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期中复习04 一元二次方程的应用
题型一．由实际问题抽象出一元二次方程（直接列方程）
1．（2025春 瑞安市期中）电影《哪吒2》于2025年1月29日上映，第一天票房约5亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约6亿，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．5（1+x）＝6 B．5（1+x）2＝6
C．5+5（1+x）＝6 D．5+5（1+x）+5（1+x）2＝6
【答案】B
【分析】由第一天的票房及以后每天的增长率，可得出第二、三天的票房，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：根据题意得：5（1+x）2＝6．故选：B．
2．（2025秋 恩施市校级期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，则x满足方程（　　）
A．（1+0.5x）＝0.5 B．（1﹣0.5x）2＝0.5
C．（1+x）2＝0.5 D．（1﹣x）2＝0.5
【答案】D
【分析】根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可．
【解答】解：∵假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，∴（1﹣x）2＝0.5，故选：D．
3．（2025春 北仑区校级期中）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　）
A．144（1+x）2＝225 B．144×2（1+x）＝225
C．144（1+2x）＝225 D．144（1+x）+144（1+x）2＝225
【答案】A
【分析】根据某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，列出一元二次方程即可．
【解答】解：由题意得：144（1+x）2＝225，故选：A．
4．（2025春 乐清市校级期中）春暖花开，温州各园区的郁金香都盛开了．已知温州某郁金香园区2023年的赏花人数为5500人，预计2025年赏花人数将达到6050人．若设2023年至2025年赏花人数年平均增长率为x，由题可列方程为（　　）
A．5500（1+x）2＝6050 B．5500（1+2x）＝6050
C．6050（1﹣x）2＝5500 D．6050（1﹣2x）＝5500
【答案】A
【分析】设2023年至2025年赏花人数年平均增长率为x，根据温州某郁金香园区2023年的赏花人数为5500人，预计2025年赏花人数将达到6050人，列出一元二次方即可．
【解答】解：设2023年至2025年赏花人数年平均增长率为x，
根据题意得：5500（1+x）2＝6050，故选：A．
5．（2025春 北仑区期中）某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，三个月累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（　　）
A．128（1+x）2＝608 B．128（1+2x）2＝608
C．128+128（1+x）＝608 D．128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
【答案】D
【分析】设进馆人次的月平均增长率x，先表示出第2，3个月的进馆人次，再相加即可得到方程．
【解答】解：根据题意可列方程是128+128（1+x）+128（1+x）2＝608，故选：D．
6．（2025春 杭州校级期中）如图，在一块长28m、宽10m的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是243m2．设小路的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．28×10﹣28x﹣10x＝243 B．2（28﹣x+10﹣x）＝243
C．（28﹣x）（10﹣x）+x2＝243 D．（28﹣x）（10﹣x）＝243
【答案】D
【分析】设道路的宽xm，根据利用平移的性质得出草坪的面积＝长为（28﹣x）m，宽为（10﹣x）m的长方形的面积，由长方形面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：在一块长28m、宽10m的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是243m2．
设道路的宽xm，由题意可得：（28﹣x）（10﹣x）＝243．故选：D．
7．（2025春 杭州校级期中）某市2022年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到75%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（　　）
A．0.64（1+x）＝0.75 B．0.64（1+2x）＝0.75
C．0.64（1+x）2＝0.75 D．0.64（1+2x）2＝0.75
【答案】C
【分析】由2022年底森林覆盖率为64%，2024年底森林覆盖率已达到75%即可列出方程．
【解答】解：根据题意得：0.64（1+x）2＝0.75，故选：C．
8．（2025春 余姚市期中）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A．x（x+1）＝45 B．
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
【答案】B
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）＝45．
【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），∴共比赛了45场，∴x（x﹣1）＝45，故选：B．
9．（2025春 诸暨市期中）据统计，某专卖店一特产第三季度的总销售量为9.93万件，其中7月份的销量为3万件，设8，9月份销量的月平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．3（1+x）2＝9.93 B．3+3（1+x）+3（1+x）2＝9.93
C．3+3x+3（1+x）2＝9.93 D．3+3（1+x）2＝9.93
【答案】B
【分析】设8，9月份销量的月平均增长率为x，根据第三季度的总销售量为9.93万件，列出一元二次方程，即可求解．
【解答】解：设平均增长率为x，3+3（1+x）+3（1+x）2＝9.93，故选：B．
10．（2025春 龙湾区期中）如图，取一张长与宽之比为2：1的矩形纸板，在四个角各剪去四个边长为20cm的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，若要使包装盒的容积为12000cm3（纸板的厚度忽略不计），若设矩形纸板的长为xcm，则可列方程为（　　）
A． B．20（2x﹣20）（x﹣20）＝12000
C．20（2x﹣40）（x﹣40）＝12000 D．
【答案】D
【分析】根据题意用x表示出包装盒底边的长和宽，然后用体积公式列方程即可得解．
【解答】解：根据题意可得：，故选：D．
11．（2025春 温州校级期中）某超市一月份的营业额为200万元，二月份、三月份每月的营业额逐月递增，三月份营业额为242万元．设营业额的平均月增长率为x，由题意可列方程为　 　 ．
【答案】200（1+x）2＝242．
【分析】根据平均增长率的等量关系a（1+x）2＝b，列出方程即可．
【解答】解：根据平均增长率的等量关系a（1+x）2＝b，列出方程为：
200（1+x）2＝242；故答案为：200（1+x）2＝242．
12．（2025春 余杭区校级期中）随着小英同学的不断努力，她的数学成绩在近两次考试中呈现出逐次递增的趋势．已知小英同学2月份的考试成绩为64分，而到了4月份，她的考试成绩提升至107分．若设小英同学这两次考试的平均增长率为x，则根据题意，可列方程为：　 　 ．
【答案】64（1+x）2＝107．
【分析】根据小英同学2月份的考试成绩为64分，而到了4月份，她的考试成绩提升至107分，列出一元二次方程即可．
【解答】解：由题意得：64（1+x）2＝107，故答案为：64（1+x）2＝107．
13．（2025春 拱墅区校级期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为　 　 ．
【答案】400+400（1+x）+400（1+x）2＝1456．
【分析】由第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，设月平均增长率为x，得到第二个月和第三个月进馆人次，求和即可得到方程．
【解答】解：由到第三个月末累计进馆1456人次可得方程400+400（1+x）+400（1+x）2＝1456，
故答案为：400+400（1+x）+400（1+x）2＝1456．
题型二．一元二次方程的应用-与几何图形结合
1．（2025春 西湖区校级期中）如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是18cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　）
A．40﹣4x2＝18 B．（8﹣2x）（5﹣2x）＝18
C．40﹣2（8x+5x）＝18 D．（8﹣2x）（5﹣2x）＝9
【答案】B
【分析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（8﹣2x），宽为（5﹣2x），然后根据底面积是18cm2即可列出方程．
【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm，依题意得（8﹣2x） （5﹣2x）＝18，故选：B．
2．（2025春 鄞州区期中）如图，琪琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为21m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC长为（　　）
A．6m或7m B．3m或3.5m C．3.5m D．6m
【答案】D
