资源简介

广东省广州市黄埔区2023_2024学年九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024九上·黄埔期末）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·黄埔期末）已知⊙O半径为10cm，圆心O到点A的距离为10cm，则点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．相切 B．圆外 C．圆上 D．圆内
3．（2024九上·黄埔期末）下列事件属于必然事件的是（　　）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
B．掷一次骰子，向上一面的点数是6
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
4．（2024九上·黄埔期末）如图，在中，弦相交于点，若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·黄埔期末）如图，，分别切于B，C两点，若，则的度数为（　　）
A．32° B．52° C．64° D．72°
6．（2024九上·黄埔期末）将抛物线y＝3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x﹣1）2﹣2 D．y＝3（x+1）2+2
7．（2024九上·黄埔期末）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x12+x22＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．10
8．（2024九上·黄埔期末）若点A（﹣1，a），B（1，b），C（2，c）在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
9．（2024九上·黄埔期末）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向边连续翻转2023次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2023的位置，则P2023的横坐标x2023为（　　）
A．2021 B．2022 C．2023 D．不能确定
10．（2024九上·黄埔期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（　　）
A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（2024九上·黄埔期末）点P（2，﹣3）关于原点对称的点P1的坐标为 　 　．
12．（2024九上·黄埔期末）一元二次方程x2＋6x＝3x＋2化成一般式为：　 　．
13．（2024九上·黄埔期末）不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是　 　．
14．（2024九上·黄埔期末）圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，则圆锥的侧面积是 　 　．
15．（2024九上·黄埔期末）点A是反比例函数y＝（k＞0）上的点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，若△AOB的面积为8，则一元二次方程x2﹣4x+k＝0的根的情况为 　 　．
16．（2024九上·黄埔期末）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为　 　cm.
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（2024九上·黄埔期末）解方程：x2﹣4x＝5．
18．（2024九上·黄埔期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB=20°，求∠CAE及∠B的度数．
19．（2024九上·黄埔期末）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是　 　；
（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．
20．（2024九上·黄埔期末）如图，在 OABC中，点O为坐标顶点，点A（3，0），C（1，2），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过定C．
（1）求k的值及直线OB的函数表达式；
（2）试探究此反比例函数的图象是否经过 OABC的中心．
21．（2024九上·黄埔期末）对于抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为 　 　，与y轴交点的坐标为 　 　，顶点坐标为 　 　；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x …… 　 　 　 　 　 ……
y …… 　 　 　 　 　 ……
（3）结合图象直接回答：当0＜x＜3时，则y的取值范围是 　 　．
22．（2024九上·黄埔期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）．
23．（2024九上·黄埔期末）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元.
（1）求出这两次价格上调的平均增长率；
（2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包.当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
24．（2024九上·黄埔期末）如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求3m+n的值；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值．
25．（2024九上·黄埔期末）如图，P是正方形ABCD中一动点，连接PA，PB，PC．
（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为8，Q为BC上一点，，连接AQ，PQ，求面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐项判断即可.
2．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可得：圆心到点A的距离=圆的半径
∴点A在圆上
故答案为：C
【分析】根据点与圆的位置关系即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A属于随机事件，不符合题意；
B属于随机事件，不符合题意；
C属于必然事件，符合题意；
D属于随机事件，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据随机事件的概念即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∵与所对弧相同，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形的内角和定理可得∠D=40°，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵，分别切于B，C两点，
∴，，
则：，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据切线长性质得AB=AC，且OB⊥AB，由角的和差算出∠ABC的度数，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可算出∠A的度数.
