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2025-2026学年上海市八年级（下）
四边形章节复习卷（培优卷）
考试范围：第23章四边形；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）凸十边形的外角和为（　　）
A．1800° B．1440° C．1080° D．360°
2．（2分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB∥CD，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝CD，AD＝BC
3．（2分）菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，下列条件能判断菱形ABCD是正方形的是（　　）
A．∠DAO+∠ADO＝90° B．∠DAC＝∠ACD
C．∠DAC＝∠BAC D．∠DAB＝∠ABC
4．（2分）如图，△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为10、8、6．若△ABC的重心为G，则下列叙述正确的是（　　）
A．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC平行
B．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC不平行
C．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC平行
D．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC不平行
5．（2分）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且AD＝AE，DH⊥AE于点H，连接BH并延长，交CD于点F，连接DE．下列结论：①；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④BC＝2HE+CF．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2分）下列说法正确的是（　　）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．（3分）从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是　 　 条．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，∠C＝∠B，m代表的度数为　 　 ．
9．（3分）一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 　 　 ．
10．（3分）如图， ABCD的对角线交于点O，且CD＝4，若它的对角线的和是32，则△AOB的周长为　 　 ．
11．（3分）平行四边形ABCD中，AB＝26cm，过对角线交点O作OE⊥AD，垂足为E，AE＝24cm，DE＝14cm，则S平行四边形ABCD＝　 　 cm2．
12．（3分）在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果△ABC是“中垂三角形”，AD、BE、CF是中线，∠DAB＝30°，AB＝4，那么BC的长为　 　 ．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，若AC＝BD，且EG HF＝16，则四边形EFGH的面积为　 　 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交BC、AD于点E、F，若AB＝4，DF＝3，则BC＝　 　 ．
15．（3分）在正方形ABCD中，点E为边CD上一点（不与点C、D重合），AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G，若AD＝10，BF＝6，线段FD的长是 　 　 ．
16．（3分）如图，菱形ABCD边长为4，E是BC中点，F为CD上一点，BF交AE于点G，∠AGB＝∠C＝45°，DF的长度是　 　 ．
17．（3分）如图，矩形ABCD的面积为18，对角线AC、BD交于点O．如果E、F、G、H分别是△ABO、△BCO、△CDO、△ADO的重心，那么四边形EFGH的面积是　 　 ．
18．（3分）如图，边长是6cm的正方形ABED，点C是边AB上靠近点B的三等分点，连接CE，点F，H分别为BE，AD上的点，连接FH交CE于点G，若∠EGF＝45°，则FH的长为 　 　 cm．
评卷人 得 分
三．解答题（共7小题，满分52分）
19．（6分）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两个点，且AE＝CF．求证：DE∥BF．
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°E为AB的中点，四边形BCDE是平行四边形，求证：AC与DE互相垂直平分．
21．（8分）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC．
（1）求证：四边形DFCG是矩形；
（2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长．
22．（6分）操作
现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形ABCD．
（1）重叠部分四边形ABCD是什么形状的四边形？请说明理由．
（2）重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？
请直接填写：最小面积　 　 cm2，最大面积　 　 cm2．
23．（8分）已知：如图，在△ABC中，点E、F分别是边BC、AC的中点，过点A作BC的平行线，交射线EF于点D．
（1）求证：四边形ABED是平行四边形；
（2）如果AB＝AC，联结AE、CD，求证：四边形AECD为矩形．
24．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝8，∠ABD＝90°，求菱形BEDF的面积．
25．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．
（1）点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），请完成剩余证明过程：
