资源简介

2026 年九年级复习诊断模拟测试数学试题
注意事项
本试题共 8 页，满分为 150 分．考试时间为 120 分钟．
答卷前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写在答题卡上，并同时将学校、班级、姓名填写在试卷规定的位置上．
答选择题时，必须使用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用 0.5mm 黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第 Ⅰ 卷（选择题共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.25 的算术平方根是（ ）
A. 5 B. 5 C. ±5 D. 25
2.下面几何体中，主视图是矩形的是（ ）
3.2026 年是中国工农红军二万五千里长征胜利 90 周年．数据25000用科学记数法可表示为（ ）
A. 0.25×106 B. 2.5×105 C. 2.5×104 D. 25×103
4.我国已经启动第二阶段 6G 技术试验，人工智能逐渐融入人类生活．下列设计的人工智能图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
5.已知正多边形的一个内角为150 ，则这个多边形是（ ）
A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十二边形
6.下列运算正确的是（ ）
A. (ab3)2=a2b6 B. a3+a2=a5 C. a3·a2=a6 D. 2(a b)=2a b
7.若关于x的一元二次方程x2 2x+a=0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A. a>1 B. a<1 C. a≤1 D. a≥1
8.为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展 “营养健康伴成长，合理膳食筑未来” 主题教育活动，从 3 名志愿者（2 名男生，1 名女生）中随机抽取 2 人担任活动宣讲员，抽取的恰好是 1 名男生和 1 名女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，S△ABC=7.2．按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于点G，交AC于点H；再分别以点G，H为圆心，以大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点E；作射线AE交BC边于点D；②分别以点A，D
为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；作直线MN交AD于点F．则△BDF的面积为（ ）
A. 2.25 B. 2 C. 1.8 D.1.35
（第9题图） （第10题图）
10.如图，直线y1=kx+b(k≠0)与抛物线y2=ax2(a≠0)交于A，B两点，且点A的横坐标是 2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①ab>0；
②x>0时，直线y1=kx+b(k≠0)与抛物线y2=ax2(a≠0)函数值都随着x的增大而增大；
③当 2④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤ax2+kxA. ①② B. ①②⑤ C. ②③④ D. ①②④⑤
第 II 卷（非选择题共 110 分）
注意事项
1.第 II 卷必须用 0.5mm 黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二．填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．）
11.当x= 时，分式的值为0．
12.如图，在3×3的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是 。
（第12题图） （第13题图） （第14题图）
13.如图，将直尺与30 角的三角尺叠放在一起，若∠1=55 ，则∠2= ．
14.如图，点A是反比例函数y=(x>0)图象上任意一点，过点A作AB∥x轴交反比例函数y= (x<0)的图象于点B，点D在x轴正半轴上，以AB、AD为边作平行四边形ABCD，则四边形ABCD的面积为 。