【分析】设BC＝xm，则AB m，根据矩形鸡舍ABCD的面积为21m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长6.5m，即可确定结论．
【解答】解：设BC＝xm，则AB m，
根据题意得：x 21，整理得：x2﹣13x+42＝0，解得：x1＝6，x2＝7，
又∵墙长6.5m，∴x＝6，∴BC长为6m．故选：D．
3．（2025秋 台州期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程x（x+6）＝72为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为x+6，宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是x+6+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即4×72+62，据此易得．小明用此方法解关于x的方程x（3x﹣n）＝24，其中3x﹣n＞x构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则n的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】参照已知方法，求得大正方形的边长为10，得到n＝4x﹣10，再根据小正方形的边长和面积，求出x＝4，即可得到n的值．
【解答】解：由题意可知，将四个长为3x﹣n，宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是3x﹣n+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，
∵x（3x﹣n）＝24，小正方形的面积为4，∴大正方形的面积为4×24+4＝100，
∴大正方形的边长为10，
∴3x﹣n+x＝4x﹣n＝10，∴n＝4x﹣10，
∵小正方形的边长为3x﹣n﹣x，即10﹣2x，
∴（10﹣2x）2＝4，∴10﹣2x＝±2，
∵10﹣2x＞0，∴x＝4，∴n＝4×4﹣10＝6，故选：C．
4．（2025春 拱墅区校级期中）有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米，面积为y平方米．
（1）用含x的代数式表示y；
（2）如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少？
（3）能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，求出AB的长，若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据各边长度间的关系可得出BC＝（30﹣3x）米，再利用矩形的面积计算公式，即可用含x的代数式表示y；
（2）根据围成花圃的面积为63平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（3）不能围成面积为78平方米的花圃，根据围成花圃的面积为63平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣4＜0，可得出该方程没有实数根，即不能围成面积为78平方米的花圃．
【解答】解：（1）∵AB＝x米，
∴BC＝（30﹣3x）米，
∴y＝x（30﹣3x）．
∵，
∴x＜10．
∴y＝x（30﹣3x）（x＜10）．
（2）依题意得：x（30﹣3x）＝63，
整理得：x2﹣10x+21＝0，
解得：x1＝7，x2＝3（不符合题意，舍去）．
答：AB的长为7米．
（3）不能围成面积为78平方米的花圃，理由如下：
依题意得：x（30﹣3x）＝78，
整理得：x2﹣10x+26＝0，
∵Δ＝（﹣10）2﹣4×1×26＝﹣4＜0，
∴该方程没有实数根，
即不能围成面积为78平方米的花圃．
5．（2025春 龙泉市期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为25m的墙（MN），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为60m（全部用完）．设AB的长为xm．
（1）如图1，用含x的代数式表示BC的长．
（2）如图1，当长方形花园ABCD的面积为400m2时，求x的值．
（3）如图2，将墙MN全部利用，并在墙MN的延长线上拓展ND，构成长方形ABCD，其中BM，BC，CD和DN都由篱笆构成．长方形花园ABCD的面积可以为500m2吗？如果能，求出x的值；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据长方形花园ABCD的面积为400m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（3）求出BC的长，再根据长方形花园ABCD的面积为500m2，列出一元二次方程，然后由根的判别式即可得出结论．
【解答】解：（1）设AB的长为xm，则BC的长为（60﹣2x）m；
（2）由题意可得：x（60﹣2x）＝400，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10（不符合题意，舍去），x2＝20，
答：x的值为20；
（3）长方形花园ABCD的面积不可以为500m2，理由如下：
由题意可知，BC的长为（42.5﹣x）（m），
由题意得：x（42.5﹣x）＝500，
整理得x：2﹣42.5x+500＝0，
∵Δ＝（﹣42.5）2﹣4×1×500＝﹣193.75＜0，
∴该方程无实数根，
∴长方形花园ABCD的面积不可以为500m2．
6．（2025秋 洪山区期中）素材1：如图，某农户规划在一个长为300米，宽为200米的长方形果园ABCD上修建三条通道，使其中两条与AB平行，满足通道宽EF＝GH；另一条与AD平行，并使两条通道的宽MN：EF＝2：3，其余六块部分种植草莓．
素材2：经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．
任务1：要使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，则通道的宽MN应设计成多少米？
任务2：若农户预期一个月的总利润（总利润＝销售利润﹣承包费）为52万元，为了让购买草莓的客户获得更大的优惠，那么应该降价多少元？
【分析】任务1：设通道的宽MN应设计成2x米，则通道的宽EF＝GH＝3x米，根据长为300米，宽为200米的长方形果园ABCD上修建三条通道，其余六块部分种植草莓．使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，列出一元二次方程，解方程即可；
任务2：设每平方米草莓应该降价y元，根据每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．农户预期一个月的总利润（总利润＝销售利润﹣承包费）为52万元，列出一元二次方程，解方程，取大值即可．
【解答】解：任务1：设通道的宽MN应设计成2x米，则通道的宽EF＝GH＝3x米，
由题意得：（300﹣3x﹣3x）（200﹣2x）＝6×8550，
整理得：x2﹣150x+725＝0，
解得：x1＝5，x2＝145（不合题意，舍去），
∴2x＝2×5＝10，
答：通道的宽MN应设计成10米；
任务2：设每平方米草莓应该降价y元，
由题意得：（100﹣y）（5000500）﹣20000＝520000，
整理得：y2﹣50y+400＝0，
解得：y1＝10，y2＝40，
∵让购买草莓的客户获得更大的优惠，
∴每平方米草莓应该降价40元，
答：每平方米草莓应该降价40元．
7．（2025春 温州期中）实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园ABCD（如图）．
素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为28m，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为60m的铝合金材料围建．
素材2：与墙平行的一边上要预留2m宽的入口．
任务1：当长方形菜园ABCD的长BC为多少米时，菜园的面积为300m2？
任务2：能否围成500m2的长方形菜园？若能，求出BC的长；若不能，请说明理由．
【分析】（任务1）设AB＝x米，则AD＝（60+2﹣2x）米，根据菜园的面积为300m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长为28米，即可确定结论；
（任务2）假设能围成500m2的长方形菜园，设AB＝y米，则AD＝（60+2﹣2y）米，根据菜园的面积为500m2，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣39＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即不能围成500m2的长方形菜园．
【解答】解：（任务1）设AB＝x米，则AD＝（60+2﹣2x）米，
根据题意得：x（60+2﹣2x）＝300，
整理得：x2﹣31x+150＝0，
解得：x1＝25，x2＝6，
当x＝25时，60+2﹣2x＝60+2﹣2×25＝12＜28，符合题意；
当x＝6时，60+2﹣2x＝60+2﹣2×6＝50＞28，不符合题意，舍去．
答：当长方形菜园ABCD的长BC为12米时，菜园的面积为300m2；
（任务2）不能围成500m2的长方形菜园，理由如下：
假设能围成500m2的长方形菜园，设AB＝y米，则AD＝（60+2﹣2y）米，
根据题意得：y（60+2﹣2y）＝500，
整理得：y2﹣31y+250＝0，
∵Δ＝（﹣31）2﹣4×1×250＝﹣39＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即不能围成500m2的长方形菜园．
8．（2025春 丽水期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝50m，AB＝30m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为800m2．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．
①设每个车位的月租金上涨a元，则停车场可以租出多少个车位？（用含a的代数式表示）
②当每个车位的月租金为多少元时，停车场的月租金收入为10080元？同时尽可能让利于民．
