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安徽省定远中学2026年高考数学模拟试卷1（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
3.已知函数在处取得最小值，则在区间上的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
4.已知，是双曲线：的左、右焦点，点在上，，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知，，：，：，其中，点为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知点为圆：上一个动点，为坐标原点，过点作圆的切线与圆：相交于两点，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则实数，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.三棱台中，平面平面，，，则( )
A. 平面
B.
C.
D. 与平面所成角的正弦值为
10.已知为抛物线：上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的是( )
A. 点到直线与到直线的距离之和的最小值为
B. 若点与关于轴对称，且点恰为的垂心，则的周长为
C. 若存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切，则
D. 过直线上一点点不在轴上作抛物线的两条切线，切线分别交轴于点，，则外接圆面积的最小值为
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，下列说法正确的有( )
A. 当点为线段的中点时，直线的斜率为
B. 若，则
C. 为坐标原点
D. 若直线的斜率为，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.阿尔法围棋是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这是人工智能算法的重要突破现某公司研发出了一款级段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得千元奖金，若获胜两次，则可以获得千元奖金，若获胜三次，则可以获得万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为，记此人可获得的奖金为千元，则 ．
13.设，函数若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
14.定义集合的“长度”是，其中，已如集合，，且，都是集合的子集，那么集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，收集数据如表所示．
零件数个
加工时间
经计算得．
建立加工时间关于零件数的一元线性回归方程；
关于加工零件的个数与加工时间，由问你能得出什么结论？
参考公式：经验回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
16.本小题分
已知数列的前项之积为，，，且，，成等比数列．
求的通项公式；
比较与的大小关系，并说明理由；
若数列满足，求的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是的中点．
证明：平面．
若直线与底面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知双曲线的离心率为，且经过点
求的标准方程
若过点的直线与交于，两点，求线段的中点的轨迹方程．
19.本小题分
已知函数．
讨论的极值；
当时，证明：．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
11.
12.
13.
14.解：集合，，且，都是集合的子集，
由，可得，
由，可得，
当时，
当时，，
当时，；
当时，，
要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立．
当，，，“长度”为，
当，，，“长度”为，
故集合的“长度”的最小值是；
若，，
要使集合的“长度”大于，故或
即又，
故
故答案为．
15.解：由题意可得，
，
，
所以，
，
所以加工时间关于零件数的一元线性回归方程为；
由可知，加工时间与零件数的关系为，
结论：加工零件的个数与加工时间呈正相关，零件每增加一个，加工时间平均增加．
16.解：因为数列的前项之积为，，，且，，成等比数列，
所以，则，即，
因为，，所以，满足上式，
所以是以为首项，为公比的等比数列，故．
，理由如下：
由得，
故．
依题意得，
故．
17.证明：，，是的中点，
则，，
则．
易知，则，所以．
面，则，
又因为，，面，则面；
建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
，取，则，
设直线与平面所成的角为，
，
即直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：设的焦距为，由离心率，得，
又，所以，即，
将点代入方程，得，，即，
所以，，
故C的标准方程为；
解法一：：设点，，，
由直线与交于，两点得直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
联立方程，
代入消去，整理得，
则，即，且，
，
于是，中点的横坐标，则，
又点在直线上，所以，即，
由，，且得，或，
故线段的中点的轨迹方程为或
解法二：设点，，，
由直线与交于，两点得直线的斜率存在，设直线的方程为，即．
联立方程，代入消去，整理得，
则即，且，
由，两点在双曲线上得
作差得，
当时，易知当时，式可化为，
即，
故由题意可得且，
可得，
因为，所以，
当时，也在直线上，
又，解得或．
综上，线段的中点的轨迹方程为或
19.解：函数的定义域为，求导得：，
当时，对任意恒成立，故，在上单调递减，无极值；
当时，令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故当时取得极大值，无极小值．
综上，当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值．
证明：因为，
所以原不等式等价于，因，，两边除以得：只需证．
当时，不等式显然成立；
当时，，只需证，因为，故只需证．
令，求导得：，
令，在上单调递减，且，，
故存在唯一，使得，即．
当时，，，单调递增；当时，，，单调递减．
故当时，取得极大值也是最大值．
代入得：，令，
则恒成立，则在上单调递减，
故，即成立．
综上，原不等式得证．

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