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第24章 平面直角坐标系 章节复习卷(培优)
2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔填涂）
1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三．解答题（共7小题，满分52分）（请在各试题的答题区内作答）
19.答：
20.答：
21.答：
22.答：
23.答：
24.答：
25.答：
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第24章 平面直角坐标系 章节复习卷(培优)
2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册
考试范围：第24章平面直角坐标系；考试时间：100分钟；满分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）在平面直角坐标系中，关于点A（4，﹣3）和点B（﹣4，3）的说法错误的是（　　）
A．点A在第四象限，点B在第二象限
B．点A和点B关于原点对称
C．点A先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点B
D．两点间的距离是10
2．（2分）平面直角坐标系中，点A（a，b）在x轴上，点B（m，n）在y轴上，下列结论一定正确的是（　　）
A．a＝0，m＝0 B．a＝0，n＝0 C．b＝0，m＝0 D．b＝0，n＝0
3．（2分）下列说法不正确的是（　　）
A．点A（﹣2，3）在第二象限
B．点P（﹣2，3）到y轴的距离为2
C．若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴上
D．若P（x，y）在x轴上，则y＝0
4．（2分）我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．如图，在5×7的网格中，四边形ABCD是“等邻边四边形”，顶点A、B、C在网格格点上，如果点D也在网格格点上，那么点D的位置有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）到原点的距离为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
6．（2分）在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B（﹣6，0），坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有（　　）个
A．5 B．6 C．7 D．8
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1）和点B（2，3），点C在直线AB上且到x轴的距离为2，那么点C坐标为　 　 ．
8．（3分）点P（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标是 　 　 ．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到了线段CD，点A、B的对应点分别是点C、D，已知点A（﹣6，0），B（﹣4，3），D（3，1），则点C的坐标为 　 　 ．
10．（3分）在平面直角坐标系中，点A、点B均在第二象限，点A的坐标为（a﹣b，﹣3a），点B的坐标为（3a﹣b，a+b+5）．已知点A'与点A关于x轴对称，点B'与点B关于y轴对称，△AA'B'是一个等腰直角三角形且∠A＝90°，则点A的坐标为　 　 ．
11．（3分）如图1，太原古县城始建于明洪武八年（1375年），城内历史建筑遗存众多，十字街格局清晰，沿袭了晋阳古城“城池凤翔余”的古老建筑格局，犹如一只头北尾南的凤凰，自古就有“凤凰城”的美誉．如图2，现将古县城的三个景点放在平面直角坐标系中，若县衙和城隍庙两个景点的坐标分别为（﹣3，2），（﹣1，﹣3），则魁星楼的坐标为 　 　 ．
12．（3分）在同一平面坐标系中，点A（﹣2，1），点B（2，3），那么点A与点B之间的距离是 　 　 ．
13．（3分）把点绕原点顺时针应转90°后，得到的点的坐标是 　 　 ．
14．（3分）如果点p（x，y）的坐标满足x+y＝xy，那么称点P为“美丽点”，若某个“美丽点”M到y轴的距离为2，则点M的坐标为 　 　 ．
15．（3分）已知平面直角坐标系中有三点A（2，2），B（4，6），C（8，﹣1），三点连线组成一个∠A＝90°的直角三角形，AB＝2，AC＝3，x轴把△ABC分成上下两部分，则上下两部分的面积之比为 　 　 ．
16．（3分）把点A（﹣a，a﹣1）先向右平移3个单位长度得到点B，再作点B关于y轴的对称点C，若点C在第二象限，则整数a的值为　 　 ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），，点C是线段AB上的一个动点，在AB的右侧作以BC为边的等边△BCD，若E为CD的中点，连接AE，当OE取最小值时，则AE＝　 　 ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知，B（0，﹣4），点C在x轴的正半轴上，且∠ABC＝45°，则点C的坐标为　 　 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共7小题，满分52分）
19．（6分）已知点P（﹣4a﹣5，3a+1）．
（1）若点P在y轴上，试求点P的坐标；
（2）若点M（3，7），且PM∥x轴，试求点P的坐标．
20．（6分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离中的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）点A（2，3）的“长距”等于 　 　 ，点B（﹣7，5）的“长距”等于 　 　 ．