（2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．
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四边形章节复习卷（培优卷）答题卡A4
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔填涂）
1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三．解答题（共7小题，满分52分）（请在各试题的答题区内作答）
19.答：
20.答：
21.答：
22.答：
23.答：
24.答：
25.答：
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四边形章节复习卷（培优卷）答题卡A3
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔填涂）
1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三．解答题（共7小题，满分52分）（请在各试题的答题区内作答）
19.答：
20.答：
21.答：
22.答：
23.答：
24.答：
25.答：
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D
C
公
E
A
B
D
C
O
A
E
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四边形章节复习卷（培优卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B D A D C
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）凸十边形的外角和为（　　）
A．1800° B．1440° C．1080° D．360°
【分析】根据多边形的外角和定理解答即可．
【解答】解：凸十边形的外角和是360°．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的外角和定理是解题的关键．
2．（2分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB∥CD，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝CD，AD＝BC
【分析】分别利用平行四边形的判定方法判断得出即可．
【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
B、AB∥CD，AD＝BC，无法得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；
C、∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
D、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
3．（2分）菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，下列条件能判断菱形ABCD是正方形的是（　　）
A．∠DAO+∠ADO＝90° B．∠DAC＝∠ACD
C．∠DAC＝∠BAC D．∠DAB＝∠ABC
【分析】对角线相等的菱形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，据此结合菱形的性质逐一判断即可．
【解答】解：A、∠DAO+∠ADO＝90°，则∠AOD＝90°，此时并不能证明菱形ABCD是正方形；
B、∠DAC＝∠ACD，可得AD＝CD，此时并不能证明菱形ABCD是正方形；
C、∠DAC＝∠BAC，本身是菱形具有的性质，此时并不能证明菱形ABCD是正方形；
D、∠DAB＝∠ABC，由菱形的性质可得AD∥BC，则∠DAB+∠ABC＝180°，则∠DAB＝∠ABC＝90°，能证明菱形ABCD是正方形；
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4．（2分）如图，△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为10、8、6．若△ABC的重心为G，则下列叙述正确的是（　　）
A．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC平行
B．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC不平行
C．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC平行
D．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC不平行
【分析】由题意可得S△ABC＝10+8+6＝24，利用三角形重心性质可得S△GBCS△ABC＝×24＝8，进而可得S△GBC＝S△DBC＝8，即可判断结论A正确．
【解答】解：∵△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为10、8、6，
∴S△ABC＝10+8+6＝24，
∵△ABC的重心为G，
∴S△GBCS△ABC24＝8，
∴S△GBC＝S△DBC＝8，
∴点D、G到BC的距离相等，且位于BC的同侧，
∴DG∥BC，故结论A正确；结论B、C、D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的中线、重心，三角形面积，熟练掌握三角形的重心的性质是解题关键．
5．（2分）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且AD＝AE，DH⊥AE于点H，连接BH并延长，交CD于点F，连接DE．下列结论：①；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④BC＝2HE+CF．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】证明△ABE为等腰直角三角形，得到，根据AD＝AE，判断①；根据等边对等角，结合角的和差关系，三角形的内角和定理，推出∠AED＝∠CED＝67.5°，判断②；证明△BHE≌△HFD判断③；角平分线的性质，得到HE＝CE，根据线段的和差关系，推出BC＝2HE+CF，判断④即可．
