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第九章 统计
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.某中学共有1 400名学生,其中高一年级有540人,用比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本量为70的样本,则从高一年级抽取的人数为(　　)
A.18 B.21
C.26 D.27
2.小明从收集的1 000个数据中,用随机数法抽取了31个数据:
357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,429,434,443,445,445,451,454,363,371,374,383,385,386,则样本数据的第75百分位数是(　　)
A.427 B.429
C.430 D.434
3.为了解我国13岁男孩的平均身高,从北方地区抽取了300个13岁男孩,平均身高为1.60 m;从南方地区抽取了200个13岁男孩,平均身高为1.50 m.由此可估计我国13岁男孩的平均身高大约为(　　)
A.1.57 m B.1.56 m
C.1.55 m D.1.54 m
4.为了解某校高一学生的视力情况,随机抽查了该校100名高一学生的视力情况,得到频率分布直方图如图所示.现部分数据丢失,只知道后5组频数和为62,视力在4.6到4.8之间的学生人数为a,最大频率为0.32,则a的值为(　　)
A.64 B.54
C.48 D.27
4.某学习小组在一次数学测验中,得100分的有1人,得95分的有1人,得90分的有2人,得85分的有4人,得80分和75分的各有1人,则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　)
A.85,85,85 B.87,85,86
C.87,85,85 D.87,85,90
5.小王于2021年底贷款购置了一套房子,根据家庭收入情况,小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式,且截至2025年底,他没有再购买第二套房子.如图是2022年和2025年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图,则下列结论中正确的是(　　)
2022年各项支出
2025年各项支出
A.小王家2025年用于房贷的支出费用比2022年减少了
B.小王家2025年的家庭收入比2022年增加了1倍
C.小王家2025年用于饮食的支出费用跟2022年相同
D.小王家2025年用于其他方面的支出费用是2022年的3倍
6.一组数据的平均数是4.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是(　　)
A.55.2,3.6 B.55.2,56.4
C.64.8,63.6 D.64.8,3.6
7.为了解某学校学生的身体发育情况,抽查了该校100名高中男生的体重情况,根据所得数据绘制出样本频率分布直方图如图所示.根据此图,估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5 kg的人数为(　　)
A.300 B.360 C.420 D.450
8.现有10个数,其平均数是4,且这10个数的平方和是200,那么这组数的标准差是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.甲、乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图所示,甲、乙两组数据的平均值分别为,则(　　)
A.每次考试甲的成绩都比乙的成绩高
B.甲的成绩比乙稳定
C.一定大于
D.甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差
10.甲、乙两人的测试成绩如下表,则下列说法正确的是(　　)
测试编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
甲的成绩 68 74 77 83 83 92 84 89 93
乙的成绩 64 74 66 76 85 87 95 98 98
A.甲、乙两人的成绩的平均分相同
B.甲成绩的中位数是83,乙成绩的中位数是85
C.甲的成绩比乙的成绩稳定
D.甲成绩的众数是89,乙成绩的众数是87
11.某公司某年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图如图所示,气泡的大小表示完成率的高低,如10月份销售任务是400台,完成率为90%,则下列叙述正确的是(　　)
A.3月的销售任务是400台
B.月销售任务的平均值不超过600台
C.第一季度总销量为900台
D.月销量最大的是6月份
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.某单位有职工960人,其中青年职工420人,中年职工300人,老年职工240人,为了解该单位职工的健康情况,用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工有14人,则样本量为　　　　　.
13.如图,根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到样本频率分布直方图,则估计6月份的平均气温的第95百分位数是　　　　　(保留整数).
14.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用比例分配的分层随机抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件进行使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为　　　　　;由所得样品的测试结果计算出第一、第二、第三分厂取出的产品的使用寿命平均数分别为1 020 h,980 h,1 030 h,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为　　　　　h.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在学校开展的综合实践活动中,某班进行了制作作品评比,作品上交时间为5月1日到5月31日,评委会把学生们上交作品的件数按5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图如图所示.已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1,第三组的频数为12,请回答下列问题:
(1)本次活动参加评比的作品共有多少件
(2)哪组上交的作品数量最多 有多少件
(3)经过评比,第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖,问这两组哪组获奖率较高
16.(15分)甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:t/hm2),试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
17.(15分)某地统计局调查了10 000名居民的月收入,并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图如图所示.