（2）若C（﹣1，2k+3），D（6，k﹣2）两点为“等距点”，求k的值．
21．（6分）如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为（﹣3，﹣2），黑棋②的坐标为（﹣1，0）．
（1）请你根据题意，补充原点O和y轴；
（2）写出黑棋和白棋④的坐标；
（3）五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要使黑棋这一步下完后胜出，请直接写出这一步黑棋的坐标．
22．（8分）如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2）．
（1）填空：点A的坐标是 　 　 ，点B的坐标是 　 　 ；
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′．请写出△A′B′C′的三个顶点坐标；
（3）求△ABC的面积．
23．（8分）阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．
例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB，
根据上面材料完成下列各题：
（1）若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 　 　 ．
（2）若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．
（3）若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．
24．（8分）现有有序数对（a，b，c）和（x，y），如果ax+by＝c，则称（a，b，c）“关联”了（x，y），或（x，y）被（a，b，c）“关联”．
例如：5×3+7×（﹣2）＝1，则称（5，7，1）“关联”了（3，﹣2）．
（1）下列数对中被（2，1，3）“关联”的有　 　 ；
①（1，1），②（﹣4，6），③（﹣1，3），④（5，﹣7）．
（2）若（p，q）同时被（5，﹣9，1）和（﹣3，7，1）“关联”，请求出p，q；
（3）对于均不为0的a、b、c，数对（a，b，c）“关联”了（m，n）、（1，2）和（2，3），且（m，n）被（2027，﹣2026，﹣1）“关联”，试求数对（m，n）．
25．（10分）在平面直角坐标系中，对于点P和线段AB（点P不在线段AB上）给出如下定义：Q为线段AB上任意一点，如果线段PQ的长度有最小值，那么称这个最小值为点P与线段AB的“近距”；如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段AB的“远距”．
（1）如图1，点A（0，2），点B（0，﹣2），点P（1，0），则点P与线段AB的近距为　 　 ，点P与线段AB的远距为　 　 ；
（2）如图2，点A（﹣3，0），点B（8，0），点C（2，3）．
①求点C与线段AB的近距和远距；
②过点C作MN∥AB．若点P在直线MN上，当点P和线段AB的近距小于5时，求点P和线段AB的远距的最大值和最小值；
（3）点A（﹣2，﹣2），点B（4，6），点P为x轴正半轴上一点，若点P与线段AB的近距为8时，请直接写出点P与线段AB的远距．
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第24章 平面直角坐标系 章节复习卷(培优)
2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C C C C C C
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）在平面直角坐标系中，关于点A（4，﹣3）和点B（﹣4，3）的说法错误的是（　　）
A．点A在第四象限，点B在第二象限
B．点A和点B关于原点对称
C．点A先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点B
D．两点间的距离是10
【考点】点的坐标．
【分析】根据点的坐标，可判断选项A和选项B；根据平移规律，可判断选项C；使用两点间距离公式，可判断选项D．
【解答】解：A、点A（4，﹣3）在第四象限，点B（﹣4，3）在第二象限，故A不符合题意；
B、点A（4，﹣3）和点B（﹣4，3）关于原点对称，故B不符合题意；
C、点A（4，﹣3）先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度后，坐标为（12，﹣9），故C符合题意；
D、根据两点间距离公式可得，，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查坐标系中点的特征，点的平移，两点间距离公式，熟练掌握相关知识是关键．
2．（2分）平面直角坐标系中，点A（a，b）在x轴上，点B（m，n）在y轴上，下列结论一定正确的是（　　）
A．a＝0，m＝0 B．a＝0，n＝0 C．b＝0，m＝0 D．b＝0，n＝0
【考点】点的坐标．
【分析】直接利用x，y轴上点的坐标特点得出答案．
【解答】解：∵点A（a，b）在x轴上，点B（m，n）在y轴上，
∴b＝0，m＝0，
故选：C．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握坐标轴上点的坐标特点是解题关键．
3．（2分）下列说法不正确的是（　　）
A．点A（﹣2，3）在第二象限
B．点P（﹣2，3）到y轴的距离为2
C．若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴上
D．若P（x，y）在x轴上，则y＝0
【考点】点的坐标．
【分析】根据各象限的点的坐标特征，以及坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离，逐项分析判断，即可求解．
【解答】解：A．点A（﹣2，3）在第二象限，故该选项正确，不符合题意；
B．点P（﹣2，3）到y轴的距离为2，故该选项正确，不符合题意；
