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题型突破08 平行四边形的判定与性质及三角形中位线
题型一．平行四边形的性质
1．（2025春 嘉兴校级期中）平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对边平行
2．（2025春 义乌市校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（　　）
A．80° B．40° C．70° D．140°
3．（2025春 林州市期末）在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1
4．（2025春 锦江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论不一定正确的是（　　）
A．AC⊥BD B．∠BAD+∠ABC＝180°
C．AD＝BC D．OA＝OC
5．（2025秋 宁波校级期中）若以A（﹣5，2），B（﹣3，5），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2025春 龙港市期中）如图，在 ABCD中，∠ADC的角平分线交AB于点E．若平行四边形的周长为16，且BE＝2，则AE的长度为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2025春 新昌县期中）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（　　）
A．24 B．36 C．40 D．48
8．（2025春 天门期中）如图，已知点A（0，8），B（0，﹣2），E（0，5），F（﹣5，0），C为直线EF上一动点，则 ACBD的对角线CD的最小值是（　　）
A． B．4 C．5 D．
9．（2025春 金东区期末）如图，在 ABCD中，∠D＝5∠CAB，在AC上取点P，使PC＝BC，连接BP，过点P作EF⊥CD交AB，CD分别于点E，F．已知BE＝2，AE＝x，BP＝y，当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（　　）
A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2
10．（2025春 拱墅区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作EO⊥BD，交BC的延长线于点E，交CD于点F，若EF＝OF，∠CBD＝45°，，CE＝2，则下列结论中：①EO平分∠BED；②DE⊥BE；③CF：DF＝1：2；④．正确结论的个数序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
11．（2025 宁波一模）如图，四边形BCDF是平行四边形，已知∠A＝40°，∠ABF＝30°，则∠CDE＝ 　 　 ．
12．（2025春 乐清市校级期中）在 ABCD中，AE平分∠BAD交直线BC于点E，BE：EC＝2：1，AB＝6，那么 ABCD的周长是　 　 ．
13．（2026春 沙坪坝区校级月考）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠ACB的度数是　 　 ．
14．（2025春 义乌市校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，DE平分∠ADC，AF⊥DE，G是BC的中点，连结FG，则FG＝ 　 　 ．
15．（2025春 望城区期末）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8．求OB的长度及 ABCD的面积．
16．（2025春 桐柏县期末）（1）填空：
①平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边 　 　 ．
②平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角 　 　 ．
③平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线 　 　 ．
（2）在（1）中的性质1和性质2中选一个性质，补充完整并证明，我选性质 　 　 ．
已知：ABCD是平行四边形，求证： ．
17．（2025春 余杭区校级月考）如图，在 ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G．
（1）求证：BE⊥CF；
（2）若AB＝5，CF＝6，求BE的长．
18．（2025春 静海区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：AE＝FE；
（2）若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数．
题型二．平行四边形的判定
1．（2026春 南岗区校级月考）下列能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组邻角互补
C．一组对边相等，一组邻角互补 D．一组对边平行，另一组对边也平行
2．（2026春 襄城区校级月考）下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：1：2：2 B．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠B＝∠C，∠A＝∠D
3．（2026春 东台市月考）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025秋 鄞州区校级期末）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A（1，0），B（﹣1，3），C（﹣2，﹣1），再找一点D，使它与点A，B，C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（　　）
A．（﹣3，2） B．（﹣4，2） C．（0，﹣4） D．（2，4）
5．（2025秋 沙坪坝区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD＝BC，以下条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD B．∠DAO＝∠BCO C．AD＝AC D．∠BAD＝∠DCB
6．（2026春 姑苏区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使得四边形ABCD为平行四边形，则下列不正确的是（　　）
A．AD∥BC B．AD＝BC C．AB＝CD D．∠A＝∠C
7．（2026春 东阿县月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（　　）
A． B．3 C．3或 D．或
8．（2026春 沭阳县校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且BO＝DO，请你添加的一个条件是 　 ，使四边形ABCD是平行四边形．
9．（2026 丛台区校级一模）如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形ABCD为平行四边形，则这条线段为 ．
10．（2026春 工业园区校级同步）下列给出的是四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比：①1：2：3：4；②2：2：3：4；③2：3：2：3；④2：3：3：2；⑤3：2：3：2．其中能使四边形ABCD为平行四边形的是 　 　 （填序号）．
11．（2026春 襄城区校级月考）如图，线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成平行四边形的个数是 　 　 个．
12．（2026春 东台市月考）如图，已知△ABC，分别以C，A为圆心，AB，BC 的长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD，则四边形ABCD是平行四边形的依据是 　 　 ．
13．（2025秋 博山区期末）如图，已知：∠1＝∠2，AD∥BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
14．（2026春 长沙月考）如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE．求证：四边形BCDE是平行四边形．
15．（2026春 锡山区校级月考）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
16．（2025春 耀州区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是BC，AD上的点，且AE∥CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若∠BAE＝∠DCF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
17．（2025春 杭州校级月考）在①AD∥BC，②∠B+∠C＝180°，③∠B＝∠D这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C，　 　 ．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（2025春 紫阳县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝4cm，其中BD是AC边上的高，点G从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为3cm/s；同时点E由点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点E的直线EF∥AC，交BC于点F，连接EG，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5）．
解答下列问题：
（1）线段BE＝ t cm，AG＝ 　 cm（用含t的代数式表示）；
（2）求AD的长；
（3）当t为何值时，以E，F，D，G为顶点的四边形是平行四边形？
题型三．平行四边形的判定与性质
1．（2025春 广阳区校级期中）如图给出了四边形ABCD的部分数据，则α的值为（　　）
A．35° B．32° C．28° D．25°
2．（2025春 分宜县校级期中）如图，在 ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（　　）对
