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期中复习03 一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系
题型一．根的判别式
1．（2025秋 台州期中）一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
2．（2025春 慈溪市期中）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0
3．（2025春 诸暨市期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k B．k且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1
4．（2025春 拱墅区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x+|m﹣1|＝0有两个不相等的实数根，则下列选项中，m的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025春 余杭区校级期中）已知等腰△ABC的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个根，则m的值是（　　）
A．2 B．4 C．2或10 D．4或10
6．（2025春 慈溪市校级期中）已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实根 D．不确定
7．（2025春 义乌市校级期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a c≠0，且a+b+c＝0）有以下说法：
①方程必定有解；
②若方程的两个解相等，则a＝c；
③若x＝c是方程的解，则a＝1或c＝1．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．（2025春 浙江期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+c＝b，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根；
③若x＝c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x＝x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则；
其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2025春 义乌市期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是 　 　 ．
10．（2025春 永康市期中）等腰三角形的一边长为3，另两边的长是关于x的方程x2﹣5x+k＝0的两根，则k＝　 　 ．
11．（2025春 诸暨市期中）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法：
①若p﹣q+r＝0，则方程px2+qx+r＝0（p≠0）必有一个根为x＝﹣1；
②若方程px2+r＝0有两个不相等的实根，则方程px2+qx+r＝0（p≠0）必有两个不相等的实根；
③若x＝r是方程px2+qx+r＝0（p≠0）的一个根，则一定有pr+q+1＝0成立．
这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的是 　 　 （填序号）．
12．（2025春 嵊州市期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0（m为常数）．
（1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根；
（2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根．
13．（2025春 杭州校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+2＝0．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）在等腰△ABC中，一腰长为3，其中两边长为方程的两个根，求m的值．
14．（2025春 兰溪市校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
15．（2025春 拱墅区校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
题型二．根与系数的关系
16．（2025春 萧山区期中）若x＝0是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
17．（2025春 西湖区校级期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则（　　）
A．4 B．﹣5 C．26 D．24
18．（2025春 永康市期中）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
19．（2025春 西湖区校级期中）关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或4
20．（2025春 钱塘区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个．
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；
③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
A．1 B．2 C．3 D．4
21．（2025春 滨江区期中）请写出一个以﹣3和4为根的一元二次方程：　 　 ．
22．（2025春 瑞安市校级期中）若x＝1为方程x2﹣3mx+5＝0的一个根，则该方程的另一个根为x＝　 　 ．
23．（2025春 慈溪市校级期中）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则的值为　 　 ．
24．（2025春 西湖区校级期中）若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则代数式2α2+6α+2β+5的值为 　 　 ．
