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保密★启用前
八年级下 期中复习模拟卷（培优）
2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册
考试范围：24章四边形&25章平面直角坐标系；考试时间：100分钟；命题人：xxx
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题（共12分）
1．（本题2分）在四边形中，分别是边的中点，对角线，则四边形是什么图形（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．（本题2分）如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（ ）
A．2.5 B．5 C．6 D．10
3．（本题2分）如图，菱形的两条对角线相交于，若，，则菱形的周长是（ ）．
A． B． C． D．
4．（本题2分）如图所示，长方形沿着折叠，使D点落在边上的F点处．如果，则长方形的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（本题2分）将点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题2分）如图，在边长为定值的平行四边形中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（都不与端点重合），且满足，连接，，，，下列说法中，错误的是（ ）
A．线段的长度为定值 B．当为的中点时，四边形为矩形
C．四边形始终是平行四边形 D．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题（共36分）
7．（本题3分）若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________．
8．（本题3分）如图，已知的周长为，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是____________．
9．（本题3分）如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形．
10．（本题3分）如图，是菱形的对角线上一点，于点，，则点到的距离为_____________．
11．（本题3分）如图，的对角线相交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标为_____．
12．（本题3分）如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为_______．
13．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将沿直线翻折，使点B落在点D处，交x轴于点E，若，则点D的坐标为 _____________．
14．（本题3分）如图，动点从点出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为___________．第2021次碰到长方形边上的坐标为___________．
15．（本题3分）在平面直角坐标系中，已知点．若轴，则线段的最小值为___________．
16．（本题3分）如图，点、是的边、上的点，且，，相交于，连接，且恰好平分，若，，则点到的距离为______．
17．（本题3分）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点， ，点是的中点，若，则的长为________．
18．（本题3分）如图，在中，，，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则______．
评卷人得分
三、解答题（共72分）
19．（本题8分）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，，求证：四边形是平行四边形．
20．（本题8分）如图，在四边形中，，，，垂足分别为，．求证：
(1)；
(2)四边形 是平行四边形．
21．（本题8分）在平面直角坐标系中如图所示，点A的坐标为．
(1)请求出；
(2)x轴上是否存在点P，使得，若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．
22．（本题10分）如图，为矩形的对角线，过的中点O作的垂线，分别交，于F，E，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，的面积为，求的周长．
23．（本题10分）某中学门前有一个边长为米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中，准备在形如的四个全等三角形内种植红色花草，在形如的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形内种植紫色花草，每种花草的价格如表：
品种 红色花草 黄色花草 紫色花草
价格（元米）
解答下列问题：
(1)若米，则 ______米， ______米， ______米；
(2)若买花草所需的费用为元，试求的长．
24．（本题14分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N．
(1)①直接写出点C的坐标；②求证：；
(2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，求点P的坐标；
(3)如图，连接交于F，连接，下列两个结论：
①的长为定值；
②平分，其中只有一个正确，选择并证明．
25．（本题14分）【问题背景】在正方形中：
如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）；
(1)如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论；
【思考应用】
(2)如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____；
【继续探索】
(3)如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由；
【拓展延伸】
(4)如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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题号 一 二 三 总分
得分
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1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
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姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
填空题（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三、简答题（请在各试题的答题区内作答）
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、
24题、
25题、
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题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
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姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
填空题（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三、简答题（请在各试题的答题区内作答）
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、
24题、
25题、
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题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
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第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题（共12分）
1．（本题2分）在四边形中，分别是边的中点，对角线，则四边形是什么图形（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】证明四边形是矩形、中点四边形、与三角形中位线有关的证明