15.在边长为1的正方形ABCD中，BE=，连接CE，将△CBE沿CE折叠得到△CGE，CG交BD于点M，延长CG交AD于点F，则点G到AB的距离是 。

三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.(本小题满分 7 分)计算： 12026 ∣ 2∣+(π 3)0+tan60 +() 1．
17.(本小题满分 7 分)解不等式组：，并写出它的所有整数解．
18.(本小题满分 7 分)如图，在菱形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF．求证：∠AEF=∠AFE；
19.(本小题满分 8 分)实物展示台是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，把它连接在投影仪和电视机上时，就可以将资料、讲义、实物、幻灯片等清晰地展示出来．一台普通的实物展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图 1 是一个实物展示台，图 2、图 3 是其侧面抽象示意图．立柱AB=35cm且立柱AB垂直水平桌面．C为摄像头，BC可绕点B旋转，且CB=20cm．（参考数据：tan7 ≈0.12，sin10 ≈0.17，tan10 ≈0.18，sin17 ≈0.29，tan17 ≈0.31，sin27 ≈0.45，tan27 ≈0.51）
（1）当CB与水平桌面平行时，如图 2，投影宽度ED=22cm，投影线CE=CD，求摄像头的广角∠ECD及∠BCD的度数；
（2）如图 3，将BC绕点B旋转，在旋转过程中摄像头的广角∠ECD及∠BCD的大小始终保持不变，当∠ABC=100 ，求投影宽度ED的长（结果保留一位小数）．
20.(本小题满分 8 分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，D为边BC上的点，以BD为直径作⊙O交AB于点E，CE与⊙O相切于点E．
（1）求证：AC=CE；
（2）若tanB=，AC=2．求CD的长．
21.(本小题满分 9 分)泡泡玛特某门店为了更好把握消费者心理，对公司旗下大热产品：“星星人” 和 “拉布布” 开展了受欢迎程度的调查．随机采访 20 名顾客，让他们分别给 “星星人” 和 “拉布布” 打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分成四组，A组:80≤x<85，B组:85≤x<90，C组:90≤x<95，D组:95≤x≤100），下面给出了部分信息：
“星星人” 得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98．
“拉布布” 得分在C组中的数据是：91，92，92，92，94，94．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ，b= ，m= ；
（2）扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角为 度；
（3）据调查，一般情况下，只有对 “拉布布” 打分不低于 95 分的顾客才有购买意愿，这些人中有 75% 的人会购买 “拉布布”，该门店预估本周末客流量会达到 1000 人，货源充足的情况下请你估计会有多少人购买 “拉布布”？
22.(本小题满分 10 分)马面裙作为汉服的重要组成部分，承载着我国深厚的历史文化底蕴．在某网店中，A，B两款马面裙备受消费者青睐，A，B两款马面裙的售价分别为 150 元 / 件和 200 元 / 件，两款马面裙 3 月份的总销量为 600 件，销售总额为 110000 元．
（1）求 3 月份A，B两款马面裙的销量分别为多少件？
（2）为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂预定A，B两款马面裙共 2400 件，且A款马面裙数量不超过B款马面裙数量的，已知A款马面裙进价为 100 元 / 件，B款马面裙进价为 160 元 / 件，请你设计一种方案，使得这批马面裙全部售出后获利最大，并求出最大利润．
23.(本小题满分 10 分)定义：对于平面直角坐标系中的点M和点P，若将点P绕点M顺时针旋转α（0 ≤α≤180 ）后得到对应点Q，则称对应点Q为点P关于点M旋转α的 “正旋点”，特别的，当α=90 时，点Q为点P关于点M的 “正垂足点”．