C．若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴或y轴上，故该选项不正确，符合题意；
D．若P（x，y）在x轴上，则y＝0，故该选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了点到坐标，熟练掌握点的坐标特征进行求解是解决本题的关键．
4．（2分）我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．如图，在5×7的网格中，四边形ABCD是“等邻边四边形”，顶点A、B、C在网格格点上，如果点D也在网格格点上，那么点D的位置有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】坐标与图形性质．
【分析】根据“等邻边四边形”的定义，找出符合要求的点D的位置即可．
【解答】解：如图所示，
当AB＝AD时，
当CD＝CB时，
所以符合要求的点D的位置有3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意找出符合要求的点D的位置是解题的关键．
5．（2分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）到原点的距离为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
【考点】两点间的距离公式．
【分析】根据点到原点的距离公式，即可求解；
【解答】解：点P的坐标为P（1，﹣2），
∴；
故选：C．
【点评】此题考查了平面直角坐标系中点到原点的距离公式，熟练掌握点到原点的距离公式是解题的关键．
6．（2分）在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B（﹣6，0），坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有（　　）个
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】坐标与图形性质．
【分析】分别讨论当BC＝AB、AC＝AB和AC＝BC时三种情况下，坐标轴上有几个这样的C点即可．
【解答】解：当BC＝AB时，以点B为圆心、AB为半径画圆，与坐标轴分别交于点C1、C2、C3（不包括点A）．
当AC＝AB时，以点A为圆心、AB为半径画圆，与坐标轴分别交于点C4、C5、C6（不包括点B）．
当AC＝BC时，点C应该在AB的垂直平分线上．
∵OA＝OB，
∴点O在AB的垂直平分线上．
综上，这样的C点共有7个，分别是点C1、C2、C3、C4、C5、C6、O．
故答案为：C．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，一定要考虑到所有情况．
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1）和点B（2，3），点C在直线AB上且到x轴的距离为2，那么点C坐标为　（2，2）或（2，﹣2）　 ．
【考点】坐标与图形性质．
【分析】点A和点B的横坐标相同，直线AB垂直于x轴，点C在直线AB上，故横坐标为2；点C到x轴的距离为2，故纵坐标为2或﹣2，即可得到答案．
【解答】解：由点A（2，﹣1）和点B（2，3）可知，在直线AB上的横坐标相同都为2，
∵点C在直线AB上，
∴点C的横坐标为2；
∵点C到x轴的距离为2，即点C的纵坐标的绝对值为2，所以纵坐标为2或﹣2，
∴点A（2，﹣1）和点B（2，3），点C在直线AB上且到x轴的距离为2，那么点C的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．
故答案为（2，2）或（2，﹣2）．
【点评】此题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
8．（3分）点P（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标是 　（﹣1，﹣2）　 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴对称两个点的坐标特征进行解答即可．
【解答】解：点P（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标是 （﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查关于x轴对称的点的坐标，掌握“关于x轴对称的两个点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数”是正确解答的前提．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到了线段CD，点A、B的对应点分别是点C、D，已知点A（﹣6，0），B（﹣4，3），D（3，1），则点C的坐标为 　（1，﹣2）　 ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【分析】由B、D连点坐标可知，线段AB的平移方式为先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度，据此即可得到点C的坐标．
【解答】解：由B（﹣4，3），D（3，1）可知，线段AB的平移方式为先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∵A（﹣6，0），
∴对应点C的坐标为（﹣6+7，0﹣2）即（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题考查了平移的性质，根据对应点得出平移方式是解题关键．
10．（3分）在平面直角坐标系中，点A、点B均在第二象限，点A的坐标为（a﹣b，﹣3a），点B的坐标为（3a﹣b，a+b+5）．已知点A'与点A关于x轴对称，点B'与点B关于y轴对称，△AA'B'是一个等腰直角三角形且∠A＝90°，则点A的坐标为　（，5）　 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据点A'与点A关于x轴对称，并且在第二象限，求出AA'＝﹣6a，由题意可得AA'＝AB'，可得b＝﹣a，根据A，B，B'的纵坐标相等，可得3a＝a+b+5，解得a，b，代入即可求解．