【解答】解：在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴，∠AEB＝45°，
∵AD＝AE，
∴，；
故①正确；
∵DH⊥AE，
∴△AHD为等腰直角三角形，
∴，∠ADH＝45°，
∴AB＝BE＝AH＝DH，
∴，
∴∠CBF＝90°﹣∠ABE＝22.5°，
∵∠CED＝180°﹣∠AEB﹣∠AED＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED；
故②正确；
∵∠DHF＝180°﹣∠AHD﹣∠AHB＝22.5°，
∴∠DHF＝∠HBE，
又∵BE＝DH，∠HDF＝90°﹣∠ADH＝45°＝∠BEH，
在△BHE和△HFD中，
，
∴△BHE≌△HFD（ASA），
∴BH＝HF，HE＝DF；
故③正确；
∵∠CED＝∠AED，EH⊥DH，∠C＝90°，
∴HE＝CE，
∵CD＝AB＝BE，HE＝DF＝CE，
∴BC﹣CE＝CF+DF，
∴BC＝CF+DF+CE＝CF+HE+HE＝CF+2HE；
故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，理清角度，线段之间的关系，是解题的关键．
6．（2分）下列说法正确的是（　　）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
【分析】根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质和轴对称图形的性质即可求解．
【解答】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B．矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C．正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意；
D．平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形和轴对称图形的性质，解题的关键是逐个判断四个选项即可得出正确答案．
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．（3分）从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是　27　 条．
【分析】根据从n边形一个顶点出发连接其余顶点可分割成（n﹣2）个三角形的规律，求出n值，再代入n边形对角线条数公式计算．
【解答】解：由题意，从n边形一个顶点出发分割三角形数为（n﹣2）个，
已知分成7个三角形，得n﹣2＝7，
解得n＝9，
∵n边形的对角线条数公式为，
∴这个n边形的对角线条数，
故答案为：27．
【点评】本题主要考查了多边形的定义和性质，解题的关键是掌握相关公式．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，∠C＝∠B，m代表的度数为　60°　 ．
【分析】利用四边形的内角和为360°，再列方程求解即可．
【解答】解：∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∵∠A＝150°，∠B＝∠C＝m，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴150°+90°+m+m＝360°，
∴m＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是四边形的内角和定理的应用，掌握“四边形的内角和为360°”是解本题的关键．
9．（3分）一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 　10　 ．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式以及多边形的外角和为360°即可列出关于n的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，
依题意得：（n﹣2）×180°＝360°×4，
解得：n＝10，
∴这个多边形的边数是10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是根据多边形内角和公式得出方程（n﹣2）×180°＝360°×4．
10．（3分）如图， ABCD的对角线交于点O，且CD＝4，若它的对角线的和是32，则△AOB的周长为　20　 ．
【分析】由平行四边形的性质得出OAAC，OBBD，AB＝CD＝4，求出OA+OB＝16，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OAAC，OBBD，AB＝CD＝4，
∵AC+BD＝32，
∴OA+OB（AC+BD）＝16，
∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝16+4＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
11．（3分）平行四边形ABCD中，AB＝26cm，过对角线交点O作OE⊥AD，垂足为E，AE＝24cm，DE＝14cm，则S平行四边形ABCD＝　912　 cm2．
【分析】先由题意作出图形，利用平行线分线段成比例得到EF＝DE＝14cm，进而得到AE＝24cm，在Rt△ABF中，由勾股定理求出BF，最后代入平行四边形面积公式计算即可．
【解答】解：过点B作BF⊥AD，
∵OE⊥AD，
∴OE∥BF，
∴，
在平行四边形ABCD中，DO＝OB，
∴，
∵DE＝14cm，
∴EF＝DE＝14cm，
∵AE＝24cm，
∴AF＝AE﹣EF＝24﹣14＝10（cm），
在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AB＝26cm，AF＝10cm，则由勾股定理可得，
∴，
故答案为：912．
【点评】本题考查平行四边形，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
12．（3分）在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果△ABC是“中垂三角形”，AD、BE、CF是中线，∠DAB＝30°，AB＝4，那么BC的长为　或　 ．
【分析】分AD⊥BE、CF⊥AD、BE⊥CF三种情况讨论，运用相似三角形的判定与性质，勾股定理进行求解即可．
【解答】解：∵△ABC为“中垂三角形”，即AD⊥BE于点P，
又∵AB＝4，∠DAB＝30°，
∴，