(1)求这10 000名居民月收入在区间[3 000,3 500)内的频率;
(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数;
(3)为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系,需按月收入再从这10 000中用分层随机抽样的方法抽出100人做进一步分析,则应从月收入在区间[2 500,3 000)内的居民中抽取多少人
18.(17分)已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品,且每生产1件正品可获利20元,生产1件次品损失30元,甲、乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示.
甲每天生产的次品数/件 0 1 2 3 4
对应的天数/天 40 20 20 10 10
乙每天生产的次品数/件 0 1 2 3
对应的天数/天 30 25 25 20
(1)将甲每天生产的次品数记为x(单位:件),日利润记为y(单位:元),写出y与x的函数关系式;
(2)按这100天统计的数据,分别求甲、乙两名工人的平均日利润.
19.(17分)某工厂有工人1 000名,其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层随机抽样方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中共抽查100名工人,调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数).将调查结果整理后表示为如图①和图②所示的频率分布直方图.
图①　A类工人生产能力的频率分布直方图
图②　B类工人生产能力的频率分布直方图
(1)A类工人和B类工人各应抽取多少人
(2)就生产能力而言,A类工人个体间的差异程度与B类工人个体间的差异程度哪个更小 (直接写出结果)
(3)分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
第九章 统计
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. D
解析:因为从1 400名学生中抽取样本量为70的样本,抽样比为,所以根据分层随机抽样,从高一年级抽取的人数为540×=27.故选D.
2. B
解析:把31个数据按由小到大排序,得:
357,359,363,367,368,371,374,375,383,385,386,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,429,430,434,443,445,445,451,454,
由75%×31=23.25,可知样本数据的第75百分位数是第24项数据,即429.
3. B
解析:因为从北方抽取了300个13岁男孩,平均身高为1.60 m,从南方抽取了200个13岁男孩,平均身高为1.50 m,所以这500名13岁男孩的平均身高是=1.56,
据此可估计我国13岁男孩的平均身高约为1.56 m.
故选B.
4. B
解析:样本数据在区间[4.7,4.8)内的频率为0.32,在区间[4.6,4.7)内的频率为1-(0.62+0.05+0.11)=1-0.78=0.22,因此a=(0.22+0.32)×100=54.
4. C
解析:众数为85,中位数为85,平均数为×(100+95+90×2+85×4+80+75)=87.
5. D
解析:因为小王选择的是每月还款数额相同的还贷方式,故可知2025年用于房贷方面的支出费用跟2022年相同,故A错误;设小王家一年房贷支出费用为n,则可知2022年小王的家庭收入为,2025年小王的家庭收入为,因为×100%=150%,所以小王家2025年的家庭收入比2022年增加了50%,故B错误;2022年和2025年用于饮食的支出费用分别为×25%=×25%=,故C错误;2022年和2025年用于其他方面的支出费用分别为×6%=×12%=,故D正确.故选D.
6. D
解析:设这组数据分别为x1,x2,…,xn,由其平均数为4.8,方差是3.6,
则有(x1+x2+…+xn)=4.8,
方差s2=+…+]=3.6,
若将这组数据中每一个数据都加上60,则数据为x1+60,x2+60,…,xn+60,
则其平均数为'=[(x1+60)+(x2+60)+…+(xn+60)]=4.8+60=64.8,
方差为s'2=+(x2+60-64.8)2+…+]=3.6.
7. B
解析:样本中体重大于70.5 kg的频率为(0.04+0.034+0.016)×2=0.090×2=0.18.
故可估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5 kg的人数为2 000×0.18=360.
8. B
解析:设这10个数为a1,a2,…,a10,
则有+…+=200,
且a1+a2+…+a10=40,
因此s2=[(a1-4)2+(a2-4)2+…+(a10-4)2]
=+…+-8(a1+a2+…+a10)+160]=×(200-8×40+160)=4,
故标准差为=2.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. BC
解析:对于A,第二次考试乙的成绩比甲的成绩要高,A选项错误;对于B,甲组数据比乙组数据的波动幅度要小,甲的成绩比乙稳定,B选项正确;对于C,根据题中图象可估计出∈(90,120),∈(60,90),一定大于,C选项正确;对于D,根据题中图象可知甲的成绩的极差比乙的成绩的极差小,D选项错误.