A．5 B．2 C．3 D．4
3．（2025春 阳东区期中）如图，在△ABC中，∠B＝49°，分别以点A，C为圆心，BC，AB长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，CD，则∠ADC的度数为（　　）
A．41° B．49° C．51° D．59°
4．（2025春 济源校级期中）如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①正确，②错误
5．（2025春 新沂市期中）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（　　）
A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④
6．（2025春 红花岗区期中）如图，在腰长为8的等腰△ABC中，AB＝AC，E，M，F分别是AB，BC，AC上的点，并且ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16
7．（2025春 衡山县期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有（　　）
A．4次 B．3次 C．2次 D．1次
8．（2025春 拱墅区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AO＝OC，∠DAC＝∠BCA，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F．若AC＝2DE，AB＝6，则BF的长为　 　 ．
9．（2025春 息县期中）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB长为4，射线CD∥AB，点E为射线CD上一点，过点E作EF⊥BC于点F，连接AE，点M为AE中点，则MF的最小值为　　 ．
10．（2025春 义乌市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝6，求EG的长．
11．（2025春 昌江县校级期中）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF．
（1）当∠BAD＝120°时，∠BCD＝　 　 ．
（2）当AD＝10，BC＝　 　 ．
（3）求证：四边形BFDE是平行四边形．
12．（2025春 历下区期中）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E为边AD上一点，且AB＝AE，连接BE．
（1）如图1，求证：BE平分∠ABC；
（2）如图2，过点A作AF⊥BE，垂足为F，延长AF，交DC的延长线于点G．若DE＝2，求CG的长．
13．（2025春 河曲县期中）如图，在△ABC中，D为AC的中点，连接BD并延长到点E，使DE＝DB，连接AE，CE．
（1）四边形ABCE　 　 （填“是”或“不是”）平行四边形，依据是　 　 ．
（2）若F，G分别为AE，BC上的点，且EF＝BG，连接CF，AG，试猜想∠AGC与∠EFC之间的数量关系，并说明理由．
14．（2025春 元氏县校级期中）已知：在 ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．
（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．
（2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
15．（2025春 海城市期中）如图，在 ABCD中，
（1）若点E、F是AD、BC的中点，连接BE、DF，求证：BE＝DF．
（2）若BE平分∠ABC且交边AD于点E，如果AB＝6cm，BC＝10cm，试求线段DE的长．
16．（2025春 郸城县期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AC中点，CE∥BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动时间为t秒．
（1）求AB与CE间的距离；
（2）t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；
（3）直接写出t为何值时，PF＝3．
题型四．三角形中位线定理
1．（2025春 瑞安市校级期中）如图，在△ABC中，BC＝30，D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长度为（　　）
A．10 B．12 C．15 D．20
2．（2025春 琼海校级期中）如图，已知DE是△ABC的中位线，F为DE上一点，且AF⊥CF，若AB＝12，，则AC的长为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．
3．（2025春 清江浦区期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且E为AF的中点，若BF＝5，DE＝4，则AB的长为（　　）
A．13 B．10 C．8 D．6
4．（2025春 黄石校级期中）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则△DOE的周长与△BOC的周长之比为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025春 黄石校级期中）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB、CA、BC的中点，若CF＝3，CE＝4，EF＝5，则CD的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
6．（2025春 龙岩校级期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明在AB外选一点C，连接AC、BC，分别取AC、BC的中点D，E，为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段（　　）
A．AC B．AD C．CD D．DE
7．（2025春 合川区期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝120°，则∠PEF的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
8．（2025春 杭州期中）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 　 　 ．
9．（2025春 徐州期中）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后测出AC，BC的中点D，E，并测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约 　 　 m．
10．（2025春 莒县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 　 　 ．
11．（2025春 绵阳校级期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，且AD＝BC，∠A＝60°，∠ABC＝86°，则∠PEF的度数是　 　 ．
12．（2025春 文登区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，F分别是AB，BC的中点，BE⊥AC于点E，连接AF，DF，DE，EF，若BC＝4，AF＝6，则△DEF的周长是　 　 ．
13．（2025春 兰山区期中）已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在AC的延长线上，且CF＝DE．求证：DC∥EF．
14．（2025春 上海校级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm．
（1）求证：DE＝BF；
（2）求四边形DEFB的周长．
15．（2025春 潮阳区校级期中）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M．
（1）求证：EFAC．
（2）连接AM，若∠BAC＝45°，AM+DM＝15，BE＝9，求CE的长．
第1页（共1页）题型突破08 平行四边形的判定与性质及三角形中位线
题型一．平行四边形的性质
1．（2025春 嘉兴校级期中）平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对边平行
【答案】C
【分析】根据平行四边性质对每一项判断即可解答．
【解答】解：∵平行四边形的性质是对边相等，对角相等，对边平行，对角线互相平分，
∴平行四边形的性质不一定是对角线相等，
故A，B，D选项不符合题意，
故选：C．
2．（2025春 义乌市校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（　　）
A．80° B．40° C．70° D．140°
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°，
∵∠A+∠C＝80°
∴∠A＝∠C＝40°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝140°，
故选：D．
3．（2025春 林州市期末）在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，根据以上结论即可选出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，
即∠A和∠C的度数相等，∠B和∠D的度数相等，且∠B+∠C＝∠A+∠D，
故选：D．
4．（2025春 锦江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论不一定正确的是（　　）
A．AC⊥BD B．∠BAD+∠ABC＝180°
C．AD＝BC D．OA＝OC
【答案】A
【分析】根据平行四边形得到AD＝BC，OA＝OC，AD∥BC，再由平行线的性质得到∠BAD+∠ABC＝180°，但是对角线不一定互相垂直，即可判断．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，OA＝OC，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
故B、C、D正确，不符合题意，A不一定成立，符合题意，
故选：A．