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
抛物线y＝3x2先向右平移1个单位可得：y＝3（x﹣1）2
再向上平移2个单位可得： y＝3（x﹣1）2+2
故答案为：A
【分析】根据函数图象的平移规律：左加右减（对x），上加下减（对y），即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：
x1+x2=2，x1·x2=-3
∴x12+x22 =(x1+x2)2-2x1·x2=22-2×(-3)=10
故答案为：D
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得x1+x2=2，x1·x2=-3，再根据配方法化简代数式，再整体代入即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k2+3>0
∴反比例函数图象位于第一，三象限，且在各自象限中y随x的增大而减小
∵点A在第三象限，点B，C在第一象限
∴a<0，b>0，c>0
∵1<2
∴c∴a＜c＜b
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：根据题意知正方形的边长为1，
由图可知P的横坐标为-1，P1的横坐标为1，P2、P3的横坐标为2，P4的横坐标为3
由图可发现，正方形转到P4时与P的方位相同，此时正方形刚好转完一周
∴点P的坐标是以4个单位为周期往上加，
∵2023÷4=505...3
∴当旋转505周时对应的坐标为：505×4-1=2019
则P2023的横坐标x2023=2019+3=2022
故答案为：B
【分析】根据题意知正方形的边长为1，由图可知P的横坐标为-1，P1的横坐标为1，P2、P3的横坐标为2，P4的横坐标为3，则正方形转到P4时与P的方位相同，此时正方形刚好转完一周，总结规律：点P的坐标是以4个单位为周期往上加，即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵函数开口方向向上
∴a>o
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，即ab<0.
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c<0
∴abc>0
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A(-1，0），对称轴为直线x=1
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0）
∴当x=2时，y<0
∴4a+2b+c<0
故②错误
③∵图象与x轴交于点A（-1，0)
∴当x=-1时，y=(-1)2a+b(-1)+c=0
使用a-b+c=0，即a=b-c，c=b-a
∵对称轴为直线x=1
∴=1，即b=-2a
∴c=b-a=(-2a)-a=-3a.
∴4ac-b2=4a(-3a)-(-2a)2=-16a2< 0.
∵8a>0，
∴4ac-b2<8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间
∴-2∴-2<-3a<-1
∴
故④正确
⑤∵a>0
∴b-c>0，即b>c
故⑤正确
故答案为：D
【分析】根据二次函数额图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】（-2，3）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：
点P（2，﹣3）关于原点对称的点P1的坐标为 （-2，3）
故答案为：（-2，3）
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： x2＋6x＝3x＋2
移项得：
故答案为：
【分析】先求出，再求解即可。
13．【答案】2
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，
∴袋中白球的个数约为（个），
故答案为：2．
【分析】利用频率估算概率的计算方法可得概率为0.25，再列出算式求解即可。
14．【答案】65π cm2
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
圆锥母线长
∵圆锥底面周长为：
∴圆锥侧面积为：
故答案为：65π cm2
【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求出答案.
15．【答案】无实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵ △AOB的面积为8
∴k=8
∴x2﹣4x+8＝0
∵
∴二次方程无实数根
故答案为：无实数根
【分析】根据反比例函数k的几何意义可得k=8，再根据二次方程判别式，可得方程无实数根.
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图：
设正方形的中心为O，可证EF经过O点.
连结OB，取OB中点M，连结 MA，MG，则MA，MG为定长，
可计算得 ，
当A，M，G三点共线时，AG最小＝ cm，
故答案为： .
【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点，连结OB，取OB中点M，连结 MA，MG，则MA，MG为定长，易得MA、MG，然后根据两点之间、线段最短的性质进行求解.
17．【答案】解：∵x2﹣4x＝5
∴x2﹣4x﹣5＝0
∴（x﹣5）（x+1）＝0
∴x﹣5＝0，x+1＝0
∴原方程的解为：x1＝5，x2＝﹣1．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据十字相乘法进行因式分解，再解方程即可求出答案.
18．【答案】解：根据旋转的性质可知CA=CE，且∠ACE=90°，
所以△ACE是等腰直角三角形．
所以∠CAE=45°；
根据旋转的性质可得∠BDC=90°，
∵∠ACB=20°．
∴∠ACD=90°-20°=70°．
∴∠EDC=45°+70°=115°．
所以∠B=∠EDC=115°．
【知识点】三角形外角的概念及性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】根据旋转的性质可得△ACE是等腰直角三角形，所以∠CAE=45°，易知∠ACD=90°-20°=70°，根据三角形外角性质可得∠EDC度数，又∠EDC=∠B，则可求．
19．【答案】（1）
（2）解：树状图如图，
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，故P（两人恰好选择同一种支付方式）.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是：，
故答案为： .