（1）已知点M的坐标为(2,0)，若点P的坐标为(4,0)，点P关于点M的正垂足点坐标是 ；点P关于点M旋转60 的正旋点坐标是 。
（2）直线y= 3x+3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B．
①如图 1，点C是该直线上一动点，若点C关于点B的 “正垂足点” 横坐标为 6，此时点C的坐标为 ；
②如图 2，若该直线上动点C关于点B的 “正垂足点” 为点E，反比例函数y=的图象恰好经过点E，请你求出此时点C的坐标；
③如图 3，小明发现在第一象限的抛物线y= x2+2x+3的图象上存在一点P，连接PA，当∠PAB=45 时，请你判断点B是否为点P关于点A旋转45 的 “正旋点”，并说明理由．
24.(本小题满分 12 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2 2x+c与x轴交于点A( 1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C．点P为抛物线上一动点（点P不与点A，B，C重合）
（1）求抛物线的函数表达式，并求出点C的坐标；
（2）设抛物线上点P，C之间的部分（含P、C）为图象G，当图象G的最高点和最低点的纵坐标之差为 8 时，求m的值；
（3）连接BP、CP、BC，若△BCP的内角∠PBC或∠PCB中至少有一个角与∠BAC相等．请直接写出点P的坐标．
25.(本小题满分 12 分)李老师给出如下问题：如图，在△ABC中，∠BAC=60 ，D为线段AC上的动点．
【问题初探】
（1）当AD>AB时，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转60 得到线段BE，且BE在边AB的右侧，连接AE，在点D的运动过程中，你能得到哪些结论呢？
①小明说：“只要保证BE在边AB的右侧，∠BAE的度数是固定的，我能求出∠BAE的度数”；小强说：“只要保证BE在边AB的右侧，我能得到从点A发出的三条线段AB，AE，AD的数量关系”．
②小涛说：“我利用∠BAC=60 ，如图 2，在AD上截取AF=AB，连接BF，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”．请你根据小涛的思路，求∠BAE的度数，并探究线段AB，AE，AD的数量关系．
【类比分析】
（2）李老师为了帮助同学们更好地感悟转化思想，将图 1 进行变换，并提出下面问题：如图 3，当AD【学以致用】
（3）如图 4，在图 1 的条件下，连接DE，过B作BM⊥AD于M，线段DE的中点为N，连接MN，若AB=4，MN=，求四边形ABDE的面积．
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.25 的算术平方根是（ B ）
A. 5 B. 5 C. ±5 D. 25
2.下面几何体中，主视图是矩形的是（ D ）
3.2026 年是中国工农红军二万五千里长征胜利 90 周年．数据25000用科学记数法可表示为（ C ）
A. 0.25×106 B. 2.5×105 C. 2.5×104 D. 25×103
4.我国已经启动第二阶段 6G 技术试验，人工智能逐渐融入人类生活．下列设计的人工智能图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ A ）
5.已知正多边形的一个内角为150 ，则这个多边形是（ D ）
A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十二边形
6.下列运算正确的是（ A ）
A. (ab3)2=a2b6 B. a3+a2=a5 C. a3·a2=a6 D. 2(a b)=2a b
7.若关于x的一元二次方程x2 2x+a=0有实数根，则a的取值范围是（ C ）
A. a>1 B. a<1 C. a≤1 D. a≥1
8.为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展 “营养健康伴成长，合理膳食筑未来” 主题教育活动，从 3 名志愿者（2 名男生，1 名女生）中随机抽取 2 人担任活动宣讲员，抽取的恰好是 1 名男生和 1 名女生的概率是（ D ）