25．（2025春 萧山区期中）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根α、β，且α2+β2＝17，则m的值是 　 　 ．
26．（2025春 杭州期中）已知关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝2，则实数a的值为　 　 ．
27．（2025春 西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+（3a﹣2）x+2（a﹣2）＝0（a＞0），设方程的两个实数根x1，x2，其中x1＞x2，则x2＝ 　 　 ，若，b为常数，则b的值为 　 　 ．
28．（2025春 余杭区校级期中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝39，求m的值．
29．（2025春 杭州期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3＝0．
（1）若该方程有一个根是﹣1，求k的值．
（2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
（3）若该方程的两个实数根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝11，求k的值．
30．（2025春 浙江期中）关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）如果k是符合条件的最大整数，且关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣5x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
（3）若方程x2﹣5x+k＝0的两个实数根为x1，x2，满足x1＝4x2，求此时k的值．
31．（2025春 义乌市校级期中）已知关于x的方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0，其中a，b为实数．
（1）当a＝3，b＝﹣2时，求方程两根的平方和．
（2）当a＜0时，若方程有一个根为2a，判断a与b的大小关系并说明理由．
（3）若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围．
32．（2025春 温州期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．
（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　 　 （填序号）．
①x2﹣1＝0；
②x2﹣6x+9＝0；
③x2+3x+2＝0．
（2）若（x+2）（x﹣n）＝0是“邻根方程”，求n的值．
（3）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，c满足的数量关系，并说明理由．
33．（2025春 宁海县期中）已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；
（3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
34．（2025春 杭州期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
35．（2025春 拱墅区校级期中）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因为﹣10＜﹣3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程x2+9x+14＝0是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，求k的值；
（3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，求m的取值范围．
36．（2025春 余姚市期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果方程有两个实数根为x1，x2，那么，；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540﹣1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：已知一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．小明给出了一部分解题思路：
解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝　 　 ，
∴mn＝　 　 ，
∴m2n+mn2＝…，请填空并将过程补充完整；
（2）类比应用：一元二次方程﹣x2+mx+1＝0的一个根为x＝2，则m＝　 　 ，另一个根为x＝　 　 ；
（3）思维拓展：关于x的一元二次方程：x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，求m的值．
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期中复习03 一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系
题型一．根的判别式
1．（2025秋 台州期中）一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】依据题意，当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程无实数根，计算得出Δ＝﹣3＜0即可．
【解答】解：由题意，∵x2﹣x+1＝0，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴原方程无实数根．
故选：C．
2．（2025春 慈溪市期中）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣1且k≠0．
故选：A．
3．（2025春 诸暨市期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k B．k且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1
【答案】B
【分析】根据根的判别式得出k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，再求出k的范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，
∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，
解得：k且k≠1，
故选：B．
4．（2025春 拱墅区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x+|m﹣1|＝0有两个不相等的实数根，则下列选项中，m的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】先根据根的判别式得出关于m的不等式，再分类讨论即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+|m﹣1|＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4﹣4|m﹣1|＞0，即1﹣|m﹣1|＞0，
∴|m﹣1|＜1，
当m﹣1≥0，即m≥1时，原不等式可化为m﹣1＜1，解得m＜2；
当m﹣1＜0，即m＜1时，原不等式可化为1﹣m＜1，解得m＞0，
∴0＜m＜2，
∴m的值可以等于1．
故选：A．
5．（2025春 余杭区校级期中）已知等腰△ABC的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个根，则m的值是（　　）
A．2 B．4 C．2或10 D．4或10
【答案】B
【分析】分7为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可．
【解答】解：当7为底时，则等腰△ABC的腰长为x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝0，
解得m＝2，
此时一元二次方程为x2﹣6x+9＝0，
解得x1＝x2＝3，
因为3+3＜7，
∴3，3，7本能构成直角三角形；
当7为腰时，则方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的一个根为7，
∴72﹣2（m+1）×7+m2+5＝0，
解得m1＝4，m2＝10，
当m＝10时，此时一元二次方程为x2﹣22x+105＝0，
解得x1＝7，x2＝15，
7+7＜15，不能构成三角形；
当m＝4时，此时一元二次方程为x2﹣10x+21＝0，
解得x1＝7，x2＝3，
3+7＞7，可以构成三角形，
由上可得，m的值为4．
故选：B．
6．（2025春 慈溪市校级期中）已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实根 D．不确定
【答案】C
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号，结合三角形三边关系即可作出判断．
【解答】解：在此方程中Δ＝（a+b）2﹣4c（a+b）2﹣c2，
∵a，b，c是△ABC三条边的长，
∴a＞0，b＞0，c＞0．c＜a+b，即（a+b）2＞c2，
∴Δ＝（a+b）2﹣c2＞0，
故方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
7．（2025春 义乌市校级期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a c≠0，且a+b+c＝0）有以下说法：
①方程必定有解；
②若方程的两个解相等，则a＝c；
③若x＝c是方程的解，则a＝1或c＝1．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】由a+b+c＝0可知x＝1是原方程的解，即①正确；由x＝c是方程的解可得ac2+bc+c＝0，再说明a≠0，c≠0，进而得到b＝﹣1﹣ac；再结合b＝﹣a﹣c可得﹣a﹣c＝﹣1﹣ac，然后移项并因式分解可得（c﹣1）（a﹣1）＝0，即可判定③．
【解答】解：①一元二次方程ax2+bx+c＝0，
∵a+b+c＝0，
∴x＝1是原方程的解，即方程至少有一个根，
∴该方程必有解，正确，符合题意；
②由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：b2﹣4ac＝0，
∵a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
∵b2﹣4ac＝0，
∴（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0，整理得：（a﹣c）2＝0，即a＝c，正确，符合题意；
③∵x＝c是方程的解，
∴ac2+bc+c＝0，
∵a c≠0，
∴a≠0，c≠0，
∴ac+b+1＝0，即b＝﹣1﹣ac，
∵b＝﹣a﹣c，
∴﹣a﹣c＝﹣1﹣ac，即ac﹣a+1﹣c＝0，
∴a（c﹣1）﹣（c﹣1）＝0，即（c﹣1）（a﹣1）＝0，
∴a＝1或c＝1，正确，符合题意．
故选：D．
8．（2025春 浙江期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+c＝b，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根；
③若x＝c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x＝x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则；
其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】利用a+c＝b得到b2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，从而可对①进行判断；根据根的判别式的意义由方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根得到a≠0且Δ＝02﹣4ac＞0，则ac＜0，然后计算一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式得到Δ＞0，从而可对②进行判断；把x＝c代入方程ax2+bx+c＝0得ac+bc+c＝0，根据等式的性质可对③进行判断；根据一元二次方程解的定义得到c＝﹣（bx0），再利用代入法计算根的判别式的值，从而可对④进行判断．
【解答】解：∵a+c＝b，
∴b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，所以①正确；
∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0且Δ＝02﹣4ac＞0，
∴ac＜0，