【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）根据题意画出树状图，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，再根据概率公式即可求解.
20．【答案】（1）解：将点C（1，2）代入反比例函数y＝，
得k＝2，
∵A（3，0），
∴OA＝3，
在 OABC中，OA∥BC，且OA＝BC，
∴点B坐标是（4，2），
设直线OB的解析式：y＝kx，
代入B（4，2），
得4k＝2，
解得k＝，
∴直线OB解析式是：y＝x；
（2）解：∵ OABC的中心就是OB中点，且OB的中点坐标（2，1），
∴将x＝2代入y=，
可得y＝1，
∴反比例函数的图象经过 OABC的中心．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点C坐标代入反比例函数解析式可得k＝2，根据点A坐标可得OA=3，再根据平行四边形性质可得点B坐标是（4，2），设直线OB的解析式：y＝kx，根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据 OABC的中心就是OB中点，且OB的中点坐标（2，1），将x=2代入反比例函数解析式即可求出答案.
21．【答案】（1）（1，0），（3，0）；（0，3）；（2，1）
（2）解：列表：
描点、连线，如图，
（3）﹣1≤y＜3
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1）令y=0，则x2﹣4x+3=0
解得：x=1或x=3
∴与x轴交点坐标为（1，0），（3，0）
令x=0，则y=3
∴与y轴交点坐标为（0，3）
∵y＝x2﹣4x+3=(x-2)2+1
∴顶点坐标为（2，1）
故答案为：第一空：（1，0），（3，0）
第二空：（0，3）
第三空：（2，1）
（3）根据函数图象，当0当2≤x<3时，y随x的增大而增大
∴当x=-2时，y取得最小值为-1
当x=3时，y取得最大值为3
∴ 当0＜x＜3时，则y的取值范围是﹣1≤y＜3
故答案为：﹣1≤y＜3
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征，令x=0，可得y值，令y=0，可得x值，即可得与x轴，y轴交点坐标，将解析式转换为顶点式，即可得顶点坐标.
（2）根据列表，描点，连线即可作出图象.
（3）根据函数图象即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：∵OD=OB，
∴∠1=∠ODB，
∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，
∵∠A=2∠1，
∴∠DOC=∠A，
∵∠A+∠C=90°，
∴∠DOC+∠C=90°，
∴OD⊥DC，
∴AC是⊙O的切线
（2）解： ∵∠A=60°，
∴∠C=30°，∠DOC=60°，
在Rt△DOC中，OD=2，
∴CD= OD=2 ，
∴阴影部分的面积=S△COD﹣S扇形DOE
= ×2×2 ﹣ =
【知识点】切线的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OD。由题意易证
∠DOC+∠C=90°， 即∠ODC=
90°，根据圆的切线的判定即可得AC是⊙O的切线；
（2）由图可得阴影部分的面积 =S△ ODC-S扇形ODE即可求解。
23．【答案】（1）解：设这两次价格上调的平均增长率为x，
依题意得：10（1+x）2＝16.9，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝-2.3（不符合题意，舍去）.
答：这两次价格上调的平均增长率为30%.
（2）解：设每包应该降价m元，则每包的售价为（10-m）元，每天可售出（30+5m）包，
依题意得：（10-m）（30+5m）＝315，
整理得：m2-4m+3＝0，
解得：m1＝1，m2＝3.
又∵要让顾客获得更大的优惠，
∴m的值为3.
答：每包应该降价3元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，则第一次上调后的价格为10(1+x)元，第二次上调后的价格为10(1+x)2元，然后根据口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元就可列出方程，然后求解即可；
（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为(10-m)元，每天可售出(30+5m)包，根据每包的售价×销售量=总销售额可得关于m的方程，求解即可.