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，S△ABC=7.2．按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于点G，交AC于点H；再分别以点G，H为圆心，以大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点E；作射线AE交BC边于点D；②分别以点A，D
为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；作直线MN交AD于点F．则△BDF的面积为（ A ）
A. 2.25 B. 2 C. 1.8 D.1.35
（第9题图） （第10题图）
10.如图，直线y1=kx+b(k≠0)与抛物线y2=ax2(a≠0)交于A，B两点，且点A的横坐标是 2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①ab>0；
②x>0时，直线y1=kx+b(k≠0)与抛物线y2=ax2(a≠0)函数值都随着x的增大而增大；
③当 2④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤ax2+kxA. ①② B. ①②⑤ C. ②③④ D. ①②④⑤
第 II 卷（非选择题共 110 分）
注意事项
1.第 II 卷必须用 0.5mm 黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二．填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．）
11.当x= 8 时，分式的值为0．
12.如图，在3×3的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是 。
（第12题图） （第13题图） （第14题图）
13.如图，将直尺与30 角的三角尺叠放在一起，若∠1=55 ，则∠2= 65 ．
14.如图，点A是反比例函数y=(x>0)图象上任意一点，过点A作AB∥x轴交反比例函数y= (x<0)的图象于点B，点D在x轴正半轴上，以AB、AD为边作平行四边形ABCD，则四边形ABCD的面积为 5 。
15.在边长为1的正方形ABCD中，BE=，连接CE，将△CBE沿CE折叠得到△CGE，CG交BD于点M，延长CG交AD于点F，则点G到AB的距离是 。
[
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.(本小题满分 7 分)计算： 12026 ∣ 2∣+(π 3)0+tan60 +() 1．
=－1－2+1++2
=
17.(本小题满分 7 分)解不等式组：，并写出它的所有整数解．
解不等式①，得 x> 1，(2分)
解不等式②，得 x<3，(4分)
在数轴上表示不等式①②的解集如下：
∴ 原不等式组的解集是 1∴它的所有整数解有：0,1,2。
18.(本小题满分 7 分)如图，在菱形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF．求证：∠AEF=∠AFE；
证明：
∵四边形 ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，(2分)
∵AE⊥BC，AF⊥DC，(3分)
∴∠AEB=∠AFD=90 ，
在 △AEB与 △AFD中，
∴△AEB≌△AFD(AAS)，(5分)
∴AE=AF，(6分)
∴∠AEF=∠AFE。
19.(本小题满分 8 分)实物展示台是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，把它连接在投影仪和电视机上时，就可以将资料、讲义、实物、幻灯片等清晰地展示出来．一台普通的实物展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图 1 是一个实物展示台，图 2、图 3 是其侧面抽象示意图．立柱AB=35cm且立柱AB垂直水平桌面．C为摄像头，BC可绕点B旋转，且CB=20cm．（参考数据：tan7 ≈0.12，sin10 ≈0.17，tan10 ≈0.18，sin17 ≈0.29，tan17 ≈0.31，sin27 ≈0.45，tan27 ≈0.51）
（1）当CB与水平桌面平行时，如图 2，投影宽度ED=22cm，投影线CE=CD，求摄像头的广角∠ECD及∠BCD的度数；
（2）如图 3，将BC绕点B旋转，在旋转过程中摄像头的广角∠ECD及∠BCD的大小始终保持不变，当∠ABC=100 ，求投影宽度ED的长（结果保留一位小数）．