【解答】解：∵点A'与点A关于x轴对称，并且在第二象限，
∴AA'＝﹣6a，
∵△AA'B'是一个等腰直角三角形且∠A＝90°，
∴b﹣a+b﹣3a＝﹣6a，
∴b＝﹣a，
∵由题意可得，A，B，B'的纵坐标相等，
∴﹣3a＝a+b+5，
∴﹣3a＝a﹣a+5
∴a，b，
将a，b代入可得，
a﹣b，﹣3a＝5，
A（，5），
故答案为：（，5）．
【点评】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，掌握其性质是解题的关键．
11．（3分）如图1，太原古县城始建于明洪武八年（1375年），城内历史建筑遗存众多，十字街格局清晰，沿袭了晋阳古城“城池凤翔余”的古老建筑格局，犹如一只头北尾南的凤凰，自古就有“凤凰城”的美誉．如图2，现将古县城的三个景点放在平面直角坐标系中，若县衙和城隍庙两个景点的坐标分别为（﹣3，2），（﹣1，﹣3），则魁星楼的坐标为 　（2，1）　 ．
【考点】坐标确定位置．
【分析】根据县衙和城隍庙的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系即可得到答案．
【解答】解：建立如图坐标系，则魁星楼的坐标为（2，1），
故答案为：（2，1）．
【点评】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，熟练掌握该知识点是关键．
12．（3分）在同一平面坐标系中，点A（﹣2，1），点B（2，3），那么点A与点B之间的距离是 　　 ．
【考点】两点间的距离公式．
【分析】同一坐标系下点（x，y）和点（m，n）的距离为，据此求解即可．
【解答】解：∵在同一平面坐标系中，点A（﹣2，1），点B（2，3），
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了两点距离计算公式，掌握相关知识点是解题的关键．
13．（3分）把点绕原点顺时针应转90°后，得到的点的坐标是 　（，﹣2）　 ．
【考点】坐标与图形性质．
【分析】由于A的坐标为（2，），绕原点顺时针旋转90°得到的点B，根据坐标系即可确定B的坐标．
【解答】解：如图，∵A的坐标为（2，），绕原点顺时针旋转90°得到的点B，
∴根据旋转过程知道B的坐标为（，﹣2）．
故答案为：（，﹣2）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的旋转的关系，解题的关键是把握旋转方向和旋转的性质．
14．（3分）如果点p（x，y）的坐标满足x+y＝xy，那么称点P为“美丽点”，若某个“美丽点”M到y轴的距离为2，则点M的坐标为 　（2，2）或（﹣2，）　 ．
【考点】点的坐标．
【分析】直接利用某个“美丽点”到y轴的距离为2，得出x的值，进而求出y的值求出答案．
【解答】解：∵某个“美丽点”M到y轴的距离为2，
∴x＝±2，
∵x+y＝xy，
∴y±2＝±2y，
解得：y＝2或y，
则M点的坐标为：（2，2）或（﹣2，）．
故答案为：（2，2）或（﹣2，）．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确分类讨论是解题关键．
15．（3分）已知平面直角坐标系中有三点A（2，2），B（4，6），C（8，﹣1），三点连线组成一个∠A＝90°的直角三角形，AB＝2，AC＝3，x轴把△ABC分成上下两部分，则上下两部分的面积之比为 　20：1　 ．
【考点】坐标与图形性质．
【分析】先计算，再求解直线AC，BC的解析式，求解直线与坐标轴的交点坐标，再进一步求解即可．
【解答】解：如图，
根据条件可得，
∵A（2，2），B（4，6），C（8，﹣1），
设直线AC为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AC为：，
当y＝0时，，
解得：x＝6，
∴E（6，0），
同理可得：直线BC解析式为：，
当y＝0，则，
解得：，
∴，
∴EF，
∴S△CEF，
∴，
∴x轴把△ABC分成上下两部分，则上下两部分的面积之比为；
故答案为：20：1．
【点评】本题考查的是坐标与图形，一次函数的应用，二次根式的乘法运算，熟练掌握以上知识点是关键．
16．（3分）把点A（﹣a，a﹣1）先向右平移3个单位长度得到点B，再作点B关于y轴的对称点C，若点C在第二象限，则整数a的值为　2　 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；解一元一次不等式组．
【分析】点A向右平移3个单位得到点B，再作点B关于y轴的对称点C，根据点C在第二象限的条件列出不等式组，求解a的取值范围，结合整数条件确定a的值
【解答】解：点A的坐标为（﹣a，a﹣1），向右平移3个单位后点B的坐标为（﹣a+3，a﹣1），点B关于y轴的对称点C的坐标为（a﹣3，a﹣1）．
∵点C在第二象限，第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，
∴，
解得1＜a＜3，
由于a为整数，因此a＝2，
验证：当a＝2时，点C的坐标为（﹣1，1），满足第二象限条件．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是平面直角坐标系中点的平移，轴对称变换，掌握点的坐标平移规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减是解决此题的关键．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），，点C是线段AB上的一个动点，在AB的右侧作以BC为边的等边△BCD，若E为CD的中点，连接AE，当OE取最小值时，则AE＝　　 ．
【考点】坐标与图形性质；垂线段最短；等边三角形的性质；三角形中位线定理．