24．【答案】（1）解：直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3，
∴点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），
将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为（1，0），顶点P的坐标为（2，1），
∴3m+n＝12﹣3＝9；
（2）解：①当CP＝CQ时，C点纵坐标与PQ中点的纵坐标相同，
故此时Q点坐标为（2，﹣7）；
②当CP＝PQ时，
可得：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）；
③当CQ＝PQ时，
可得：过该中点与CP垂直的直线方程为：y＝﹣x﹣，
当x＝2时，y＝﹣，即点Q的坐标为（2，﹣）；
故点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）或（2，﹣）或（2，﹣7）；
（3）解：图象翻折后的点P对应点P'的坐标为（2，﹣1），
①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，
此时直线BC和抛物线的交点有3个，b＝﹣3；
②当直线y＝x+b与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，
此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；
即：x2﹣4x+3＝x+b，Δ＝52﹣4（3﹣b）＝0，解得：b＝﹣．
即：b＝﹣3或﹣．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征令x=0，可得y值，令y=0，可得x值，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），再根据待定系数法将点B，C坐标代入抛物线解析式可得m，n值，再代入代数式即可求出答案.
（2）根据等腰三角形性质分情况讨论：①当CP＝CQ时，②当CP＝PQ时，③当CQ＝PQ时，即可求出答案.
（3）图象翻折后的点P对应点P'的坐标为（2，﹣1），分情况讨论即可求出答案.
25．【答案】（1）解：四边形是正方形，
，，
，
，，
，，
，
．

（2）证明：将绕点顺时针旋转，得到，则，，，，．
，，
，
，即，
，
又，，
．
，
，，，
与都是等腰直角三角形，
，
又，
．
（3）解：由（2）得，
以为圆心，为半径作圆，则点在上，过点作，交于，交于，连接、，则当点与点重合时，的面积最大．
，，
，
，即．
，
．
的面积为，
即面积的最大值为．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，， 再根据角之间的关系可得∠ABP=30°，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，，，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2） 将绕点顺时针旋转，得到，则，，，，，根据角之间的关系可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等腰直角三角形判定定理可得与都是等腰直角三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）以为圆心，为半径作圆，则点在上，过点作，交于，交于，连接、，则当点与点重合时，的面积最大，根据勾股定理可得AQ=10，再根据三角形面积建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
1 / 1广东省广州市黄埔区2023_2024学年九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024九上·黄埔期末）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐项判断即可.
2．（2024九上·黄埔期末）已知⊙O半径为10cm，圆心O到点A的距离为10cm，则点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．相切 B．圆外 C．圆上 D．圆内
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可得：圆心到点A的距离=圆的半径
∴点A在圆上
故答案为：C
【分析】根据点与圆的位置关系即可求出答案.
3．（2024九上·黄埔期末）下列事件属于必然事件的是（　　）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
B．掷一次骰子，向上一面的点数是6
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A属于随机事件，不符合题意；
B属于随机事件，不符合题意；
C属于必然事件，符合题意；
D属于随机事件，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据随机事件的概念即可求出答案.
4．（2024九上·黄埔期末）如图，在中，弦相交于点，若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∵与所对弧相同，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形的内角和定理可得∠D=40°，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出答案.
5．（2024九上·黄埔期末）如图，，分别切于B，C两点，若，则的度数为（　　）
A．32° B．52° C．64° D．72°
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵，分别切于B，C两点，
∴，，
则：，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据切线长性质得AB=AC，且OB⊥AB，由角的和差算出∠ABC的度数，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可算出∠A的度数.
6．（2024九上·黄埔期末）将抛物线y＝3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x﹣1）2﹣2 D．y＝3（x+1）2+2
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
抛物线y＝3x2先向右平移1个单位可得：y＝3（x﹣1）2
再向上平移2个单位可得： y＝3（x﹣1）2+2
故答案为：A
【分析】根据函数图象的平移规律：左加右减（对x），上加下减（对y），即可求出答案.
7．（2024九上·黄埔期末）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x12+x22＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．10
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：
x1+x2=2，x1·x2=-3
∴x12+x22 =(x1+x2)2-2x1·x2=22-2×(-3)=10
故答案为：D
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得x1+x2=2，x1·x2=-3，再根据配方法化简代数式，再整体代入即可求出答案.
