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广东省汕头市龙湖区林百欣中学第10周摸底考试2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．）
1．（2025七下·龙湖期中）在（相邻两个1之间2的个数依次加1），3.14这些数中，无理数的个数为（　　）．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2025七下·龙湖期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·龙湖期中）如图，①，②，③，④可以判定的条件有（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
4．（2025七下·龙湖期中）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．8和9之间
5．（2025七下·龙湖期中）下列说法正确的个数（　　）
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平面内，互相垂直的两条直线一定相交；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离：⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2025七下·龙湖期中）将点P向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点，则点P的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·龙湖期中）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的余角度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·龙湖期中）已知一个正数的平方根分别为和，则这个正数是（　　）
A．25 B．16 C．8 D．2
9．（2025七下·龙湖期中）已知，，且，则的值等于（　　）
A． B． C．或 D．或
10．（2025七下·龙湖期中）《算法统宗》是我国古代数学著作，书中记载了这样一个问题，大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚一人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，那么下面列出的方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025七下·龙湖期中）命题“如果，那么”是　 　命题（填“真”或“假”）．
12．（2025七下·龙湖期中）如图，直线a，b相交于点O，如果，那么等于　 　．
13．（2025七下·龙湖期中）若为整数，且，是的小数部分，则　 　．
14．（2025七下·龙湖期中）在平面直角坐标系中，已知点，，且轴，则的值为 　 　．
15．（2025七下·龙湖期中）若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为　 　．
三、解答题（一）（本大题3小题，每题7分，共21分）
16．（2025七下·龙湖期中）计算：
17．（2025七下·龙湖期中）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根．
18．（2025七下·龙湖期中）请将下列证明过程补充完整：如图，已知，，，求证：．
证明：， ；
；
∴ （同位角相等，两直线平行）；
∴ ；
∵（已知）；
∴ ；
∴（ ）；
∴（ ）．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025七下·龙湖期中）（1）聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数．① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；
（2）“*”表示一种新运算，它的意义是，在（1）的条件下，求：．
20．（2025七下·龙湖期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点在网格线交点的三角形）的顶点A，C坐标分别为．
（1）请在网格平面内画出平面直角坐标系；
（2）将三角形平移得三角形，已知，请在网格中画出三角形；
（3）若点P在x轴上，且三角形与三角形的面积相等，请直接写出点P的坐标．
21．（2025七下·龙湖期中）【阅读理解】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：得：③
得：，所以，的值为．
【类比迁移】（1）已知求的值；
【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？
五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分）
22．（2025七下·龙湖期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且．
（1）直接写出点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　．
（2）若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的的时，点P停止运动，求点P的运动时间；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2025七下·龙湖期中）综合与探究
【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即．
【探索发现】
（1）如图1，之间的数量关系为______．
【深入探究】
（2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，在（相邻两个1之间2的个数依次加1），3.14这些数中，无理数有，，（相邻两个1之间2的个数依次加1），共3个，
故选：B．
【分析】本题考查有理数和无理数的定义辨析，解题的核心是明确无限不循环小数为无理数，整数和分数统称有理数。解题时先对可化简的数进行化简，是整数，属于有理数，再依次判断其余数的类型，找出其中无限不循环的小数，统计其个数即可得到答案。
2．【答案】B
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，故此选项计算不正确，不符合题意；
B、，故此选项计算正确，符合题意；
C、，故此选项计算不正确，不符合题意；
D、，故此选项计算不正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据算术平方根的性质化简计算即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①由于和是同位角，则①可判定；
②由于和是内错角，则②可判定；
③由于和既不是同位角、也不是内错角，则③不能判定；
④由于和是同旁内角，则④可判定；
即①②④可判定．
故选A．
【分析】本题考查平行线的判定定理的应用，解题的核心是识别截线与被截线形成的同位角、内错角、同旁内角。解题时依次分析每个条件中的角的位置关系，根据“同位角相等，两直线平行”“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”的定理，判断每个条件能否判定，排除不符合定理的条件即可。
4．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：当，时，
，
∵，
∴，
∴该微观粒子的能量的值在6和7之间．
故答案为：C．
【分析】先求出，再利用估算无理数大小的方法分析求解即可.