【分析】取AB的中点G，连接OG，根据勾股定理得到，根据斜边中线定理得到，进而推出△AOG是等边三角形，得到∠OAB＝60°；连接BE，作AF⊥OC于点F，根据等边三角形的性质得到，∠CEB＝90°，则点E在过点B且与BC夹角为30°的直线上运动，当OE⊥BE时，即∠OEB＝90°，OE取最小值，此时O，C，E三点共线，则∠ACO＝∠BCE＝60°，推出△AOC是等边三角形，再利用等边三角形的性质和勾股定理即可求出AE的长．
【解答】解：如图，取AB的中点G，连接OG，
∵点A坐标为（0，4），，
∴OA＝4，，
∵∠AOB＝90°，
∴根据勾股定理得，，
∵点G是AB的中点，
∴，
∴OG＝AG＝OA＝4，
∴△AOG是等边三角形，
∴∠OAB＝60°（等边三角形的性质）；
如图，连接BE，作AF⊥OC于点F，
∵等边△BCD，E为CD的中点，
∴∠CBD＝∠BCE＝60°，，BE⊥CD，BE平分∠CBD，
∴，∠CEB＝90°，
∴点E在过点B且与BC夹角为30°的直线上运动，
∴当OE⊥BE时，即∠OEB＝90°，OE取最小值，
∴∠OEB＝∠CEB＝90°，
∴O，C，E三点共线，
∴∠ACO＝∠BCE＝60°，
∴∠ACO＝∠OAB＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝OC＝OA＝4（等边三角形的性质），
∴BC＝AB﹣AC＝8﹣4＝4，
∴，
∵AF⊥OC，
∴∠AFC＝90°，，
∴，FE＝CF+CE＝2+2＝4，
∴．
则AE的长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理、垂线段最短，证出点E在定直线上运动是解题的关键．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知，B（0，﹣4），点C在x轴的正半轴上，且∠ABC＝45°，则点C的坐标为　（2，0）　 ．
【考点】坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】过点A作BC的垂线，垂足为E，再过点E作x轴的垂线l，交x轴于点M，过点B作直线l的垂线，垂足为N，根据全等三角形的判定与性质求出点E的坐标，据此得出直线BE的函数解析式即可解决问题．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为E，过点E作x轴的垂线l，交x轴于点M，过点B作直线l的垂线，垂足为N，
∵∠ABC＝45°，AE⊥BC，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝BE．
∵∠MAE+∠AEM＝∠AEM+∠NEB＝90°，
∴∠MAE＝∠NEB．
在△MAE和△NEB中，
，
∴△MAE≌△NEB（AAS），
∴AM＝EN，ME＝NB．
令点E坐标为（a，b），
则，
解得，
∴点E坐标为（）．
又∵点B坐标为（0，﹣4），
∴直线BE的函数解析式为y＝2x﹣4．
由2x﹣4＝0得，
x＝2，
∴点C的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
19．（6分）已知点P（﹣4a﹣5，3a+1）．
（1）若点P在y轴上，试求点P的坐标；
（2）若点M（3，7），且PM∥x轴，试求点P的坐标．
【考点】坐标与图形性质．
【分析】（1）根据y轴上的点的坐标特征：横坐标为0，列方程求出a值，即可得答案；
（2）根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等列方程求出a值，即可得答案．
【解答】解：（1）∵点P（﹣4a﹣5，3a+1）在y轴上，
∴﹣4a﹣5＝0，
解得：，
∴，
∴点P坐标为．
（2）∵M（3，7），且PM∥x轴，P（﹣4a﹣5，3a+1），
∴3a+1＝7，
解得：a＝2，
∴﹣4a﹣5＝﹣4×2﹣5＝﹣13，
∴若点M（3，7），且PM∥x轴，则点P坐标为（﹣13，7）．
【点评】本题主要考查了点的坐标性质，熟练掌握坐标轴上的点的性质和平行于坐标轴的点的坐标特点是解题关键．
20．（6分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离中的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）点A（2，3）的“长距”等于 　3　 ，点B（﹣7，5）的“长距”等于 　7　 ．
（2）若C（﹣1，2k+3），D（6，k﹣2）两点为“等距点”，求k的值．
【考点】点的坐标．
【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．
【解答】解：（1）点A（2，3）的“长距”为|3|＝3；
点B（﹣7，5）的“长距”为|﹣7|＝7；
故答案为：3，7．
（2）由题意可知，|2k+3|＝6或2k+3＝±（k﹣2），
解得k或k＝﹣4.5（不合题意，舍去）或k＝﹣5或k（不合题意，舍去），
∴k或k＝﹣5．
【点评】本题主要考查平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“等距点”．
21．（6分）如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为（﹣3，﹣2），黑棋②的坐标为（﹣1，0）．
（1）请你根据题意，补充原点O和y轴；
（2）写出黑棋和白棋④的坐标；
（3）五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要使黑棋这一步下完后胜出，请直接写出这一步黑棋的坐标．
【考点】坐标确定位置．
【分析】（1）根据白棋①的坐标为（﹣3，﹣2），黑棋②的坐标为（﹣1，0）即可建立坐标系；
（2）由坐标系直接得出坐标；
（3）根据比赛规则，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜，即可找出黑棋要放置的位置坐标．
【解答】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系：
（2）黑③坐标为（﹣1，2），白④坐标为（2，2）；