10. ABC
解析:甲成绩的平均数×(68+74+77+83+83+84+89+92+93)=,
乙成绩的平均数×(64+66+74+76+85+87+95+98+98)=,故A正确;
易知甲成绩的中位数是83,乙成绩的中位数是85,故B正确;
计算可得甲成绩方差≈62.02,≈154.69,,故甲的成绩比乙的成绩稳定,故C正确.
甲成绩的众数是83,乙成绩的众数是98,故D错误.
11. AB
解析:由题图得3月份的销售任务是400台,所以A正确;由题图易知该年月销售任务的平均值不超过600台,所以B正确;由题图得第一季度的总销量为300×50%+200×100%+400×120%=830(台),故C不正确;由题图得销量最大的月份是5月份,为800台,故D不正确.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 32
解析:因为分层随机抽样的抽样比应相等,
所以样本量为=32.
13. 26 ℃
解析:平均气温在25.5 ℃以下所占比例为0.10+0.12+0.12+0.26+0.22=0.82,
在26.5 ℃以下所占比例为1,因此估计6月份的平均气温的第95百分位数在区间[25.5,26.5]内,
为25.5+1×≈26 ℃.
14. 50　1 015
解析:根据题中扇形图可知,三个分厂的产品数量比为5∶2∶3,
则第一分厂应抽取的件数为×100=50;
该产品的平均使用寿命为×1 020+×980+×1 030=1 015 h.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
解:(1)依题意,第三组作品所占的比例为,
因为第三组的频数为12,
所以本次活动的参评作品数为=60.
(2)根据题中频率分布直方图,可知第四组上交的作品所占的比例最大,为,故第四组上交的作品数量为60×=18.
(3)第六组上交的作品所占比例为,
则第六组上交的作品数量为60×=3,
由(2)可知第四组上交的作品数量为18件,
根据题意可得,第四组的获奖率是,第六组的获奖率是,显然第六组的获奖率较高.
16.解:甲品种的样本平均数为×(9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10,
样本方差为×[(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]=0.02.
乙品种的样本平均数为×(9.4+10.3+10.8+9.7+9.8)=10,
样本方差为[(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2]=0.244.
因为0.244>0.02,所以估计甲种水稻的产量比较稳定.
17.
解:(1)这10 000名居民月收入在区间[3 000,3 500)内的频率为0.000 3×500=0.15.
(2)因为样本数据在区间[1 000,2 500)内的频率为0.1+0.2+0.25=0.55>0.5,
所以样本数据的中位数在区间[2 000,2 500)内,
因此估计样本数据的中位数为2 000+500×=2 000+400=2 400.
(3)因为居民月收入在区间[2 500,3 000)内的频率为0.000 5×500=0.25,
所以这10 000人中月收入在区间[2 500,3 000)内的人数为0.25×10 000=2 500.
从这10 000人中用分层随机抽样的方法抽出100人,
则应从月收入在区间[2 500,3 000)内的居民中抽取100×=25(人).
18.
解:(1)∵甲每天生产的次品数为x,
∴损失30x元,则其生产的正品数为100-x,获得的利润为20(100-x)元,
∴y与x的函数关系式为y=20(100-x)-30x=2 000-50x,其中0≤x≤4,x∈N.
(2)这100天中甲工人总利润为2 000×40+1 950×20+1 900×20+1 850×10+1 800×10=193 500(元),
∴甲工人的平均日利润为=1 935(元).
这100天中乙工人的总利润为2 000×30+1 950×25+1 900×25+1 850×20=193 250(元),
∴乙工人的平均日利润为=1 932.5(元).
19.
解:(1)A类工人应抽取250×=25(人),B类工人应抽取750×=75(人).
(2)从题中频率分布直方图可以判断:B类工人个体间的差异程度更小.
(3)=0.16×105+0.32×115+0.20×125+0.20×135+0.12×145=123,
=0.08×115+0.20×125+0.48×135+0.24×145=133.8,
×123+×133.8=131.1,
故估计A类工人生产能力的平均数为123,估计B类工人生产能力的平均数为133.8,该工厂工人生产能力的平均数的估计值为131.1.

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