5．【答案】B
【知识点】垂线的概念；点到直线的距离；对顶角及其性质；平行公理
【解析】【解答】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该说法正确；
②平面内，互相垂直的两条直线一定相交，故该说法正确；
③有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故该说法不正确；
④直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故该说法不正确；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该说法不正确；
故正确的个数有2个，
故选：B．
【分析】本题考查垂线的性质、垂直的定义、对顶角的定义、点到直线的距离及平行公理，解题核心是准确掌握每个概念和定理的细节表述。解题时逐一分析每个说法，结合相关定义和定理判断正误，注意点到直线的距离是垂线段的长度，平行公理中要求“过直线外一点”，对顶角不仅有公共顶点且相等，还需两边互为反向延长线。
6．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将点P向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点，则点P的坐标是，即，
故选：D．
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，解题关键是掌握平移的逆推方法，即“左移减、右移加，上移加、下移减”的反向运算。解题时已知平移后的点坐标，求原点点坐标，需将横坐标做加3的运算，纵坐标做减6的运算，代入的坐标计算即可得到点的坐标。
7．【答案】A
【知识点】角的运算；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，，，
∴，
∵直尺的上下两边平行，
∴．
故的余角为
故选：A．
【分析】本题考查平行线的性质和余角的定义，解题关键是利用平角的性质求出与相等的角的度数，再结合余角定义计算。解题时先根据三角板的角度和平角为，求出直尺上方的未知角的度数，再利用“两直线平行，同位角相等”得出的度数，最后根据余角定义减去的度数得到结果。
8．【答案】A
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】解：根据题意知，
解得：，
∴，
∴这个正数是，
故选：A．
【分析】根据平方根的性质建立方程，解方程即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】绝对值的概念与意义；开平方（求平方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：已知，
，
∴当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
；
综上所述，的值等于或．
故选：C．
【分析】本题考查绝对值、平方根的计算及代数式求值，解题关键是先求出、的所有可能值，再根据的条件筛选出符合的组合。解题时由得，由得，再逐一验证、的组合是否满足，将符合条件的组合代入计算即可。
10．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意列方程组得，，
故选： C．
【分析】根据题意建立方程组即可求出答案.
11．【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：如果，那么，不成立，例如，但，
故命题“如果，那么”是假命题．
故答案为：假．
【分析】根据真假命题的概念即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用对顶角的定义及角的运算求出，再利用邻补角求出即可.
13．【答案】0
【知识点】无理数的估值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：∵，
，
的整数部分，小数部分，
，
故答案为：．
【分析】本题考查无理数的整数部分和小数部分的确定及实数的运算，解题关键是先估算出的整数部分，再表示出小数部分。解题时先确定介于和之间，得出，再根据“小数部分=原数-整数部分”得，将和代入代数式，结合绝对值的性质化简计算即可。
14．【答案】6
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：已知点，，且轴，
∴点的纵坐标相等，
∴，
故答案为：6 ．
【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，解题关键是掌握“平行于轴的直线上的点纵坐标相等”。解题时根据轴的特征，直接得出点和点的纵坐标相等，即。
15．【答案】6
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：解方程得，，
∵方程组的解为整数，为整数，
∴或，，，，，
∴或或或或或，
∴或或或或或，
∴或，
∴满足条件的所有整数的和为，
故答案为：．
【分析】本题考查含参数的二元一次方程组的求解及整数解的分析，解题关键是先消元求出方程组的解，再根据解为整数分析参数的取值。解题时用消元法将方程组相减消去，求出，再代入求出的表达式，根据、均为整数，确定的取值为、、，进而筛选出使为整数的的值，最后求和。
16．【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、立方根、算术平方根的化简，解题关键是分别化简各部分再进行加减运算。解题时先根据绝对值的性质，因为，所以，再化简立方根、算术平方根，最后将化简后的结果代入原式进行加减计算。
17．【答案】解：∵的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，∴，，，
解得：，
即，则16的平方根是，
∴的平方根是．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查平方根、立方根的定义及无理数的整数部分估算，解题关键是根据平方根和立方根的定义列方程求出、，再估算出的值。解题时由的平方根是得，解方程求；由的立方根是2得，代入求；再估算介于和之间，得，最后代入求出的值，再求其平方根。
18．【答案】证明：∵，（已知），
∴（垂线的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵（已知），
∴（等量代换）；
∴，（内错角相等，两直线平行）；