5．（2025秋 宁波校级期中）若以A（﹣5，2），B（﹣3，5），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】分三种情况讨论，一是以AB、BC为邻边作平行四边形，则第四个顶点在第三象限；二是以AB、AC为邻边作平行四边形，则第四个顶点在第一象限；三是以AC、BC为邻边作平行四边形，则第四个顶点在第二象限，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AB、AC、BC，
以AB、BC为邻边作平行四边形ABCD1，则点D1在第三象限；
以AB、AC为邻边作平行四边形BACD2，则点D2在第一象限；
以AC、BC为邻边作平行四边形ACBD3，则点D3在第二象限，
综上所述，第四个顶点不可能在第四象限，
故选：D．
6．（2025春 龙港市期中）如图，在 ABCD中，∠ADC的角平分线交AB于点E．若平行四边形的周长为16，且BE＝2，则AE的长度为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由平行四边形的性质及等腰三角形的性质可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∴∠CDE＝∠DEA，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DEA，
∴AD＝AE，
∵平行四边形的周长为16，AD＝BC，CD＝AB，
∴AD+AB＝8，
∵BE＝2，
∴AD+AE＝6，
∵AD＝AE，
∴AE＝AD＝3，
故选：A．
7．（2025春 新昌县期中）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（　　）
A．24 B．36 C．40 D．48
【答案】D
【分析】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论．
【解答】解：设BC＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长为40，
∴BC+CD＝20，
∴CD＝20﹣x，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∵ ABCD的面积＝BC AE＝CD AF，
∴4x＝6（20﹣x），
解得：x＝12，
∴ ABCD的面积＝BC AE＝12×4＝48．
故选：D．
8．（2025春 天门期中）如图，已知点A（0，8），B（0，﹣2），E（0，5），F（﹣5，0），C为直线EF上一动点，则 ACBD的对角线CD的最小值是（　　）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【分析】利用待定系数法求出直线EF的解析式为y＝x+5，设C（x，x+5），根据平行四边形的性质得D（﹣x，1﹣x），由勾股定理可得CD2＝（2x）2+（1﹣x﹣x﹣5）2＝8（x+1）2+8，根据非负数的性质可得CD2的最小值是8，即可得CD的最小值．
【解答】解：设直线EF的解析式为y＝kx+b，
∵E（0，5），F（﹣5，0），
∴，解得，
∴直线EF的解析式为y＝x+5，
设C（x，x+5），
∵四边形ACBD是平行四边形，A（0，8），B（0，﹣2），
∴D（﹣x，1﹣x），
∴CD2＝（2x）2+（1﹣x﹣x﹣5）2＝8（x+1）2+8，
∴CD2的最小值是8，
∴CD的最小值是2．
故选：A．
9．（2025春 金东区期末）如图，在 ABCD中，∠D＝5∠CAB，在AC上取点P，使PC＝BC，连接BP，过点P作EF⊥CD交AB，CD分别于点E，F．已知BE＝2，AE＝x，BP＝y，当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（　　）
A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2
【答案】B
【分析】设∠CAB＝α，再依次求出∠ABC＝∠D＝5α，∠CPB＝∠CBP＝3α，∠PBA＝2α，由此想到在AE上取QE＝BE＝2，连接PQ，推出QA＝QP＝BP＝y，进而可利用线段间的和差关系解决问题．
【解答】解：设∠CAB＝α，则∠D＝5∠CAB＝5α，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝5α，AB∥CD，
在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣α﹣5α＝180°﹣6α，
∵PC＝BC，
∴∠CPB＝∠CBP3α，
∴∠PBA＝∠ABC﹣∠CBP＝5α﹣3α＝2α，
如图，在AE上取QE＝BE＝2，连接PQ，
∵EF⊥CD，AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∴EF是QB的垂直平分线，
∴PQ＝PB，
∴∠PQB＝∠PBQ＝2α，
∴∠QPA＝∠PQB﹣∠CAB＝2α﹣α＝α，
∴∠QPA＝∠CAB＝α，
∴AQ＝QP＝BP＝y，
∵AE＝x，
∴AE﹣AQ＝QE＝2，即x﹣y＝2，
∴x，y发生变化时，x﹣y不变．
故选：B．
10．（2025春 拱墅区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作EO⊥BD，交BC的延长线于点E，交CD于点F，若EF＝OF，∠CBD＝45°，，CE＝2，则下列结论中：①EO平分∠BED；②DE⊥BE；③CF：DF＝1：2；④．正确结论的个数序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】①根据平行四边形的性质得OB＝OD，则EO是线段BD的垂直平分线，进而得△EBD是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可对结论结论①进行判断；②根据∠CBD＝45°得△BED是等腰直角三角形，由此可对结论②进行判断；③过点F作FN⊥CE于点E，先求出DE＝BE＝6，，，证明△EFN是等腰直角三角形，可求出，根据勾股定理求得，，进而得到，即可得到CF：DF＝1：3，据此可对结论③进行判断，④分别求出S△CEF＝1.5，S ABCD＝24，进而可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分），
∵EO⊥BD，
∴EO是线段BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∴△EBD是等腰三角形，
∵OB＝OD，
∴EO平分∠BED，故①正确；
②∵∠CBD＝45°，BE＝DE，
∴∠BDE＝∠CBD＝45°，
∴∠BED＝180°﹣∠BDC﹣∠CBD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴DE⊥BE，故②正确；
③过点F作FN⊥CE于点E，
∵∠BED＝90°，BE＝DE，
∴△BED是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵EO⊥BD，
∴，
∴△OBE是等腰直角三角形，，
∴∠BEO＝45°，
∴△EFN是等腰直角三角形，
∴，
∵CE＝2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③错误；
，
∴，
∵DE＝BE＝6，
∴BC＝BE﹣CE＝6﹣2＝4，
∴S ABCD＝BC DE＝4×6＝24，
∴，
∴，故④正确．
综上：所有正确结论的序号是①②④．故选：B．
11．（2025 宁波一模）如图，四边形BCDF是平行四边形，已知∠A＝40°，∠ABF＝30°，则∠CDE＝ 　 　 ．
【答案】70°
【分析】先利用三角形的外角性质求得∠BFD的度数，再根据平行四边形的性质推出FB∥CD，利用平行线的性质，即可求出答案．
【解答】解：∵∠A＝40°，∠ABF＝30°，
∴∠BFD＝∠A+∠ABF＝70°，
∵四边形BCDF是平行四边形，
∴FB∥CD，
∴∠CDE＝∠BFD＝70°，
故答案为：70°．
12．（2025春 乐清市校级期中）在 ABCD中，AE平分∠BAD交直线BC于点E，BE：EC＝2：1，AB＝6，那么 ABCD的周长是　 　 ．
【答案】30或18．
【分析】首先根据题意作图，由AE平分∠BAD交直线BC于点E，可知点E在边BC上或者在其延长线上；分别求解即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝6，
如图1，∵BE：EC＝2：1，
∴EC＝3，
∴AD＝BC＝9，AB＝CD＝6，
∴这个四边形的周长是：9+6+9+6＝30；
如图2，∵BE：EC＝2：1，
∴EC＝3，
∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝6，
∴这个四边形的周长是：3+6+3+6＝18；
∴这个四边形的周长是：30或18．
故答案为：30或18．
13．（2026春 沙坪坝区校级月考）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠ACB的度数是　 　 ．
【答案】52°．
【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，
∴∠BAC＝26°，
∴∠ACB＝52°，
故答案为：52°．
14．（2025春 义乌市校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，DE平分∠ADC，AF⊥DE，G是BC的中点，连结FG，则FG＝ 　 　 ．
【答案】2．
【分析】延长DE交AB的延长线于点T，过点F作FH∥AD交AB于点H，先证明∠T＝∠ADE得AT＝AD＝8，进而得BT＝2，再证明FH是△ATD的中位线得AH＝TH，进而根据直角三角形斜边中线性质得FH＝TH＝AH＝4，由此得FH＝BG＝4，BH＝2，然后证明四边形BGHB是平行四边形即可得出FG的长．
【解答】解：延长DE交AB的延长线于点T，过点F作FH∥AD交AB于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝6，AD＝8，
∴CD＝AB＝6，BC＝BC＝AD＝8，AB∥CD，AD∥BC，
∵点G是BC的中点，
∴BGBC4，
∵AB∥CD，
∴∠T＝∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠T＝∠ADE，
∴AT＝AD＝8，
∴BT＝AT﹣AB＝8﹣6＝2，
在△ADT中，AT＝AD＝8，AF⊥BT，
∴DF＝TF，△AFT是直角三角形，
∵FH∥AD交AB于点H，
∴FH是△ATD的中位线，
∴AH＝TH，
在Rt△AFT中，FH是斜边AT上的中线，
∴FH＝TH＝AHAT＝4，
∴FH＝BG＝4，BH＝TH﹣BT＝4﹣2＝2，