∴，
∵AD、BE分别是中线，连接DE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，
∵∠BAP＝∠EDP，∠ABP＝∠DEP，
∴△ABP∽△DEP，
∴，
∴，
∵DP2+BP2＝DB2，
∴，
∴；
如图，当CF⊥AD时，
同理可得，，，PF＝1，
∵DP2+CP2＝DC2，
∴
∴；
如果△ABC是“中垂三角形”，设三条中线相交于P，当BE⊥CF时，取BF中点G，连接PG，过G作GH⊥AD于H，
∵E为AB中点，
∴，
∵G为EB中点，
∴，
又BE⊥CF，
∴，
∵GH⊥AD，∠DAB＝30°，AG＝AE+EG＝3，
∴，
∴GH＞PG，这与垂线段最短相矛盾，
∴不存在CF⊥BE；
综上，BC的长为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的性质以及三角形中位线性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，若AC＝BD，且EG HF＝16，则四边形EFGH的面积为　8　 ．
【分析】根据中位线定理可证EF＝EH＝HG＝GF，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形EFGH是菱形，根据菱形的面积公式即可求出四边形EFGH的面积．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF、EH、HG、GF分别是△ABC、△ABD、△DAC、△CBD的中位线，
∴，，
∵AC＝BD，
∴EF＝EH＝HG＝GF，
∴四边形EFGH是菱形，
∴S菱形EFGHEG HF，
∵EG HF＝16，
∴S菱形EFGH16＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交BC、AD于点E、F，若AB＝4，DF＝3，则BC＝　8　 ．
【分析】连接CF，由矩形的性质得OA＝OC，∠ADC＝90°，AB＝CD＝4，根据勾股定理求出，再由EF⊥AC，可知EF垂直平分AC，则AF＝CF＝5，即可求出BC＝AD＝AF+DF＝8．
【解答】解：连接CF，
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
∴OA＝OC，∠ADC＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC，
∴，
∵EF⊥AC，
∴AF＝CF＝5，
∴AD＝AF+DF＝5+3＝8，
∴BC＝AD＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确的作出所需要的辅助线是解题的关键．
15．（3分）在正方形ABCD中，点E为边CD上一点（不与点C、D重合），AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G，若AD＝10，BF＝6，线段FD的长是 　　 ．
【分析】过点F分别作AB，AD的垂线，分别交AB，AD于 点H，N，求得AF的长度，根据 求得FH的长度，根据勾股定理，进而求得AH的长度，进而可求得答案．
【解答】解：如图所示，过点F分别作AB，AD的垂线，分 别交AB，AD于点H，N．
∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，
∴四边形AHFN是矩形．
∵AF⊥BE，AB＝AD＝10，BF＝6，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴线段DF的长是，
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
16．（3分）如图，菱形ABCD边长为4，E是BC中点，F为CD上一点，BF交AE于点G，∠AGB＝∠C＝45°，DF的长度是　　 ．
【分析】过点E作EH⊥BC，交CD于点H，延长DC，AE交于点I，证明△ABE≌△ICE和△HEC为等腰直角三角形，得出相等的边以及相关线段的长度，证明△BCF∽△IHE，根据对应边成比例进行求解．
【解答】解：过点E作EH⊥BC，交CD于点H，延长DC，AE交于点I，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠I，∠ABE＝∠ICE，
∵点E是BC中点，
∴，
在△ABE与△ICE中，
，
∴△ABE≌△ICE（AAS），
∴CI＝AB＝4，
∵∠BCD＝45°，EH⊥BC，
∴△HEC为等腰直角三角形，
∴HE＝CE＝2，∠EHC＝45°，
由勾股定理可得，，
∴，
∵∠EGF＝∠AGB＝45°＝∠BCF，
且∠FBC＝180°﹣∠BFC﹣∠BCF，∠I＝180°﹣∠BFC﹣∠EGF，
∴∠FBC＝∠I，
又∵∠EHC＝∠BCF＝45°，
∴△BCF∽△IHE，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出AB∥CD解答．
17．（3分）如图，矩形ABCD的面积为18，对角线AC、BD交于点O．如果E、F、G、H分别是△ABO、△BCO、△CDO、△ADO的重心，那么四边形EFGH的面积是　4　 ．
【分析】作出直线EG和HF，标出与矩形四边的交点，再结合重心的性质进行计算即可．
【解答】解：作直线EG和HF，与AB，BC，CD，DA分别交于点M，N，P，Q，
因为点E是△ABO的重心，
所以OE＝2EM，
同理可得，OG＝2GP，OF＝2FN，OH＝2HQ，
所以EG．
因为EG和HF互相垂直且平分，
所以四边形EFGH是菱形，
所以四边形EFGH的面积是．
因为MP NQ＝AB CD＝18，
所以四边形EFGH的面积是．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了三角形的重心及矩形的性质，熟知三角形重心的性质是解题的关键．
18．（3分）如图，边长是6cm的正方形ABED，点C是边AB上靠近点B的三等分点，连接CE，点F，H分别为BE，AD上的点，连接FH交CE于点G，若∠EGF＝45°，则FH的长为 　　 cm．
【分析】过点E作EM∥FH交AD与于点M，过点E作EN⊥EM，交AB的延长线于点N，连接CM，证明∠BEN＝∠DEM，进而得∠CEN＝∠CEM＝45°，由此依据“SAS”判定△BEN和△DEM全等得BN＝DM，EN＝EM，依据“SAS”判定△CEN和△MEC全等得CN＝CM，设DM＝a，则BN＝DM＝a，AM＝AD﹣DM＝6﹣a，再根据BC＝2得AC＝4，CN＝CM＝2+a，在Rt△ACM中，由勾股定理得DM＝a＝3cm，在Rt△DEM中，由勾股定理得EMcm，再证明四边形EFHM是平行四边形即可得出FH的长．