【分析】（1）道路的宽是x米，根据铺花砖的面积为800m2，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可；
（2）①由题意列出代数式即可；
②设每个车位的月租金上涨y元时，停车场的月租金收入为10080元，则每个车位的月租金为（200+y）元，根据“该停车场共有车位50个，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位”，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）道路的宽是x米，
由题意得：（50﹣2x）（30﹣2x）＝800，
整理得：x2﹣40x+175＝0，
解得：x1＝35（不合题意，舍去），x2＝5，
答：道路的宽是5米；
（2）①设每个车位的月租金上涨a元，停车场可以租出（50）个车位；
②设每个车位的月租金上涨y元时，停车场的月租金收入为10080元，则每个车位的月租金为（200+y）元，
由题意得：（200+y）（50）＝10080，
整理得：y2﹣50y+400＝0，
解得：y1＝10，y2＝40（不符合题意，舍去），
∴200+y＝210，
答：当每个车位的月租金为210元时，停车场的月租金收入为10080元，同时尽可能让利于民．
9．（2025春 上城区校级期中）饲养场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线A﹣B﹣C表示墙面）建饲养场，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开），点F在线段BC上．
（1）设EF的长为x米，则DE＝　 　 米；（用含x的代数式表示）
（2）若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；
（3）所围成的饲养场BDEF的面积能否为171平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出DE的长；
（2）利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合DE不超过15米，即可得出饲养场的宽EF的长为11米；
（3）不能达到，设EF的长为y米，得出关于y的一元二次方程，解方程即可得到结论．．
【解答】解：（1）设EF的长为x米，则DE＝38+2+2+3﹣3x＝（45﹣3x）（米）．
故答案为：（45﹣3x）．
（2）依题意得：x（45﹣3x）＝132，
整理得：x2﹣15x+44＝0，
解得：x1＝4，x2＝11．
当x＝4时，45﹣3x＝45﹣3×4＝33＞15，不合题意，舍去；
当x＝11时，45﹣3x＝45﹣3×11＝12＜15，符合题意．
答：饲养场的宽EF的长为11米．
（3）不能达到，理由如下：
设EF的长为y米，则DE＝（45﹣3y）米，
依题意得：y （45﹣3y）＝171，
整理得：y2﹣15y+57＝0，
∵Δ＝（﹣15）2﹣4×1×57＝﹣3＜0，
∴该方程没有实数根．
10．（2025春 温州期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示．
素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为a（cm）（a＜50）的长方形纸板．
素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
将纸板①裁去角上4个长宽之比为1：2的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒．
目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽a为 　 　 cm（a＜50）．
利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究．
目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是832cm2时储物盒的体积为多少？
目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？
【分析】（1）由储物位置的底面尺寸判断即可；
（2）设小长方形的宽为x，长为2x，列方程求解，再计算体积即可；
（3）根据面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）由题意储物位置的底面尺寸如图2可得；a＝40；
故答案为：40；
（2）设小长方形的宽为x，长为2x，
则（40﹣2x）（60﹣4x）＝832，
解得：x1＝28（舍去），x2＝7；
分体积为832×7＝5824cm3；
（3），
∴40×30＝1200cm2．
答：储物盒的底面积为1200cm2．
11．（2025春 温州期中）综合与实践．
项目主题：制作新学期的开学手册封面
素材一：小华设计的开学手册的封面是尺寸为长34cm，宽22cm的长方形，正中央有一个长方形边框，其四周是边衬．上下边衬等宽，左右边衬等宽，且上下边衬的宽度是左右边衬宽度的一半．小华设计的边衬面积为172cm2．
素材二：封面边框内需要张贴一张长方形的校园照片．为了使排版规范，照片的长宽比例等于边框的长宽比例．小华设计照片到边框下方的下距为22cm，到边框左右的左距与右距，以及到边框上方的上距都为1cm．
【任务一】设上边衬的宽度为xcm，用含x的代数式表示边框的长和宽．
【任务二】求边框的长和宽．
【任务三】通过计算说明，小华的设计是否规范．
【分析】【任务一】设上边衬的宽度为xcm，则下边衬的宽度为xcm，左、右边衬的宽度为2xcm，利用边框的长＝34﹣上边衬的宽度﹣下边衬的宽度及边框的宽＝22﹣左边衬的宽度﹣又边衬的宽度，即可用含x的代数式表示出边框的长和宽；
【任务二】根据小华设计的边衬面积为172cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入（34﹣2x）及（22﹣4x）中，即可求出结论；
【任务三】求出照片的长、宽，结合照片的长宽比例等于边框的长宽比例，即可得出结论．
【解答】解：【任务一】设上边衬的宽度为xcm，则下边衬的宽度为xcm，左、右边衬的宽度为2xcm，
∴边框的长为34﹣x﹣x＝（34﹣2x）cm，宽为22﹣2x﹣2x＝（22﹣4x）cm；
【任务二】根据题意得：34×22﹣（34﹣2x）（22﹣4x）＝172，
整理得：2x2﹣45x+43＝0，
解得：x1＝1，x2（不符合题意，舍去），
∴34﹣2x＝34﹣2×1＝32（cm），
22﹣4x＝22﹣4×1＝18（cm）．
答：边框的长为32cm，宽为18cm；
【任务三】小华的设计规范，理由如下：
照片的长为18﹣1﹣1＝16（cm），
照片的宽为32﹣1﹣22＝9（cm），
∵边框的长为32cm，宽为18cm，且32：18＝16：9，
∴小华的设计规范．
题型三．一元二次方程的应用-增长率/下降率
1．（2025春 镇海区校级期中）某药品原价每盒96元，连续两次降价后售价为54元，则该药品每次平均降价率为（　　）
A．10% B．20% C．25% D．50%
【答案】C
【分析】设该药品每次平均降价率为x，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：设每次平均降价率为x，根据题意得：
96（1﹣x）2＝54，
（1﹣x）2，
1﹣x＝±，
解得x＝0.25＝25%或x＝1.75（舍去）．
故选：C．
2．（2025春 义乌市校级期中）某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年1月份的每平方米20000元下降到3月份的每平方米16200元，且今年房价每月的下降率保持一致，则每月的下降率为（　　）
A．9% B．10% C．19% D．20%
【答案】B
【分析】设每月的下降率为x，利用3月份的房价＝1月份的房价×（1﹣每月的下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设每月的下降率为x，
依题意得：20000（1﹣x）2＝16200，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
故选：B．
3．（2025春 上城区校级期中）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上一个月增长的百分数相同，则每月的平均增长率为（　　）
A．10% B．15% C．20% D．25%
【答案】C
【分析】利用关系式：一月份的营业额×（1+增长率）2＝三月份的营业额，设出未知数列出方程解答即可．
【解答】解：设这两个月的营业额增长的百分率是x．
200×（1+x）2＝288，
解得：x1＝﹣2.2（不合题意舍去），x2＝0.2，
答：每月的平均增长率为20%．
故选：C．
4．（2025春 萧山区期中）某工厂生产的笔记本，每本成本10元，由于连续两次降低成本，现在的成本是8.1元，则平均每次降低成本的百分率是　 　 ．
【答案】10%．
【分析】设平均每次降低成本的百分率是x，利用经过两次降低成本后的成本价＝原成本价×（1﹣平均每次降低成本的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设平均每次降低成本的百分率是x，
根据题意得：10（1﹣x）2＝8.1，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
∴平均每次降低成本的百分率是10%．
故答案为：10%．
5．（2025春 南湖区期中）某款羽绒服原售价为200元，由于换季，连续两次降价处理，现按98元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 　 　 ．
【答案】30%．
【分析】设每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的售价＝原售价×（1﹣每次降价的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，
根据题意得：200（1﹣x）2＝98，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不符合题意，舍去），
∴每次降价的百分率为30%．
故答案为：30%．
6．（2025春 越城区期中）今年家乐福超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月的月平均增长率．
