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2026年黑龙江省哈尔滨市高考数学一模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
3.若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
5.某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知，为锐角，则( )
A. B. C. D.
7.“的展开式中的系数为”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，函数在上的值域为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列结论正确的有( )
A. 在复平面对应的点位于第二象限 B. 的虚部是
C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 曲线在处的切线方程为
B. 函数的值域是
C. 若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为
D. 若过点至少可以作曲线的两条切线，则
11.已知正方体的棱长为，为边的中点，为空间内一动点，则下列说法中正确的是( )
A. 当在线段上运动时，四面体的体积为定值
B. 当在正方体表面上运动时，若，则的轨迹长度为
C. 当在线段上运动时，直线与成角最小值为
D. 当在线段上运动时，四面体的外接球半径的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，，，，则 ．
13.已知函数为奇函数，则 ．
14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，且，，则离心率的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，收集数据如表所示．
零件数个
加工时间
经计算得．
建立加工时间关于零件数的一元线性回归方程；
关于加工零件的个数与加工时间，由问你能得出什么结论？
参考公式：经验回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
16.本小题分
在数列中，已知，．
求证数列是等比数列；
设，，记数列的前项和为，若对于恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
如图，三棱柱的所有棱长均为，且．
证明：；
若三棱柱的体积为，求平面与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
已知抛物线：，焦点为，为抛物线上一动点当的纵坐标为时，．
求的方程；
设为坐标原点，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线交于另一点，证明：、、三点共线；
若点，在上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值．
19.本小题分
在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量单位：千只与时间单位：月，满足函数，其波动呈现“往复波动，逐渐稳定”的特征．
定义：若函数在上满足；
震荡性：在上无限次正负交替；
衰减性：任意给定正实数，存在实数，使得当时，．
则称为震荡衰减函数．
求在内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为不必证明．
根据定义判断函数在上是否为震荡衰减函数如果是，给出证明；如果不是，说明理由．
设求证：无最大值．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.解：由题意可得，
，
，
所以，
，
所以加工时间关于零件数的一元线性回归方程为；
由可知，加工时间与零件数的关系为，
结论：加工零件的个数与加工时间呈正相关，零件每增加一个，加工时间平均增加．
16.证明：可得，
故，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
解：由可知，，
，
，
由单调递增，可知，，
故，解得，
即的取值范围为．
17.解：证明：取的中点，连接、，
因为为边长为的等边三角形，则，且，
在中，，，
则为等边三角形，可知，且，
且，，平面，
则平面，
又因为平面，
所以；
设三棱柱的高为，
则，解得，
又因为，则平面，
以为原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系：
则，，，，
可得，，，
则，．
设平面法向量，
则，则，
令，得，，故；
设平面法向量，
则，则，
令，得，故；
所以平面与平面所成角的余弦值．
18.解：抛物线：的焦点为，准线为，
由抛物线定义，解得，
因此，抛物线的方程为．
证明：由知，，
显然直线的斜率存在，设直线的直线方程为，
设，，则，
联立，得，
则，且，，即，
而又，，则，
所以，所以、、三点共线．
由题意，设的中点为，，，，，
则，结合，，得，
则，
，
所以，，
直线的方程为，即，
则点到直线的距离，
则的面积为．
令，，则，
所以，则
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则．
19.解：由函数，则，
在上，令，则和，
当或时，，当时，，
则为极小值点，为极大值点，
在内的所有极值点皆为使得的点，即在这些极值点处，波动量的增长率为．
满足震荡性和衰减性，是震荡衰减函数，证明如下：
由可知，
上无限次正负交替，则满足震荡性：
又．
令，则，令．
当时，，则满足衰减性．
综上，满足震荡性和衰减性，是震荡衰减函数．
证明：，，
．
不难看出恒成立，
，
即若存在最大值点，则，
现研究在上的单调性：
当时，，，
由于，故，故；
当时，，
；
当时，
，
，
其中为锐角，，即，
当时，，当时，，
综上，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
由，，
而，，，
即在上无最大值点．
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