∴对于一元二次方程ax2+bx+c＝0，Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴此方程必有两个不相等的实数根，所以②正确；
把x＝c代入方程ax2+bx+c＝0得ac+bc+c＝0，
当c≠0时，a+b+1＝0，所以③错误；
把x＝x0代入一元二次方程ax2+bx+c＝0得bx0+c＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4a（bx0）＝4a24abx0+b2＝（2ax0+b）2，所以④正确．
故选：B．
9．（2025春 义乌市期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是 　0　 ．
【答案】0．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＞0，然后解不等式取最大值即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＞0，
解得k＜1．
k的最大整数是0．
故答案为：0．
10．（2025春 永康市期中）等腰三角形的一边长为3，另两边的长是关于x的方程x2﹣5x+k＝0的两根，则k＝　6或　 ．
【答案】6或．
【分析】分3为腰长及3为底边长两种情况考虑，当3为腰长时，将x＝3代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出方程的根，再利用三角形的三边关系验证后可得出k＝6符合题意；当3为底边长时，由根的判别式Δ＝0可求出k值，将k值代入原方程可求出方程的根，再利用三角形的三边关系验证后可得出k符合题意．
【解答】解：当3为腰长时，将x＝3代入原方程得32﹣5×3+k＝0，
解得：k＝6，
∴原方程为x2﹣5x+6＝0，即（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝2，x2＝3，
∴等腰三角形的三条边长分别为2，3，3，
∵2+3＝5＞3，
∴2，3，3能组成三角形，
∴k＝6符合题意；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣5x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×k＝0，
解得：k，
∴原方程为x2﹣5x0，即（x）2＝0，
解得：x1＝x2，
∴等腰三角形的三条边长分别为，，3，
∵5＞3，
∴，，3能组成三角形，
∴k符合题意．
∴k的值为6或．
故答案为：6或．
11．（2025春 诸暨市期中）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法：
①若p﹣q+r＝0，则方程px2+qx+r＝0（p≠0）必有一个根为x＝﹣1；
②若方程px2+r＝0有两个不相等的实根，则方程px2+qx+r＝0（p≠0）必有两个不相等的实根；
③若x＝r是方程px2+qx+r＝0（p≠0）的一个根，则一定有pr+q+1＝0成立．
这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的是 　①②　 （填序号）．
【答案】①②．
【分析】①将x＝﹣1代入方程，即可判断①正确与否；
②对于方程px2+r＝0．根的判别式Δ1＝0﹣4pr＝﹣4pr＞0，进而可判断方程px2+qx+r＝0（p≠0），其根的判别式Δ2＝q2﹣4pr＞0，进而可判断有两个不相等的实根；
③将x＝r代入方程可得p×r2+q×r+r＝0，则可判断r＝0或pr+q+1＝0，不一定只有pr+q+1＝0成立，即可判断③正确与否．
【解答】解：将x＝﹣1代入方程px2+qx+r＝0（p≠0），
得到p×（﹣1）2+q×（﹣1）+r，
即p﹣q+r，
若p﹣q+r＝0，这就说明x＝﹣1时，方程px2+qx+r＝0成立，
∴方程px2+qx+r＝0必有一个根为x＝﹣1，
∴说法①正确，
对于方程px2+r＝0．其判别式Δ1＝0﹣4pr＝﹣4pr，
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴Δ1＝﹣4pr＞0，
对于方程px2+qx+r＝0（p≠0），其判别式Δ2＝q2﹣4pr，
由于q2≥0，且﹣4pr＞0，
∴q2﹣4pr＞0，
∴px2+qx+r＝0（p≠0）必有两个不相等的实根，
∴故说法②正确，
若x＝r是方程px2+qx+r＝0（p≠0）的一个根，将x＝r代入方程可得p×r2+q×r+r＝0，提取公因式r（pr+q+1）＝0，
则r＝0或pr+q+1＝0，不一定只有pr+q+1＝0成立，故说法③错误．
故答案为：①②．
12．（2025春 嵊州市期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0（m为常数）．
（1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根；
（2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根．
【分析】（1）把x＝1代入方程可求得m的值，再解方程可求得另一根；
（2）由方程根的情况可得到关于m的不等式，即可证明．
【解答】解：（1）把x＝1代入方程可得1﹣（m+1）+2m﹣2＝0，
解得m＝2，
当m＝2时，原方程为x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
即方程的另一根为2；
（2）∵a＝1，b＝﹣（m+1），c＝2m﹣2，
∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×（2m﹣2）
＝m2﹣6m+9
＝（m﹣3）2≥0，
∴不论m为何值时，方程总有两个实数根．
13．（2025春 杭州校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+2＝0．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）在等腰△ABC中，一腰长为3，其中两边长为方程的两个根，求m的值．
【分析】（1）由方程无实数根得Δ＝b2﹣4ac＜0，可得关于m的不等式，解之可得m的范围；
（2）由Δ≥0，求出m的取值范围，分两种情况：①当3是腰时，3是方程的一个根，把x＝3代入方程可求得m；②两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，由Δ＝0可求出m，两种情况都根据三角形的三边关系检验．
【解答】解：（1）Δ＝b2﹣4ac＝4m2﹣4（m﹣1）（m+2）＝﹣4m+8，