（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？
【分析】（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，利用五月份的销售量＝三月份的销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设商品降价m元，则每件获利（40﹣m﹣25）元，月销售量为（400+5m）件，利用商场销售该商品月销售利润＝每件的销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，
依题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去），
答：四、五这两个月的月平均增长率为25%；
（2）设商品降价m元，则每件获利（40﹣m﹣25）元，月销售量为（400+5m）件，
依题意得：（40﹣m﹣25）（400+5m）＝4250，
解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商场月获利4250元．
7．（2025春 兰溪市校级期中）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情滞销该店采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若该商品经过两次降价后，每件可以获得的利润是32.4元，求这两次降价的平均降价率是多少？
（2）经调查，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．若该商店每天预期销售利润为1232元，则每件商品应降价多少元？
【分析】（1）设这两次降价的平均降价率是a，根据题意可得：40（1﹣a）2＝32.4，求解即可；
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1232，求解后再根据每件盈利不少于24元确定结果．
【解答】解：（1）设这两次降价的平均降价率是a，
根据题意可得：40（1﹣a）2＝32.4，
解得：a1＝0.1，a2＝1.9（舍去），
答：这两次降价的平均降价率是10%；
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，根据题意得：
（40﹣x）（20+2x）＝1232，
x1＝12，x2＝18，
∵40﹣18＝22＜24，
∴x＝12，
答：若该商店每天销售利润为1232元，每件商品可降价12元．
8．（2025春 西湖区校级期中）杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该专卖店核桃销售量的月增长率．
（2）该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
①每千克核桃应降价多少元？
②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的　9　 折出售．
【分析】（1）设该专卖店核桃销售量的月增长率为x，根据题意列出方程，解方程，即可求解；
（2）①设每千克核桃应降价m元，根据题意列出方程，解方程，即可求解；
②设该店应按原售价的n折销售，根据题意列出方程，解方程，即可求解．
【解答】解：（1）设该专卖店核桃销售量的月增长率为x，根据题意得，
4000（1+x）2＝5760
解得：x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去）
答：该专卖店核桃销售量的月增长率为20%；
（2）单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，
①设每千克核桃应降价m元，则售价为（60﹣m）元，利润为（60﹣m）﹣40＝（20﹣m）元，销量为（100+10m）千克根据题意得，
（20﹣m）（100+10m）＝2240
解得：m1＝4，m2＝6
答：每千克核桃应降价4或6元；
②设该店应按原售价的n折销售，根据题意得，在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，则售价为60﹣6＝54元，
∴
解得：n＝9
故答案为：9．
9．（2025春 慈溪市校级期中）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，2024年10月21日至24日某市开展青少年机器人竞赛活动．某商家为本次比赛供应器材，因供过于求，还余20套器材需要进行零售．为了尽快减少库存，商家决定采取降价措施，原来每套器材的售价为100元，经过两次降价后每套器材的售价为81元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求每次降价的百分率；
（2）若每套器材的进价为76元，通过以上两次降价的方式，将剩余的20套器材全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少套器材后方可进行第二次降价？
【分析】（1）设每次降价的百分率x，根据题意列出方程即可求解；
（2）设第一次降价售出a套器材，则第二次降价售出（20﹣a）套器材，由题意列出不等式解答即可求解．
【解答】解：（1）设每次降价的百分率x，
由题可得，100（1﹣x）2＝81，
整理得，100x2﹣200x+19＝0，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合，舍去），
答：每次降价的百分率为10%；
（2）设第一次降价售出a套器材，则第二次降价售出（20﹣a）套器材，
由题意可得，[100（1﹣10%）﹣76]a+（81﹣76）（20﹣a）≥200，
解得，
∵a是整数，
∴a的最小值是12，
答：第一次降价至少售出12套器材后，方可进行第二次降价．
10．（2025春 嵊州市期中）新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具．某品牌新能源汽车经销商对新上市的A汽车在1月份至3月份的销售情况进行统计，发现A汽车1月份的销量为20辆，3月份的销量为45辆．
（1）求A汽车销量的月平均增长率．
（2）为了扩大A汽车的市场占有量，提升A汽车的销售业绩，该公司决定采取适当的降价措施（降价幅度不超过售价的10%），经调查发现，当A汽车的销售单价定为12万元时，平均每月的售量为30辆，在此基础上，若A汽车的销售单价每降1万元，平均每月可多售出10辆．若销售额要达到440万元，则每辆A汽车需降价多少万元？
【分析】（1）设A汽车销量的月平均增长率为x，根据1月份及3月份该公司A产品的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每套A产品需降价y万元，根据总利润＝每套的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A汽车销量的月平均增长率为x，
依题意，得：20（1+x）2＝45，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
答：A汽车销量的月平均增长率为50%；
（2）设每套A产品需降价y万元，
依题意，得：（12﹣y）（30+10y）＝440，
解得：y1＝1，y2＝8．
∵降价幅度不超过售价的10%，
∴y＝1．
答：每套A产品需降价1万元．
题型四．一元二次方程的应用-销售利润问题
1．（2025春 诸暨市校级期中）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：
（1）当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利　 　 元．
（2）在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？
（3）该超市售卖这种饮料的总利润能达到15000元吗？若能，每箱应降价多少元；若不能，请说明理由．
【分析】（1）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出算式进行计算即可；
（2）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程进行求解即可；
（3）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程进行求解即可．
【解答】解：（1）（120﹣20）×（100+2×20）＝14000；
故答案为：14000；
（2）要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价x元，
依据题意列一元二次方程得，（120﹣x）（100+2x）＝14400，
解得x1＝30，x2＝40；
∵要求每箱饮料获利大于80元，
∴x＝30，
答：每箱应降价30元，可使每天销售饮料获利14400元；
（3）不能达到，理由如下：
根据题意列一元二次方程得，（120﹣x）（100+2x）＝15000，
整理得x2﹣70x+1500＝0，
∴b2﹣4ac＝4900﹣6000＝﹣1100＜0，
∴方程无解，
答：每天销售饮料获利不能达到15000元．
2．（2025春 杭州校级期中）某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多卖出20件．
（1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则每件童服装应降价多少元？
（2）该店铺每周可能盈利10000元吗？请说明理由．
【分析】（1）设每件童服装应降价x元，根据单件利润×销售量＝总利润列方程求解即可；
（2）根据题意列一元二次方程，利用根的判别式判断根的情况即可得出结论．
【解答】解：（1）设每件童服装应降价x元，
根据题意，得（80﹣50﹣x）（200+20x）＝7500，
整理，得x2﹣20x+75＝0，
解得x1＝5，x2＝15，
∵尽可能让利于顾客，
∴x＝15，
答：每件童服装应降价15元；
（2）该店铺每周不可能盈利10000元，理由为：
设该店铺每周可能盈利10000元，则（80﹣50﹣x）（200+20x）＝10000，
整理，得x2﹣20x+200＝0，
∵Δ＝（﹣20）2﹣4×200＝﹣400＜0，
∴所列方程没有实数根，
故该店铺每周不能盈利10000元．
