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9.2.4　总体离散程度的估计
一．选择题
1.已知某6个数据的平均数为4,方差为8,现加入数据2和6,此时8个数据的方差为(　　)
A.8 B.7
C.6 D.5
2.已知一组数据按从小到大的顺序排列,得到-1,0,4,x,7,14,中位数为5,则这组数据的平均数和方差分别为(　　)
A.5, B.5,
C.4, D.4,
3.(多选题)若样本1+x1,1+x2,1+x3,…,1+xn的平均数是10,方差为2,则对于样本2+x1,2+x2,…,2+xn,下列结论正确的是(　　)
A.平均数是10 B.平均数是11
C.方差为2 D.方差为3
4.在高一期中考试中,甲、乙两个班的数学成绩统计如下表:
班级 人数 平均分数 方差
甲 20 2
乙 30 3
若,则两个班数学成绩的方差为(　　)
A.3 B.2
C.2.6 D.2.5
5.下列各组数据中方差最大的是(　　)
A.5,5,5,5,5,5,5,5,5 B.4,4,4,5,5,5,6,6,6
C.3,3,4,4,5,6,6,7,7 D.2,2,2,2,5,8,8,8,8
6.学生小丽在近期五次数学模拟考试中的成绩(单位:分)为:x,y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108,方差为35.2,则|x-y|的值为(　　)
A.15 B.16 C.17 D.18
7.(多选题)某校高一年级有甲、乙、丙三名学生,他们前三次月考的物理成绩如表所示:
次序 第一次 第二次 第三次
学生甲 80 85 90
学生乙 81 83 85
学生丙 90 86 82
则下列结论正确的是(　　)
A.甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为86
B.在这三次月考物理成绩中,丙的成绩平均分最高
C.在这三次月考物理成绩中,乙的成绩最稳定
D.在这三次月考物理成绩中,丙的成绩方差最大
8.在教学调查中,甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图,假设三个班的平均分都是75分,s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差,则有(　　)
图1
图2
图3
A.s3>s1>s2 B.s2>s1>s3
C.s1>s2>s3 D.s3>s2>s1
9.为了稳定市场,确保农民增收,某农产品7月份的市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关,并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小,下表列出的是该产品今年前6个月的市场收购价格:
月份 1 2 3 4 5 6
价格/(元·kg-1) 68 78 67 71 72 70
则前7个月该产品的市场收购价格的方差为(　　)
A. B.
C.11 D.
10.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”,根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是(　　)
A.甲地:总体均值为3,中位数为4
B.乙地:总体均值为1,总体方差大于0
C.丙地:总体均值为2,总体方差为3
D.丁地:中位数为2,众数为3
二．填空题
11.已知一组数据x1,x2,…,x10的方差是2,且(x1-3)2+(x2-3)2+…+(x10-3)2=380,则这组数据的平均数=　　　　　.
12.为了调查公司员工的健康状况,用比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本,已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg,标准差为60,男员工的平均体重为70 kg,标准差为50,女员工的平均体重为50 kg,标准差为60,若样本中有20名男员工,则女员工的人数为　　　　　.
13.一组数据2,x,4,6,10的平均数是5,则此组数据的标准差是　　　　　.
三．解答题
14.某校高一(1)班、(2)班各有49名学生,两班学生在一次数学测试(满分100分)中的成绩(单位:分)统计如下表:
班级 平均分 众数 中位数 标准差
高一(1)班 79 70 87 19.8
高一(2)班 79 70 79 5.2
(1)请你对下面的一段话给予简要分析:
高一(1)班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测试中,全班的平均分为79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上游了!”
(2)请你根据表中的数据,对这两个班的测试情况进行简要分析,并提出教学建议.
15.某超市从全年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取100个,整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图如下:
分组(日销售量) 频率(甲种酸奶)
[0,10) 0.10
[10,20) 0.20
[20,30) 0.30
[30,40) 0.25
[40,50] 0.15
(1)写出频率分布直方图中a的值,并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图;
(2)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为,试比较的大小;
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替,试估计乙种酸奶在未来一个月(按30天计算)的销售总量.
9.2.4　总体离散程度的估计
一．选择题
1. B
解析:设原数据为a1,a2,a3,a4,a5,a6,则ai=6×4=24,(ai-4)2=8,加入数据2和6后,所得8个数据的平均数=4,方差s2==7.故选B.
2. A
解析:∵-1,0,4,x,7,14中位数为5,
∴=5,∴x=6,∴这组数据的平均数是=5,
这组数据的方差是×[(-1-5)2+(0-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(14-5)2]=.
3. BC
解析:若x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s,那么x1+a,x2+a,…,xn+a的平均数为+a,方差为s,故选BC.
4. C
解析:由题意可知两个班的数学成绩平均数为,则两个班数学成绩的方差为s2=×[2+()2]+×[3+()2]=×2+×3=2.6.