解（1）如图，过点 C作 CF⊥DE于点 F，
依题意 BC∥AE，BA⊥AE
∴∠B=∠BAF=∠CFA=∠BCF=90 ，
∴四边形 ABCF是矩形，
∴CF=AB=35。
∵CF⊥DE，CE=CD，
∴EF=DF= ED=11，∠ECD=2∠ECF=2∠DCF，
∴在 Rt△CFE中，tan∠ECF==≈0.31，
∴∠ECF≈17 ，(2分)
∴∠ECD=2∠ECF=34 。(3分)
∠BCD=∠BCF ∠DCF=90 17 =73
答：摄像头的广角 ∠ECD的度数约为 34 ，∠BCD的度数约 73 。(4分)
（2）如图，过点 B作 BQ⊥CP于点 Q，过点 C作 CP⊥ED于点 P，易证四边形 BQPA是矩形，
∴∠QBA=90 ，PQ=AB=35，
∵∠ABC=100 ，
∴∠CBQ=∠ABC ∠QBA=10 ，
∴∠QCB=90 ∠CBQ=80 ，
∵在 Rt△CQB中，∠CQB=90
∴CQ=CB·sin∠CBQ=20×sin10 ≈20×0.17=3.4，(5分)
∴CP=CQ+PQ=3.4+35=38.4。
∵∠BCD=73 ，∠ECD=34 ，
∴∠PCD=∠QCB ∠DCB=80 73 =7 ，
∴∠ECP=∠ECD ∠PCD=34 7 =27 ，
∴PD=CP·tan∠PCD=38.4×tan7 ≈38.4×0.12≈4.61；(6分)
PE=CP·tan∠PCE=38.4×tan27 ≈38.4×0.51≈19.58，(7分)
∴ED=PD+PE=4.61+19.58≈24.2。
即此时的投影宽度 ED的长约为 24.2 cm。
20.(本小题满分 8 分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，D为边BC上的点，以BD为直径作⊙O交AB于点E，CE与⊙O相切于点E．
（1）求证：AC=CE；
（2）若tanB=，AC=2．求CD的长．
（1）证明：连接 OE
∵CE与 ⊙O相切于点 E，
∴OE⊥CE，
∴∠OEC=90 ，(1分)
∴∠CEA+∠OEB=90
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠B，(2分)
∵∠ACB=90
∴∠A+∠B=90
∴∠A=∠CEA，(3分)
∴AC=CE；(4分)
（2）连接 DE
∵BD为 ⊙O的直径，
∴∠BED=90 ，(5分)
∵∠CEO=∠CED+∠OED=90 ，∠BED=∠OED+∠OEB=90 ，
∴∠CED=∠OEB，
∵∠OEB=∠B，
∴∠CED=∠B，
∵∠DCE=∠ECB，
∴△CDE∽△CEB，(6分)
∴=，
在 Rt△ACB中，∠ACB=90
∴tanB==，
由（1）得 CE=CA=2，
∴BC=2AC=4，(7分)
∴=，(8分)
解得 CD=1。
21.(本小题满分 9 分)泡泡玛特某门店为了更好把握消费者心理，对公司旗下大热产品：“星星人” 和 “拉布布” 开展了受欢迎程度的调查．随机采访 20 名顾客，让他们分别给 “星星人” 和 “拉布布” 打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分成四组，A组:80≤x<85，B组:85≤x<90，C组:90≤x<95，D组:95≤x≤100），下面给出了部分信息：
“星星人” 得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98．
“拉布布” 得分在C组中的数据是：91，92，92，92，94，94．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ，b= ，m= ；
（2）扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角为 度；
（3）据调查，一般情况下，只有对 “拉布布” 打分不低于 95 分的顾客才有购买意愿，这些人中有 75% 的人会购买 “拉布布”，该门店预估本周末客流量会达到 1000 人，货源充足的情况下请你估计会有多少人购买 “拉布布”？
（1）填空：a=94，b=93，m=40；(6分)
（2）108；(7分)
（3）1000×40%×75%=300 (人)
答：若本周末该门店客流量会达到 1000 人，货源充足的情况下估计会有 300 人购买 “拉布布”。
22.(本小题满分 10 分)马面裙作为汉服的重要组成部分，承载着我国深厚的历史文化底蕴．在某网店中，A，B两款马面裙备受消费者青睐，A，B两款马面裙的售价分别为 150 元 / 件和 200 元 / 件，两款马面裙 3 月份的总销量为 600 件，销售总额为 110000 元．