∵方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0且m﹣1≠0，
∴﹣4m+8≥0且m≠1，
解得m≤2且m≠1；
（2）根据题意得Δ＝﹣4m+8≥0且m≠1，
解得m≤2且m≠1，
当△＞0时，方程的一根是3，把x＝3代入方程得9（m﹣1）﹣6m+m+2＝0，
解得m，
此时方程的另一根为，
∵33，
∴三角形存在；
∴m，
当Δ＝﹣4m+8＝0，
∴m＝2，
∴方程为x2﹣4x+4＝0．
解得x＝2，
∵一腰长为3，
∴m＝2不合题意，
∴m，
14．（2025春 兰溪市校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
【分析】（1）由Δ＞0得到关于m的不等式，解之得到哦m的范围，根据一元二次方程的定义求得答案；
（2）由（1）知m＝5，还原方程，利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）由题意知，Δ＝（2m）2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，
解得：m＜6，
又m﹣2≠0，即m≠2，
则m＜6且m≠2；
（2）由（1）知m＝5，
则方程为3x2+10x+8＝0，
即（x+2）（3x+4）＝0，
解得x＝﹣2或x．
15．（2025春 拱墅区校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状；
（2）根据判别式的意义得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
（3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
题型二．根与系数的关系
16．（2025春 萧山区期中）若x＝0是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】方法一：利用待定系数法求出a的值，解方程即可解决问题．
方法二：利用根与系数的关系即可解决问题．
【解答】方法一：
解：∵x＝0是方程x2﹣x+m＝0的一个根，
∴m＝0，
∴x2﹣x＝0，
∴x＝0或1，
∴方程的另一个根为1，
故选：C．
方法二：
解：设另一个根为p，
则0+p＝1，
∴p＝1，
∴方程的另一个根为1，
故选：C．
17．（2025春 西湖区校级期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则（　　）
A．4 B．﹣5 C．26 D．24
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，
所以x1+x2＝4，x1x2＝﹣5，
则42﹣2×（﹣5）＝26．
故选：C．
18．（2025春 永康市期中）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义得出m+n＝﹣2，m n＝﹣5，m2＝5﹣2m，再将m2﹣mn+3m+n变形为两根之积或两根之和的形式，然后代入数值计算即可．
【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，m2+2m﹣5＝0，
∴m2＝5﹣2m，
∴m2﹣mn+3m+n
＝（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
＝10+m+n
＝10﹣2
＝8．
故选：C．
19．（2025春 西湖区校级期中）关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或4
【答案】A
【分析】根据方程的根的判别式，得出m的取值范围，然后根据根与系数的关系可得α+β＝﹣2（m﹣1），α β＝m2﹣m，
结合α2+β2＝12即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根，
∴Δ＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝﹣2（m﹣1），α β＝m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．
故选：A．
20．（2025春 钱塘区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个．
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；
③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，
②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合，
③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，
④用求根公式求出两个根，当x1＝2x2，或2x1＝x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴，x2＝﹣q，
∴，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：，，
若x1＝2x2，则，
即，
∴，
∴，
∴，
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac．
若2x1＝x2时，则，
则，
∴，
∴，
∴，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac．
故④正确，
∴正确的有：②③④共3个．
故选：C．
21．（2025春 滨江区期中）请写出一个以﹣3和4为根的一元二次方程：x2﹣x﹣12＝0　 ．
【答案】x2﹣x﹣12＝0
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设x2+mx+n＝0的两根分别是﹣3和4，
∴﹣m＝﹣3+4，n＝﹣3×4＝﹣12，
∴m＝﹣1，n＝﹣12，
∴方程为x2﹣x﹣12＝0
故答案为：x2﹣x﹣12＝0
22．（2025春 瑞安市校级期中）若x＝1为方程x2﹣3mx+5＝0的一个根，则该方程的另一个根为x＝　5　 ．
【答案】5．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【解答】解：令方程的另一个根为a，则1×a＝5，
即a＝5，
所以方程的另一个根为5．
故答案为：5．
23．（2025春 慈溪市校级期中）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则的值为　　 ．
【答案】．