5. D
解析:这四个选项的平均数相同,都是5,A最集中,B次之,D最分散,因此D中数据的方差最大,故选D.
6. D
解析:由题意得=108, ①
=35.2, ②
由①②解得得|x-y|=18.故选D.
7. BC
解析:由题中表格数据知,甲、乙、丙的第三次月考物理成绩的平均数为<86,A错误;这三次月考物理成绩中,甲的成绩平均分为85,乙的成绩平均分为83,丙的成绩平均分为86,故丙的成绩平均分最高,B正确;这三次月考物理成绩中,乙的成绩波动性最小,最稳定,C正确;这三次月考物理成绩中,甲的成绩波动性最大,方差最大,D错误.
8. D
解析:图示均为成绩分布图,平均分是75分,在图1中,集中在75分附近的数据最多,图3中,从50分到100分均匀分布,所有成绩不集中在任何一个数据附近,图2介于两者之间.由标准差的意义可得s3>s2>s1.故选D.
9. B
解析:设7月份的市场收购价格为x,则x与其前三个月的市场收购价格之差的平方和是(x-71)2+(x-72)2+(x-70)2=3x2-426x+15 125,当x=71时,7月份的市场收购价格与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小,则7月份的市场收购价格为71元/kg.通过计算可得前7个月该产品的市场收购价格的平均数是71,方差是.
10. C
解析:A选项:若10天内数据为0,0,0,0,4,4,4,4,4,10,满足均值为3,中位数为4,存在超过7人的情况,不符合该标志,则A错误;B选项:若10天内数据为0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,满足均值为1,方差大于0,存在超过7人的情况,不符合该标志,则B错误;C选项:设10天内存在一天超过7人,即最低的超过标志的人数为8人,则必有s2=+…++(8-2)2]>3,可知方差不可能为3,可知假设错误,则必符合该标志,则C正确;D选项:若10天内数据为0,0,1,1,2,2,3,3,3,10,满足中位数为2,众数为3,存在超过7人的情况,不符合该标志,则D错误.
二．填空题
11. -3或9
解析:∵数据x1,x2,…,x10的方差为2,
∴[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]=2,
即(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2=20,可得(+…+)-10=20.
又(x1-3)2+(x2-3)2+…+(x10-3)2=380,
∴(+…+)-6(x1+x2+…+x10)+10×32=380,
∴20+10-6×10+10×32=380,
∴-6-27=0,解得=-3或=9.
12. 200
解析:设男、女员工的权重分别为ω男,ω女,
由题意可知s2=ω男[+()2]+ω女[+()2],
即ω男[502+(70-60)2]+(1-ω男)[602+(50-60)2]=602,解得ω男=,ω女=,
因为样本中有20名男员工,所以样本中女员工的人数为200.
13. 2
解析:∵一组数据2,x,4,6,10的平均数是5,∴2+x+4+6+10=5×5,解得x=3,
∴此组数据的方差s2=×[(2-5)2+(3-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(10-5)2]=8,
∴此组数据的标准差s=2.
三．解答题
14.
解:(1)由高一(1)班成绩的中位数是87分可知,85分排在25名以后,从名次上讲并不能说85分在班里是上游,但也不能从这次测试的名次上来判断学习的好坏.小刚得了85分,说明他对这阶段的学习内容掌握得较好,从掌握的学习内容上讲也算是上游.
(2)高一(1)班成绩的中位数是87分,说明高于87分的人数占一半左右,而平均分为79分,标准差又很大,说明低分者很多,两极分化严重,建议加强对学习有困难的学生因材施教、个别辅导.
高一(2)班成绩的中位数和平均数都是79分,标准差较小,说明学生成绩之间的差别也较小,学习有很大困难的学生较少,但学习成绩突出的学生也很少,建议在保证全班学生成绩提高的同时,让一部分同学的成绩更加优秀.
15.
解:(1)由乙种酸奶日销量的频率分布直方图可得,(0.020+0.010+0.030+a+0.025)×10=1,解得a=0.015.
根据题中数据可得,甲种酸奶日销售量的频率分布直方图如下:
(2)记甲、乙两种酸奶日销售量的平均数分别为,由频率分布直方图可得,
=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5,
=5×0.2+15×0.1+25×0.3+35×0.15+45×0.25=26.5,
因此=(5-26.5)2×0.1+(15-26.5)2×0.2+(25-26.5)2×0.3+(35-26.5)2×0.25+(45-26.5)2×0.15=142.75,
=(5-26.5)2×0.2+(15-26.5)2×0.1+(25-26.5)2×0.3+(35-26.5)2×0.15+(45-26.5)2×0.25=202.75,即.
(3)乙种酸奶的平均日销售量为=5×0.20+15×0.10+25×0.30+35×0.15+45×0.25=26.5(箱),估计乙种酸奶未来一个月的销售量为26.5×30=795(箱).

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