8．（2024九上·黄埔期末）若点A（﹣1，a），B（1，b），C（2，c）在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k2+3>0
∴反比例函数图象位于第一，三象限，且在各自象限中y随x的增大而减小
∵点A在第三象限，点B，C在第一象限
∴a<0，b>0，c>0
∵1<2
∴c∴a＜c＜b
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
9．（2024九上·黄埔期末）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向边连续翻转2023次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2023的位置，则P2023的横坐标x2023为（　　）
A．2021 B．2022 C．2023 D．不能确定
【答案】B
【知识点】探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：根据题意知正方形的边长为1，
由图可知P的横坐标为-1，P1的横坐标为1，P2、P3的横坐标为2，P4的横坐标为3
由图可发现，正方形转到P4时与P的方位相同，此时正方形刚好转完一周
∴点P的坐标是以4个单位为周期往上加，
∵2023÷4=505...3
∴当旋转505周时对应的坐标为：505×4-1=2019
则P2023的横坐标x2023=2019+3=2022
故答案为：B
【分析】根据题意知正方形的边长为1，由图可知P的横坐标为-1，P1的横坐标为1，P2、P3的横坐标为2，P4的横坐标为3，则正方形转到P4时与P的方位相同，此时正方形刚好转完一周，总结规律：点P的坐标是以4个单位为周期往上加，即可求出答案.
10．（2024九上·黄埔期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（　　）
A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵函数开口方向向上
∴a>o
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，即ab<0.
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c<0
∴abc>0
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A(-1，0），对称轴为直线x=1
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0）
∴当x=2时，y<0
∴4a+2b+c<0
故②错误
③∵图象与x轴交于点A（-1，0)
∴当x=-1时，y=(-1)2a+b(-1)+c=0
使用a-b+c=0，即a=b-c，c=b-a
∵对称轴为直线x=1
∴=1，即b=-2a
∴c=b-a=(-2a)-a=-3a.
∴4ac-b2=4a(-3a)-(-2a)2=-16a2< 0.
∵8a>0，
∴4ac-b2<8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间
∴-2∴-2<-3a<-1
∴
故④正确
⑤∵a>0
∴b-c>0，即b>c
故⑤正确
故答案为：D
【分析】根据二次函数额图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（2024九上·黄埔期末）点P（2，﹣3）关于原点对称的点P1的坐标为 　 　．
【答案】（-2，3）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：
点P（2，﹣3）关于原点对称的点P1的坐标为 （-2，3）
故答案为：（-2，3）
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
12．（2024九上·黄埔期末）一元二次方程x2＋6x＝3x＋2化成一般式为：　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： x2＋6x＝3x＋2
移项得：
故答案为：
【分析】先求出，再求解即可。
13．（2024九上·黄埔期末）不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是　 　．
【答案】2
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，
∴袋中白球的个数约为（个），
故答案为：2．
【分析】利用频率估算概率的计算方法可得概率为0.25，再列出算式求解即可。
14．（2024九上·黄埔期末）圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，则圆锥的侧面积是 　 　．
【答案】65π cm2
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
圆锥母线长
∵圆锥底面周长为：
∴圆锥侧面积为：
故答案为：65π cm2
【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求出答案.
15．（2024九上·黄埔期末）点A是反比例函数y＝（k＞0）上的点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，若△AOB的面积为8，则一元二次方程x2﹣4x+k＝0的根的情况为 　 　．
【答案】无实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵ △AOB的面积为8
∴k=8
∴x2﹣4x+8＝0
∵
∴二次方程无实数根
故答案为：无实数根
【分析】根据反比例函数k的几何意义可得k=8，再根据二次方程判别式，可得方程无实数根.
16．（2024九上·黄埔期末）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为　 　cm.
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图：
设正方形的中心为O，可证EF经过O点.
连结OB，取OB中点M，连结 MA，MG，则MA，MG为定长，
可计算得 ，
当A，M，G三点共线时，AG最小＝ cm，
故答案为： .
【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点，连结OB，取OB中点M，连结 MA，MG，则MA，MG为定长，易得MA、MG，然后根据两点之间、线段最短的性质进行求解.