（1）求 3 月份A，B两款马面裙的销量分别为多少件？
（2）为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂预定A，B两款马面裙共 2400 件，且A款马面裙数量不超过B款马面裙数量的，已知A款马面裙进价为 100 元 / 件，B款马面裙进价为 160 元 / 件，请你设计一种方案，使得这批马面裙全部售出后获利最大，并求出最大利润．
（1）设 3 月份 A款马面裙的销量为 x件，B款马面裙的销量为 y件，(1分)
由题意得：(3分)
解得：(4分)
答：3 月份 A款马面裙的销量为 200 件，B款马面裙的销量为 400 件；(5分)
（2）设网店购进 A款 a件，再购进 B款 (2400 a)件，总利润为 W元，
由题意得：a≤(2400 a)，(6分)
解得：a≤800，(7分)
设总利润为 W元，
由题意得：W=(150 100)a+(200 160)(2400 a)=10a+96000，(8分)
∵10>0，
∴W随 a的增大而增大，
∴a=800时，W取得最大值，(9分)
此时 W=10×800+96000=104000（元）2400 x=2400 800=1600，
答：网店购进 A款马面裙 800 件，B款马面裙 1600 件，获利最大，最大利润为 104000 元。
23.(本小题满分 10 分)定义：对于平面直角坐标系中的点M和点P，若将点P绕点M顺时针旋转α（0 ≤α≤180 ）后得到对应点Q，则称对应点Q为点P关于点M旋转α的 “正旋点”，特别的，当α=90 时，点Q为点P关于点M的 “正垂足点”．
（1）已知点M的坐标为(2,0)，若点P的坐标为(4,0)，点P关于点M的正垂足点坐标是 ；点P关于点M旋转60 的正旋点坐标是 。
（2）直线y= 3x+3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B．
①如图 1，点C是该直线上一动点，若点C关于点B的 “正垂足点” 横坐标为 6，此时点C的坐标为 ；
②如图 2，若该直线上动点C关于点B的 “正垂足点” 为点E，反比例函数y=的图象恰好经过点E，请你求出此时点C的坐标；
③如图 3，小明发现在第一象限的抛物线y= x2+2x+3的图象上存在一点P，连接PA，当∠PAB=45 时，请你判断点B是否为点P关于点A旋转45 的 “正旋点”，并说明理由．
（1）(2, 2)；(3, )(2分)
（2）① ( ,5)(3分)
② 作 CM⊥x轴，EN⊥x轴
设点 C的坐标是 (a, 3a+3)，则 E的坐标为 ( 3a+4,1 a)(4分)
∵
反比例函数 y=的图象恰好经过点 E
∴( 3a+4)(1 a)=2
∴3a2 7a+2=0(5分)
解得：a1=2,a2=
∴C的坐标为 (,2)或 (2, 3)(6分)
③ 如图，过点 B作 BE⊥AB，且 BE=AB，连接 AE交抛物线于 P，过点 E作 EF⊥x轴于点 F，则 ∠BFE=∠ABE=∠AOB=90 ，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠EBF=90 ，
∴∠BAO=∠EBF，
∴△ABO≌△BEF(AAS)，(7分)
∴OA=BF=3，OB=EF=1，
∴OF=OB+BF=1+3=4，
∴E(4,1)，(8分)
设直线 AE的解析式为 y=kx+b，将 E(4,1)，A(0,3)
代入得：
解得：，
∴直线 AE的解析式为 y= x+3
联立方程组得：
解得：（舍去），
∴点 P的坐标为（，）(9分)
∵AB=，AP=
∴AB=AP
∴点 B不是点P关于点 A的 45° 的 “正旋点”
24.(本小题满分 12 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2 2x+c与x轴交于点A( 1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C．点P为抛物线上一动点（点P不与点A，B，C重合）
（1）求抛物线的函数表达式，并求出点C的坐标；
（2）设抛物线上点P，C之间的部分（含P、C）为图象G，当图象G的最高点和最低点的纵坐标之差为 8 时，求m的值；
（3）连接BP、CP、BC，若△BCP的内角∠PBC或∠PCB中至少有一个角与∠BAC相等．请直接写出点P的坐标．
把点 A( 1,0)，B(3,0)代入 y=ax2 2x+c中，