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：已知；垂线的定义；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】本题考查平行线的判定定理和性质的综合应用，解题关键是由垂直得平行线，再利用角的等量代换推出新的平行线，最后根据平行线的性质得结论。解题时先根据垂直的定义得出，由“同位角相等，两直线平行”证，再由“两直线平行，同位角相等”得，结合已知进行等量代换得，由“内错角相等，两直线平行”证，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”得出。
19．【答案】（1）①；②；③1；④；⑤0；⑥；
（2）∵，①，⑤0，
∴．
【知识点】实数的概念与分类；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：（1）填数如下：
即①；②；③1；④；⑤0；⑥；
【分析】本题考查实数的分类及新定义运算，解题关键是先根据实数的分类标准填写符合要求的数，再按照新运算的规则代入计算。
(1)根据实数分为整数和无理数等类别，正数与各类别的交叉关系，选择符合“非正非整”“正非整”“正整数”“正无理数”“零”“负无理数”的数依次填写；
(2)将(1)中①和⑤所填的数代入新运算公式，按照有理数的运算规则计算即可。
20．【答案】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示．
（2）解：∵，∴三角形向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到三角形，
如图，三角形即为所求．
（3）或
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（3）解：设点P的坐标为，
由题意得，点的坐标为，
∵三角形与三角形的面积相等，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．
【分析】本题考查平面直角坐标系的建立、图形的平移及三角形面积的计算，解题关键是根据已知点坐标确定坐标系，根据平移前后点的坐标变化确定平移规律，再结合面积相等列方程求点的坐标。
(1)根据点、的坐标，确定原点的位置，画出轴和轴；
(2)通过到的坐标变化，得出平移规律为“右移4个单位，下移3个单位”，按此规律画出、，连接得三角形；
(3)设，先求出三角形的面积，再根据三角形的面积公式，结合面积相等列方程求解。
（1）解：建立平面直角坐标系如图所示．
（2）解：∵，
∴三角形向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到三角形，
如图，三角形即为所求．
（3）解：设点P的坐标为，
由题意得，点的坐标为，
∵三角形与三角形的面积相等，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．
21．【答案】解：（1）依题意，，
∴得：，
∴；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，
根据题意得：，
∴得，
∴（元），
∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元．
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【分析】
（1）由阅读理解可得：方程组两方程左右两边相加，即可求解；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱．
22．【答案】（1）；
（2）解：设，则，
由题意知，，
，
解得，
（秒），
点P的运动时间为3秒；
（3）解：由（2）可知
设，则，，
，
解得或，
或
【知识点】点的坐标；偶次方的非负性；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：，
，，
解得，，
，．
故答案为：；；
【分析】本题考查非负数的性质、平面直角坐标系中长方形和三角形的面积计算，解题关键是利用非负数的性质求出点的坐标，再结合面积公式列方程求解。
(1)根据平方和绝对值的非负性，由得、，求出、，结合长方形的性质得、坐标；
(2)设，分别表示出三角形的面积和长方形的面积，根据面积的数量关系列方程求出，再结合速度求出运动时间；
(3)由(2)得，设，表示出三角形的面积，结合其与长方形面积相等列方程，求解即可得到的坐标。
（1）解：，
，，
解得，，
，．
故答案为：；；
（2）解：设，则，
由题意知，，
，
解得，
（秒），
点P的运动时间为3秒；
（3）解：由（2）可知
设，则，，
，
解得或，
或
23．【答案】（1）；
（2）与之间的数量关系为，理由如下：
设，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
过点F作，
，
，
∴，，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：（1）如图所示，过O作，
，
，
∴，，
∴，
即；
【分析】本题考查平行线的性质和判定的综合探究，解题关键是通过作辅助线、设角的度数，结合平行线的性质进行角的等量代换和推导。
(1)过点作，由得，根据“两直线平行，内错角相等”得、，进而推导出角的和的关系；
(2)设，由邻补角得，再由得，结合求出，进而得出角的等量关系；
(3)过点作，由得，设，根据平行线的性质得，结合(2)的结论表示出和，再推导出的表达式，进而得出两者的数量关系。
1 / 1广东省汕头市龙湖区林百欣中学第10周摸底考试2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．）
1．（2025七下·龙湖期中）在（相邻两个1之间2的个数依次加1），3.14这些数中，无理数的个数为（　　）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，在（相邻两个1之间2的个数依次加1），3.14这些数中，无理数有，，（相邻两个1之间2的个数依次加1），共3个，
故选：B．
【分析】本题考查有理数和无理数的定义辨析，解题的核心是明确无限不循环小数为无理数，整数和分数统称有理数。解题时先对可化简的数进行化简，是整数，属于有理数，再依次判断其余数的类型，找出其中无限不循环的小数，统计其个数即可得到答案。
2．（2025七下·龙湖期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，故此选项计算不正确，不符合题意；
B、，故此选项计算正确，符合题意；
C、，故此选项计算不正确，不符合题意；
D、，故此选项计算不正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据算术平方根的性质化简计算即可求出答案.