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（2024九上·黄埔期末）解方程：x2﹣4x＝5．
【答案】解：∵x2﹣4x＝5
∴x2﹣4x﹣5＝0
∴（x﹣5）（x+1）＝0
∴x﹣5＝0，x+1＝0
∴原方程的解为：x1＝5，x2＝﹣1．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据十字相乘法进行因式分解，再解方程即可求出答案.
18．（2024九上·黄埔期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB=20°，求∠CAE及∠B的度数．
【答案】解：根据旋转的性质可知CA=CE，且∠ACE=90°，
所以△ACE是等腰直角三角形．
所以∠CAE=45°；
根据旋转的性质可得∠BDC=90°，
∵∠ACB=20°．
∴∠ACD=90°-20°=70°．
∴∠EDC=45°+70°=115°．
所以∠B=∠EDC=115°．
【知识点】三角形外角的概念及性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】根据旋转的性质可得△ACE是等腰直角三角形，所以∠CAE=45°，易知∠ACD=90°-20°=70°，根据三角形外角性质可得∠EDC度数，又∠EDC=∠B，则可求．
19．（2024九上·黄埔期末）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是　 　；
（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．
【答案】（1）
（2）解：树状图如图，
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，故P（两人恰好选择同一种支付方式）.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是：，
故答案为： .
【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）根据题意画出树状图，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，再根据概率公式即可求解.
20．（2024九上·黄埔期末）如图，在 OABC中，点O为坐标顶点，点A（3，0），C（1，2），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过定C．
（1）求k的值及直线OB的函数表达式；
（2）试探究此反比例函数的图象是否经过 OABC的中心．
【答案】（1）解：将点C（1，2）代入反比例函数y＝，
得k＝2，
∵A（3，0），
∴OA＝3，
在 OABC中，OA∥BC，且OA＝BC，
∴点B坐标是（4，2），
设直线OB的解析式：y＝kx，
代入B（4，2），
得4k＝2，
解得k＝，
∴直线OB解析式是：y＝x；
（2）解：∵ OABC的中心就是OB中点，且OB的中点坐标（2，1），
∴将x＝2代入y=，
可得y＝1，
∴反比例函数的图象经过 OABC的中心．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点C坐标代入反比例函数解析式可得k＝2，根据点A坐标可得OA=3，再根据平行四边形性质可得点B坐标是（4，2），设直线OB的解析式：y＝kx，根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据 OABC的中心就是OB中点，且OB的中点坐标（2，1），将x=2代入反比例函数解析式即可求出答案.
21．（2024九上·黄埔期末）对于抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为 　 　，与y轴交点的坐标为 　 　，顶点坐标为 　 　；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x …… 　 　 　 　 　 ……
y …… 　 　 　 　 　 ……
（3）结合图象直接回答：当0＜x＜3时，则y的取值范围是 　 　．
【答案】（1）（1，0），（3，0）；（0，3）；（2，1）
（2）解：列表：
描点、连线，如图，
（3）﹣1≤y＜3
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1）令y=0，则x2﹣4x+3=0
解得：x=1或x=3
∴与x轴交点坐标为（1，0），（3，0）
令x=0，则y=3
∴与y轴交点坐标为（0，3）
∵y＝x2﹣4x+3=(x-2)2+1
∴顶点坐标为（2，1）
故答案为：第一空：（1，0），（3，0）
第二空：（0，3）
第三空：（2，1）
（3）根据函数图象，当0当2≤x<3时，y随x的增大而增大
∴当x=-2时，y取得最小值为-1
当x=3时，y取得最大值为3
∴ 当0＜x＜3时，则y的取值范围是﹣1≤y＜3
故答案为：﹣1≤y＜3
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征，令x=0，可得y值，令y=0，可得x值，即可得与x轴，y轴交点坐标，将解析式转换为顶点式，即可得顶点坐标.
（2）根据列表，描点，连线即可作出图象.
（3）根据函数图象即可求出答案.