【解答】解：过点E作EM∥FH交AD与于点M，过点E作EN⊥EM，交AB的延长线于点N，连接CM，如图所示：
∴∠NEM＝90°，∠CEM＝∠EGF＝45°，
∵四边形ABED是正方形，边长为6cm，
∴BE＝AD＝AB＝ED＝6cm，BE∥AD，∠BED＝∠ABE＝∠A＝∠D＝90°，
∴∠EBN＝∠D＝90°，∠NEM＝∠BED＝90°，
∴∠NEM﹣∠BEM＝∠BED﹣∠BEM，
∴∠BEN＝∠DEM，
∵∠BEC+∠DEM＝∠BED﹣∠CEM＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BEC+∠DEM＝45°，
∴∠CEN＝∠BEC+∠DEM＝45°，
∴∠CEN＝∠CEM＝45°，
在△BEN和△DEM中，
，
∴△BEN≌△DEM（SAS），
∴BN＝DM，EN＝EM，
在△CEN和△MEC中，
，
∴△CEN≌△MEC（SAS），
∴CN＝CM，
设DM＝a，
∴BN＝DM＝a，AM＝AD﹣DM＝6﹣a，
∵点C是边AB上靠近点B的三等分点，
∴BCAB＝2，
∴AC＝AB﹣BC＝4，CN＝BC+BN＝2+a，
∴CN＝CM＝2+a，
在Rt△ACM中，
由勾股定理得：CM2＝AC2+AM2，
∴（2+a）2+42+（6﹣a）2，
解得：a＝3，
∴DM＝a＝3cm，
在Rt△DEM中，EM（cm），
∵BE∥AD，
∴EF∥MH，
又∵EM∥FH，
四边形EFHM是平行四边形，
∴FH＝EM（cm），
∴FH的长为cm．
故答案为：cm．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点．
三．解答题（共7小题，满分52分）
19．（6分）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两个点，且AE＝CF．求证：DE∥BF．
【分析】由平行四边形的性质推出AD＝CB，AD∥CB，得到∠DAE＝∠BCF，推出△ADE≌△CBF（SAS），得到∠AED＝∠CFB，由补角的性质推出∠DEF＝∠BFE，即可证明DE∥BF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，
∵∠DEF+∠AED＝∠BFE+∠CFB＝180°，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DE∥BF．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的在推出△ADE≌△CBF（SAS）．
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°E为AB的中点，四边形BCDE是平行四边形，求证：AC与DE互相垂直平分．
【分析】由直角三角形的性质可得AE＝BE＝CE，通过题意证明四边形AECD是菱形，即可求解．
【解答】解：如图，连接AD，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∵∠ACB＝90°，E为AB的中点，
∴AE＝BE＝CE，
∴AE＝CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
又∵AE＝CE，
∴平行四边形AECD是菱形，
∴AC与DE互相垂直平分．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，证明四边形AECD是菱形是解题的关键．
21．（8分）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC．
（1）求证：四边形DFCG是矩形；
（2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长．
【分析】（1）证明DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，再证明四边形DFCG是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）证明△BDF是等腰直角三角形，得BF＝DF＝3，则BC＝BF+FC＝8，再由三角形中位线定理求出DE＝4，然后由矩形的性质得CG＝DF＝3，∠G＝90°，则EG＝DG﹣DE＝1，进而由勾股定理求出CE的长，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵DG＝FC，
∴四边形DFCG是平行四边形，
又∵DF⊥BC，
∴∠DFC＝90°，
∴平行四边形DFCG是矩形；
（2）解：∵DF⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF＝DF＝3，
∵DG＝FC＝5，
∴BC＝BF+FC＝3+5＝8，
由（1）可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴DEBC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°，
∴EG＝DG﹣DE＝5﹣4＝1，
∴CE，
∵E为AC的中点，
∴AC＝2CE＝2．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
22．（6分）操作
现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形ABCD．
（1）重叠部分四边形ABCD是什么形状的四边形？请说明理由．
（2）重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？
请直接填写：最小面积　25　 cm2，最大面积　125　 cm2．
【分析】（1）首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形；
（2）设AB＝BC＝x厘米，根据菱形面积公式得到菱形ABCD的面积＝5x，于是得到当x＝5时，菱形ABCD的面积最小为5×5＝25（平方厘米），当x＝25时，菱形ABCD的面积最大为5×25＝125（平方厘米）．
【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，
理由：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S ABCD＝BC AE＝CD AF，
又∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵宽为5厘米，