【分析】利用根与系数的关系得m+n＝1，mn＝﹣3，然后把所给代数式通分后代入求解即可．
【解答】解：由根与系数的关系得，
m+n＝1，mn＝﹣3，
∴．
故答案为：．
24．（2025春 西湖区校级期中）若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则代数式2α2+6α+2β+5的值为 　4051　 ．
【答案】4051．
【分析】根据α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，得出α2+2α﹣2025＝0，α+β＝﹣2，据此求解即可．
【解答】解：根据题意得：α2+2α﹣2025＝0，
∴α2+2α＝2025，
∴2α2+6α+2β+5＝2α2+4α+2α+2β+5＝2（α2+2α）+2（α+β）+5，
∵α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣2，
∴2α2+6α+2β+5＝2×2025+2×（﹣2）+5＝4051，
故答案为：4051．
25．（2025春 萧山区期中）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根α、β，且α2+β2＝17，则m的值是 　﹣4　 ．
【答案】﹣4．
【分析】由根与系数的关系可得出α+β＝3，αβ＝m，将其代入α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ中可得出9﹣2m＝17，解得m＝﹣4．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个实数根，
∴Δ＝9﹣4m≥0，
∴m，
∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根α、β，
∴α+β＝3，αβ＝m，
∵α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝17，
∴9﹣2m＝17，
∴m＝﹣4，
故答案为﹣4．
26．（2025春 杭州期中）已知关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝2，则实数a的值为　﹣3　 ．
【答案】﹣3．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0若方程的两个实数根为x1，x2，
所以x1+x2＝﹣a﹣3，x1x2＝a+1．
又因为（x1﹣2）（x2﹣2）＝2，
所以x1x2﹣2（x1+x2）+4＝2，
即a+1﹣2（﹣a﹣3）+4＝2，
解得a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
27．（2025春 西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+（3a﹣2）x+2（a﹣2）＝0（a＞0），设方程的两个实数根x1，x2，其中x1＞x2，则x2＝ 　﹣2　 ，若，b为常数，则b的值为 　16　 ．
【答案】﹣2；16．
【分析】解方程得出，x＝﹣2，根据a＞0，得出，根据x1＞x2，得出，x2＝﹣2；根据，得出，根据非负数的性质得出，求出b的值即可．
【解答】解：ax2+（3a﹣2）x+2（a﹣2）＝0，
方程可变为：（ax+a﹣2）（x+2）＝0，
∴ax+a﹣2＝0或x+2＝0，
解得：，x＝﹣2，
∵a＞0，
∴，
∵x1＞x2，
∴，x2＝﹣2；
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：﹣2；16．
28．（2025春 余杭区校级期中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝39，求m的值．
【分析】（1）根据x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根，可知Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2+5）≥0，然后求解即可；
（2）根据（x1﹣1）（x2﹣1）＝39、根与系数的关系和（1）中m的取值范围，可以计算出m的值．
【解答】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根，
∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2+5）≥0，
解得m≥2，
即m的取值范围为m≥2；
（2）∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝39，
∴x1x2﹣x1﹣x2+1＝39，
∴x1x2﹣（x1+x2）＝38，
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根，
∴x1x2＝m2+5，x1+x2＝2（m+1），
∴（m2+5）﹣2（m+1）＝38，
解得m＝7或m＝﹣5，
由（1）可知，m≥2，
∴m的值为7．
29．（2025春 杭州期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3＝0．
（1）若该方程有一个根是﹣1，求k的值．
（2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
（3）若该方程的两个实数根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝11，求k的值．
【分析】（1）把x＝﹣1代入关于x的一元二次方程得1+2（k+1）+k2﹣3＝0，然后解关于k的一元二次方程即可；
（2）根据根的判别式的意义得到Δ＝4（k+1）2﹣4（k2﹣3）≥0，然后解不等式即可；
（3）先根据根与系数的关系得x1+x2＝2（k+1），x1x2＝k2﹣3，再利用（x1﹣1）（x2﹣1）＝11得到k2﹣3﹣2（k+1）+1＝11，解得k1＝5，k2＝﹣3，然后利用k≥﹣2确定k的值．
【解答】解：（1）把x＝﹣1代入方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3＝0得1+2（k+1）+k2﹣3＝0，
整理得k2+2k＝0，
解得k1＝0，k2＝﹣2，
即k的值为0或﹣2；
（2）根据题意得Δ＝4（k+1）2﹣4（k2﹣3）≥0，
解得k≥﹣2，
即k的取值范围为k≥﹣2；
（3）根据根与系数的关系得x1+x2＝2（k+1），x1x2＝k2﹣3，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝11，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝11，
