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内蒙古包头市第八十一中学2025-2026学年高二下学期4月月考检测数学试题
一、单选题
1．下列求导结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或
3．已知函数，则的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
4．动直线分别交直线和曲线于，两点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（ ）
A．[0，1] B． C． D．
6．已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．设，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，下列判断正确的是（ ）
A．的单调减区间是， B．的定义域是
C．的值域是 D．与有一个公共点，则或
10．函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则有3个零点 B．过上任一点至少可作两条直线与相切
C．若，则只有一个零点 D．
11．已知函数有两个零点和，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．有极大值点，且
三、填空题
12．若函数的导函数为．，且满足，则______．
13．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______．
14．关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.
四、解答题
15．已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间与极值.
16．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1) 求的值；
(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大
17．已知函数．
(1)若恒成立，求的最小值；
(2)证明：．
18．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，判断函数的零点个数.
19．设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数．
(1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由；
(2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
参考答案
1．D
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
2．B
【详解】由题意得：，因为在x=1处取得极大值，
所以，解得或，
当时，，
令，解得或，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去，
当时，，
令，解得或，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以在处取得极大值，故满足题意
综上.
故选：B
3．C
【详解】，，，
排除选项ABD.
故选：C.
4．C
【详解】设过曲线上的点的切线方程与直线平行，
则，所以，解得或（舍），
即，则切点为，
切线方程为，化简可得，
则的最小值即为切线与直线的距离，
所以.
故选：C
5．D
【详解】由可知函数的定义域为，则，
设，则，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，则.
① 当即时，，则在上单调递增，故函数无极大极小值，不合题意；
② 当时，由解得，
因函数既有极大值也有极小值，故，解得.
由可得或；由可得，
即函数在和上单调递增，在上单调递减，
故函数在时取得极大值，在时取得极小值，符合题意.
综上可知，实数的取值范围为.
故选：D.
6．D
【详解】令，则，
所以在上单调递减，
因为，
所以不等式可变为，即，
所以，即，
所以不等式的解集为.
故选：D.
7．A
【详解】因为，
则，
所以，
又，所以的图象在处的切线方程为，即，
故选：A.
8．D
【详解】令，则，
在上单调递增，，即，则；
令，则，
在上单调递减，，即，则；
，即；
令，则，
在上的单调递增，，即，
则，即；
综上所述：.
故选：D.
9．ABD
【详解】对B，函数定义域满足，解得，故B正确；
对A，，令可得和，
解得和，故的单调减区间是，，故A正确；
对C，由A可得当和时单调递减，
当时单调递增，且，
作出简图，可得的值域是，故C错误；
对D，由图象可得，与有一个公共点，则或，故D正确；
故选：ABD
10．ACD
【详解】根据题意可得，且；
当时，易知时，；时，；
此时在和上单调递增，在上单调递减；
且当趋近于时，也趋近于；当趋近于时，也趋近于；
利用三次函数性质可知，当，其函数图象如下图所示：

此时由图象可知有3个零点；
同理当时，易知在和上单调递减，在上单调递增；
且当趋近于时，也趋近于；当趋近于时，也趋近于；
利用三次函数性质可知，当，其函数图象如下图所示：

此时由图象可知有3个零点；
所以若，则有3个零点，即A正确；
由题意知，
所以过或有且仅有一条直线与相切，且切线为水平直线，所以B错误；
当时，由选项A易知在处取得极大值，在处取得极小值，且；
若，则，即；
此时其图象如下图所示：

由图可知，只有一个零点；
同理当时，易知在处取得极小值，在处取得极大值，且；
若，则，即；
此时其图象如下图所示：

由图可知，只有一个零点；
综上可知，若，则只有一个零点，即C正确；
由三次函数性质可知，函数关于成中心对称，
所以满足，
又是方程的两根，则满足；
所以，即，所以D正确；
故选：ACD
11．ACD
【详解】易知的定义域为，由，可得，
当时，恒成立，所以在区间上单调递增，则最多个零点，与题意不符；
当时，由，解得，
当时，，当时，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，，当时，，当时，，
又函数有两个零点和，且，则，且，
所以，又，则，故A正确；
因为的极大值为，且，
设，其中，则，则，
所以，
又，，
所以，，当且仅当时，，
所以在区间上单调递减，则，
所以时，，故，
又，则，
又在区间上单调递减，，
所以，即，
B，又，所以，所以B错误，
C，由题知，即，，可得，，
所以，又，在区间上单调递增，
所以，故C正确，
D，因为的极大值点为，且，所以D正确.
12．
【详解】由于，所以，
令，则，
．
故答案为：．
13．
【详解】由函数，可得，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
又由函数，可得，
设曲线的切点为，
则，解得.
故答案为：.
14．
【详解】由题设，
令，则，且，
令，则，
当，，则在上单调递减，
当，，则在上单调递增，
则，即在R上单调递增，
所以且，故恒成立，
令，则，
当，，则在上单调递增，
当，，则在上单调递减，
则，即.
故答案为：
15．（1）；（2）单调递增区间，单调递减区间，的极小值为 .
【详解】（1）对求导得，
由在点处切线垂直于直线，
知解得；
（2）由（1）知，
则
令，解得或.
因不在的定义域内，故舍去.
当时，故在内为减函数；
当时，故在内为增函数；
由此知函数在时取得极小值.
16．(1)因为时，所以；
(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：；
，令得函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，
所以当时函数取得最大值
答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.
17．(1)1
(2)证明见解析
【详解】（1）函数的定义域是，
若恒成立，则恒成立，
令，则，
时，，时，，
故在递增，在递减，
故，
故，的最小值是1；
（2）证明：当时，由（1）得，即①，
令②，则，则③，
由①②③得，
故.
18．(1)当时， 在上单调递减，在上单调递增；
当时， 在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
(2)当时，函数无零点，
当或时，函数的零点个数为1，
当时，函数的零点个数为2．
【详解】（1）由题意得的定义域为，则
当时，时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，可得或，令，可得，
故在和上单调递增，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，令可得或，令可得，
故在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述：
当时， 在上单调递减，在上单调递增；
当时， 在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，，
①当时，由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，而x趋近正无穷时，趋近正无穷，
故在上只有一个零点；
②当时，，在上单调递增，且连续不间断，
且，故在上只有一个零点．
③当时，令，解得，即在上只有一个零点，
④当时，令可得，令，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当x趋近正无穷时，趋近正无穷，当x趋近0时，趋近正无穷，
若，即时，在上无零点．
若，即时，在上只有一个零点，
若，即时，在上有两个零点，
综上所述：
当时，函数无零点，
当或时，函数的零点个数为1，
当时，函数的零点个数为2．
19．(1)是，理由见解析
(2)存在，
(3)
【详解】（1）
时，，
函数在区间上是凹函数．
（2），
，
若在区间上为凹函数，
则在上恒成立，
，即在上恒成立，
在上恒成立，
当时，显然成立，下面讨论的情况，
令，则，
时，在上为增函数，
由，得，即，
即时，恒成立，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以，则，
故存在实数，使得在区间上为凹函数，的取值范围为．
（3），
令，则，
令，则，
当时，在区间上单调递增，
又，
存在，使，
当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，
当时，的最小值为，
由，有，
，又恒成立，，
且的最大值为3．

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