∴AE＝AF＝5厘米，
设AB＝BC＝x厘米，
∴菱形ABCD的面积＝5x，
∵5＞0，
∴菱形ABCD的面积随x的增大而增大，
∵52+（25﹣x）2＝x2，
∴x＝13，
∴当x＝5时，菱形ABCD的面积最小为5×5＝25（平方厘米），
当x＝13时，菱形ABCD的面积最大为5×13＝65（平方厘米），
故答案为：25，65．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，证得四边形为菱形是解题的关键．
23．（8分）已知：如图，在△ABC中，点E、F分别是边BC、AC的中点，过点A作BC的平行线，交射线EF于点D．
（1）求证：四边形ABED是平行四边形；
（2）如果AB＝AC，联结AE、CD，求证：四边形AECD为矩形．
【分析】（1）证明EF是△ABC的中位线，得EF∥AB，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AD＝BE，进而得AD＝CE，再证明四边形AECD是平行四边形，然后由等腰三角形的性质得AE⊥BC，则∠AEC＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵点E、F分别是边BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形；
（2）如图，由（1）可知，AD∥BC，四边形ABED是平行四边形，
∴AD＝BE，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴AD＝CE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECD为矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
24．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝8，∠ABD＝90°，求菱形BEDF的面积．
【分析】（1）先证三角形全等得到对角线互相平分，再结合对角线垂直判定菱形；
（2）利用直角三角形锐角互余和等边对等角知识得到BE的长度，进而求出菱形的对角线长度得到面积．
【解答】解：（1）在平行四边形ABCD中，OB＝OD，AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO．
∵EF⊥BD，
∴∠EOD＝∠FOB＝90°．
在△EOD和△FOB中，
，
∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴OE＝OF．
又OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形；
（2）∠ABD＝90°，AB＝6，AD＝8，
．
∴BE＝DE，．
∴∠EBD＝∠EDB．
∵∠ABD＝90°，
∴∠EBD+∠ABE＝90°，∠BAD+∠EDB＝90°，
∴∠ABE＝∠BAD，
∴AE＝BE＝DE，即E是AD的中点，
∴．
∵BE＝4，，
∴，
∴EF＝2OE＝2×3＝6，
∴．
【点评】本题综合考查了平行四边形的性质、菱形的判定以及菱形面积计算等知识，正确进行计算是解题关键．
25．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．
（1）点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），请完成剩余证明过程：
（2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．
【分析】（1）作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM，易证△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5．又因为∠2+∠6＝120，所以∠5+∠6＝120°，所以∠AMN＝60°；
（2）延长AB至E，使EB＝AB，连接EMC、EC，则EB＝BC，∠EBM中＝90°＝∠ABM，得出△EBC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠BEC＝∠BCE＝45°，证出∠BCE+∠MCN＝180°，得出E、C、N，三点共线，由SAS证明△ABM≌△EBM得出AM＝EM，∠1＝∠2，得出EM＝MN，由等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，证出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5+∠6＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：（1）点拨：如图2，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM，
易证△ABM≌△EBM（SAS），
∴AM＝EM，∠1＝∠2；
∵AM＝MN，
∴EM＝MN，
∴∠3＝∠4；
∵∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，
∴∠1＝∠2＝∠5．
∵∠2+∠6＝120，
∴∠5+∠6＝120°，
∴∠AMN＝60°；
（2）拓展：延长AB至E，使EB＝AB，连接EMC、EC，如图所示：
则EB＝BC，∠EBM中＝90°＝∠ABM，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∴∠BEC＝∠BCE＝45°，
∵N是正方形ABCD的外角∠DCH的平分线上一点，
∴∠MCN＝90°+45°＝135°，
∴∠BCE+∠MCN＝180°，
∴E、C、N，三点共线，
在△ABM和△EBM中，
，
∴△ABM≌△EBM（SAS），
∴AM＝EM，∠1＝∠2，
∵AM＝MN，
∴EM＝MN，
∴∠3＝∠4，
∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，
∴∠1＝∠2＝∠5，
∵∠1+∠6＝90°，
∴∠5+∠6＝90°，
∴∠AMN＝180°﹣90°＝90°．
【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．
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2025-2026学年上海市八年级（下）
四边形章节复习卷（培优卷）
考试范围：第23章四边形；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）凸十边形的外角和为（　　）