（3）要使黑棋这一步要赢，这一步黑棋的坐标为：（3，﹣2）或（﹣2，3）．
【点评】本题考查了坐标系的建立，利用坐标确定位置，确定坐标轴的位置是解题的关键．
22．（8分）如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2）．
（1）填空：点A的坐标是 　（2，﹣1）　 ，点B的坐标是 　（4，3）　 ；
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′．请写出△A′B′C′的三个顶点坐标；
（3）求△ABC的面积．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【分析】（1）利用点的坐标的表示方法写出A点和B点坐标；
（2）利用点的坐标平移规律写出点A′、B′、C′的坐标，然后描点得到△A′B′C′；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可得到△ABC的面积．
【解答】解：（1）A（2，﹣1），B（4，3）；
故答案为（2，﹣1），（4，3）；
（2）如图，△A′B′C′为所作；A′（0，0），B′（2，4），C′（﹣1，3）；
（3）△ABC的面积＝3×42×43×13×1＝5．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
23．（8分）阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．
例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB，
根据上面材料完成下列各题：
（1）若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 　3　 ．
（2）若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．
（3）若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．
【考点】两点间的距离公式．
【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算AB的长；
（2）当B点在x轴上，设B（t，0），利用两点间的距离公式得到（﹣2﹣t）2+（0﹣3）2＝52，解方程求出t得到此时B点坐标；当B点在y轴上，设B（0，m），利用两点间的距离公式得到（0+2）2+（m﹣3）2＝52，解方程求出m得到此时B点坐标；
（3）利用两点间的距离公式列方程（x﹣3）2+（3﹣x﹣1）2＝52，然后解方程即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，3），B（1，﹣3），
∴AB3；
故答案为3；
（2）当B点在x轴上，设B（t，0），
而点A（﹣2，3），A、B两点间的距离是5，
∴（﹣2﹣t）2+（0﹣3）2＝52，解得t＝2或﹣6，
此时B点坐标为（2，0）或（﹣6，0）；
当B点在y轴上，设B（0，m），
而点A（﹣2，3），A、B两点间的距离是5，
∴（0+2）2+（m﹣3）2＝52，解得m＝3或3，
此时B点坐标为（0，3）或（0，3）；
综上所述，B点坐标为（2，0）或（﹣6，0）或（0，3）或（0，3）；
（3）∵点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，
∴（x﹣3）2+（3﹣x﹣1）2＝52，
整理得x2﹣5x﹣6＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝6，
即x的值为﹣1或6．
【点评】本题考查两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB．
24．（8分）现有有序数对（a，b，c）和（x，y），如果ax+by＝c，则称（a，b，c）“关联”了（x，y），或（x，y）被（a，b，c）“关联”．
例如：5×3+7×（﹣2）＝1，则称（5，7，1）“关联”了（3，﹣2）．
（1）下列数对中被（2，1，3）“关联”的有　①④　 ；
①（1，1），②（﹣4，6），③（﹣1，3），④（5，﹣7）．
（2）若（p，q）同时被（5，﹣9，1）和（﹣3，7，1）“关联”，请求出p，q；
（3）对于均不为0的a、b、c，数对（a，b，c）“关联”了（m，n）、（1，2）和（2，3），且（m，n）被（2027，﹣2026，﹣1）“关联”，试求数对（m，n）．
【考点】点的坐标．
【分析】（1）根据“关联”定义逐项进行判断即可；
（2）根据“关联”定义列出二元一次方程组并求解即可；
（3）根据“关联”定义列出三元一次方程组，找出a，b，c的关系，进而可求出m，n的值．
【解答】解：（1）①2×1+1×1＝3，
∴（1，1）被（2，1，3）“关联”；
②2×（﹣4）+1×6＝﹣2≠3
∴（﹣4，6）未被（2，1，3）“关联”；
③2×（﹣1）+1×3＝1≠3
∴（﹣1，3）未被（2，1，3）“关联”；
④2×5+1×（﹣7）＝3
∴（5，﹣7）被（2，1，3）“关联”；
故答案为：①④；
（2）由条件可得：
，
解得；
（3）由条件可得：
，
②﹣①得a+b＝0，即b＝﹣a，
将b＝﹣a代入①得c＝﹣a，
将b＝﹣a和c＝﹣a代入③得，
m﹣n＝﹣1，
由条件可知2027m﹣2026n＝﹣1，
2027（m﹣n）+n＝﹣1，
∴m﹣2026＝﹣1，
解得m＝2025，
∴数对（m，n）为（2025，2026）．
【点评】本题主要考查了新定义下的实数的运算，二元一次方程组，三元一次方程组等知识点，解题的关键是根据题意正确理解被“关联”关系，并根据关系列出代数式．
25．（10分）在平面直角坐标系中，对于点P和线段AB（点P不在线段AB上）给出如下定义：Q为线段AB上任意一点，如果线段PQ的长度有最小值，那么称这个最小值为点P与线段AB的“近距”；如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段AB的“远距”．