3．（2025春 西湖区校级期中）根据背景材料，探索问题．
清明果销售价格的探究
素材1 清明节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的清明果，第一周以每袋50元的价格销售了150袋．
素材2 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋清明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，但最低每袋要盈利15元，第二周结束后，该超市将对剩余的清明果一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元．
解决问题
任务1 若设第二周单价为每袋降低x元，则第二周的单价每袋 　 　 元，销量是 　 　 袋．
任务2 ①经两周后还剩余清明果 　 　 袋．（用x的代数式表示）
②若该超市想通过销售这批清明果获利5160元，那么第二周的单价每袋应是多少元？
【分析】任务1：依据题意，由每袋清明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，又设第二周单价为每袋降低x元，进而计算可以得解；
任务2：①依据题意，经两周后还剩余清明果为：500﹣150﹣（150+10x）＝200﹣10x，进而得解；
②依据题意，由第二周单价为每袋降低x元，从而可得方程（50﹣30）×150+（50﹣x﹣30）（150+10x）+（25﹣30）（200﹣10x）＝5160，解得x值后再结合第二周最低每袋要盈利15元，进而可以判断得解．
【解答】解：任务1：∵每袋清明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，
又设第二周单价为每袋降低x元，
∴第二周的单价为（50﹣x）元，销量是（150+10x）袋．
故答案为：（50﹣x）；（150+10x）．
任务2：①由题意，经两周后还剩余清明果为：500﹣150﹣（150+10x）
＝500﹣150﹣150﹣10x
＝200﹣10x．
故答案为：（200﹣10x）．
②由题意得，∵第二周单价为每袋降低x元，
∴（50﹣30）×150+（50﹣x﹣30）（150+10x）+（25﹣30）（200﹣10x）＝5160．
∴x＝2或x＝8．
又第二周最低每袋要盈利15元，
∴50﹣x﹣30≥15．
∴x≤5．
∴x＝2．
∴第二周的单价每袋应是（50﹣2）＝48．
答：第二周的单价每袋应是48元．
4．（2025春 诸暨市期中）某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
【分析】（1）利用日销售量＝20+2×每个模型降价的钱数，可求出日销售量；利用总利润＝每个模型的销售利润×日销售量，即可求出总利润；
（2）设每个模型降价x元，则每个模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）个，利用总利润＝每个模型的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合每个模型盈利不少于25元，即可确定结论．
【解答】解：（1）根据题意得：20+2×4＝28（个），
（40﹣4）×28
＝36×28
＝1008（元）．
答：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型，每天获利1008元；
（2）设每个模型降价x元，则每个模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）个，
根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵每个模型盈利不少于25元，
∴x＝10．
答：每个模型应降价10元．
5．（2025春 鹿城区校级期中）综合与实践：洗衣粉售价方案设计
某厂家生产的一种洗衣粉采用A、B两种包装，当前销售的相关信息如表：
包装规格 A B
含量（千克/袋） 2 1
成本（元/袋） 10 5
售价（元/袋） 25 17
日销量（袋） 60 40
该厂家经市场调研发现适当提升A包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋．一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下调了B包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋．
根据以上信息解决问题：
设A包装洗衣粉每袋售价提高x元（x＞0）．
（1）问该厂家每日销售A包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出A包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由．
（2）当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设B包装洗衣粉每袋售价降低y元（y＞0）．
①求y关于x的函数关系．
②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？
【分析】（1）利用总利润＝每袋的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其代入（25+x）中，即可求出结论；
（2）①利用两种包装的洗衣粉的总质量是150千克，可列出关于x，y的二元一次方程，化简后，即可得出y关于x的函数关系；
②假设厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能达到1450元，利用总利润＝每袋的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣39＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润不能达到1450元．
【解答】解：（1）能，根据题意得：（25+x﹣10）（60﹣2x）＝1000，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
∴25+x＝25+5＝30或25+x＝25+10＝35，
∴该厂家每日销售A包装洗衣粉的利润能达到1000元，A包装洗衣粉的售价为30或35元；
（2）①根据题意得：2（60﹣2x）+40+2y＝150，
化简得：y＝2x﹣5；
②厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润不能达到1450元，理由如下：
假设厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能达到1450元，
根据题意得：（25+x﹣10）（60﹣2x）+（17﹣y﹣5）（40+2y）＝1450，
即（25+x﹣10）（60﹣2x）+[17﹣（2x﹣5）﹣5][40+2（2x﹣5）]＝1450，
整理得：5x2﹣19x+20＝0，
∵Δ＝192﹣4×5×20＝﹣39＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润不能达到1450元．
6．（2025春 宁波期中）2025年宁波市马拉松于3月23日盛大展开．某服装厂家为本次马拉松赛事生产了一批文化衫．正常情况下，文化衫售价为每件50元时，则每天可售出40件．通过市场调查发现，若每件降价5元，则每天可以多售出10件，综合各项成本考虑，规定每件文化衫售价不低于35元．设售价为x元/件，解决以下问题：
（1）当天文化衫的销售数量为 　 　 件．（用x的代数式表示）．
（2）当文化衫售价定为多少元时，每天能获得2400元的销售额？
（3）该服装厂一天所获得的文化衫销售额能否达到2500元？请计算说明．
【分析】（1）利用当天文化衫的销售数量＝4010，可用含x的代数式表示出当天文化衫的销售数量；
（2）利用销售总额＝销售单价×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（3）假设该服装厂一天所获得的文化衫销售额能达到2500元，利用销售总额＝销售单价×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该服装厂一天所获得的文化衫销售额不能达到2500元．
【解答】解：（1）根据题意得：当天文化衫的销售数量为4010＝（140﹣2x）件．
故答案为：（140﹣2x）；
（2）根据题意得：x（140﹣2x）＝2400，
整理得：x2﹣70x+1200＝0，
解得：x1＝30（不符合题意，舍去），x2＝40．
答：当文化衫售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额；
（3）该服装厂一天所获得的文化衫销售额不能达到2500元，理由如下：
假设该服装厂一天所获得的文化衫销售额能达到2500元，
根据题意得：x（140﹣2x）＝2500，
整理得：x2﹣70x+1250＝0，
∵Δ＝（﹣70）2﹣4×1×1250＝﹣100＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即该服装厂一天所获得的文化衫销售额不能达到2500元．
7．（2025春 浙江期中）某经销商销售一种成本价为8元/千克的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于15元/千克，在销售过程中发现日销量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，对应关系如下表：
x … 9 10 11 12 …
y … 33 30 27 24 …
（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（2）若该经销商想使这种商品获得平均每天96元的利润，求售价应定为多少．
（3）小杭同学说若销售这种商品10天，可以获得总利润1200元．你觉得他的说法正确吗？请说明理由．
【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，可求出y与x之间的函数表达式，结合“销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于15元/千克”，可确定自变量x的取值范围；