A．1800° B．1440° C．1080° D．360°
2．（2分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB∥CD，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝CD，AD＝BC
3．（2分）菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，下列条件能判断菱形ABCD是正方形的是（　　）
A．∠DAO+∠ADO＝90° B．∠DAC＝∠ACD
C．∠DAC＝∠BAC D．∠DAB＝∠ABC
4．（2分）如图，△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为10、8、6．若△ABC的重心为G，则下列叙述正确的是（　　）
A．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC平行
B．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC不平行
C．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC平行
D．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC不平行
5．（2分）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且AD＝AE，DH⊥AE于点H，连接BH并延长，交CD于点F，连接DE．下列结论：①；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④BC＝2HE+CF．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2分）下列说法正确的是（　　）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．（3分）从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是　 　 条．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，∠C＝∠B，m代表的度数为　 　 ．
9．（3分）一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 　 　 ．
10．（3分）如图， ABCD的对角线交于点O，且CD＝4，若它的对角线的和是32，则△AOB的周长为　 　 ．
11．（3分）平行四边形ABCD中，AB＝26cm，过对角线交点O作OE⊥AD，垂足为E，AE＝24cm，DE＝14cm，则S平行四边形ABCD＝　 　 cm2．
12．（3分）在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果△ABC是“中垂三角形”，AD、BE、CF是中线，∠DAB＝30°，AB＝4，那么BC的长为　 　 ．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，若AC＝BD，且EG HF＝16，则四边形EFGH的面积为　 　 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交BC、AD于点E、F，若AB＝4，DF＝3，则BC＝　 　 ．
15．（3分）在正方形ABCD中，点E为边CD上一点（不与点C、D重合），AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G，若AD＝10，BF＝6，线段FD的长是 　 　 ．
16．（3分）如图，菱形ABCD边长为4，E是BC中点，F为CD上一点，BF交AE于点G，∠AGB＝∠C＝45°，DF的长度是　 　 ．
17．（3分）如图，矩形ABCD的面积为18，对角线AC、BD交于点O．如果E、F、G、H分别是△ABO、△BCO、△CDO、△ADO的重心，那么四边形EFGH的面积是　 　 ．
18．（3分）如图，边长是6cm的正方形ABED，点C是边AB上靠近点B的三等分点，连接CE，点F，H分别为BE，AD上的点，连接FH交CE于点G，若∠EGF＝45°，则FH的长为 　 　 cm．
评卷人 得 分
三．解答题（共7小题，满分52分）
19．（6分）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两个点，且AE＝CF．求证：DE∥BF．
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°E为AB的中点，四边形BCDE是平行四边形，求证：AC与DE互相垂直平分．
21．（8分）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC．
（1）求证：四边形DFCG是矩形；
（2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长．
22．（6分）操作
现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形ABCD．
（1）重叠部分四边形ABCD是什么形状的四边形？请说明理由．
（2）重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？
请直接填写：最小面积　 　 cm2，最大面积　 　 cm2．
23．（8分）已知：如图，在△ABC中，点E、F分别是边BC、AC的中点，过点A作BC的平行线，交射线EF于点D．
（1）求证：四边形ABED是平行四边形；
（2）如果AB＝AC，联结AE、CD，求证：四边形AECD为矩形．
24．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝8，∠ABD＝90°，求菱形BEDF的面积．
25．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．
（1）点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），请完成剩余证明过程：
（2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．
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