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2026年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
3.若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
5.“的展开式中的系数为”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.某实验室的名技术人员需要在夜间通过一座最多只能两人同时通行的临时钢架桥过桥必须使用唯一的一盏工作灯，无灯不能过桥过桥后需要有人将灯送回，才能让其他人继续过桥两人同行时，过桥用时以较慢者为准名技术人员单独过桥时间分别为分钟、分钟、分钟、分钟、分钟则这人全部过桥的最短时间为( )
A. B. C. D.
7.某精密仪器厂正在研发一种标准长度为的金属垫片现随机抽取个垫片测量其实际长度单位：，按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图若规定长度在区间内的垫片为合格品利用样本频率估计总体概率的方法，则任取一个垫片为合格品的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，则下列有关函数及其性质的描述正确的是( )
A.
B. 为函数图象的对称轴
C. 将的图象向右平移个单位长度后，将得到一个偶函数的图象
D. 函数的单调递减区间为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列结论正确的有( )
A. 在复平面对应的点位于第二象限 B. 的虚部是
C. D.
10.若正四面体的表面积为，则( )
A. 该正四面体的棱长为 B. 该正四面体的高为
C. 该正四面体的体积为 D. 该正四面体的外接球表面积为
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 曲线在处的切线与直线垂直
B. 若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为
C. 曲线的切线的倾斜角取值范围是
D. 若过点可以作曲线的三条切线，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则 ．
13.在中，，，，则 ．
14.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为若椭圆上存在不同的两点，，使得，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列中，，．
求证：数列为等比数列；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
某科技公司研发的智能体在进行图像分类任务时，单次分类的准确率得分单位：分服从正态分布
求正常情况下，该单次分类的准确率得分大于分的概率；
某天测试人员随机抽取了该的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于分测试人员根据这两次测试结果，判断该智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查请问测试人员的判断是否合理？请说明理由．
附：若，则，，．
17.本小题分
如图，三棱柱的所有棱长均为，且．
证明：；
若三棱柱的体积为，求平面与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
已知抛物线：，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点若以线段为直径作圆，当此圆经过点时，．
求抛物线的方程；
证明：；
若点，在抛物线上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值．
19.本小题分
在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量单位：千只与时间单位：月，满足函数，其波动呈现“往复波动，逐渐稳定”的特征．
定义：若函数在上满足；
震荡性：在上无限次正负交替；
衰减性：任意给定正实数，存在实数，使得当时，．
则称为震荡衰减函数．
求在内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为不必证明．
根据定义判断函数在上是否为震荡衰减函数如果是，给出证明；如果不是，说明理由．
设求证：无最大值．
参考答案
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14.
15.解：证明：在数列中，，，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
．
由知，
，
，
整理得：，
数列的前项和．
16.解：由题可得：，由于，
可知即，
所以，
即正常情况下，该单次分类的准确率得分大于分的概率为．
测试人员的判断是合理的．
理由：在正常情况下，单次分类得分大于分的概率仅为，属于极小概率事件．
连续两次出现这种极端结果的概率为，
几乎不可能在正常运行中发生，但是现在却发生了．
因此，这一现象强烈暗示的算法或输入数据出现了异常，暂停研发更新并排查是合理的决策．
17.解：证明：取的中点，连接、，
因为为边长为的等边三角形，则，且，
在中，，，
则为等边三角形，可知，且，
且，，平面，
则平面，
又因为平面，
所以；
设三棱柱的高为，
则，解得，
又因为，则平面，
以为原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系：
则，，，，
可得，，，
则，．
设平面法向量，
则，则，
令，得，，故；
设平面法向量，
则，则，
令，得，故；
所以平面与平面所成角的余弦值．
18.解：解法：抛物线：的焦点为，准线为．
由抛物线定义，故，
设，代入抛物线方程得，
以为直径的圆的圆心为，半径为因圆过，
故圆心到点的距离等于半径：，
解得，
代入，得，解得，
因此，抛物线的方程为；
解法：抛物线：的焦点为，准线为，
由抛物线定义，故．
设，代入抛物线方程得，即，
设，则，．
因圆过，所以，代入得到，解得，
因此，抛物线的方程为；
证明：由题意可知，过焦点的直线斜率必定存在．
设过焦点的直线方程为，，，
令，可得．
将直线方程代入抛物线消可得．
由韦达定理可得，，
由抛物线定义可知．
由相似三角形可知：
，
所以．
设的中点为，，，
则，．
由，，可得，则，
所以弦长，
由题意可知直线的斜率存在且，
所以直线的直线方程为，即，
则点到直线的距离，
所以所求面积，
令，则，
所以，令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
当时，，所以面积的最大值为．
19.解：由函数，则，
在上，令，则和，
当或时，，当时，，
则为极小值点，为极大值点，
在内的所有极值点皆为使得的点，即在这些极值点处，波动量的增长率为．
满足震荡性和衰减性，是震荡衰减函数，证明如下：
由可知，
上无限次正负交替，则满足震荡性：
又．
令，则，令．
当时，，则满足衰减性．
综上，满足震荡性和衰减性，是震荡衰减函数．
证明：，，
．
不难看出恒成立，
，
即若存在最大值点，则，
现研究在上的单调性：
当时，，，
由于，故，故；
当时，，
；
当时，
，
，
其中为锐角，，即，
当时，，当时，，
综上，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
由，，
而，，，
即在上无最大值点．
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