∴k2﹣3﹣2（k+1）+1＝11，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5，k2＝﹣3，
∵k≥﹣2，
∴k的值为5．
30．（2025春 浙江期中）关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）如果k是符合条件的最大整数，且关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣5x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
（3）若方程x2﹣5x+k＝0的两个实数根为x1，x2，满足x1＝4x2，求此时k的值．
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
（2）根据（1）中的计算结果，求出k的值，据此进行计算即可．
（3）利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和，再结合x1＝4x2求出方程的解，最后代入计算求出k的值即可．
【解答】解：（1）因为关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有实数根，
所以Δ＝（﹣5）2﹣4k≥0，
解得k．
（2）由（1）知，
k的最大整数值为6．
解方程x2﹣5x+6＝0得，
x1＝2，x2＝3．
将x＝2代入（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0得，
4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，
解得m＝1．
因为m﹣1≠0，
所以m≠1，
故此情况舍去．
将x＝3代入（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0得，
9（m﹣1）+3+m﹣3＝0，
解得m，
综上所述，m的值为．
（3）因为方程x2﹣5x+k＝0的两个实数根为x1，x2，
所以x1+x2＝5．
因为x1＝4x2，
所以4x2+x2＝5，
解得x2＝1．
将x＝1代入x2﹣5x+k＝0得，
1﹣5+k＝0，
解得k＝4，
所以k的值为4．
31．（2025春 义乌市校级期中）已知关于x的方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0，其中a，b为实数．
（1）当a＝3，b＝﹣2时，求方程两根的平方和．
（2）当a＜0时，若方程有一个根为2a，判断a与b的大小关系并说明理由．
（3）若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围．
【分析】（1）先把a＝3，b＝﹣2代入x2﹣2ax﹣a+2b＝0，得出x2﹣6x﹣7＝0，解方程得出x1＝7，x2＝﹣1，然后求出结果即可；
（2）把x＝2a方入方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0得出，求出，即可得出答案；
（3）根据根的判别式得出Δ＝（2a）2﹣4（﹣a+2b）＝4a2+4a﹣8b≥0，整理得出，根据对于任何实数a，此方程都有实数根，得出对于任何实数a，恒成立，即可得出答案．
【解答】解：（1）当a＝3，b＝﹣2时，方程为x2﹣6x﹣7＝0，
解得：x1＝7，x2＝﹣1，
∴，
即两根的平方和为50．
（2）把x＝2a方入方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0得：
4a2﹣4a2﹣a+2b＝0，
整理得：，
∴，
∴，
即a＜b；
（3）由题可知Δ＝（2a）2﹣4（﹣a+2b）＝4a2+4a﹣8b≥0，
整理得：，
∵对于任何实数a，此方程都有实数根，
∴对于任何实数a，恒成立，
∴．
32．（2025春 温州期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．
（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　③　 （填序号）．
①x2﹣1＝0；
②x2﹣6x+9＝0；
③x2+3x+2＝0．
（2）若（x+2）（x﹣n）＝0是“邻根方程”，求n的值．
（3）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，c满足的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于m的方程求解即可；
（3）设方程x2+bx+c＝0的两个根x1，x2，根据“邻根方程”的定义得到|x1﹣x2|＝1，利用根与系数关系可得到b、c的数量关系．
【解答】解：（1）①解方程x2﹣1＝0得x1＝1，x2＝﹣1，
∵x1﹣x2＝1﹣（﹣1）＝2，
∴方程x2﹣1＝0不是“邻根方程”；
②解方程x2﹣6x+9＝0得x1＝x2＝3，
∵x1﹣x2＝3﹣3＝0，
∴方程x2﹣6x+9＝0不是“邻根方程”；
③解方程x2+3x+2＝0得x1＝﹣1，x2＝﹣2，
∵x1﹣x2＝﹣1﹣（﹣2）＝1，
∴方程x2+3x+2＝0是“邻根方程”．
故答案为：③．
（2）解方程（x+2）（x﹣n）＝0得：x1＝﹣2，x2＝n，
∵该方程是“邻根方程”，
∴n﹣（﹣2）＝1或﹣2﹣n＝1，
解得n＝﹣1或﹣3．
（3）设方程x2+bx+c＝0的两个根x1，x2，则|x1﹣x2|＝1，x1+x2＝﹣b，x1x2＝c，b2﹣4c＞0，
由|x1﹣x2|＝1得（x1﹣x2）2＝1，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝1，即（﹣b）2﹣4c＝1，
∴b2﹣4c＝1．
33．（2025春 宁海县期中）已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；
（3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
【分析】（1）计算方程的根的判别式，若Δ＝b2﹣4ac≥0，则证明方程总有实数根；
（2）把x＝1代入方程，得到关于k的方程，解方程求得k＝1，由k＝1得到关于x的方程为x2﹣3x+2＝0，解得另一根为2；
（3）分两种情况，求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．
【解答】解：（1）Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k）＝4（k）2≥0，此时方程有两个实数根．
