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9.2.2　总体百分位数的估计
9.2.3　总体集中趋势的估计
一．选择题
1.为了解某种轮胎的性能,随机抽取了8个进行测试,其最远里程数(单位:1 000 km)为:96,112,97,108,99,104,86,98,则它们的中位数是(　　)
A.100 km B.99 km
C.98.5 km D.98 km
2.海水养殖场收获时随机抽取了100个养殖网箱,测量各网箱水产品产量(单位:kg),其频率分布直方图如图所示,则估计此样本中位数为(　　)
A.50.00 B.51.80
C.52.35 D.52.50
3.(多选题)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则下列说法正确的是(　　)
甲
乙
A.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C.甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数
D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
4.从某企业生产的某种产品中随机抽取10件,测量这些产品的一项质量指标,其频率分布表如下:
质量指标分组 [10,30) [30,50) [50,70]
频率 0.1 0.6 0.3
则可估计这批产品的质量指标的众数和第50百分位数分别为(　　)
A.30,43 B.40,43
C.40,43 D.30,43
5.我校为了解高三学生在某市第一次模拟考试中对数学的掌握情况,从高三年级中随机抽查了100名学生的数学成绩,并绘制成频率分布直方图如图所示.估计这100名学生的平均分数和中位数分别为(　　)
A.103.2,113.2 B.108.2,108
C.103.2,108 D.108.2,113.2
6.总体的样本数据的频率分布直方图如图所示.
总体中50%的数据不超过a,总体中80%的数据不超过b.则a,b的估计值分别为(　　)
A. B.
C.22, D.
7.(多选题)某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况,从该年级1 120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩,发现都在区间[80,150]上,现将这100名学生的成绩按照[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140), [140,150]分组后,得到的频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.频率分布直方图中a的值为0.030
B.样本数据低于130分的频率为0.3
C.总体的中位数(精确到0.1)估计为123.3分
D.总体分布在区间[90,100)内的频数一定与总体分布在区间[100,110)内的频数相等
二．填空题
8.有13名同学参加百米竞赛,预赛成绩各不相同,要取前6名参加决赛,小明同学已经知道了自己的成绩,为了判断自己是否能进入决赛,他还需要知道这13名同学成绩的　　　　　
9.为了调查某市市民对出行的满意程度,研究人员随机抽取了1 000名市民进行调查,并将满意程度以分数的形式进行统计,绘制成频率分布直方图如图所示,其中a=4b.
则估计被调查的市民的满意程度的平均数为　　　　　,众数为　　　　　,中位数为　　　　　(精确到0.01).
10.某厂对一批产品进行抽样检测,抽检产品净重(单位:克)的频率分布直方图如图所示,估计抽检产品净重第95百分位数是　　　　　,
三．解答题
11.某地区100名居民的人均月用水量(单位:t)的分组及各组的频数如下:
[0,0.5),4;[0.5,1),8;[1,1.5),15;[1.5,2),22;[2,2.5),25;[2.5,3),14;[3,3.5),6;[3.5,4),4;[4,4.5],2.
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图,并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数;
(3)当地政府制定了人均月用水量为3 t的标准,若超出标准加倍收费,当地政府说,85%以上的居民用水量不超过这个标准,这个解释对吗 为什么
12.某大学艺术专业400名学生参加某场考试,根据男女学生人数比例,使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90].整理得到如下频率分布直方图:
(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)根据该大学规定,要把15%的学生分数划定为不及格,利用(2)中的数据,确定本场考试的及格分数线.
13.为了解和掌握某校去年高考考生的实际答卷情况,随机抽取了100名考生的数学成绩(单位:分),将数据分成了11组,制成的频率分布表如下:
分组 频数 频率
[80,85) 1 0.01
[85,90) 2 0.02
[90,95) 4 0.04
[95,100) 14 0.14
[100,105) 24 0.24
[105,110) 15 0.15
[110,115) 12 0.12
[115,120) 9 0.09
[120,125) 11 0.11
[125,130) 6 0.06
[130,135] 2 0.02
合计 100 1
(1)估计样本数据的第60,80百分位数(除不尽的精确到0.1);
(2)估计该学校去年高考考生的数学成绩的90%分位数(精确到0.1).
9.2.2　总体百分位数的估计
9.2.3　总体集中趋势的估计
一．选择题
1. C
解析:将这组数据从小到大排列为86,96,97,98,99,104,108,112,中间两个数是98,99,因此中位数为(98+99)÷2=98.5(km),故选C.
2. C
解析:由题图可知,七个组的频率依次为0.02,0.10,0.22,0.34,0.23,0.05,0.04,因此中位数位于第4组,设为x,则0.02+0.10+0.22+(x-50)×0.068=0.5,解得x≈52.35.