∵FH∥AD，AD∥BC，
∴FH∥BC，
∴四边形BGHB是平行四边形，
∴FG＝BH＝2．
故答案为：2．
15．（2025春 望城区期末）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8．求OB的长度及 ABCD的面积．
【分析】直接利用勾股定理得出BD的长，再由平行四边形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵BD⊥AD，AB＝10，AD＝8，
∴BD6．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OBBD＝3，
∴S ABCD＝6×8＝48．
16．（2025春 桐柏县期末）（1）填空：
①平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边 　 　 ．
②平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角 　 　 ．
③平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线 　 　 ．
（2）在（1）中的性质1和性质2中选一个性质，补充完整并证明，我选性质 　 　 ．
已知：ABCD是平行四边形，求证： ．
【分析】（1）根据平行四边形的性质求解；
（2）选择①，利用全等三角形的性质证明即可．
【解答】解：（1）①平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等．
②平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角相等．
③平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线互相平分．
故答案为：相等，相等，互相平分；
（2）选择性质①．
已知：四边形ABC都是平行四边形，
求证：AB＝CD，AD＝BC．
证明：如图，连接AC．
∵四边形ABC都是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ACB＝∠DAC，
在△ABC和△CDA中，，
∴△ABC≌△CDA（ASA），
∴AB＝CD，AD＝BC．
故答案为：①，AB＝CD，AD＝BC．
17．（2025春 余杭区校级月考）如图，在 ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G．
（1）求证：BE⊥CF；
（2）若AB＝5，CF＝6，求BE的长．
【分析】（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCBABC∠DCB＝90°，进而可得BE⊥CF；
（2）过A作AM∥FC，首先证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
∴∠EBC+∠FCBABC∠DCB＝90°，
∴EB⊥FC；
（2）解：如图，过A作AM∥FC，交BE于点O，
∵AM∥FC，
∴∠AOB＝∠FGB，
∵EB⊥FC，
∴∠FGB＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝5，
∵AO⊥BE，
∴BO＝EO，
在△AOE和△MOB中，，
∴△AOE≌△MOB（ASA），
∴AO＝MO，
∵AF∥CM，AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM＝FC＝6，
∴AO＝3，
∴EO4，
∴BE＝8．
18．（2025春 静海区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：AE＝FE；
（2）若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出∠D＝∠ECF，由ASA即可证出△ADE≌△FCE，进而解答即可；
（2）证出AB＝FB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠D＝∠ECF，
在△ADE和△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE＝FE；
（2）解：∵△ADE≌△FCE，
∴AD＝FC，
∵AD＝BC，AB＝2BC，
∴AB＝FB，
∴∠BAF＝∠F＝36°，
∴∠B＝180°﹣2×36°＝108°．
题型二．平行四边形的判定
1．（2026春 南岗区校级月考）下列能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组邻角互补
C．一组对边相等，一组邻角互补 D．一组对边平行，另一组对边也平行
【答案】D
【分析】根据平行四边形的定义和判定定理，对各选项逐一判断即可得到结果．
【解答】解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故A不符合题意．
B．一组对边平行，一组邻角互补的四边形可能是直角梯形，不能判定是平行四边形，故B不符合题意．
C．一组对边相等，一组邻角互补，无法推出两组对边平行或相等，不能判定是平行四边形，故C不符合题意．
D．四边形一组对边平行，另一组对边也平行，即两组对边分别平行，根据平行四边形的定义，可知该四边形是平行四边形，故D符合题意．
故选：D．
2．（2026春 襄城区校级月考）下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：1：2：2 B．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠B＝∠C，∠A＝∠D
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．
【解答】解：A．∵∠A：∠B：∠C：∠D＝1：1：2：2，
∴，，
∴∠B+∠A＝120°，
∴AD与BC不平行，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故本项不符合题意；
B．AB＝AD，CB＝CD，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故本项不符合题意；
C．AB＝CD，AD＝BC，两组对边分别相等，可以判定四边形ABCD为平行四边形，故本项符合题意；
D．∠B＝∠C，∠A＝∠D，且∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，可得∠B+∠A＝180°，
∴AD∥CB，只有一组对边平行，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故本项不符合题意．
故选：C．
3．（2026春 东台市月考）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】依据题意，根据平行四边形的判定定理逐个进行分析可以判断得解．
【解答】解：A、∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
B、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C、∵∠ACB＝∠DAC＝40°，
∴AD∥BC，
∵AB＝CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
D、∠ACB＝∠CAD＝40°，
∴AD∥BC，
∵∠ABD＝∠BDC＝35°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
故选：C．
4．（2025秋 鄞州区校级期末）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A（1，0），B（﹣1，3），C（﹣2，﹣1），再找一点D，使它与点A，B，C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（　　）
A．（﹣3，2） B．（﹣4，2） C．（0，﹣4） D．（2，4）
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质得出满足条件的点D有三个．
【解答】解：满足条件的点D有三个，坐标分别为（2，4）或（﹣4，2）或（0，﹣4），
∴点D的坐标不可能是（﹣3，2），
故选：A．
5．（2025秋 沙坪坝区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD＝BC，以下条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD B．∠DAO＝∠BCO C．AD＝AC D．∠BAD＝∠DCB
【答案】B
【分析】根据平行线的判定得出AD∥BC，进而利用平行四边形的判定解答即可．
【解答】解：A、∵AB∥CD，AD＝BC，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
B、∵∠DAO＝∠BCO，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
C、∵AD＝AC，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
D、∵∠BAD＝∠DCB，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
故选：B．
6．（2026春 姑苏区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使得四边形ABCD为平行四边形，则下列不正确的是（　　）
A．AD∥BC B．AD＝BC C．AB＝CD D．∠A＝∠C
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【解答】解：A、根据AB∥CD，AD∥BC，能判断四边形ABCD为平行四边形，故A不符合题意；
B、根据AB∥CD，AD＝BC，不能判断四边形ABCD为平行四边形，故B符合题意；
C、根据AB∥CD，AB＝CD，能判断四边形ABCD为平行四边形，故C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠A＝∠C，
∴∠ABC+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故D不符合题意；
故选：B．
7．（2026春 东阿县月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（　　）
A． B．3 C．3或 D．或
【答案】D
【分析】分两种情形由平行四边形的判定列出方程即可解决问题．
