抛物线的解析式，判断点是否在抛物线上即可；
②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，斜边上的中线得到，根据，得到当三点共线时，最小，同①可知，，得到点在射线上运动，进而得到当时，即与点重合时，最小，此时最小为，易得为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，易得为等腰直角三角形，求出的长，根据最小为，计算即可．
【详解】（1）解：把，代入，得：
，
解得：，
∴；
（2）当时，则：，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
∵点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，
∴，，
∴，
∴的面积；
（3）①由题意，作图如下：
连接，作于点，
由（2）可知：，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
对于，当时，，
∴点在抛物线上；
②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，如图，
∵，为的中点，
∴，
∵，
∴当三点共线时，最小，
同①可得，，
∴点在射线上运动，
∴当时，即与点重合时，最小，此时最小为，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行解题，确定动点的位置，是解题的关键．
5．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点．
(1)求直线对应函数的表达式；
(2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)或
【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ．
（1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式．
（2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立．
（3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点，
∴令，则，
点C的坐标为．
令，则．
解得，或，
∴点B的坐标为．
设直线对应函数的表达式为，由题意，得
解得
直线对应函数的表达式为．
（2）不存在实数m使得，理由如下：
方法一：为二次函数图像上两点，
，
．
．
配方，得．
∴当时，有最大值为．
，
∴不存在实数m使得．
方法二：由方法一，得．
当时，，即．
，
∴方程没有实数根．
不存在实数m使得．
（3），或．解答如下：
如图，作轴，交x轴于点H，交于点，
作，垂足为Q，作轴，交于点，则．
当时，．
点P的坐标为．
点N的坐标为，
点Q的坐标为，点H的坐标为，
点的坐标为．
，
．
，
．
．
，即．
．
，即．
点M的坐标为，
点的坐标为．
，即．
解得或．
6．（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为．
(1)求的值；
(2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值；
(3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为．
①求关于的函数解析式；
②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)2
(3)①②或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法进行求解即可；
（2）一般式化为顶点式，求出点坐标，根据点横坐标，得到，进而求出，进行求解即可；
（3）①求出点，点坐标，分，，三种情况，分别求出矩形的两条邻边长，利用周长公式，列出函数关系式即可；
②根据轴，得到关于对称轴对称，进而求出点坐标，分分，，三种情况，求出的函数关系式，再根据，分别求出满足题意的的值，进而求出的长即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
∴；
（2）由（1）可知：，
∴，
∵是抛物线上一动点，设点的横坐标为，
∴，
∵过点作对称轴的垂线，垂足为，
∴，，
∴；
（3）①当时，，当时，，
∴，，
由（2）可知：，，对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为
∵在第四象限，
∴，
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
综上：；
②∵轴，
∴关于对称轴对称，
∴，
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
∵，
∴，解得：（舍去）或；
∴；
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
∵，
∴，解得：或（舍去）；
∴；
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：，
∴；
∵，
∴，解得：（舍去）或；
∴
综上：或．
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专题11 二次函数综合问题（7大题型）
二次函数综合是中考数学压轴高频考点，常以动点、存在性、几何图形、角度、线段、面积、变换为载体，考查数形结合、分类讨论、方程与函数思想，综合性强、分值高、方法固定。
题型一： 与线段有关的问题
【例题1】（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D．
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值．
设动点坐标：设横坐标为 x，纵坐标用二次函数表示. 表示线段长：竖直线段 y上 －y下 ，水平线段 x右 －x左. 线段最值：转化为二次函数配方求最值. 线段相等 / 倍数 / 和差：列方程求解. 5）两点间距离： .