3. AC
解析:由题图可得,=6,=6,A正确;
甲的成绩的中位数为6,乙的成绩的中位数为5,B错误;
甲的成绩的第80百分位数为=7.5,乙的成绩的第80百分位数为=7.5,C正确;
甲的成绩的极差为4,乙的成绩的极差也为4,D错误.
4. C
解析:根据频率分布表可知,频率最大的分组为[30,50),因此众数的估计值为40.
设第50百分位数为x,
则0.1+×0.6=0.5,
解得x=43,即中位数的估计值为43.
5. B
解析:根据频率分布直方图,估计这100名学生的平均分数为85×0.006×10+95×0.02×10+105×0.03×10+115×0.025×10+125×0.018×10+135×0.001×10=108.2,又0.006×10+0.02×10=0.26<0.5,0.26+0.03×10=0.56>0.5,
所以中位数在区间[100,110)内,可设为x,则(x-100)×0.03+0.26=0.5,
解得x=108.
6. D
解析:由于第一组频率为0.02×4=0.08,第二组频率为0.08×4=0.32,第三组频率为0.09×4=0.36,第四组频率为0.03×4=0.12,故a=18+4×.
由于0.08+0.32+0.36=0.76,0.76+0.12=0.88,故b=22+4×.
7. AC
解析:由频率分布直方图,得(0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,解得a=0.030,故A正确.样本数据低于130分的频率为1-(0.025+0.005)×10=0.7,故B错误.
∵样本数据在区间[80,120)内的频率为(0.005+0.010+0.010+0.015)×10=0.4,
在区间[120,130)内的频率为0.030×10=0.3,
∴总体的中位数(精确到0.1)估计为120+×10≈123.3分,故C正确.
样本分布在区间[90,100)内的频数一定与样本分布在区间[100,110)内的频数相等,
总体分布在区间[90,100)内的频数不一定与总体分布在区间[100,110)内的频数相等,故D错误.
二．填空题
8.中位数
解析:共有13名同学参加预赛,成绩各不相同,成绩前6名的同学进入决赛.把13名同学的成绩按由大到小排列,第7名的成绩是这组数据的中位数,故要判断是否进入决赛,他还需要知道13名同学成绩的中位数
9. 74.9　75　75.14
解析:依题意得(a+b+0.008+0.027+0.035)×10=1,得a+b=0.03,
又a=4b,得a=0.024,b=0.006.
因此估计平均数为55×0.08+65×0.24+75×0.35+85×0.27+95×0.06=74.9,
中位数为70+10×≈75.14,众数为=75.
10.85.3
解析:由题图,可知产品净重在84 g以下所占比例为0.85,产品净重在86 g以下所占比例为1.因此95%分位数一定位于区间[84,86]上,
由84+2×≈84+1.3=85.3,
可以估计样本数据第95百分位数是85.3.
三．解答题
11.
解:(1)频率分布表如下表所示:
分组 频数 频率
[0,0.5) 4 0.04
[0.5,1) 8 0.08
[1,1.5) 15 0.15
[1.5,2) 22 0.22
[2,2.5) 25 0.25
[2.5,3) 14 0.14
[3,3.5) 6 0.06
[3.5,4) 4 0.04
[4,4.5] 2 0.02
合计 100 1.00
(2)频率分布直方图如图所示:
估计这组数据的平均数是2.02,中位数是2.02,众数是2.25.
(3)人均月用水量在3 t以上的居民所占的比例为6%+4%+2%=12%,即大约有12%的居民月用水量在3 t以上,88%的居民月用水量在3 t以下,因此政府的解释是正确的.
12.
解:(1)根据题中频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,
所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
所以估计总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4=160.
(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,
则分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.
所以估计总体中分数在区间[40,50)内的人数为400×=20.
(3)设样本数据的第15百分位数为x,由(2)可知,分数小于50的频率为=0.1,分数小于60的频率为0.1+0.1=0.2,所以x∈[50,60),由0.1+(x-50)×0.01=0.15,得x=55,则本次考试的及格分数线为55分.
13.
由频率分布表,得前六组的频率之和为0.01+0.02+0.04+0.14+0.24+0.15=0.60,
前七组的频率之和为0.60+0.12=0.72,
前八组的频率之和为0.72+0.09=0.81,
前九组的频率之和为0.81+0.11=0.92.
(1)由前六组的频率之和为0.60,估计样本数据的第60百分位数为110.样本数据的第80百分位数在第八组[115,120)内,由115+5×≈119.4,估计样本数据的第80百分位数为119.4.
(2)由前八组的频率之和为0.81,前九组的频率之和为0.92,知样本数据的90%分位数在第九组[120,125)内,由120+5×≈124.1,估计该学校去年高考考生的数学成绩的90%分位数为124.1.

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