【解答】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝9+3t﹣12，解得t，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝12﹣9﹣3t，解得t，
综上所述，t或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
故选：D．
8．（2026春 沭阳县校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且BO＝DO，请你添加的一个条件是 　 ，使四边形ABCD是平行四边形．
【答案】AD∥BC（答案不唯一）．
【分析】根据平行四边形的判定方法作答即可．
【解答】解：添加条件：AD∥BC，
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，
∵∠AOD＝∠COB，DO＝BO，
∴△DAO≌△BCO（AAS），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：AD∥BC（答案不唯一）．
9．（2026 丛台区校级一模）如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形ABCD为平行四边形，则这条线段为 ．
【答案】AD．
【分析】根据已知条件结合平行线的判定得出AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，则需满足AD＝BC，即可求解．
【解答】解：当AD＝5时，
∵BC＝5，
∴AD＝BC，
∵∠DAC＝∠BCA＝55°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
故答案为：AD．
10．（2026春 工业园区校级同步）下列给出的是四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比：①1：2：3：4；②2：2：3：4；③2：3：2：3；④2：3：3：2；⑤3：2：3：2．其中能使四边形ABCD为平行四边形的是 　 　 （填序号）．
【答案】③⑤．
【分析】由“两组对角对边相等的四边形是平行四边形”进行判断即可．
【解答】解：①∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1：2：3：4，
∴四边形ABCD的四个角都不相等，
∴四边形ABCD不是平行四边形，故①不符合题意；
②∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为2：2：3：4，
即四边形ABCD的两组对角不是分别相等，
∴四边形ABCD不是平行四边形，故②不符合题意；
③∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为2：3：2：3，
即四边形ABCD的两组对角分别相等，
∴四边形ABCD是平行四边形，故③符合题意；
④∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为2：3：3：2，
即四边形ABCD的两组对角不是分别相等，
∴四边形ABCD不是平行四边形，故④符合题意；
⑤∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为3：2：3：2，
即四边形ABCD的两组对角分别相等，
∴四边形ABCD是平行四边形，故⑤符合题意；
故答案为：③⑤．
11．（2026春 襄城区校级月考）如图，线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成平行四边形的个数是 　 　 个．
【答案】4
【分析】根据平行四边形的判定解答即可．
【解答】解：对图形进行标记如下：
①顺次连接EF、FN、NM、ME，可得四边形EFNM为平行四边形；
②顺次连接AD、DB、BC、CA，可得四边形ADBC为平行四边形；
③顺次连接ED、DN、NC、CE，可得平行四边形EDNC；
④顺次连接AF、FB、BM、MA，可得四边形AFBM为平行四边形．
综上分析，可得这些点可以构成4个平行四边形．
故答案为：4．
12．（2026春 东台市月考）如图，已知△ABC，分别以C，A为圆心，AB，BC 的长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD，则四边形ABCD是平行四边形的依据是 　 　 ．
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【分析】利用平行四边形的判定方法可直接求解．
【解答】解：∵分别以点A，C为圆心，BC，AB长为半径作弧，两弧交于点D，
∴BC＝AD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
13．（2025秋 博山区期末）如图，已知：∠1＝∠2，AD∥BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】根据内错角相等，两直线平行得到AB∥CD，结合题意，根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可求解．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边平行的四边形是平行四边形）．
14．（2026春 长沙月考）如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE．求证：四边形BCDE是平行四边形．
【分析】根据平行线的性质和判定证得EB∥DC，再根据平行四边形的判定即可证得结论．
【解答】证明：∵EF∥AC，
∴∠EDC+∠C＝180°，
又∵∠EDC＝∠CBE，
∴∠CBE+∠C＝180°，
∴EB∥DC，
∵DE∥BC，BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形．
15．（2026春 锡山区校级月考）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】由条件可利用ASA，可得OE＝OF，则可求得AE＝CF，可求得OA＝OC，则可证得四边形ABCD为平行四边形．
【解答】证明：∵∠EOB与∠FOD是对顶角，
∴∠EOB＝∠FOD，
在△BEO和△DFO中，，
∴△BEO≌△DFO（ASA）；
∴OE＝OF，
∵AE＝CF，
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
16．（2025春 耀州区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是BC，AD上的点，且AE∥CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若∠BAE＝∠DCF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】（1）欲证明四边形AECF是平行四边形，只需推知AF∥EC，AE∥CF；
（2）由（1）中平行四边形的对角相等推知∠EAF＝∠FCE，∠AEC＝∠AFC，结合已知条件∠BAE＝∠DCF和三角形外角性质可以得到：∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，所以根据两组对角相等的四边形为平行四边形证得结论．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴AF∥EC．
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）由（1）知，四边形AECF是平行四边形，则∠EAF＝∠FCE，∠AEC＝∠AFC．
∵∠BAE＝∠DCF，∠AEC＝∠B+∠BAE，∠AFC＝∠D+∠DCF，
∴∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形．
17．（2025春 杭州校级月考）在①AD∥BC，②∠B+∠C＝180°，③∠B＝∠D这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C，　 　 ．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：选择①．∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形；
选择②．∵∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形；
选择③．∵∠B＝∠D，∠A＝∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：①或②或③．
18．（2025春 紫阳县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝4cm，其中BD是AC边上的高，点G从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为3cm/s；同时点E由点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点E的直线EF∥AC，交BC于点F，连接EG，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5）．
解答下列问题：
（1）线段BE＝ t cm，AG＝ 　 cm（用含t的代数式表示）；
（2）求AD的长；
（3）当t为何值时，以E，F，D，G为顶点的四边形是平行四边形？
【分析】（1）根据路程＝速度×时间，计算即可；
（2）如图，过点A作AH⊥BC于点H．利用勾股定理求出AH，再利用面积法求出BD，再利用勾股定理求出AD即可；
（3）根据EF＝DG，构建方程求解．
【解答】解：（1）由题意BE＝tcm，AG＝3tcm．
故答案为：t，3t；
（2）如图，过点A作AH⊥BC于点H．
∵AB＝AC＝10cm，BC＝4cm，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝2，
∴AH4（cm），
∵BD⊥AC，
∴ AC BD BC AH，
∴BD8，
∴AD6（cm）；
（3）∵EF∥AC，
∴当EF＝DG时，以E，F，D，G为顶点的四边形是平行四边形，
∴t＝|6﹣3t|，
解得t或3（舍去）．
∴当t时，以E，F，D，G为顶点的四边形是平行四边形．
题型三．平行四边形的判定与性质
1．（2025春 广阳区校级期中）如图给出了四边形ABCD的部分数据，则α的值为（　　）
A．35° B．32° C．28° D．25°
【答案】D
【分析】由题意得，OA＝OC＝4，OB＝OD＝6，推出四边形ABCD是平行四边形，再利用平行四边形的性质即可求解．
