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9.2　用样本估计总体
9.2.1　总体取值规律的估计
一．选择题
1.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率
B.频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1
C.频率分布直方图中各个小矩形的宽必须一样大
D.频数分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频数
2.将容量为72的样本中的数据分成5组,已知第一组、第五组的频数都为8,第二组、第四组的频率都为,则第三组的频数为(　　)
A.16 B.20
C.24 D.36
3.某地区为了解学生课余时间的读书情况,随机抽取了n名学生进行调查,根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图.已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人,则n和图中p的值分别为(　　)
A.200,0.015 B.100,0.010
C.100,0.015 D.1 000,0.010
4.某校高一年级学生到校方式的条形统计图如图所示,根据图形可得出骑自行车人数占高一年级学生总人数的(　　)
A.20% B.30%
C.50% D.60%
5.对某种电子元件使用寿命(单位:h)进行跟踪调查,随机抽取部分电子元件作为样本制成频率分布直方图如图所示.由图可知,在被抽取的电子元件中寿命在区间[100,300)内的电子元件的数量与寿命在区间[300,600]上的电子元件的数量的比是(　　)
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶4 D.1∶6
6.(多选题)容量为100的样本,其数据分布在区间[2,18]上.将样本数据分为4组:[2,6),[6,10),[10,14),[14,18],得到频率分布直方图如图所示,则下列说法中正确的是(　　)
A.样本数据分布在区间[6,10)内的频率为0.32
B.样本数据分布在区间[10,14)内的频数为40
C.样本数据分布在区间[2,10)内的频数为40
D.估计总体数据大约有10%分布在区间[10,14)内
7.将某年级的300名学生分配到甲、乙、丙、丁、戊这5个社区参加志愿者活动,每个人只能到一个社区.经统计,将到各个社区参加志愿者活动的学生人数绘制成如下不完整的两个统计图,则到戊社区参加志愿者活动的学生人数为 (　　)
A.65 B.70
C.75 D.80
8.(多选题)统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分),根据成绩分数依次分成六组:[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到频率分布直方图如图所示.若不低于140分的人数为110.下列结论正确的是(　　)
A.m=0.031
B.n=800
C.100分以下的人数为60
D.分数在区间[120,140)内的人数超过总人数的一半
二．填空题
9.为了解学生的身体状况,某校随机抽取了一批学生测量体重.经统计,这批学生的体重(单位:千克)数据全部介于45至70之间.将数据分成以下5组:第1组[45,50),第2组[50,55),第3组[55,60),第4组[60,65),第5组[65,70],得到频率分布直方图如图所示,则a=　　　　　.现采用比例分配的分层随机抽样的方法,从第3,4,5组中随机抽取6名学生,则从第3,4,5组抽取的学生人数依次为　　　　　.
10.为了解某校高三学生的身体状况,用分层随机抽样的方法抽取部分男生和女生的体重,将男生体重数据整理后,绘制出频率分布直方图如图所示.已知图中从左到右前三个小组频率之比为1∶2∶3,第二小组频数为12,若全校男生、女生比例为3∶2,则全校抽取学生数为　　　　　.
11.从某小学随机抽取100名学生,将他们的身高数据(单位:cm)按[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分组,绘制成频率分布直方图如图所示.从身高在区间[120,130),[130,140),[140,150)内的学生中,用分层随机抽样的方法抽取18人参加一项活动,则从身高在区间[140,150]上的学生中选取的人数应为　　　　　
三．解答题
12.为增强市民节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者,现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,他们的年龄情况如下表所示.
分组(单位:岁) 频数 频率
[20,25) 5 0.05
[25,30) ① 0.20
[30,35) 35 ②
[35,40) 30 0.30
[40,45] 10 0.10
合计 100 1.00
(1)频率分布表中的①②位置应填什么数据
(2)补全频率分布直方图,再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在区间[30,35)内的人数.
13.某高校在自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下:
组号 分组 频数 频率
第1组 [160,165) 5 0.05
第2组 [165,170) ① 0.35
第3组 [170,175) 30 ②
第4组 [175,180) 20 0.20
第5组 [180,185] 10 0.10
合计 100 1.00
(1)请先求出频率分布表中①②处应填写的数据,并完成频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试,求第3,4,5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试.
9.2　用样本估计总体
9.2.1　总体取值规律的估计
一．选择题
1．BD
解析:频率分布直方图中每个小矩形的面积是该组的频率,且各个小矩形的面积之和为1,故A错误,B正确;数据分组时,可以是等距的,也可以是不等距的,要根据数据的特点而定,所以频率分布直方图中各小矩形的宽不一定都是一样大的,故C错误;根据频率分布直方图的特点可知D正确.