3．（2025七下·龙湖期中）如图，①，②，③，④可以判定的条件有（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①由于和是同位角，则①可判定；
②由于和是内错角，则②可判定；
③由于和既不是同位角、也不是内错角，则③不能判定；
④由于和是同旁内角，则④可判定；
即①②④可判定．
故选A．
【分析】本题考查平行线的判定定理的应用，解题的核心是识别截线与被截线形成的同位角、内错角、同旁内角。解题时依次分析每个条件中的角的位置关系，根据“同位角相等，两直线平行”“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”的定理，判断每个条件能否判定，排除不符合定理的条件即可。
4．（2025七下·龙湖期中）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．8和9之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：当，时，
，
∵，
∴，
∴该微观粒子的能量的值在6和7之间．
故答案为：C．
【分析】先求出，再利用估算无理数大小的方法分析求解即可.
5．（2025七下·龙湖期中）下列说法正确的个数（　　）
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平面内，互相垂直的两条直线一定相交；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离：⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】垂线的概念；点到直线的距离；对顶角及其性质；平行公理
【解析】【解答】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该说法正确；
②平面内，互相垂直的两条直线一定相交，故该说法正确；
③有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故该说法不正确；
④直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故该说法不正确；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该说法不正确；
故正确的个数有2个，
故选：B．
【分析】本题考查垂线的性质、垂直的定义、对顶角的定义、点到直线的距离及平行公理，解题核心是准确掌握每个概念和定理的细节表述。解题时逐一分析每个说法，结合相关定义和定理判断正误，注意点到直线的距离是垂线段的长度，平行公理中要求“过直线外一点”，对顶角不仅有公共顶点且相等，还需两边互为反向延长线。
6．（2025七下·龙湖期中）将点P向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点，则点P的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将点P向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点，则点P的坐标是，即，
故选：D．
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，解题关键是掌握平移的逆推方法，即“左移减、右移加，上移加、下移减”的反向运算。解题时已知平移后的点坐标，求原点点坐标，需将横坐标做加3的运算，纵坐标做减6的运算，代入的坐标计算即可得到点的坐标。
7．（2025七下·龙湖期中）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的余角度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，，，
∴，
∵直尺的上下两边平行，
∴．
故的余角为
故选：A．
【分析】本题考查平行线的性质和余角的定义，解题关键是利用平角的性质求出与相等的角的度数，再结合余角定义计算。解题时先根据三角板的角度和平角为，求出直尺上方的未知角的度数，再利用“两直线平行，同位角相等”得出的度数，最后根据余角定义减去的度数得到结果。
8．（2025七下·龙湖期中）已知一个正数的平方根分别为和，则这个正数是（　　）
A．25 B．16 C．8 D．2
【答案】A
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】解：根据题意知，
解得：，
∴，
∴这个正数是，
故选：A．
【分析】根据平方根的性质建立方程，解方程即可求出答案.