【解答】解：由题意得，OA＝OC＝4，OB＝OD＝6，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴α＝∠DBC＝∠ADB＝25°，
故选：D．
2．（2025春 分宜县校级期中）如图，在 ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（　　）对
A．5 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定与性质可知，平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对面积相等的平行四边形．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，S△ABD＝S△CBD．
∵GH∥AB，EF∥BC，
∴GH∥AB∥CD，EF∥BC∥AD，
∴四边形ABHG、四边形CDGH、四边形BHPE、四边形CHPF、四边形AEPG、四边形DFPG、四边形AEFD、四边形BCFE都是平行四边形，
∵BP是平行四边形BEPH的对角线，
∴S△BEP＝S△BHP，
∵PD是平行四边形GPFD的对角线，
∴S△GPD＝S△FPD．
∴S△ABD﹣S△BEP﹣S△GPD＝S△BCD﹣S△BHP﹣S△PFD，
即S AEPG＝S HCFP，
∴S ABHG＝S BCFE，
同理S AEFD＝S HCDG．
即：S ABHG＝S BCFE，S AGPE＝S HCFP，S AEFD＝S HCDG．
故选：C．
3．（2025春 阳东区期中）如图，在△ABC中，∠B＝49°，分别以点A，C为圆心，BC，AB长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，CD，则∠ADC的度数为（　　）
A．41° B．49° C．51° D．59°
【答案】B
【分析】判定四边形ABCD是平行四边形，推出∠ADC＝∠B＝49°．
【解答】解：由题意得到：AD＝BC，CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠B＝49°．
故选：B．
4．（2025春 济源校级期中）如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①正确，②错误
【答案】B
【分析】根据作图过程可得AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，由l1∥l2，可得∠ADB＝∠CBD，然后可以证明四边形ABCD是菱形，进而可以解决问题．
【解答】解：根据作图过程可知：AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
∵l1∥l2，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝CB，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD对角线互相垂直．
∴①错误，②正确．
故选B．
5．（2025春 新沂市期中）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（　　）
A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【分析】①正确．根据平行四边形的判定方法即可判断．
②错误．观察图形即可判断．
③错误．面积是变小了．
④正确．根据平行四边形性质即可判断．
【解答】解：∵两组对边的长度分别相等，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确，
∵向右扭动框架，
∴BD的长度变大，故②错误，
∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了，
∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误，
∵平行四边形ABCD的四条边不变，
∴四边形ABCD的周长不变，故④正确．
故所有正确的结论是①④．
故选：B．
6．（2025春 红花岗区期中）如图，在腰长为8的等腰△ABC中，AB＝AC，E，M，F分别是AB，BC，AC上的点，并且ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】D
【分析】根据题意得出四边形MEAF是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得∠B＝∠EMB，得出EM＝EB，则AE+AF＝AB，进而根据平行四边形的性质，即可求解．
【解答】解：∵ME∥AC，MF∥AB，
∴四边形MEAF是平行四边形，
∴FM＝AE，EM＝AF，
∵ME∥AC，
∴∠EMB＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠EMB，
∴EM＝EB，
∴AF＝BE，
∴AE+AF＝AE+BE＝AB，
∵AB＝AC＝8，
∴平行四边形MEAF的周长＝2（AE+AF）＝2AB＝2×8＝16；
故选：D．
7．（2025春 衡山县期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有（　　）
A．4次 B．3次 C．2次 D．1次
【答案】B
【分析】易得两点运动的时间为12s，PD＝BQ，那么以P、D、Q、B四点组成平行四边形，列式可求得一次组成平行四边形，算出Q在BC上往返运动的次数可得平行的次数．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC＝AD＝12，AD∥BC，
∵四边形PDQB是平行四边形，
∴PD＝BQ，
∵P的速度是1cm/秒，
∴两点运动的时间为12÷1＝12s，
∴Q运动的路程为12×4＝48cm，
∴在BC上运动的次数为48÷12＝4次．
第一次PD＝QB时，12﹣t＝12﹣4t，解得t＝0，不合题意，舍去；
第二次PD＝QB时，Q从B到C的过程中，12﹣t＝4t﹣12，解得t＝4.8；
第三次PD＝QB时，Q运动一个来回后从C到B，12﹣t＝36﹣4t，解得t＝8；
第四次PD＝QB时，Q在BC上运动3次后从B到C，12﹣t＝4t﹣36，解得t＝9.6．
∴在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有3次，
故选：B．
8．（2025春 拱墅区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AO＝OC，∠DAC＝∠BCA，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F．若AC＝2DE，AB＝6，则BF的长为　 　 ．
【答案】3．
【分析】证明△AOD≌△COB，根据全等三角形的性质得到OD＝OB，证明四边形ABCD为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式计算得到答案．
【解答】解：在△AOD和△COB中，，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴OD＝OB，
又∵AO＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴S四边形ABCD＝AB DEAC BF×2，
∵AC＝2DE，AB＝6，
∴BF＝3，
故答案为：3．
9．（2025春 息县期中）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB长为4，射线CD∥AB，点E为射线CD上一点，过点E作EF⊥BC于点F，连接AE，点M为AE中点，则MF的最小值为　　 ．
【答案】．
【分析】延长EF交AB于点N，连接CM，MN，易得四边形ANEC是平行四边形，进而得到C，M，N三点共线，再利用直角三角形的性质得到，当CN⊥CD时，CN有最小值，即MF有最小值，求出∠ACN＝30°，即可求出，利用勾股定理即可求出CN，即可解答．
【解答】解：延长EF交AB于点N，连接CM，MN，
∵∠CFE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴AC∥EN，
∵CD∥AB，
∴四边形ANEC是平行四边形，
∵点M为AE中点，
∴C，M，N三点共线，
∵∠CFN＝90°，
∴，
当CN⊥CD时，CN有最小值，即MF有最小值，
∵Rt△ACB中，∠B＝30°，AB＝4，
∴，∠BAC＝60°，
∵∠NCD＝90°，CD∥AB，
∴∠CNA＝90°，
∴∠ACN＝30°，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
10．（2025春 义乌市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝6，求EG的长．
【分析】（1）证△FCE≌△ACD（ASA），得EF＝AD，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得DF＝AE＝6，再由等腰三角形的性质得CD＝BD＝2，则DE＝2CD＝4，进而由勾股定理得EF＝2，然后由面积法求出EG的长即可．
【解答】（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠FEC＝∠ADC，
又∵CE＝CD，∠FCE＝∠ACD，
∴△FCE≌△ACD（ASA），
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：如图，
由（1）可知，四边形ADFE是平行四边形，
∴DF＝AE＝6，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD＝2，
∴CE＝CD＝2，
∴DE＝2CD＝4，
∵EF∥AD，
∴EF⊥BC，
∴∠DEF＝90°，
∴EF2，
∵EG⊥DF，
∴S△DEFDF EG EF，
∴EG，
即EG的长为．
11．（2025春 昌江县校级期中）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF．
（1）当∠BAD＝120°时，∠BCD＝　 　 ．
（2）当AD＝10，BC＝　 　 ．
（3）求证：四边形BFDE是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质求解即可；
（2）根据平行四边形的性质求解即可；
（3）根据平行四边形对角线互相平分得到OA＝OC，OB＝OD，再证明OE＝OF，则可由对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠BAD＝120°，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