2. C
解析:由题意得,第二组、第四组的频数都为72×=16,所以第三组的频数为72-2×8-2×16=24.
3. B
解析:利用频率之和为1,可得p×10=1-(0.018+0.022+0.025+0.020+0.005)×10=0.1,
解得p=0.010.
根据频率、频数、样本量之间的关系可得=0.1,
解得n=100.故选B.
4. B
解析:该校高一年级学生总人数为60+90+150=300,骑自行车人数为90,骑自行车人数占高一年级学生总人数的百分比为×100%=30%.
5. C
解析:由题意得,寿命在区间[100,300)内的电子元件的频率为100×=0.2,寿命在区间[300,600]上的电子元件的频率为100×=0.8,则寿命在区间[100,300)内的电子元件的数量与寿命在区间[300,600]上的电子元件的数量的比是0.2∶0.8=1∶4.
6. ABC
解析:由题图可知,样本数据分布在区间[6,10)内的频率为0.08×4=0.32,所以A正确.样本数据分布在区间[10,14)内的频数为100×(0.1×4)=40,所以B正确.样本数据分布在区间[2,10)内的频数为100×[(0.02+0.08)×4]=40,所以C正确.估计总体数据分布在区间[10,14)内的比例为0.1×4=0.4=40%,所以D错误.故选ABC.
7. A
解析:由题中条形图和扇形图可得到乙社区参加志愿者活动的人数为20%×300=60,到丙社区参加志愿者活动的人数为15%×300=45,则到戊社区参加志愿者活动的学生人数为300-45-60-45-85=65.故选A.
8. AC
解析:根据频率分布直方图的性质,得10(0.006+0.016+0.020+m+0.016+0.011)=1,解得m=0.031.故A正确;
因为不低于140分的频率为0.011×10=0.11,所以n==1 000,故B错误;
由100分以下的频率为0.006×10=0.06,所以100分以下的人数为1 000×0.06=60,故C正确;
分数在区间[120,140)内的人数占总人数的0.031×10+0.016×10=0.47=47%,故D错误.
故选AC.
二．填空题
9. 0.04　3,2,1
解析:由(0.01+0.02+a+0.06+0.07)×5=1,得a=0.04.
设从第3,4,5组抽取的学生人数依次为x,y,z,
则x∶y∶z=0.06∶0.04∶0.02=3∶2∶1,
又x+y+z=6,所以x=3,y=2,z=1.
10. 80
解析:由题图可知,第四组与第五组的频率和为(0.012 5+0.037 5)×5=0.25,
因为从左到右前三个小组频率之比为1∶2∶3,第二小组频数为12,
所以前三个小组的频数为36,
从而男生有=48(人).
又因为全校男生、女生比例为3∶2,所以全校抽取学生数为48×=80.
11. 3
解析:各组频率等于各组相应小长方形的面积,
因此身高在区间[120,130),[130,140),[140,150)内的频率分别为0.3,0.2,0.1,
身高在区间[120,130),[130,140),[140,150)内的频数分别为30,20,10,
分层随机抽样的比例为.
所以从身高在区间[140,150]上的学生中选取的人数为10×=3.
三．解答题
12.
解:(1)设年龄在区间[25,30)内的频数为x,年龄在区间[30,35)内的频率为y.
方法一:根据题意可得=0.20,=y,
解得x=20,y=0.35,故①处应填20,②处应填0.35.
方法二:由题意得5+x+35+30+10=100,
0.05+0.20+y+0.30+0.10=1.00,
解得x=20,y=0.35,故①处填20,②处填0.35.
(2)由频率分布表知年龄在区间[25,30)内的频率是0.20,组距是5.
即=0.04.
补全频率分布直方图如图所示.
根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在区间[30,35)内的人数为500×0.35=175.
13.
解:(1)由题意可知,第2组的频数为0.35×100=35,
第3组的频率为=0.30,故①处填35,②处填0.30.
频率分布直方图如图所示.
(2)因为第3,4,5组共有60名学生,所以利用分层随机抽样在60名学生中抽取6名学生,抽样比为,故第3组应抽取30×=3(名)学生,第4组应抽取20×=2(名)学生,第5组应抽取10×=1(名)学生,所以第3,4,5组应抽取的学生人数分别为3,2,1.

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