【分析】先根据三角形的中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
【详解】∵点、为、的中点
∴是的中位线，
∴，，
同理，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
四边形是矩形．
2．（本题2分）如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（ ）
A．2.5 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【难度】0.75
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长
【分析】首先根据菱形的性质知，再由求出，得是等边三角形，即可求出的长．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
3．（本题2分）如图，菱形的两条对角线相交于，若，，则菱形的周长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】由菱形的性质计算出和，利用勾股定理计算出，从而得出菱形的周长．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
由勾股定理可得，，
∴菱形的周长为．
4．（本题2分）如图所示，长方形沿着折叠，使D点落在边上的F点处．如果，则长方形的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】含30度角的直角三角形、矩形与折叠问题
【分析】分析由，求得，因为，所以，由折叠得，即可求得长方形的面积是2，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．
5．（本题2分）将点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由平移方式确定点的坐标
【分析】根据将点向左平移3个单位，即横坐标减去3，再根据将点向下平移4个单位，即纵坐标减去4，可得答案．
【详解】解：将点向左平移3个单位长度可得点的坐标为，即，再将点向下平移4个单位长度得到点，即．
6．（本题2分）如图，在边长为定值的平行四边形中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（都不与端点重合），且满足，连接，，，，下列说法中，错误的是（ ）
A．线段的长度为定值 B．当为的中点时，四边形为矩形
C．四边形始终是平行四边形 D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形
【分析】根据E、G为、中点，由平行四边形得和，故四边形为平行四边形，可得即可判断A；由得，证、，得、，故始终为平行四边形，即可判断C；当F为中点时，无充分条件证明四边形为矩形，进而判断B；设，平行四边形高为，则；进而可得，进而判断D．
【详解】解：连接，如图，
∵四边形是平行四边形，
∴且，，，，
∵、分别为、的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴，故A正确，不符合题意；
∵且，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形始终是平行四边形，故C正确，不符合题意；
当为的中点时，无法进一步证明四边形为矩形，故B错误，符合题意；
设平行四边形的底，平行四边形的高（与之间的距离）为h，
∴，
由图得，，
过点F作于，过点作于，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴
∴，故D正确，不符合题意．
【点睛】本题以平行四边形动点为载体，综合平行四边形的判定与性质、全等三角形证明、面积计算等知识，分析动态图形的不变性质，体现了转化化归与数形结合的核心数学思想．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题（共36分）
7．（本题3分）若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题
【分析】根据题意可得，求出的值，最后根据多边形内角和公式可得结论．
【详解】解：由题意得，解得或（舍去），
则该边形的内角和是：．
8．（本题3分）如图，已知的周长为，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是____________．
【答案】6
【难度】0.85
【知识点】线段垂直平分线的性质、利用平行四边形的性质求解
【分析】根据平行四边形的性质得到，根据垂直平分线的性质可知的周长．
【详解】解：∵的周长为，
∴，
由题意可得：点在的垂直平分线上，
∴，
∴的周长．
9．（本题3分）如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形．
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】添一个条件成为平行四边形
【分析】已知，当时，四边形是平行四边形，据此即可解答．
【详解】解：当时，
，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
10．（本题3分）如图，是菱形的对角线上一点，于点，，则点到的距离为_____________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】利用菱形的性质求线段长、角平分线的性质定理
【分析】先利用菱形对角线的性质得出平分，再结合角平分线的性质，推导出点到的距离等于的长度．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴平分．
∵于点，且点在上，
∴点到的距离等于的长度，即为2．
11．（本题3分）如图，的对角线相交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标为_____．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求关于原点对称的点的坐标、利用平行四边形的性质求解
【分析】根据题意利用平行四边形性质及关于原点对称的点坐标特点即可求解．
【详解】解：∵点A的坐标为，，
∴C点与A点关于原点对称，
∴．
12．（本题3分）如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为_______．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用平行四边形的性质求解、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、由平移方式确定点的坐标
【分析】根据平行四边形的性质可得，，先求得到的平移方式，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点A，B的坐标分别为，
∴将向左平移1个单位，向上平移1个单位得到
∴将向左平移1个单位，向上平移1个单位得到，即
13．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将沿直线翻折，使点B落在点D处，交x轴于点E，若，则点D的坐标为 _____________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】含30度角的直角三角形、矩形与折叠问题、写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形
【分析】由矩形性质可得，，，，再由翻折得，，求出，再利用，，求出和即可．
【详解】过点作轴，垂足为，
四边形为矩形，，
，，，，
由折叠可知：，，
，
，，
，，
，
点坐标为．
14．（本题3分）如图，动点从点出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为___________．第2021次碰到长方形边上的坐标为___________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】点坐标规律探索
【分析】（1）直接根据图象作答即可；
（2）根据题意得到每经过6次回到起点，据此进行求解即可．
【详解】解：（1）由图可知，第1次碰到长方形边上的点的坐标为；
（2）如图，
第1次碰到长方形边上的点的坐标为；
第2次碰到长方形边上的点的坐标为；
第3次碰到长方形边上的点的坐标为；
第4次碰到长方形边上的点的坐标为；
第5次碰到长方形边上的点的坐标为；
第6次碰到长方形边上的点的坐标为；
第7次碰到长方形边上的点的坐标为；
故每经过6次为一个循环，
∵，
∴第2021次碰到长方形边上的坐标为．
15．（本题3分）在平面直角坐标系中，已知点．若轴，则线段的最小值为___________．
【答案】5
【难度】0.65
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、垂线段最短
【分析】本题考查坐标与图形性质及垂线段最短的应用．先根据轴确定点所在的直线，再利用垂线段最短的性质求出线段的最小值．
