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山东东营市胜利第二中学等校2026届高三下学期4月核心素养评估
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则复数( )
A. B. C. D.
2.若样本数据，，，，的第百分位数为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.若函数的图象与轴的两个相邻交点的横坐标分别为，，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则( )
A. B. C. D.
5.在棱长为的正方体中，点在正方体的棱上运动，则三棱锥的体积的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若定义在上的奇函数满足，则( )
A. B. C. D.
7.如图，为边长为的等边三角形，若曲线上的动点满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对于任意，，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B.
C. D. 当或时，最大
10.已知在正四棱锥中，，为平面内一点，则( )
A. 四棱锥的体积为
B. 当时，面积的最小值为
C. 当时，存在使
D. 当时，点的轨迹为抛物线
11.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数，，，，，，现随机将骰子抛掷次，各次抛掷结果相互独立记随机变量表示向上的点数的最大值，的概率为，则( )
A. 事件“”与“”为对立事件
B. 当时，
C.
D. 若的数学期望不小于，则抛掷次数的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，则的解的个数为 ．
13.曲线上的点到直线距离的最小值为 ．
14.已知双曲线的一条渐近线方程为．是双曲线上所有同时满足，的点，且数列单调递增，则点的坐标为 的面积 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记数列的前项和为，已知，．
求的通项公式
设，证明数列的前项和．
16.本小题分
甲、乙两人进行排球发球练习，总共发个球分次发，每次发个球，若某次发球成功，则该次发球者得分，对方得分，发球者继续发下一次球若某次发球不成功，则该次发球者得分，对方得分，对方发下一次球已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立．
在前两个球发完后，求甲共得分的概率
设甲这次发球练习的总得分为，求的分布列与数学期望．
17.本小题分
如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，与交于点，在底面的投影为，为中点，其中．
证明：平面平面
求平面与平面夹角的余弦值
求多面体的体积．
18.本小题分
已知曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离之比为．
求的方程；
设直线经过交于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为．
Ⅰ若四边形的周长为，求直线的方程：
Ⅱ设直线与交于点，记与的面积之和为，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数和，直线与两条曲线和共有四个不同的交点．
求的取值范围：
求与这两条曲线都相切的直线的条数；
从左到右四个交点的横坐标分别记为，，，，是否存在，使得，，，依次成等比数列？请说明理由．注：，
参考答案
1.
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14.
15.解：当时，由及，得，解得，
当时，由和，两式相减得：，即，
验证时，成立，故数列是首项为，公比为的等比数列。
因此，
证明：由知，则，
，
数列的前项和．
化简得．
因为，所以，故结论成立．
16.解：设“第个球甲发球成功”，“第个球乙发球成功”，“在前两个球发完后，甲共得分”，则，且与相互独立，与相互独立，与互斥，
所以
的可能取值为，，，．
，
，
，
．
的分布列为：
故E．

17.解：取中点，连接，，，因为，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面
由得以为原点建系如图：
，，，，，
设，因为 ，
所以，则，
所以，则，，，
设面的法向量为，面的法向量为，
所以，则，
令，所以，，则，
同理，
所以．
所以平面与平面夹角的余弦值为
方法一：因为，，
所以，则，
所以，
过作于，
由得平面平面，平面交平面于，所以平面，
因为，所以，
所以；
方法二：因为，所以，，，四点共面，则多面体为四棱锥，
因为，，
设面的法向量为，
所以则，
令，则，，所以，
因为，
所以点到面的距离为．
因为，所以，
则，
所以平行四边形的面积为，
所以四边形的面积为，
所以．
18.解：设曲线上一点的坐标为，则，
平方后整理得，故的方程为．
设直线的方程为，，，
联立得．
由韦达定理可知，，．
则，，
．
四边形的周长为
解得，则直线的方程为．
又，，直线的方程为，
当时，
．
故点在直线上，
同理可证，点也在直线上
所以当直线变化时，与相交于定点．
故．
令，则．
由函数在上单调递增可知．
因此的取值范围为．

19.解：函数和的定义域分别为和，
又，，
令得，令得，
当时，，当时，，
故在单调递减，在单调递增，
当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，
当时，；当时，；当时，，，
又，
因为直线与两条曲线和共有四个不同的交点，
所以则的取值范围为．
设函数和在点和处的切线分别为和，
即和，
由题意可得，，
由于，消去可得，即，
令，，
由和可知，
则，
当时，，，则；
当时，，
则在上单调递增，此时，
所以当时，，
当时，，当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
而，，
当时，，由零点存在定理，存在，使得，
故存在两个零点和，则与这两条曲线都相切的直线条数为．
由可知且，
再由可知，而，
函数在上递减，因此，
同理可得，
又，于是，从而有，
要使，，，依次成等比数列，只需保证，即，
利用，可得，，则，
故，
于是，
即，
令，则，
令，则，
令，则，
则在单调递增，
又，，故存在使得，
于是在上单调递减，在上单调递增，
又，则，
而，，
故在上存在两个零点，且，
当时，由可知，
两边同时减去整理得，
令，则，故在单调递减，
因为，
而，由在单调递增可知，
即，故，则，
再由可知，与矛盾，
所以区间上满足题意的是唯一的，即，此时的值也是唯一的，
故存在唯一的，使得，，，依次成等比数列．

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