9．（2025七下·龙湖期中）已知，，且，则的值等于（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】绝对值的概念与意义；开平方（求平方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：已知，
，
∴当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
；
综上所述，的值等于或．
故选：C．
【分析】本题考查绝对值、平方根的计算及代数式求值，解题关键是先求出、的所有可能值，再根据的条件筛选出符合的组合。解题时由得，由得，再逐一验证、的组合是否满足，将符合条件的组合代入计算即可。
10．（2025七下·龙湖期中）《算法统宗》是我国古代数学著作，书中记载了这样一个问题，大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚一人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，那么下面列出的方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意列方程组得，，
故选： C．
【分析】根据题意建立方程组即可求出答案.
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025七下·龙湖期中）命题“如果，那么”是　 　命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：如果，那么，不成立，例如，但，
故命题“如果，那么”是假命题．
故答案为：假．
【分析】根据真假命题的概念即可求出答案.
12．（2025七下·龙湖期中）如图，直线a，b相交于点O，如果，那么等于　 　．
【答案】
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用对顶角的定义及角的运算求出，再利用邻补角求出即可.
13．（2025七下·龙湖期中）若为整数，且，是的小数部分，则　 　．
【答案】0
【知识点】无理数的估值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：∵，
，
的整数部分，小数部分，
，
故答案为：．
【分析】本题考查无理数的整数部分和小数部分的确定及实数的运算，解题关键是先估算出的整数部分，再表示出小数部分。解题时先确定介于和之间，得出，再根据“小数部分=原数-整数部分”得，将和代入代数式，结合绝对值的性质化简计算即可。
14．（2025七下·龙湖期中）在平面直角坐标系中，已知点，，且轴，则的值为 　 　．
【答案】6
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：已知点，，且轴，
∴点的纵坐标相等，
∴，
故答案为：6 ．
【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，解题关键是掌握“平行于轴的直线上的点纵坐标相等”。解题时根据轴的特征，直接得出点和点的纵坐标相等，即。
15．（2025七下·龙湖期中）若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为　 　．
【答案】6
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：解方程得，，
∵方程组的解为整数，为整数，
∴或，，，，，
∴或或或或或，
∴或或或或或，
∴或，
∴满足条件的所有整数的和为，
故答案为：．
【分析】本题考查含参数的二元一次方程组的求解及整数解的分析，解题关键是先消元求出方程组的解，再根据解为整数分析参数的取值。解题时用消元法将方程组相减消去，求出，再代入求出的表达式，根据、均为整数，确定的取值为、、，进而筛选出使为整数的的值，最后求和。
三、解答题（一）（本大题3小题，每题7分，共21分）
16．（2025七下·龙湖期中）计算：
【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、立方根、算术平方根的化简，解题关键是分别化简各部分再进行加减运算。解题时先根据绝对值的性质，因为，所以，再化简立方根、算术平方根，最后将化简后的结果代入原式进行加减计算。
17．（2025七下·龙湖期中）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根．
【答案】解：∵的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，∴，，，
解得：，
即，则16的平方根是，
∴的平方根是．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查平方根、立方根的定义及无理数的整数部分估算，解题关键是根据平方根和立方根的定义列方程求出、，再估算出的值。解题时由的平方根是得，解方程求；由的立方根是2得，代入求；再估算介于和之间，得，最后代入求出的值，再求其平方根。
18．（2025七下·龙湖期中）请将下列证明过程补充完整：如图，已知，，，求证：．
证明：， ；
；
∴ （同位角相等，两直线平行）；
∴ ；
∵（已知）；
∴ ；
∴（ ）；
∴（ ）．
【答案】证明：∵，（已知），
∴（垂线的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵（已知），
∴（等量代换）；
∴，（内错角相等，两直线平行）；
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：已知；垂线的定义；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】本题考查平行线的判定定理和性质的综合应用，解题关键是由垂直得平行线，再利用角的等量代换推出新的平行线，最后根据平行线的性质得结论。解题时先根据垂直的定义得出，由“同位角相等，两直线平行”证，再由“两直线平行，同位角相等”得，结合已知进行等量代换得，由“内错角相等，两直线平行”证，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”得出。
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025七下·龙湖期中）（1）聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数．① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；
（2）“*”表示一种新运算，它的意义是，在（1）的条件下，求：．
【答案】（1）①；②；③1；④；⑤0；⑥；