（2）利用总利润＝每千克的销售利润×日销售量，结合平均每天获得96元的利润，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（3）假设小杭同学的说法正确，利用总利润＝每千克的销售利润×日销售量，结合合平均每天获得1200÷10元的利润，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即小杭同学的说法不正确．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（9，33），（10，30）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y＝﹣3x+60，
∵销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于15元/千克，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣3x+60（8≤x≤15）；
（2）根据题意得：（x﹣8）（﹣3x+60）＝96，
整理得：x2﹣28x+192＝0，
解得：x1＝12，x2＝16（不符合题意，舍去）．
答：售价应定为12元/千克；
（3）小杭同学的说法不正确，理由如下：
假设小杭同学的说法正确，根据题意得：
（x﹣8）（﹣3x+60）＝1200÷10，
整理得：x2﹣28x+200＝0，
∵Δ＝（﹣28）2﹣4×1×200＝﹣16＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即小杭同学的说法不正确．
8．（2025春 新昌县期中）为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题．
素材1 某款中央空调每台进价为20000元．
素材2 团购方案：团购2台时，则享受团购价30000元/台，在此基础上，若团购数量每增加1台，则每台再降500元． 规定：一个团的团购数量不超过11台．
问题解决 问题1：当团购5台时，求出每台空调的团购价． 问题2：设团购数量为x台，请用含x的代数式表示每台空调的团购价． 问题3：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为58500元．
【分析】（问题1）利用每台空调的团购价＝30000﹣500×（一个团的团购数量﹣2），即可求出结论；
（问题2）利用每台空调的团购价＝30000﹣500×（一个团的团购数量﹣2），即可用含x的代数式表示出每台空调的团购价；
（问题3）设一个团的团购数量为m台，则每台空调的销售利润为（11000﹣500m）元，利用总利润＝每台空调的销售利润×一个团的团购数量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合一个团的团购数量不超过11台，即可确定结论．
【解答】解：（问题1）根据题意得：30000﹣500×（5﹣2）
＝30000﹣500×3
＝30000﹣1500
＝28500（元）．
答：每台空调的团购价是28500元；
（问题2）根据题意得：30000﹣500（x﹣2）＝（31000﹣500x）（元）．
答：每台空调的团购价为（31000﹣500x）元；
（问题3）设一个团的团购数量为m台，则每台空调的销售利润为31000﹣500m﹣20000＝（11000﹣500m）元，
根据题意得：（11000﹣500m）m＝58500，
整理得：m2﹣22m+117＝0，
解得：m1＝9，m2＝13，
∵一个团的团购数量不超过11台，
∴m＝9．
答：当团购数量为9台时，销售部的利润为58500元．
9．（2025春 南湖区校级期中）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 2025年4月23日是第三十个世界读书日，学校计划购买文学和科普两类图书，已知文学类图书每本40元，科普类图书每本30元．
素材2 为弘扬中国传统文化，商家决定对文学类图书推出销售优惠活动：若不超过50本，按每本40元价格销售；若超过50本，每增加2本，单价降低1元，但单价不得低于25元（即超过一定的购买数量后，单价保持25元不变）．
问题解决
任务1 预计购买数量 如果每本文学类图书的单价是25元，则至少购买文学类图书多少本？
任务2 拟定购买方案 如果学校购进两类图书共120本，用去购书款3948元，求购进文学类图书多少本？
【分析】任务1：设购买文学类图书x本，根据若不超过50本，按每本40元价格销售；若超过50本，每增加2本，单价降低1元，但单价不得低于25元（即超过一定的购买数量后，单价保持25元不变），每本文学类图书的单价是25元，列出一元一次不等式，解不等式即可；
任务2：设购进文学类图书y本，则科普类图书（120﹣y）本，①当0≤y≤50时，②当50＜y≤80时，③当80＜x≤100时，根据用去购书款3948元，若不超过50本，按每本40元价格销售；若超过50本，每增加2本，单价降低1元，但单价不得低于25元，分别列出一元一次方程、一元二次方程、一元一次方程，解方程，取正整数和在范围内的值即可．
【解答】解：任务1：设购买文学类图书x本，
由题意得：4025，
解得：x≥80，
答：至少购买文学类图书80本；
任务2：设购进文学类图书y本，则科普类图书（120﹣y）本，
①当0≤y≤50时，40y+30（120﹣y）＝3948，
解得：x＝34.8（不合题意，舍去）；
②当50＜y≤80时，（40）y+30（120﹣y）＝3948，
整理得：x2﹣70x+696＝0，
解得：x1＝12（不符合题意，舍去），x2＝58；
③当80＜x≤100时，
25x+30（120﹣x）＝3948，
整理得：﹣5x＝348，
解得：x＝﹣69.6（不符合题意，舍去），
综上所述，购进文学类图书58本，
答：购进文学类图书58本．
10．（2025春 拱墅区校级期中）今年11月1日7日在江北嘴举行了第二届花博会，吸引了众多游客．王某看准了商机，在销售区租了一个摊位，主要卖干花和鲜花植物．部分品种，干花和鲜花的成本价分别是每束6元，每盆10元．
（1）已知一盆鲜花的售价是一束干花价格的1.5倍．第一天就卖了150束干花，200盆鲜花，共获利1600元．求一束干花的售价是多少元．
（2）花博会最后一天，王某发现还有100束干花和240盆鲜花，决定干花的售价提高2a%销售，很快全部售完．鲜花降价a%卖了14a盆，剩下的每盆11元全部卖出，当天的利润为1150元，且鲜花价格尽可能降低．求a的值是多少？
【分析】（1）设一束干花的售价是x元，则一盆鲜花的售价是1.5x元，根据利润＝（销售价﹣成本价）×销售数量列出方程并解答．
（2）根据“当天的利润为1150元”和等量关系“利润＝（销售价﹣成本价）×销售数量”列出方程并解答．
【解答】解：（1）设一束干花的售价是x元，则一盆鲜花的售价是1.5x元，
根据题意，得150（x﹣6）+200（1.5x﹣10）＝1600．
解得x＝10．
答：一束干花的售价是10元；
（2）由（1）知，一束干花的售价是10元，则一盆鲜花的售价是1.5×10＝15（元）．
根据题意，得100×10（1+2a%）+14a×15（1a%）+11（240﹣14a）﹣（100×6+240×10）＝1150．
解得a1＝15，a2．
∵鲜花价格尽可能降低，
∴a＝15．
答：a的值是15．
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期中复习04 一元二次方程的应用
题型一．由实际问题抽象出一元二次方程（直接列方程）
1．（2025春 瑞安市期中）电影《哪吒2》于2025年1月29日上映，第一天票房约5亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约6亿，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．5（1+x）＝6 B．5（1+x）2＝6
C．5+5（1+x）＝6 D．5+5（1+x）+5（1+x）2＝6
2．（2025秋 恩施市校级期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，则x满足方程（　　）
A．（1+0.5x）＝0.5 B．（1﹣0.5x）2＝0.5
C．（1+x）2＝0.5 D．（1﹣x）2＝0.5
3．（2025春 北仑区校级期中）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　）
A．144（1+x）2＝225 B．144×2（1+x）＝225
C．144（1+2x）＝225 D．144（1+x）+144（1+x）2＝225
4．（2025春 乐清市校级期中）春暖花开，温州各园区的郁金香都盛开了．已知温州某郁金香园区2023年的赏花人数为5500人，预计2025年赏花人数将达到6050人．若设2023年至2025年赏花人数年平均增长率为x，由题可列方程为（　　）
A．5500（1+x）2＝6050 B．5500（1+2x）＝6050
C．6050（1﹣x）2＝5500 D．6050（1﹣2x）＝5500
5．（2025春 北仑区期中）某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，三个月累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（　　）
A．128（1+x）2＝608 B．128（1+2x）2＝608
C．128+128（1+x）＝608 D．128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
6．（2025春 杭州校级期中）如图，在一块长28m、宽10m的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是243m2．设小路的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．28×10﹣28x﹣10x＝243 B．2（28﹣x+10﹣x）＝243
C．（28﹣x）（10﹣x）+x2＝243 D．（28﹣x）（10﹣x）＝243
7．（2025春 杭州校级期中）某市2022年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到75%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（　　）
A．0.64（1+x）＝0.75 B．0.64（1+2x）＝0.75
C．0.64（1+x）2＝0.75 D．0.64（1+2x）2＝0.75