1．（2025·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且．
(1)求二次函数的表达式；
(2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点．
①当时，求的长；
②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
2．（2025·广东汕头·二模）如图在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点．

(1)求抛物线的表达式和顶点的坐标；
(2)点是轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，求点的坐标．
(3)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，请直接写出的最小值为___________．
3．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离；
(3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
题型二： 与面积有关的问题
【例题1】（2025·湖北武汉·中考真题）抛物线与直线交于两点（在的左边）．
(1)求两点的坐标．
(2)如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标．
(3)如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式．
常用方法：铅锤法、割补法、底 × 高。 铅锤法：面积 =× 水平宽 × 铅锤高。 设点→表示高 / 底→列面积表达式→配方求最值。 面积定值 / 比例：列方程求点坐标。 5）注意自变量取值范围。
1．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围；
(3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由．
2．（2025·天津·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．
(1)若点在抛物线上．
①求抛物线的解析式及点的坐标；
②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式．
3．（2023 荆州）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是 　 　；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2．
①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
题型三：与特殊三角形存在性问题
【例题1】（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①求点A的坐标；
②当时，根据图象直接写出x的取值范围________；
(3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．
等腰三角形：三边两两相等分类讨论（AB=AC、AB=BC、AC=BC）。 直角三角形：勾股定理逆定理、斜率乘积为 1、直径所对圆周角。 等腰直角三角形：直角 + 两腰相等。 4）用距离公式列方程，检验点在抛物线上。
1．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为，
①用含有的代数式表示线段的长度；
②是否存在点D，使是等腰三角形 若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．
2．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作轴，与抛物线交于另一点D，直线与相交于点M．
(1)已知点C的坐标是，点B的坐标是，求此抛物线的解析式；
(2)若，求证：；
(3)如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G，点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P的横坐标为t，点Q是直线上一点，是否存在这样的点P，使得是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标．
(3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型四： 与特殊四边形存在性问题
【例题1】（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标；
(3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
平行四边形：中点坐标法（对角线互相平分）。 矩形：平行四边形 + 一个直角 / 对角线相等。 菱形：平行四边形 + 邻边相等 / 对角线垂直。 正方形：菱形 + 矩形条件同时满足。 5）分类讨论：定点为边 / 对角线。
1．（2024·天津西青·一模）如图，二次函数（）的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．
(1)求该二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；
(2)点P是直线BC上方的抛物线上任意一点，点P关于y轴的对称点记作点，当四边形为菱形时，求点P的坐标；
(3)点P是抛物线上任意一点，过点P作，垂足为点D．过点P作轴，与抛物线交于点Q．若，求点P的坐标．
2．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，已知抛物线与直线交于点，，点是抛物线上，A之间的一个动点，矩形的两个顶点、在直线上，点在点右侧．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当轴时，设点的坐标为，求关于的函数关系式；
(3)当点与点重合时，若矩形的邻边之比为，求点的坐标．
3．（2025·山西中考·二模）如图1，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为P，求四边形的面积；
(3)如图2，点M从点C出发，沿的方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时点N从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
①当是直角三角形时，求t的值；
②在M、N运动的过程中，抛物线上存在点Q，使四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
题型五： 角度问题
【例题1】（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线．
(1)求二次函数关系式．
(2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
(3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值．
角度相等：转化为相似三角形、等腰三角形、三角函数相等。 角度为定值：构造直角三角形用正切值判断。 角度倍数 / 和差：倒角转化为等角。 特殊角（45°60°、90°、）：用三角函数列方程求点。 5）利用斜率、垂直、平行倒角。
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．
(1)如图1，求点的坐标；
(2)如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点的直线交的延长线于点，设的长为，求与的函数关系式；
(3)如图3，连接交于点，交抛物线于点，于点，连接， ，求的长．
2．（2025·山东日照·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴，
①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围；
②当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值；
③如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标．
3．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
题型六： 与几何变换综合问题
【例题1】（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形中，且，，点，点在轴正半轴上，且．
(1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
(2)将沿轴水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，，设，与四边形重叠部分的面积为．
①如图②，当边与交于点，边与交于点，且与四边形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
平移：上加下减常数项，左加右减自变量。 对称：关于 x 轴y变号；关于 y 轴x变号；关于顶点对称开口反向。 旋转：90 /180 用坐标旋转规律。 4）先求变换后解析式，再联立求解存在性。
1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上．
(1)如图①，点的坐标为________，点的坐标为________；
(2)将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，，，的对应点分别为，，．旋转角为，的延长线交轴于点，与轴交于点．
①如图②，当时，点的坐标为________，点的坐标为________；
②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于的函数表达式，并直接写出的取值范围．
2．（2024 湖北一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
3．（2025·天津和平·一模）已知抛物线（b，c是常数，）的顶点为D，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点E．
(1)若，
①求点D的坐标；
②点P是线段上一点，当时，求点P的坐标；
(2)若，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接．当取最大值时，点M恰好落在抛物线上，求c的值．
题型七： 二次函数性质综合题
【例题1】（2025·山东德州·中考真题）已知抛物线（m，n为常数）过点．
(1)若该抛物线与y轴交于点．
①求该抛物线的解析式；
②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围；
(2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长．
开口、对称轴、顶点、最值、增减性。 与坐标轴交点：x=0 求 y 轴交点；y=0 解方程求 x 轴交点。 判别式判断交点个数。 4）结合不等式、方程、图象判断参数范围。 5）定点、定值、最值综合分析。
1．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数与一次函数交于点，与y轴交于点B．
(1)求b，k的值；
(2)若点，在二次函数上，且，在一次函数上．
①若，求m的值；
②若，求点M的坐标．
2．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．
(1)若．
①求抛物线的解析式；
②求线段长度的最大值；
③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）．
(2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由．
3．（2025·天津河西·一模）已知抛物线（b、c为常数）的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
(1)若，，求点P和点A的坐标；
(2)当，且时，求点P的坐标；
(3)当，时，过直线上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H，当的最大值为4时，求b的值．
1．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________；
（2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化．
①若，当时，求的取值范围．
②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）
2．（2025·浙江·中考真题）已知抛物线（a为常数）经过点．
(1)求a的值．
(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值．
(3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值．
3．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
4．（2025·甘肃·中考真题）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积；
(3)点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到．
①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值．
5．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点．
(1)求直线对应函数的表达式；
(2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值．
6．（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为．
(1)求的值；
(2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值；
(3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为．
①求关于的函数解析式；
②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长．
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