（1）如图1，点A（0，2），点B（0，﹣2），点P（1，0），则点P与线段AB的近距为　1　 ，点P与线段AB的远距为　　 ；
（2）如图2，点A（﹣3，0），点B（8，0），点C（2，3）．
①求点C与线段AB的近距和远距；
②过点C作MN∥AB．若点P在直线MN上，当点P和线段AB的近距小于5时，求点P和线段AB的远距的最大值和最小值；
（3）点A（﹣2，﹣2），点B（4，6），点P为x轴正半轴上一点，若点P与线段AB的近距为8时，请直接写出点P与线段AB的远距．
【考点】两点间的距离公式．
【分析】（1）根据新定义可知近距为PO，远距为PA．
（2）①根据新定义可知，利用勾股定理可得近距和远距的结果．
②根据题意确定P点坐标，利用新定义性质和勾股定理即可得结果．
（3）由题意可知，P在x轴正半轴上，利用等面积法可得P坐标，然后根据新定义可得远距．
【解答】解：（1）由图可知，点P与线段AB的近距为PO＝1，点P与线段AB的远距为PA或PB，
所以PA＝PB；
故答案为：．
（2）①过点C（2，3）作x轴的垂线，垂足为D，则点D的坐标为（2，0），
∵点D在线段AB上，
∴点C与点D的距离最小，点C与点B的距离最大，
∴近距为线段CD的长3，远距为线段CB3；
故答案为：3，．
②根据题意可知，点P和线段AB的近距小于5，且点P在直线MN上，
由图可知，当P1（﹣7，3）和 P2（12，3）时，
∴此时P1B或P2A的长为远距的最大值，且P1B＝P2A，
最大值为P1B，
当点P到线段AB距离相等时，可得远距的最小值，
∴此时P点横坐标为线段AB中点的横坐标，即P（，3），此时PB＝PA，
∴远距最小值为PB，
故答案为：，．
（3）过点P作PH⊥CB，垂足为H点，作BE垂直x轴，垂足为点E，连接PB，
∵P在x轴正半轴上，设点P（m，0），
∵B（4，6），A（﹣2，﹣2），
∴设直线AB表达式为y＝kx+b（k≠0），
把B（4，6），A（﹣2，﹣2）代入直线AB表达式，
得直线AB表达yx，
当y＝0时，x，即C（，0），
∴CB，
∵P（m，0），
∴PC＝m，
∵B（4，6），
∴BE＝6，
∵点P到线段AB的近距为8，
∴PH＝8，
∵S△BCPCP×BECB×PH，
∴（m+1）×68，
∴m，
∴P（，0），
∵B（4，6），A（﹣2，﹣2），P（，0），
∴可得PA＞PB，
∴远距为PA；
故答案为：．
【点评】本题考查新定义，要对新定义理解，同时考察一次函数和勾股定理的性质和计算，熟练掌握基础知识点是解题关键．
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第24章 平面直角坐标系 章节复习卷(培优)
2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔填涂）
1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D]
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）（请在各试题的答题区内作答）
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三．解答题（共7小题，满分52分）（请在各试题的答题区内作答）
19.答：
20.答：
21.答：
22.答：
23.答：
24.答：
25.答：
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绝密★启用前
第24章 平面直角坐标系 章节复习卷(培优)
2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册
考试范围：第24章平面直角坐标系；考试时间：100分钟；满分：100分
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）在平面直角坐标系中，关于点A（4，﹣3）和点B（﹣4，3）的说法错误的是（　　）
A．点A在第四象限，点B在第二象限
B．点A和点B关于原点对称
C．点A先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点B
D．两点间的距离是10
2．（2分）平面直角坐标系中，点A（a，b）在x轴上，点B（m，n）在y轴上，下列结论一定正确的是（　　）
A．a＝0，m＝0 B．a＝0，n＝0 C．b＝0，m＝0 D．b＝0，n＝0
3．（2分）下列说法不正确的是（　　）
A．点A（﹣2，3）在第二象限
B．点P（﹣2，3）到y轴的距离为2
C．若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴上
D．若P（x，y）在x轴上，则y＝0
4．（2分）我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．如图，在5×7的网格中，四边形ABCD是“等邻边四边形”，顶点A、B、C在网格格点上，如果点D也在网格格点上，那么点D的位置有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）到原点的距离为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
6．（2分）在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B（﹣6，0），坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有（　　）个
A．5 B．6 C．7 D．8
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1）和点B（2，3），点C在直线AB上且到x轴的距离为2，那么点C坐标为　 　 ．
8．（3分）点P（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标是 　 　 ．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到了线段CD，点A、B的对应点分别是点C、D，已知点A（﹣6，0），B（﹣4，3），D（3，1），则点C的坐标为 　 　 ．