故答案为：120°；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
故答案为：10；
（3）证明：∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
12．（2025春 历下区期中）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E为边AD上一点，且AB＝AE，连接BE．
（1）如图1，求证：BE平分∠ABC；
（2）如图2，过点A作AF⊥BE，垂足为F，延长AF，交DC的延长线于点G．若DE＝2，求CG的长．
【分析】（1）根据平行四边形的判定求出四边形ABCD是平行四边形，∠AEB＝∠CBE，结合等腰三角形的性质求出∠ABE＝∠CBE，由角平分线的定义可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质定理及平行线的性质求出∠BAG＝∠G，AB＝CD，根据等腰三角形的性质求出∠BAG＝∠EAG，则∠EAG＝∠G，再根据等腰三角形的判定及线段的和差求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠AEB＝∠CBE，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，AB＝CD，
∵AB＝AE，AF⊥BE，
∴∠BAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠G，
∴DG＝AD，
∵DE＝AD﹣AE＝2，AB＝AE＝CD，
∴CG＝DG﹣CD＝2．
13．（2025春 河曲县期中）如图，在△ABC中，D为AC的中点，连接BD并延长到点E，使DE＝DB，连接AE，CE．
（1）四边形ABCE　 　 （填“是”或“不是”）平行四边形，依据是　 　 ．
（2）若F，G分别为AE，BC上的点，且EF＝BG，连接CF，AG，试猜想∠AGC与∠EFC之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到答案；
（2）证明四边形AGCF是平行四边形，得到∠AGC＝∠AFC，即可证得结论．
【解答】解：（1）∵D是边AC的中点，
∴AD＝CD，
∵DE＝BD，
∴四边形ABCE是平行四边形，
故答案为：是，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）∠AGC+∠EFC＝180°．理由如下：
由（1）知，四边形ABCE是平行四边形，
∴AE∥BC，AE＝BC，
∵EF＝BG，
∴AF＝CG，AF∥CG，
∴四边形AGCF是平行四边形，
∴∠AGC＝∠AFC，
∵∠AFC+∠EFC＝180°，
∴∠AGC+∠EFC＝180°．
14．（2025春 元氏县校级期中）已知：在 ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．
（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．
（2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【分析】（1）易证∠DPC＝∠DCP，得DP＝CD，又CD＝CP，则△PDC是等边三角形，即可得出结果；
（2）若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD＝BQ，设运动时间为t秒，
①当0≤t≤3时，6﹣0.5t＝6﹣2t，解得t＝0；
②当3＜t≤6时，6﹣0.5t＝2t﹣6，解得t＝4.8；
③当6＜t≤9时，6﹣0.5t＝18﹣2t，解得t＝8；
④当9＜t≤12时，6﹣0.5t＝2t﹣18，解得t＝9.6．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DPC＝∠PCB，
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCD＝∠PCB，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝CD，
∵CD＝CP，
∴CP＝CD＝DP，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠B＝60°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴PD∥BC，
若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD＝BQ，
设运动时间为t秒，
①当0≤t≤3时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝6﹣2t，
∴6﹣0.5t＝6﹣2t，
解得：t＝0；
②当3＜t≤6时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣6，
∴6﹣0.5t＝2t﹣6，
解得：t＝4.8；
③当6＜t≤9时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝18﹣2t，
∴6﹣0.5t＝18﹣2t，
解得：t＝8；
④当9＜t≤12时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣18，
∴6﹣0.5t＝2t﹣18，
解得：t＝9.6；
综上所述，当运动时间为0秒或4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
15．（2025春 海城市期中）如图，在 ABCD中，
（1）若点E、F是AD、BC的中点，连接BE、DF，求证：BE＝DF．
（2）若BE平分∠ABC且交边AD于点E，如果AB＝6cm，BC＝10cm，试求线段DE的长．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD＝BC，又由点E、F分别是 ABCD边AD、BC的中点，可得DE＝BF，证得四边形BFDE是平行四边形，即可证得结论．
（2）由平行线的性质和角平分线得出∠ABE＝∠AEB，证出AE＝AB＝6cm，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E、F分别是 ABCD边AD、BC的中点，
∴DEAD，BFBC，
∴DE＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝DF．
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝6cm，
∴DE＝AD﹣AE＝10cm﹣6cm＝4cm．
16．（2025春 郸城县期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AC中点，CE∥BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动时间为t秒．
（1）求AB与CE间的距离；
（2）t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；
（3）直接写出t为何值时，PF＝3．
【分析】（1）根据勾股定理，可得AB的长，根据面积的不同表示方法，可得答案；
（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案；
（3）根据平行四边形的判定与性质，可得；根据等腰三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质，可得t＝4.3．
【解答】解：（1）如图，作CH⊥AB于点H，
∵BC＝3，AC＝4，
∴根据勾股定理得：AB5，
∴AB CHAC BC，即5×CH4×3，
∴CH，
则AB与CE间的距离为；
（2）∵D是AC中点，
∴当P为AB中点时，PD∥BC，
又∵CE∥BA，
∴四边形PBCF为平行四边形，
此时PBAB，即t；
（3）∵EC∥AB，
∴∠A＝∠FCD，∠APD＝∠CFD．
在△ADP和△CDF中，
∴△ADP≌△CDF，
FD＝DPBC，
∴P是AB的中点，
PB，即t；
作FH∥BC，FG⊥AB于G，如图1，
∵EC∥AB，
∴∠A＝∠FCD，∠APD＝∠CFD．
在△ADP和△CDF中，
∴△ADP≌△CDF，
AP＝FC．
∵FH∥BC，FC∥HB，
∴FH＝BC＝PF＝3，HB＝FC＝AP．
∵FG2.4．
HG1.8，
PH＝2HG＝3.6．
HB＝AP0.7，
PB＝AB﹣AP＝5﹣0.7＝4.3，
即t＝4.3，
综上所述：t的值为，4.3．
题型四．三角形中位线定理
1．（2025春 瑞安市校级期中）如图，在△ABC中，BC＝30，D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长度为（　　）
A．10 B．12 C．15 D．20
【答案】C
【分析】三角形的中位线等于第三边的一半，由此即可计算．
【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC30＝15．
故选：C．
2．（2025春 琼海校级期中）如图，已知DE是△ABC的中位线，F为DE上一点，且AF⊥CF，若AB＝12，，则AC的长为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．
【答案】B
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，进而求出EF，再根据直角三角形斜边上的中线的性质计算即可．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，AB＝12，
∴DEAB12＝6，
∴EF＝DE﹣DF＝6，
在Rt△AFC中，E是AC的中点，
∴AC＝2EF＝9，
故选：B．
3．（2025春 清江浦区期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且E为AF的中点，若BF＝5，DE＝4，则AB的长为（　　）
A．13 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的三线合一得到AD＝DC，根据三角形中位线定理求出FC，计算即可．
【解答】解：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴AD＝DC，
∵E为AF的中点，
∴DE是△AFC的中位线，
∴FC＝2DE＝2×4＝8，
∴BC＝BF+FC＝5+8＝13，
∵AB＝BC，
∴AB＝13，
故选：A．