8．（2025春 余姚市期中）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A．x（x+1）＝45 B．
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
9．（2025春 诸暨市期中）据统计，某专卖店一特产第三季度的总销售量为9.93万件，其中7月份的销量为3万件，设8，9月份销量的月平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．3（1+x）2＝9.93 B．3+3（1+x）+3（1+x）2＝9.93
C．3+3x+3（1+x）2＝9.93 D．3+3（1+x）2＝9.93
10．（2025春 龙湾区期中）如图，取一张长与宽之比为2：1的矩形纸板，在四个角各剪去四个边长为20cm的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，若要使包装盒的容积为12000cm3（纸板的厚度忽略不计），若设矩形纸板的长为xcm，则可列方程为（　　）
A． B．20（2x﹣20）（x﹣20）＝12000
C．20（2x﹣40）（x﹣40）＝12000 D．
11．（2025春 温州校级期中）某超市一月份的营业额为200万元，二月份、三月份每月的营业额逐月递增，三月份营业额为242万元．设营业额的平均月增长率为x，由题意可列方程为　 　 ．
12．（2025春 余杭区校级期中）随着小英同学的不断努力，她的数学成绩在近两次考试中呈现出逐次递增的趋势．已知小英同学2月份的考试成绩为64分，而到了4月份，她的考试成绩提升至107分．若设小英同学这两次考试的平均增长率为x，则根据题意，可列方程为：　 　 ．
13．（2025春 拱墅区校级期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为　 　 ．
题型二．一元二次方程的应用-与几何图形结合
1．（2025春 西湖区校级期中）如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是18cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　）
A．40﹣4x2＝18 B．（8﹣2x）（5﹣2x）＝18
C．40﹣2（8x+5x）＝18 D．（8﹣2x）（5﹣2x）＝9
2．（2025春 鄞州区期中）如图，琪琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为21m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC长为（　　）
A．6m或7m B．3m或3.5m C．3.5m D．6m
3．（2025秋 台州期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程x（x+6）＝72为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为x+6，宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是x+6+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即4×72+62，据此易得．小明用此方法解关于x的方程x（3x﹣n）＝24，其中3x﹣n＞x构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则n的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2025春 拱墅区校级期中）有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米，面积为y平方米．
（1）用含x的代数式表示y；
（2）如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少？
（3）能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，求出AB的长，若不能，请说明理由．
5．（2025春 龙泉市期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为25m的墙（MN），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为60m（全部用完）．设AB的长为xm．
（1）如图1，用含x的代数式表示BC的长．
（2）如图1，当长方形花园ABCD的面积为400m2时，求x的值．
（3）如图2，将墙MN全部利用，并在墙MN的延长线上拓展ND，构成长方形ABCD，其中BM，BC，CD和DN都由篱笆构成．长方形花园ABCD的面积可以为500m2吗？如果能，求出x的值；如果不能，请说明理由．
6．（2025秋 洪山区期中）素材1：如图，某农户规划在一个长为300米，宽为200米的长方形果园ABCD上修建三条通道，使其中两条与AB平行，满足通道宽EF＝GH；另一条与AD平行，并使两条通道的宽MN：EF＝2：3，其余六块部分种植草莓．
素材2：经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．
任务1：要使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，则通道的宽MN应设计成多少米？
任务2：若农户预期一个月的总利润（总利润＝销售利润﹣承包费）为52万元，为了让购买草莓的客户获得更大的优惠，那么应该降价多少元？
7．（2025春 温州期中）实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园ABCD（如图）．
素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为28m，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为60m的铝合金材料围建．
素材2：与墙平行的一边上要预留2m宽的入口．
任务1：当长方形菜园ABCD的长BC为多少米时，菜园的面积为300m2？
任务2：能否围成500m2的长方形菜园？若能，求出BC的长；若不能，请说明理由．
8．（2025春 丽水期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝50m，AB＝30m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为800m2．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．
①设每个车位的月租金上涨a元，则停车场可以租出多少个车位？（用含a的代数式表示）
②当每个车位的月租金为多少元时，停车场的月租金收入为10080元？同时尽可能让利于民．
9．（2025春 上城区校级期中）饲养场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线A﹣B﹣C表示墙面）建饲养场，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开），点F在线段BC上．
（1）设EF的长为x米，则DE＝　 　 米；（用含x的代数式表示）
（2）若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；
（3）所围成的饲养场BDEF的面积能否为171平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．
10．（2025春 温州期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示．
素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为a（cm）（a＜50）的长方形纸板．
素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
将纸板①裁去角上4个长宽之比为1：2的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒．
目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽a为 　 　 cm（a＜50）．
利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究．
目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是832cm2时储物盒的体积为多少？
目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？
11．（2025春 温州期中）综合与实践．
项目主题：制作新学期的开学手册封面
素材一：小华设计的开学手册的封面是尺寸为长34cm，宽22cm的长方形，正中央有一个长方形边框，其四周是边衬．上下边衬等宽，左右边衬等宽，且上下边衬的宽度是左右边衬宽度的一半．小华设计的边衬面积为172cm2．
素材二：封面边框内需要张贴一张长方形的校园照片．为了使排版规范，照片的长宽比例等于边框的长宽比例．小华设计照片到边框下方的下距为22cm，到边框左右的左距与右距，以及到边框上方的上距都为1cm．
【任务一】设上边衬的宽度为xcm，用含x的代数式表示边框的长和宽．
【任务二】求边框的长和宽．
【任务三】通过计算说明，小华的设计是否规范．
题型三．一元二次方程的应用-增长率/下降率
1．（2025春 镇海区校级期中）某药品原价每盒96元，连续两次降价后售价为54元，则该药品每次平均降价率为（　　）
A．10% B．20% C．25% D．50%
2．（2025春 义乌市校级期中）某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年1月份的每平方米20000元下降到3月份的每平方米16200元，且今年房价每月的下降率保持一致，则每月的下降率为（　　）
A．9% B．10% C．19% D．20%
3．（2025春 上城区校级期中）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上一个月增长的百分数相同，则每月的平均增长率为（　　）
A．10% B．15% C．20% D．25%
