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2025-2026学年高三下学期三月月考数学试题 6．在△ABC中， ，则 BC＝（ ）
注意事项： A．3 B．5 C．4 D．
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题
7．我们知道：y＝f（x）的图象．关于原点成中心对称图形的充要条件是 y＝f（x）为奇函数，有
卡上填写清楚.
同学发现可以将其推广为：y＝f（x）的图象关于（a，b）成中心对称图形的充要条件是 y＝f
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
（x+a）﹣b为奇函数．若 f（x）＝x3+3x2的对称中心为（m，n），则 f（2020）+f（2018）+
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. +f（2）+f（0）+f（﹣2）+f（﹣4）+ +f（﹣2020）+f（﹣2022）＝（ ）
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
A．8088 B．4044 C．2022 D．1011
8．某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项
的表面积为 ，托盘由边长为 8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠形成，
中，只有一项是符合题目要求的）
2 即面ADE，面CDF，面BEF都与面DFE垂直，如图②，则球心到托盘底面DFE的距离为（ ）1．已知集合 M＝{0，1，2，3，4}，N＝{x|x ﹣5x＜6}，则 M∩N＝（ ）
A． B．{2，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3，4}
2．已知 z＝﹣1+i，则 zi在复平面内的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．某校无人机兴趣小组在市无人机大赛后合影留念，2名指导老师和 4名组员排成一排照相留念，
若 2位老师相邻，则不同的排法共有（ ）
A．120种 B．360种 C．240种 D．720种 A． B． C． D．
4．若角α的终边过点 ，则 cos2α＝（ ） 二．多项选择题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四个
A B C D 选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，． ． ． ．
有选错的得 0分）
5．函数 f（x）＝ loga（x﹣1）+1过定点 A，若 A∈{（x，y） |mx+ny＝1，m＞0，n＞0}，则
9．下列说法正确的是（ ）
的最小值为（ ）
A．若随机变量 X服从正态分布 N（3，σ2），且 P（X≤4）＝0.7，则 P（3＜X＜4）＝0.2
A．4 B．6 C．8 D．10
B．一组数据 10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的下四分位数为 18
C．若两个变量的线性相关系数越大，则这两个变量的线性相关性越强，反之，则越弱 四．解答题（共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
D．若 展开式的二项式系数之和为 32，则展开式中 x4项的系数为 80 15．（13分）已知数列{an}满足 a
n
1＝1，an+1＝3an+2×（﹣3） ．
10．已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的准线 l与圆 M：x2+（y﹣4）2＝1相切，P为抛物线 C上 （1）证明：数列 是常数列，并求数列{an}的通项公式；
的动点，N是圆 M上的动点，过点 P作 l的垂线，垂足为 Q，抛物线 C的焦点为 F，则下列 （2）设 bn＝nan，Sn为{bn}的前 n项和．
结论正确的是（ ） （i）求 Sn；
A．|PN|+|PQ|的最小值为 （ii）若 n∈N*，Sn≥m×（﹣3）2n 恒成立，求实数 m的最大值．
B．存在两个 P点，使得|PM|＝|PQ|
C．存在点 P，当△PQF为正三角形时，圆 M与直线 PQ相交 16．（15分）如图，在四面体 S﹣ABC中，SC⊥平面 ABC，D是 SC的中点，E是 AD的中点．点