【详解】解：∵轴，点的坐标为，
点的纵坐标为，即点在直线上，
根据垂线段最短的性质，当时，线段的长度最小，
此时点的横坐标与点的横坐标相同，即，
点的坐标为，
由两点间距离公式可得，的长度为，
故答案为：5
16．（本题3分）如图，点、是的边、上的点，且，，相交于，连接，且恰好平分，若，，则点到的距离为______．
【答案】3
【难度】0.6
【知识点】角平分线的性质定理、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】过点C作于点E，于点F，由角平分线的性质可得；可证明，则可推出，由三线合一定理得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】如图所示，过点C作于点E，于点F，
∵平分，，，
∴；
∵四边形是平行四边形，且点P、Q是平行四边形的边上的点，
∴，，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点C到的距离为．
17．（本题3分）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点， ，点是的中点，若，则的长为________．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、化为最简二次根式、等腰三角形的性质和判定
【分析】利用矩形的性质和勾股定理可求出的长，利用直角三角形的性质得到，则可证明得到，据此可得答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
18．（本题3分）如图，在中，，，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则______．
【答案】
【难度】0.46
【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，则，，先由勾股定理求出，根据正方形性质得，，，证明，进而依据“”判定，则，进而依据“”判定，则，，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长．
【详解】解：过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，如图所示：
∴，
∵在中，，
∴由勾股定理得，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
评卷人得分
三、解答题（共72分）
19．（本题8分）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【难度】0.85
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．运用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定即可．
【详解】证明：连接交于点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
20．（本题8分）如图，在四边形中，，，，垂足分别为，．求证：
(1)；
(2)四边形 是平行四边形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【难度】0.73
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、证明四边形是平行四边形、同位角相等两直线平行
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由线段的和与差得，然后通过“”即可证明；
（）由全等三角形性质可得，所以，然后通过平行四边形的判定方法即可求证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：由（）得，
∴，
∴，
∵，
∴四边形 是平行四边形．
21．（本题8分）在平面直角坐标系中如图所示，点A的坐标为．
(1)请求出；
(2)x轴上是否存在点P，使得，若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．
【答案】(1)6.5
(2)存在，点P的坐标为或
【难度】0.65
【知识点】坐标与图形综合
【分析】（1）由的面积=梯形的面积的面积的面积，即可计算；
（2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：作轴于H，
∵的面积=梯形的面积的面积的面积，
∴的面积；
（2）解：存在，理由如下：
∵的面积，
∴，
当P在C的右侧，，
∴此时P的坐标是，
当P在C的左侧，，
∴此时P的坐标是，
∴P的坐标是或．
22．（本题10分）如图，为矩形的对角线，过的中点O作的垂线，分别交，于F，E，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【难度】0.6
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、证明四边形是菱形
【分析】（1）根据矩形的性质得出，求出，可得，可得四边形是平行四边形．可得平行四边形为菱形；
（2）由，得，∴由的面积为，得，得，即，得（负值舍去），即．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵O是的中点，
∴．
又∵，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：由（1）可得，四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴①，
∵的面积为，
∴，
即②，
把②代入①得，，
即，
∴（负值舍去），
∴．
23．（本题10分）某中学门前有一个边长为米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中，准备在形如的四个全等三角形内种植红色花草，在形如的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形内种植紫色花草，每种花草的价格如表：
品种 红色花草 黄色花草 紫色花草
价格（元米）
解答下列问题：
(1)若米，则 ______米， ______米， ______米；
(2)若买花草所需的费用为元，试求的长．
【答案】(1)，，；
(2)米．
【难度】0.65
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据正方形的性质求线段长、全等三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，全等三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由正方形性质可得米，然后通过全等三角形性质可得米，则米，通过勾股定理得米，由题意可知，所以，又四边形为正方形，则米，设米，由勾股定理得，即，然后求出的值即可；
（）设的长为米，由题意得，然后解方程并检验即可．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴米，
由题意可知，，
∴米，
∴（米），
在中，由勾股定理得：（米），
由题意可知，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴米，
设米，
在中，由勾股定理得：，
即，整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
故答案为：，，；
（2）解：设的长为米，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：的长为米．
24．（本题14分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N．
(1)①直接写出点C的坐标；②求证：；
(2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，求点P的坐标；
(3)如图，连接交于F，连接，下列两个结论：
①的长为定值；
②平分，其中只有一个正确，选择并证明．
【答案】(1)①；②证明见解析
(2)
(3)“平分”正确，证明见解析
【难度】0.3
【知识点】全等三角形综合问题、坐标与图形综合、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明
【分析】（1）①根据正方形的性质求解即可；
②在上取点P，使得，证明即可；
（2）过点N分别作轴于点H，于点Q，连接，先证明，得到，然后证明，得到，再计算的长即可；
（3）延长到点A，使得，连接，先证明，再证明，得到，进一步推得，然后过点M作于点P，即可逐步证明．
【详解】（1）①解：，
，
四边形是正方形，
，
点C的坐标是；
②证明：在上取点P，使得，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点N分别作轴于点H，于点Q，连接，
由（1）知，
又
四边形是正方形
，
，，