10．（3分）在平面直角坐标系中，点A、点B均在第二象限，点A的坐标为（a﹣b，﹣3a），点B的坐标为（3a﹣b，a+b+5）．已知点A'与点A关于x轴对称，点B'与点B关于y轴对称，△AA'B'是一个等腰直角三角形且∠A＝90°，则点A的坐标为　 　 ．
11．（3分）如图1，太原古县城始建于明洪武八年（1375年），城内历史建筑遗存众多，十字街格局清晰，沿袭了晋阳古城“城池凤翔余”的古老建筑格局，犹如一只头北尾南的凤凰，自古就有“凤凰城”的美誉．如图2，现将古县城的三个景点放在平面直角坐标系中，若县衙和城隍庙两个景点的坐标分别为（﹣3，2），（﹣1，﹣3），则魁星楼的坐标为 　 　 ．
12．（3分）在同一平面坐标系中，点A（﹣2，1），点B（2，3），那么点A与点B之间的距离是 　 　 ．
13．（3分）把点绕原点顺时针应转90°后，得到的点的坐标是 　 　 ．
14．（3分）如果点p（x，y）的坐标满足x+y＝xy，那么称点P为“美丽点”，若某个“美丽点”M到y轴的距离为2，则点M的坐标为 　 　 ．
15．（3分）已知平面直角坐标系中有三点A（2，2），B（4，6），C（8，﹣1），三点连线组成一个∠A＝90°的直角三角形，AB＝2，AC＝3，x轴把△ABC分成上下两部分，则上下两部分的面积之比为 　 　 ．
16．（3分）把点A（﹣a，a﹣1）先向右平移3个单位长度得到点B，再作点B关于y轴的对称点C，若点C在第二象限，则整数a的值为　 　 ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），，点C是线段AB上的一个动点，在AB的右侧作以BC为边的等边△BCD，若E为CD的中点，连接AE，当OE取最小值时，则AE＝　 　 ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知，B（0，﹣4），点C在x轴的正半轴上，且∠ABC＝45°，则点C的坐标为　 　 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共7小题，满分52分）
19．（6分）已知点P（﹣4a﹣5，3a+1）．
（1）若点P在y轴上，试求点P的坐标；
（2）若点M（3，7），且PM∥x轴，试求点P的坐标．
20．（6分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离中的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）点A（2，3）的“长距”等于 　 　 ，点B（﹣7，5）的“长距”等于 　 　 ．
（2）若C（﹣1，2k+3），D（6，k﹣2）两点为“等距点”，求k的值．
21．（6分）如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为（﹣3，﹣2），黑棋②的坐标为（﹣1，0）．
（1）请你根据题意，补充原点O和y轴；
（2）写出黑棋和白棋④的坐标；
（3）五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要使黑棋这一步下完后胜出，请直接写出这一步黑棋的坐标．
22．（8分）如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2）．
（1）填空：点A的坐标是 　 　 ，点B的坐标是 　 　 ；
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′．请写出△A′B′C′的三个顶点坐标；
（3）求△ABC的面积．
23．（8分）阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．
例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB，
根据上面材料完成下列各题：
（1）若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 　 　 ．
（2）若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．
（3）若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．
24．（8分）现有有序数对（a，b，c）和（x，y），如果ax+by＝c，则称（a，b，c）“关联”了（x，y），或（x，y）被（a，b，c）“关联”．
例如：5×3+7×（﹣2）＝1，则称（5，7，1）“关联”了（3，﹣2）．
（1）下列数对中被（2，1，3）“关联”的有　 　 ；
①（1，1），②（﹣4，6），③（﹣1，3），④（5，﹣7）．
（2）若（p，q）同时被（5，﹣9，1）和（﹣3，7，1）“关联”，请求出p，q；
（3）对于均不为0的a、b、c，数对（a，b，c）“关联”了（m，n）、（1，2）和（2，3），且（m，n）被（2027，﹣2026，﹣1）“关联”，试求数对（m，n）．
25．（10分）在平面直角坐标系中，对于点P和线段AB（点P不在线段AB上）给出如下定义：Q为线段AB上任意一点，如果线段PQ的长度有最小值，那么称这个最小值为点P与线段AB的“近距”；如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段AB的“远距”．
（1）如图1，点A（0，2），点B（0，﹣2），点P（1，0），则点P与线段AB的近距为　 　 ，点P与线段AB的远距为　 　 ；
（2）如图2，点A（﹣3，0），点B（8，0），点C（2，3）．
①求点C与线段AB的近距和远距；
②过点C作MN∥AB．若点P在直线MN上，当点P和线段AB的近距小于5时，求点P和线段AB的远距的最大值和最小值；
（3）点A（﹣2，﹣2），点B（4，6），点P为x轴正半轴上一点，若点P与线段AB的近距为8时，请直接写出点P与线段AB的远距．
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