D．过焦点 F的直线交抛物线 C于 A，B两点，分别过 A，B作 l的垂线，垂足为 D，E，若| F在线段 BS上，且 BS＝4BF．
AF|＝3|BF|，则△DEF （1）求证：EF∥平面 ABC；的面积为
（2）若 2CA＝2CS＝BC，AC⊥BC，求平面 SEF与平面 SBC的夹角的正弦值．
11．已知 logab＞0（a＞0且 a≠1），若 b＜a，且 aeb＜bea（e为自然对数的底数），则（ ）
A．lnb＜a﹣1
B．（a+1）ln（b+1）＞（b+1）ln（a+1）
C．ba﹣1＞ab﹣1
D．loga+1a＞logb+1b
三．填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12． 在 长 方 形 ABCD中 ， AB＝ 6， BC＝ 2， P， Q分 别 为 边 BC， CD的 中 点 ， 则
．
17．（15分）用随机抽样的方法，从某学校抽取 400名学生的数学和语文期末考试成绩，并对两
13．已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝2，且 an+an+1+an+2＝6，则 a10＝ ．
科成绩是否优秀进行统计与整理，得到如下列联表：
14．已知双曲线 C：x2﹣y2＝1与椭圆 E： 1（a＞b＞0）有两个公共点，若直线 y＝kx 语文不优秀 语文优秀 合计
和 y k与 C， E从左到右的四个交点的横坐标分别成等差数列，则 a＝ 数学不优秀 75 280
．
数学优秀 40 （1）求 f（x）在 x＝0处的切线方程；
400 （2）若 f（x）≤g（x）在定义域内恒成立，求 a的值；合计
（1）完善上面 2×2列联表，并依据α＝0.001的独立性检验，能否认为数学成绩是否优秀与 （3）求证： ．
语文成绩是否优秀有关联？
（2）现从数学成绩优秀的样本中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取 12人组成一个小
组，再从该小组中随机抽取 3人参加数学竞赛，求这 3人中语文成绩优秀的人数 X的分布列
和数学期望．
附χ2 ，n＝a+b+c+d．
α 0.010 0.050 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
18．（17分）已知椭圆 的右顶点为 A（2，0），且离心率为 ．
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）若过定点 P（5，0）且斜率不为零的直线 l与 C交于 M，N两点，M关于 y轴对称的点
为 Q．
（i）求△AMN面积的最大值；
（ii）记直线 AN与 AQ的斜率分别为 k1，k2，证明： 为定值．
19．（17分）已知函数 f（x）＝cosx+ln（1+x）﹣1，g（x）＝ax．
参考答案 则 S 0 1 2n＝1 （﹣3） +2 （﹣3） +3 （﹣3） +...+n （﹣3）n﹣1，
﹣3S 1 2 3 nn＝1 （﹣3） +2 （﹣3） +3 （﹣3） +...+n （﹣3） ，
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 相减可得 4S
0 1 2 n﹣1
n＝（﹣3） +（﹣3） +（﹣3） +...+（﹣3） ﹣n （﹣3）n n （﹣3）n
答案 D C C B C D B B ，
则 Sn ；
二．多选题
（ii）若 n∈N*，Sn≥m×（﹣3）2n 恒成立，
题号 9 10 11
即有 m×（﹣3）2nAD BCD ACD ，即为 m 恒成立．答案
令 f（n） ，可得 m≤f（n）min．
三．填空题
当 n为偶数时，f（n） ，由 1，可得 f（n
12．2．
+2）＞f（n），即 f（n）在 n为偶数时递增，
13．1．
可得 f（n）min＝f（2） ，即 m ；
14． ．
当 n为奇数时，f（n） ，由 1，可得 f（n
+2）＜f（n），即 f（n）在 n为奇数时递减，
四．解答题
可得 0＜f（n）≤f（2） ，即 m≤0；
15．解：（1）证明：设 cn ，
综上，可得 m的取值范围是（﹣∞， ]，即 m的最大值为 ．
由 a nn+1＝3an+2×（﹣3） ，可得 2，
c +c 2 c a 1 c 1 c 1 16．解：（1）由题意，在四面体 S﹣ABC中，SC⊥平面 ABC，D是 SC的中点，E是 AD的中点．点即有 n+1 n＝ ，由 1＝ 1＝ ，可 2＝ ，…， n＝ ，