综上所述，无论k取何值，此方程总有实数根．
（2）若x＝1是这个方程的一个根，则1﹣（2k+1）+4（k）＝0，
解得k＝1，
∴关于x的方程x2﹣3x+2＝0，
解方程得x1＝1，x2＝2，
∴方程的另一根是2；
（3）当a＝4为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0．
∴4（k）2＝0，解得：k．
此时原方程化为x2﹣4x+4＝0
∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2．
此时△ABC三边为4，2，2，构不成三角形，
当a＝4为腰，则b＝4为腰长，c为底，则16﹣4（2k+1）+4（k）＝0，
求得k，
∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0．
解得x＝2或4，
∴c＝2，
∴周长为4+4+2＝10．
故这个等腰三角形的周长是10．
34．（2025春 杭州期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系即可求得a、b的值，即可得到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可；
（2）根据方程根的定义得到r2+br+a＝0，两边同除r2得1＝0，即可证得x是方程②的根；
（3）根据题意b＝0，根据根与系数的关系得到m+n＝0，s+t＝0，从而得到m＝﹣n，s＝﹣t，即可得到ms＝nt，进而求得1．
【解答】解：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1，x2；
（2）∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得1＝0，
∴是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x是方程②的根；
（3）∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st，
∴amn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴1．
35．（2025春 拱墅区校级期中）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因为﹣10＜﹣3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程x2+9x+14＝0是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，求k的值；
（3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，求m的取值范围．
【分析】（1）解得方程后即可利用“限根方程”的定义进行判断；
（2）由根与系数的关系，得x1+x2，x1x2，根据x1+x2+x1x2＝﹣1，可得k＝2或﹣1，再分两种情况讨论即可求解；
（3）解此方程得：x＝﹣1或m，分两种情况：①当﹣1＜m＜0时，②当m＜﹣1时，进行讨论即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）此方程为“限根方程”，理由如下：
（x+2）（x+7）＝0，
解得x1＝﹣7，x2＝﹣2，
∵，
∴此方程为“限根方程”；
（2）由根与系数的关系，得x1+x2，x1x2，
∵x1+x2+x1x2＝﹣1，
∴1，
∴k＝2或﹣1；
①当k＝2时，x1，x2＝﹣1，
∴4，
∴k＝2符合题意；
②当k＝﹣1时，x1＝﹣2，x2＝﹣1，
∴2，
∴k＝﹣1（不合题意，舍去）．
∴k的值为2；
（3）解此方程得：x＝﹣1或m，
∵此方程为“限根方程”，
∴Δ＞0，且m＜0，即（1﹣m）2+4m＞0，
∴（m+1）2＞0，
∴m＜0且m≠﹣1；
①当﹣1＜m＜0时，x1＝﹣1，x2＝m，
∵4，
∴，
∴；
②当m＜﹣1时，x1＝m，x2＝﹣1，
∵4，
∴，
∴﹣4＜m＜﹣3．
综上所述，m的取值范围为或﹣4＜m＜﹣3．
36．（2025春 余姚市期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果方程有两个实数根为x1，x2，那么，；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540﹣1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：已知一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．小明给出了一部分解题思路：
解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝　3　 ，
∴mn＝　﹣2　 ，
∴m2n+mn2＝…，请填空并将过程补充完整；
（2）类比应用：一元二次方程﹣x2+mx+1＝0的一个根为x＝2，则m＝　　 ，另一个根为x＝　　 ；
（3）思维拓展：关于x的一元二次方程：x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，求m的值．
【分析】（1）利用根与系数的关系可得m+n＝3，mn＝﹣2，再把m2n+mn2分解因式，再代入求值即可；
（2）利用根与系数的关系可得2+x＝m，2x＝﹣1，从而可得答案；
（3）利用根与系数的关系可得，结合，可得[﹣（2m+1）]2﹣2（m2﹣2）＝21，再解方程，结合△≥0，从而可得答案．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝3，
∴mn＝﹣2，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝3×（﹣2）＝﹣6．
故答案为：3，﹣2；
（2）∵一元二次方程﹣x2+mx+1＝0的一个根为x＝2，
∴2+x＝m，2x＝﹣1，
解得：，；
故答案为：，；
（3）设关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个实数根为x1，x2，
∴，
∵这两个实数根的平方和是21，
∴，
∴[﹣（2m+1）]2﹣2（m2﹣2）＝21，
解得：m1＝﹣4，m2＝2，
∵Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）＝4m+9≥0，
∴，
∴m＝﹣4不符合题意，则m＝2．
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