4．（2025春 黄石校级期中）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则△DOE的周长与△BOC的周长之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别作BO，CO的中点M，N，连接EM，MN，ND，根据三角形的中位线的性质得出DE＝MN，DE∥MN，证明四边形EMND为平行四边形，进而推出BO＝2OD，CO＝2OE，进行求解即可．
【解答】解：分别作BO，CO的中点M，N，连接EM，MN，ND，则OM＝MB，ON＝CN，
∵点D，E分别是边AC，AB上的中点，
∴，DE∥BC，
∵点M，N分别是BO，CO的中点，
∴，MN∥BC，
∴DE＝MN，DE∥MN，
∴四边形EMND为平行四边形，
∴OM＝OD，OE＝ON，
∵OM＝MB，ON＝CN，
∴OB＝2OD，CO＝2OE，
∴BC+OB+OC＝2（DE+OE+OD），即：△BOC的周长＝△DOE的周长的2倍；
∴△DOE的周长与△BOC的周长之比为；
故选：A．
5．（2025春 黄石校级期中）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB、CA、BC的中点，若CF＝3，CE＝4，EF＝5，则CD的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵E，F分别是CA、BC的中点，
∴EF是△ACB的中位线，
∴AB＝2EF＝10，
在△ECF中，CE2+CF2＝43+32＝25，EF2＝52＝25，
∴CE2+CF2＝EF2，
∴∠ACB＝90°，
∵D是AB的中点，
∴CDAB＝5，
故选：A．
6．（2025春 龙岩校级期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明在AB外选一点C，连接AC、BC，分别取AC、BC的中点D，E，为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段（　　）
A．AC B．AD C．CD D．DE
【答案】D
【分析】根据中位线定理可得AB＝2DE，即可得到解答．
【解答】解：∵D、E分别是边AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE，
∴为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段DE，
故选：D．
7．（2025春 合川区期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝120°，则∠PEF的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】B
【分析】由三角形中位线定理推出PEAD，PFBC，得到PE＝PF，推出∠PEF＝∠PFE，即可求出∠PEF（180°﹣120°）＝30°．
【解答】解：∵P是BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，
∴PE、PF分别是△ABD、△BCD的中位线，
∴PEAD，PFBC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∵∠EPF＝120°，
∴∠PEF（180°﹣120°）＝30°．
故选：B．
8．（2025春 杭州期中）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 　 　 ．
【答案】4
【分析】根据三角形中位线定理得到BC＝2DE＝4，DE∥BC，根据平行线的性质得到∠AED＝∠C，根据题意得到∠BEC＝∠C，再根据等腰三角形的性质求出BE．
【解答】解：∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DEBC，DE∥BC，
又∵DE＝2，
∴BC＝4．
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠C，
∴BE＝BC＝4，
故答案为：4．
9．（2025春 徐州期中）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后测出AC，BC的中点D，E，并测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约 　 　 m．
【答案】36．
【分析】依据题意，由D，E分别是边AC，BC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得AB的值即可．
【解答】解：∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴根据三角形的中位线定理，得AB＝2DE＝36m．
故答案为：36．
10．（2025春 莒县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 　 　 ．
【答案】
【分析】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可．
【解答】解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DECM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：AB10，
∵S△ABC，
∴CM，
∴DE，
故答案为：．
11．（2025春 绵阳校级期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，且AD＝BC，∠A＝60°，∠ABC＝86°，则∠PEF的度数是　 　 ．
【答案】17°．
【分析】根据三角形中位线定理得到PE∥AD，PF∥BC，PE＝PF，根据平行线的性质和三角形外角定理得到∠EPF＝∠DPE+∠DPF＝∠BEP+∠ABD+∠CBD＝∠BEP+∠ABC＝146°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵P是BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，
∴PE、PF分别是△ABD、
∴△BCD的中位线，
∴PEAD，PFBC，PE∥AD，PF∥BC，
∴∠BEP＝∠A＝60°，∠DPF＝∠CBD，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∵∠DPE＝∠BEP+∠ABD，
∠EPF＝∠DPE+∠DPF＝∠BEP+∠ABD+∠CBD＝∠BEP+∠ABC＝60°+86°＝146°，
∴∠PEF（180°﹣146°）＝17°．
故答案为：17°．
12．（2025春 文登区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，F分别是AB，BC的中点，BE⊥AC于点E，连接AF，DF，DE，EF，若BC＝4，AF＝6，则△DEF的周长是　 　 ．
【答案】．
【分析】先利用中点的意义求得，再利用勾股定理求得AC，然后利用直角三角形斜边上的中线的性质求得DE、EF，利用中位线定理求得DF，进而可求得△DEF的周长．
【解答】解：∵D，F分别是AB，BC的中点，BE⊥AC于点E，连接AF，DF，DE，EF，BC＝4，
∴，
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC，
∵AF＝6，
∴，
∵BE⊥AC，D，F分别是AB，BC的中点，
∴，，，
∴△DEF的周长是，
故答案为：．
13．（2025春 兰山区期中）已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在AC的延长线上，且CF＝DE．求证：DC∥EF．
【分析】由已知条件易证DE是△ACB的中位线，所以DE∥AC，又因为DE＝CF，所以四边形DCFE是平行四边形，进而可证明DC∥EF．
【解答】证明：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ACB的中位线，
∴DE∥AC，
又∵DE＝CF，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴DC∥EF．
14．（2025春 上海校级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm．
（1）求证：DE＝BF；
（2）求四边形DEFB的周长．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DEBC，根据题意得到BFBC，等量代换证明结论；
（2）根据勾股定理求出DB，证明四边形DBFE为平行四边形，根据平行四边形的周长公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DEBC，
∵CF＝3BF，
∴BFBC，
∴DE＝BF；
（2）解：∵点D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝6cm，
∵DE＝4cm，
∴BC＝8cm，
由勾股定理得：DB10（cm），
∵DE＝BF，DE∥BC，
∴四边形DBFE为平行四边形，
∴四边形DEFB的周长＝2×（4+10）＝28（cm）．
15．（2025春 潮阳区校级期中）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M．
（1）求证：EFAC．
（2）连接AM，若∠BAC＝45°，AM+DM＝15，BE＝9，求CE的长．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EFAC；
（2）连接AM，证得△AEC是等腰直角三角形，EF垂直平分AC，AM＝CM，则BC＝AM+DM＝15，在Rt△BEC中，利用勾股定理可得出CE的长．
【解答】（1）证明：∵CD＝CB，点E为BD的中点，
∴CE⊥BD，
∴∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，点F为AC的中点，
∴EFAC；
（2）解：∠BAC＝45°，CE⊥BD，AM+DM＝15，BE＝9，如图，连接AM，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∵点F为AC的中点，
∴EF垂直平分AC，
∴AM＝CM，
∵CD＝CM+DM＝AM+DM，CD＝CB，
∴BC＝AM+DM＝15，
∵BE＝9，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：．
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