F在线段 BS上，且 BS＝4BF，
即有数列 是常数列；
取线段 AC的中点 M，线段 BC靠近 B点的四等分点 N，
则 a ＝（﹣3）n﹣1n ；
连接 EM，MN，NF，如图所示，
（2）（i）bn＝nan＝n （﹣3）n﹣1，
∴EM∥CD，且 ，即 ，FN∥SC，且 ，
∴EM∥FN，且 EM＝FN， 合计 245 155 400
∴四边形 EMNF为平行四边形， 零假设 H0数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀无关联．
∴EF∥MN，
56.290＞10.828＝x，
∵EF 平面 ABC，MN 平面 ABC，
根据 a＝0.001 的独立性检验，推断 H0不成立，
∴EF∥平面 ABC，得证；
即认为数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关联，
（2）如图建系，
此推断犯错误的概率不大于 0.001．
设 CB＝2，
（2）在数学优秀的样本中所抽取的 12人中，语文不优秀的人数为 ．
则 ，
语文优秀的人数为 ，
∴ ．
∴X的可能取值为 0，1，2，3，
设平面 SEF的法向量为 ，
则 P（X＝0） ， ，
则 ，令 z＝2，得 ． P（X＝2） ，P（X＝3） ，
∴X的分布列为：
取平面 SBC的法向量为 ．
x 0 1 2 3
设平面 SEF与平面 SBC的夹角为θ，
P
则 ，
∴E（X） 2．
∴ ，
即平面 SEF与平面 SBC的夹角的正弦值为 ． 18．解：（1）因为椭圆 的右顶点为 A（2，0），且离心率为 ，
17．解：（1）2×2列联表如下： 可得 a＝2，且 ，
语文不优秀 语文优秀 合计
所以 ，则 ，
数学不优秀 205 75 280
所以椭圆 C的标准方程为 ．
数学优秀 40 80 120
（2）（i）设直线 l：x＝my+5，
所以 为定值 ．
联立方程组 ，
整理得（m2+4）y2+10my+21＝0，
则Δ＝16（m2﹣21）＞0，
解得 或 ，
设 M（x ，y ），N（x ，y ）， 19．解：（ 1）已知函数 f（ x）＝ cosx+ln（ 1+x）﹣ 1， ，因此1 1 2 2
所以 ， ，
则△AMN的面积 又因为 f（0）＝0，因此 f（x）在 x＝0处的切线为 y＝x．
（2）设 h（x）＝f（x）﹣g（x）＝cosx+ln（1+x）﹣ax﹣1，x＞﹣1，
，
由条件可知 h（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立，由于 h（0）＝0，
令 ，则 m2＝t2+21，
，h'（0）＝1﹣a，
代入可得 ，当且仅当 即 t＝5时，取等号，
若 h′（0）＜0，因此存在﹣1＜x1＜0，使在（x1，0）上 h′（x）＜0，
所以△AMN面积的最大值为 ； h（x）在（x1，0）上单调递减，因此 h（x1）＞h（0）＝0与上述结论矛盾；
（ii）证明：因为 M（x1，y1）关于 y轴的对称点为 Q（﹣x1，y1）， 同理 h'（0）＞0时也矛盾，因此 h′（0）＝0，a＝1，
可得直线 AQ的斜率 ，直线 AN的斜率 ， 下证当 a＝1时，h（x）≤0对任意的 x∈（﹣1，+∞）恒成立；
令φ（x）＝ln（1+x）﹣x，因此 ，
所以 ，
由φ′（x）＞0 ﹣1＜x＜0，φ′（x） 0 x 0，
因为 ， 因此函数φ（x）在（﹣1，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，
所以φ（x）≤φ（0）＝0，因此 ln（x+1）﹣x≤0，而 cosx﹣1≤0，
可得 ，
所以当 x∈[0，+∞）时，h（x）＝（cosx﹣1）+[ln（1+x）﹣x]≤0，
综上，若 f（x）≤g（x）恒成立，因此 a＝1．
则 ，
（3）证明：由（2）可知 f（x）≤x，所以 ，
，
①先证 x＞sinx， ．
令 t（x）＝x﹣sinx， ，因此 t′（x）＝1﹣cosx≥0，因此 t（x）在 单调递增，
所以 t（x）＞t（0）＝0，x＞sinx， ，
因此得 ，
②再证 lnx≤x﹣1（0＜x≤1）．
设 m（x）＝lnx﹣x+1，因此 ，当 0＜x＜1时，m′（x）＞0，
因此 m（x）在（0，1）上单调递增，因此当 m（x）≤m（1）＝0，因此 lnx≤x﹣1，当且仅当
x＝1时取等号．
令 ，因此 ，因此 ，因此
，
因 此
，
因此 ，n∈N*得证．

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