四边形是平行四边形，
，
点P的坐标为；
（3）解：平分成立．
证明如下：如图，延长到点A，使得，连接，
在和中，
，
，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
过点M作于点P，
，
，
，
，
由（1）知，
又，
，
即平分．
【点睛】本题中，3个小题均运用了添加辅助线，构造全等三角形，这是本类题常用的解题方法．
25．（本题14分）【问题背景】在正方形中：
如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）；
(1)如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论；
【思考应用】
(2)如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____；
【继续探索】
(3)如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由；
【拓展延伸】
(4)如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
(3)，理由见解析
(4)
【难度】0.48
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、正方形折叠问题
【分析】（1）过点A作，则有四边形是平行四边形，然后可得，进而问题即可得证；
（2）连接，交于点K，由折叠的性质可知，同理可得，进而根据勾股定理可进行求解；
（3）延长，交的延长线于点I，同理①可得：，然后通过证明，进而根据全等三角形的性质及直角三角形斜边中线定理可进行求解；
（4）由题意易得，，则有，然后根据完全平方公式及线段的和差关系可进行求解．
【详解】（1），证明如下：
过点A作，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）连接，交于点K，如图所示：
由折叠的性质可知：，
同理②可得：，
在正方形中，，
∴；
（3）延长，交的延长线于点I，如图所示：
同理（1）可得：，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
在正方形中，，
∵，
∴，
∴，
∴点D为的中点，
∵，
∴，
∴；
（4）同理①可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
解得：（负根舍去）；
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八年级下 期中复习模拟卷（培优）
2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册
考试范围：24章四边形&25章平面直角坐标系；考试时间：100分钟；命题人：xxx
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题（共12分）
1．（本题2分）在四边形中，分别是边的中点，对角线，则四边形是什么图形（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．（本题2分）如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（ ）
A．2.5 B．5 C．6 D．10
3．（本题2分）如图，菱形的两条对角线相交于，若，，则菱形的周长是（ ）．
A． B． C． D．
4．（本题2分）如图所示，长方形沿着折叠，使D点落在边上的F点处．如果，则长方形的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（本题2分）将点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题2分）如图，在边长为定值的平行四边形中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（都不与端点重合），且满足，连接，，，，下列说法中，错误的是（ ）
A．线段的长度为定值 B．当为的中点时，四边形为矩形
C．四边形始终是平行四边形 D．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题（共36分）
7．（本题3分）若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________．
8．（本题3分）如图，已知的周长为，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是____________．
9．（本题3分）如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形．
10．（本题3分）如图，是菱形的对角线上一点，于点，，则点到的距离为_____________．
11．（本题3分）如图，的对角线相交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标为_____．
12．（本题3分）如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为_______．
13．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将沿直线翻折，使点B落在点D处，交x轴于点E，若，则点D的坐标为 _____________．
14．（本题3分）如图，动点从点出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为___________．第2021次碰到长方形边上的坐标为___________．
15．（本题3分）在平面直角坐标系中，已知点．若轴，则线段的最小值为___________．
16．（本题3分）如图，点、是的边、上的点，且，，相交于，连接，且恰好平分，若，，则点到的距离为______．
17．（本题3分）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点， ，点是的中点，若，则的长为________．
18．（本题3分）如图，在中，，，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则______．
评卷人得分
三、解答题（共72分）
19．（本题8分）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，，求证：四边形是平行四边形．
20．（本题8分）如图，在四边形中，，，，垂足分别为，．求证：
(1)；
(2)四边形 是平行四边形．
21．（本题8分）在平面直角坐标系中如图所示，点A的坐标为．
(1)请求出；
(2)x轴上是否存在点P，使得，若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．
22．（本题10分）如图，为矩形的对角线，过的中点O作的垂线，分别交，于F，E，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，的面积为，求的周长．
23．（本题10分）某中学门前有一个边长为米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中，准备在形如的四个全等三角形内种植红色花草，在形如的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形内种植紫色花草，每种花草的价格如表：
品种 红色花草 黄色花草 紫色花草
价格（元米）
解答下列问题：
(1)若米，则 ______米， ______米， ______米；
(2)若买花草所需的费用为元，试求的长．
24．（本题14分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N．
(1)①直接写出点C的坐标；②求证：；
(2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，求点P的坐标；
(3)如图，连接交于F，连接，下列两个结论：
①的长为定值；
②平分，其中只有一个正确，选择并证明．
25．（本题14分）【问题背景】在正方形中：
如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）；
(1)如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论；
【思考应用】
(2)如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____；
【继续探索】
(3)如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由；
【拓展延伸】
(4)如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____．
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