（2）∵，①，⑤0，
∴．
【知识点】实数的概念与分类；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：（1）填数如下：
即①；②；③1；④；⑤0；⑥；
【分析】本题考查实数的分类及新定义运算，解题关键是先根据实数的分类标准填写符合要求的数，再按照新运算的规则代入计算。
(1)根据实数分为整数和无理数等类别，正数与各类别的交叉关系，选择符合“非正非整”“正非整”“正整数”“正无理数”“零”“负无理数”的数依次填写；
(2)将(1)中①和⑤所填的数代入新运算公式，按照有理数的运算规则计算即可。
20．（2025七下·龙湖期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点在网格线交点的三角形）的顶点A，C坐标分别为．
（1）请在网格平面内画出平面直角坐标系；
（2）将三角形平移得三角形，已知，请在网格中画出三角形；
（3）若点P在x轴上，且三角形与三角形的面积相等，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示．
（2）解：∵，∴三角形向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到三角形，
如图，三角形即为所求．
（3）或
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（3）解：设点P的坐标为，
由题意得，点的坐标为，
∵三角形与三角形的面积相等，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．
【分析】本题考查平面直角坐标系的建立、图形的平移及三角形面积的计算，解题关键是根据已知点坐标确定坐标系，根据平移前后点的坐标变化确定平移规律，再结合面积相等列方程求点的坐标。
(1)根据点、的坐标，确定原点的位置，画出轴和轴；
(2)通过到的坐标变化，得出平移规律为“右移4个单位，下移3个单位”，按此规律画出、，连接得三角形；
(3)设，先求出三角形的面积，再根据三角形的面积公式，结合面积相等列方程求解。
（1）解：建立平面直角坐标系如图所示．
（2）解：∵，
∴三角形向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到三角形，
如图，三角形即为所求．
（3）解：设点P的坐标为，
由题意得，点的坐标为，
∵三角形与三角形的面积相等，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．
21．（2025七下·龙湖期中）【阅读理解】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：得：③
得：，所以，的值为．
【类比迁移】（1）已知求的值；
【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？
【答案】解：（1）依题意，，
∴得：，
∴；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，
根据题意得：，
∴得，
∴（元），
∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元．
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【分析】
（1）由阅读理解可得：方程组两方程左右两边相加，即可求解；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱．
五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分）
22．（2025七下·龙湖期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且．
（1）直接写出点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　．
（2）若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的的时，点P停止运动，求点P的运动时间；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：设，则，
由题意知，，
，
解得，
（秒），
点P的运动时间为3秒；
（3）解：由（2）可知
设，则，，
，
解得或，
或
【知识点】点的坐标；偶次方的非负性；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：，
，，
解得，，
，．
故答案为：；；
【分析】本题考查非负数的性质、平面直角坐标系中长方形和三角形的面积计算，解题关键是利用非负数的性质求出点的坐标，再结合面积公式列方程求解。
(1)根据平方和绝对值的非负性，由得、，求出、，结合长方形的性质得、坐标；
(2)设，分别表示出三角形的面积和长方形的面积，根据面积的数量关系列方程求出，再结合速度求出运动时间；
(3)由(2)得，设，表示出三角形的面积，结合其与长方形面积相等列方程，求解即可得到的坐标。
（1）解：，
，，
解得，，
，．
故答案为：；；
（2）解：设，则，
由题意知，，
，
解得，
（秒），
点P的运动时间为3秒；
（3）解：由（2）可知
设，则，，
，
解得或，
或
23．（2025七下·龙湖期中）综合与探究
【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即．
【探索发现】
（1）如图1，之间的数量关系为______．
【深入探究】
（2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系．
【答案】（1）；
（2）与之间的数量关系为，理由如下：
设，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
过点F作，
，
，
∴，，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：（1）如图所示，过O作，
，
，
∴，，
∴，
即；
【分析】本题考查平行线的性质和判定的综合探究，解题关键是通过作辅助线、设角的度数，结合平行线的性质进行角的等量代换和推导。
(1)过点作，由得，根据“两直线平行，内错角相等”得、，进而推导出角的和的关系；
(2)设，由邻补角得，再由得，结合求出，进而得出角的等量关系；
(3)过点作，由得，设，根据平行线的性质得，结合(2)的结论表示出和，再推导出的表达式，进而得出两者的数量关系。
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