得：(1分)
解得 ，(2分)
故抛物线的函数表达式为 y=x2 2x 3，(3分)
点 C的坐标为 (0, 3)；(4分)
（2）当 x= =1时，y=12 2×1 3= 4
∴抛物线的顶点坐标为 (1, 4)，
设点 P的坐标为 (m,m2 2m 3)，
由图象 G的最高点和最低点的纵坐标之差为 8，可分以下两类讨论：
① 当点 P在 y轴左侧时，有 m2 2m 3 ( 3)=8，(5分)
解得 m1=4（舍去），m2= 2；(6分)
② 当点 P在 y轴右侧时，有 m2 2m 3 ( 4)=8，(7分)
解得 m1=1 2（舍去），m2=1+2，(8分)
综上所述，m的值为 2或 1+2；
（3）点 P的坐标为 ( ,)或 (, )。
25.(本小题满分 12 分)李老师给出如下问题：如图，在△ABC中，∠BAC=60 ，D为线段AC上的动点．
【问题初探】
（1）当AD>AB时，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转60 得到线段BE，且BE在边AB的右侧，连接AE，在点D的运动过程中，你能得到哪些结论呢？
①小明说：“只要保证BE在边AB的右侧，∠BAE的度数是固定的，我能求出∠BAE的度数”；小强说：“只要保证BE在边AB的右侧，我能得到从点A发出的三条线段AB，AE，AD的数量关系”．
②小涛说：“我利用∠BAC=60 ，如图 2，在AD上截取AF=AB，连接BF，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”．请你根据小涛的思路，求∠BAE的度数，并探究线段AB，AE，AD的数量关系．
【类比分析】
（2）李老师为了帮助同学们更好地感悟转化思想，将图 1 进行变换，并提出下面问题：如图 3，当AD【学以致用】
（3）如图 4，在图 1 的条件下，连接DE，过B作BM⊥AD于M，线段DE的中点为N，连接MN，若AB=4，MN=，求四边形ABDE的面积．
解（1）解：如图，在 AD上截取 AF=AB，连接 BF。
∵∠BAC=60 ，AB=AF。
∴△ABF是等边三角形，
∴AB=BF，∠ABF=∠AFB=60 。
∵线段 BD绕点 B逆时针旋转 60 得到线段 BE，
∴∠EBD=60 ，BE=BD，
∴∠ABF=∠EBD，
∴∠ABE+∠EBF=∠FBD+∠EBF，即 ∠ABE=∠FBD。
在 △ABE和 △FBD中，
∴△ABE≌△FBD(SAS)。(2分)
∴∠BAE=∠BFD，AE=FD，
∵∠AFB=60
∴∠BFD=120 。
∴∠BAE=120 。(3分)
∵AD=AF+FD，
∴AD=AB+AE。(4分)
（2）证明：如图，在 AC上截取 AH=AB，连接 BH。
∵∠BAC=60 ，AB=AH。
∴△ABH是等边三角形，
∴AB=BH，∠ABH=60 。
∵线段 BD绕点 B逆时针旋转 60 得到线段 BE，
∴BD=BE，∠DBE=60 。
∴∠ABE+∠ABD=∠ABD+∠HBD，即 ∠ABE=∠HBD
在 △ABE和 △HBD中，
∴△ABE≌△HBD(SAS)，(6分)
∴AE=HD。
又 ∵△ABH为等边三角形 BG⊥AH，
∴AH=2AG。
∵AH=AD+DH=AD+AE，
∴2AG=AD+AE。(8分)
（3）解：连接 BN，如图。
∵线段 BD绕点 B逆时针旋转 60 得到线段 BE。
∴BD=BE，∠DBE=60 ，
∴△BDE是等边三角形。
∴∠BEN=60 ，
∵N为 DE中点，
∴BN⊥DE,∠EBN=∠EBD=30 。
在 Rt△BNE中，sin∠BEN==sin60 =，
∵∠BAC=60 ，BM⊥AC于 M。
∴sin∠BAM==sin60 =，
∴=。
又 ∵∠ABM=90 60 =30 ，
∴∠ABM=∠EBN
∴∠ABE+∠EBM=∠EBM+∠MBN，即 ∠ABE=∠MBN，
∴△ABE∽△MBN，
∴==，
∵MN=，
∴AE=2。
在 AD上截取 AH=AB，由（1）得 △ABH是等边三角形，△ABE≌△HBD。
∴AH=AB=4，AE=DH=2，∠BAE=∠BHD=120 ，
∴AD=AH+DH=6。
过 E作 EQ⊥AD于 Q，
∵∠BAE=120 ，∠BAC=60
∴∠EAQ=60 。
∴EQ=AE sin60 =2×=，
∵ =，AB=4，
∴BM=2。
∴四边形 ABDE的面积 =S△ADE+S△ADB=AD·EQ+AD·BM=9

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