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广东湛江市2026届高三普通高考测试（二）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列的各项均为正数，且，则( )
A. B. C. D.
5.在数学兴趣小组的活动中，甲、乙、丙三位同学计划从三个专题中各自随机选择一个专题进行深入研究事件甲、乙选择的专题不同事件乙、丙选择的专题相同，则( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知长方体中，，，是的中点，点在线段上运动含端点，则点到平面的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.年是“十四五”环境治理规划的关键验收年某市生态环境局为评估辅助预测模型的准确性，记录了某月连续天的预测误差预测误差实际浓度预测浓度，单位：如下表：
日期
预测误差
下列关于这天预测误差的描述中，正确的有( )
A. 这组数据的众数是
B. 这组数据的分位数是
C. 这组数据的方差大于
D. 若第天该模型预测误差为，则加入第天数据后，新数据组的平均数将变小
10.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B. 函数的最大值为
C. 函数的图象关于点对称
D. 方程在区间上恰有个实数根
11.若函数图象上存在不同的两点和，使得的图象在点，处的切线交于直线为常数上同一点，则称，为函数的一对“关于直线的共轴切点”已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 存在实数，使得不存在关于轴的共轴切点
B. 若存在关于直线的共轴切点，则两切点的横坐标之积为定值
C. 若，则存在实数，使得存在关于直线的共轴切点，且对应的两切线斜率之和大于
D. 若，则对于任意，都存在关于直线的共轴切点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正数，满足，则的最大值为 ．
13.已知抛物线，点，，点在上运动，则面积的最小值为 ．
14.若数列满足，则称数列为“和谐数列”已知数列是“和谐数列”，且，则满足条件的数列的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小
若，且的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图，在几何体中，四边形是菱形，，且，三角形是正三角形，平面平面点在平面上的投影为与的交点，且．
证明：平面
求直线与平面所成角的正弦值
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知双曲线的离心率为，且经过点
求的标准方程
若过点的直线与交于，两点，求线段的中点的轨迹方程．
18.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性
证明：当时，对任意，都有
若方程没有实根，求整数的最小值．
19.本小题分
某校举办“数学文化节”，设有个不同主题的展区，每个展区有唯一的主题编号，分别为，，，游客从任一展区开始参观打卡，打卡机每次会从尚未参观过的展区中，等可能地随机选择一个作为下一个参观的展区规定：若连续参观的两个展区主题编号之和为奇数，则参观者获得一枚纪念章，否则不获得纪念章，记参观者参观完所有展区获得的纪念章枚数为．
当时，求参观者仅获得枚纪念章的概率
当时，求参观者获得纪念章枚数的分布列和数学期望
设为个展区时参观者获得纪念章枚数的期望值，求关于的表达式，并证明是递增数列．
参考答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：由及正弦定理，得，
因为，
所以，
整理得，
因为，
所以，即，
又，所以；
由，且，得，
由余弦定理，及，得，
所以负值舍去，
故的周长为．
16..证明：在菱形中，，
因为在底面上的投影为，
所以平面．
又平面，故F．
又平面，平面，，
所以平面．
解：由，，得，，，
如图，作于点，则．
因为平面平面，交线为，平面，
所以平面．
以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则即
令，得，，故．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
解：设平面的法向量为，
则即
令，得，，故．
又，
所以点到平面的距离．
17..解：设的焦距为，由离心率，得，
又，所以，即，
将点代入方程，得，，即，
所以，，
故C的标准方程为；
解法一：：设点，，，
由直线与交于，两点得直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
联立方程，
代入消去，整理得，
则，即，且，
，
于是，中点的横坐标，则，
又点在直线上，所以，即，
由，，且得，或，
故线段的中点的轨迹方程为或
解法二：设点，，，
由直线与交于，两点得直线的斜率存在，设直线的方程为，即．
联立方程，代入消去，整理得，
则即，且，
由，两点在双曲线上得
作差得，
当时，易知当时，式可化为，
即，
故由题意可得且，
可得，
因为，所以，
当时，也在直线上，
又，解得或．
综上，线段的中点的轨迹方程为或
18..解：的定义域为，，
当时，恒成立，在区间上单调递增
当时，令，得，
在区间上单调递增，在区间上单调递减．
综上，当时，在区间上单调递增
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减．
证明：当时，，
要证，即证，即．
设，则，
令，则，
故当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减．
故，
所以当时，，当时，，
所以在处取最小值，
故恒成立，原不等式得证．
解：方程可化为，所以．
记，，
则．
记，
则．
记，
则，
故函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，
又，，
当时，，
故当时，，即，在区间上单调递减，
由，，
根据零点存在定理可知存在，使得，即．
且当时，单调递增，当时，单调递减，
故
，
且，当时，，
设，则，
设，则，
所以，
所以，在区间上单调递减，
且，，
所以，
所以若没有实数根，则整数的最小值为．

19..解：记事件为“参观者仅获得枚纪念章”，
当时，展区编号为，，，奇数有，偶数有，
全排列共种，
两个数之和为奇数当且仅当两个数奇偶性不同，
枚举所有排列：，，，，，，
其中满足连续两个数之和为奇数的次数是的有，，，，
所以
当时，编号，，，，奇数有，偶数有，，
全排列共种，
由题意知的可能取值为，，，
当获得枚纪念章时，奇偶序列为奇奇偶偶，偶偶奇奇，
概率为．
当获得枚纪念章时，奇偶序列为偶奇奇偶，奇偶偶奇，
概率为，
当获得枚纪念章时，奇偶序列为奇偶奇偶，偶奇偶奇，
概率为，
所以的分布列为
数学期望 ．
个展区中有个奇数编号，个偶数编号，
相邻的两个位置看作对，则共有对，
定义变量如下：
当第对中的两个数字之和为奇数时，为偶数时，
则，所以，
因为的取值只有与两个，
所以，
即第组的两个数一个为偶数、一个为奇数的概率，
从个数据中任选个数据排列，共有种可能，
当为偶数时，则偶数与奇数各有个，
所以，
．
当为奇数时，偶数有个，奇数有个，
所以，
．
所以
证明递增：
当为偶数时，，，
，
所以．
当为奇数时，，，
，
所以．
因此是递增数列．
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