4．（2025春 萧山区期中）某工厂生产的笔记本，每本成本10元，由于连续两次降低成本，现在的成本是8.1元，则平均每次降低成本的百分率是　 　 ．
5．（2025春 南湖区期中）某款羽绒服原售价为200元，由于换季，连续两次降价处理，现按98元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 　 　 ．
6．（2025春 越城区期中）今年家乐福超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月的月平均增长率．
（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？
7．（2025春 兰溪市校级期中）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情滞销该店采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若该商品经过两次降价后，每件可以获得的利润是32.4元，求这两次降价的平均降价率是多少？
（2）经调查，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．若该商店每天预期销售利润为1232元，则每件商品应降价多少元？
8．（2025春 西湖区校级期中）杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该专卖店核桃销售量的月增长率．
（2）该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
①每千克核桃应降价多少元？
②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的　 　 折出售．
9．（2025春 慈溪市校级期中）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，2024年10月21日至24日某市开展青少年机器人竞赛活动．某商家为本次比赛供应器材，因供过于求，还余20套器材需要进行零售．为了尽快减少库存，商家决定采取降价措施，原来每套器材的售价为100元，经过两次降价后每套器材的售价为81元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求每次降价的百分率；
（2）若每套器材的进价为76元，通过以上两次降价的方式，将剩余的20套器材全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少套器材后方可进行第二次降价？
10．（2025春 嵊州市期中）新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具．某品牌新能源汽车经销商对新上市的A汽车在1月份至3月份的销售情况进行统计，发现A汽车1月份的销量为20辆，3月份的销量为45辆．
（1）求A汽车销量的月平均增长率．
（2）为了扩大A汽车的市场占有量，提升A汽车的销售业绩，该公司决定采取适当的降价措施（降价幅度不超过售价的10%），经调查发现，当A汽车的销售单价定为12万元时，平均每月的售量为30辆，在此基础上，若A汽车的销售单价每降1万元，平均每月可多售出10辆．若销售额要达到440万元，则每辆A汽车需降价多少万元？
题型四．一元二次方程的应用-销售利润问题
1．（2025春 诸暨市校级期中）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：
（1）当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利　 　 元．
（2）在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？
（3）该超市售卖这种饮料的总利润能达到15000元吗？若能，每箱应降价多少元；若不能，请说明理由．
2．（2025春 杭州校级期中）某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多卖出20件．
（1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则每件童服装应降价多少元？
（2）该店铺每周可能盈利10000元吗？请说明理由．
3．（2025春 西湖区校级期中）根据背景材料，探索问题．
清明果销售价格的探究
素材1 清明节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的清明果，第一周以每袋50元的价格销售了150袋．
素材2 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋清明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，但最低每袋要盈利15元，第二周结束后，该超市将对剩余的清明果一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元．
解决问题
任务1 若设第二周单价为每袋降低x元，则第二周的单价每袋 　 　 元，销量是 　 　 袋．
任务2 ①经两周后还剩余清明果 　 　 袋．（用x的代数式表示）
②若该超市想通过销售这批清明果获利5160元，那么第二周的单价每袋应是多少元？
4．（2025春 诸暨市期中）某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
5．（2025春 鹿城区校级期中）综合与实践：洗衣粉售价方案设计
某厂家生产的一种洗衣粉采用A、B两种包装，当前销售的相关信息如表：
包装规格 A B
含量（千克/袋） 2 1
成本（元/袋） 10 5
售价（元/袋） 25 17
日销量（袋） 60 40
该厂家经市场调研发现适当提升A包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋．一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下调了B包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋．
根据以上信息解决问题：
设A包装洗衣粉每袋售价提高x元（x＞0）．
（1）问该厂家每日销售A包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出A包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由．
（2）当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设B包装洗衣粉每袋售价降低y元（y＞0）．
①求y关于x的函数关系．
②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？
6．（2025春 宁波期中）2025年宁波市马拉松于3月23日盛大展开．某服装厂家为本次马拉松赛事生产了一批文化衫．正常情况下，文化衫售价为每件50元时，则每天可售出40件．通过市场调查发现，若每件降价5元，则每天可以多售出10件，综合各项成本考虑，规定每件文化衫售价不低于35元．设售价为x元/件，解决以下问题：
（1）当天文化衫的销售数量为 　 　 件．（用x的代数式表示）．
（2）当文化衫售价定为多少元时，每天能获得2400元的销售额？
（3）该服装厂一天所获得的文化衫销售额能否达到2500元？请计算说明．
7．（2025春 浙江期中）某经销商销售一种成本价为8元/千克的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于15元/千克，在销售过程中发现日销量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，对应关系如下表：
x … 9 10 11 12 …
y … 33 30 27 24 …
（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（2）若该经销商想使这种商品获得平均每天96元的利润，求售价应定为多少．
（3）小杭同学说若销售这种商品10天，可以获得总利润1200元．你觉得他的说法正确吗？请说明理由．
8．（2025春 新昌县期中）为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题．
素材1 某款中央空调每台进价为20000元．
素材2 团购方案：团购2台时，则享受团购价30000元/台，在此基础上，若团购数量每增加1台，则每台再降500元． 规定：一个团的团购数量不超过11台．
问题解决 问题1：当团购5台时，求出每台空调的团购价． 问题2：设团购数量为x台，请用含x的代数式表示每台空调的团购价． 问题3：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为58500元．
9．（2025春 南湖区校级期中）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 2025年4月23日是第三十个世界读书日，学校计划购买文学和科普两类图书，已知文学类图书每本40元，科普类图书每本30元．
素材2 为弘扬中国传统文化，商家决定对文学类图书推出销售优惠活动：若不超过50本，按每本40元价格销售；若超过50本，每增加2本，单价降低1元，但单价不得低于25元（即超过一定的购买数量后，单价保持25元不变）．
问题解决
任务1 预计购买数量 如果每本文学类图书的单价是25元，则至少购买文学类图书多少本？
任务2 拟定购买方案 如果学校购进两类图书共120本，用去购书款3948元，求购进文学类图书多少本？
10．（2025春 拱墅区校级期中）今年11月1日7日在江北嘴举行了第二届花博会，吸引了众多游客．王某看准了商机，在销售区租了一个摊位，主要卖干花和鲜花植物．部分品种，干花和鲜花的成本价分别是每束6元，每盆10元．
（1）已知一盆鲜花的售价是一束干花价格的1.5倍．第一天就卖了150束干花，200盆鲜花，共获利1600元．求一束干花的售价是多少元．
（2）花博会最后一天，王某发现还有100束干花和240盆鲜花，决定干花的售价提高2a%销售，很快全部售完．鲜花降价a%卖了14a盆，剩下的每盆11元全部卖出，当天的利润为1150元，且鲜花价格尽可能降低．求a的值是多少？
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