22．（2024九上·黄埔期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）．
【答案】（1）证明：∵OD=OB，
∴∠1=∠ODB，
∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，
∵∠A=2∠1，
∴∠DOC=∠A，
∵∠A+∠C=90°，
∴∠DOC+∠C=90°，
∴OD⊥DC，
∴AC是⊙O的切线
（2）解： ∵∠A=60°，
∴∠C=30°，∠DOC=60°，
在Rt△DOC中，OD=2，
∴CD= OD=2 ，
∴阴影部分的面积=S△COD﹣S扇形DOE
= ×2×2 ﹣ =
【知识点】切线的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OD。由题意易证
∠DOC+∠C=90°， 即∠ODC=
90°，根据圆的切线的判定即可得AC是⊙O的切线；
（2）由图可得阴影部分的面积 =S△ ODC-S扇形ODE即可求解。
23．（2024九上·黄埔期末）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元.
（1）求出这两次价格上调的平均增长率；
（2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包.当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
【答案】（1）解：设这两次价格上调的平均增长率为x，
依题意得：10（1+x）2＝16.9，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝-2.3（不符合题意，舍去）.
答：这两次价格上调的平均增长率为30%.
（2）解：设每包应该降价m元，则每包的售价为（10-m）元，每天可售出（30+5m）包，
依题意得：（10-m）（30+5m）＝315，
整理得：m2-4m+3＝0，
解得：m1＝1，m2＝3.
又∵要让顾客获得更大的优惠，
∴m的值为3.
答：每包应该降价3元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，则第一次上调后的价格为10(1+x)元，第二次上调后的价格为10(1+x)2元，然后根据口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元就可列出方程，然后求解即可；
（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为(10-m)元，每天可售出(30+5m)包，根据每包的售价×销售量=总销售额可得关于m的方程，求解即可.
24．（2024九上·黄埔期末）如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求3m+n的值；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值．
【答案】（1）解：直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3，
∴点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），
将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为（1，0），顶点P的坐标为（2，1），
∴3m+n＝12﹣3＝9；
（2）解：①当CP＝CQ时，C点纵坐标与PQ中点的纵坐标相同，
故此时Q点坐标为（2，﹣7）；
②当CP＝PQ时，
可得：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）；
③当CQ＝PQ时，
可得：过该中点与CP垂直的直线方程为：y＝﹣x﹣，
当x＝2时，y＝﹣，即点Q的坐标为（2，﹣）；
故点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）或（2，﹣）或（2，﹣7）；
（3）解：图象翻折后的点P对应点P'的坐标为（2，﹣1），
①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，
此时直线BC和抛物线的交点有3个，b＝﹣3；
②当直线y＝x+b与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，
此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；
即：x2﹣4x+3＝x+b，Δ＝52﹣4（3﹣b）＝0，解得：b＝﹣．
即：b＝﹣3或﹣．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征令x=0，可得y值，令y=0，可得x值，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），再根据待定系数法将点B，C坐标代入抛物线解析式可得m，n值，再代入代数式即可求出答案.
（2）根据等腰三角形性质分情况讨论：①当CP＝CQ时，②当CP＝PQ时，③当CQ＝PQ时，即可求出答案.
（3）图象翻折后的点P对应点P'的坐标为（2，﹣1），分情况讨论即可求出答案.
25．（2024九上·黄埔期末）如图，P是正方形ABCD中一动点，连接PA，PB，PC．
（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为8，Q为BC上一点，，连接AQ，PQ，求面积的最大值．
【答案】（1）解：四边形是正方形，
，，
，
，，
，，
，
．

（2）证明：将绕点顺时针旋转，得到，则，，，，．
，，
，
，即，
，
又，，
．
，
，，，
与都是等腰直角三角形，
，
又，
．
（3）解：由（2）得，
以为圆心，为半径作圆，则点在上，过点作，交于，交于，连接、，则当点与点重合时，的面积最大．
，，
，
，即．
，
．
的面积为，
即面积的最大值为．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，， 再根据角之间的关系可得∠ABP=30°，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，，，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2） 将绕点顺时针旋转，得到，则，，，，，根据角之间的关系可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等腰直角三角形判定定理可得与都是等腰直角三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）以为圆心，为半径作圆，则点在上，过点作，交于，交于，连接、，则当点与点重合时，的面积最大，根据勾股定理可得AQ=10，再根据三角形面积建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
1 / 1

展开更多......

收起↑