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广东省汕头市金平区汕头市汕樟中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（2025八下·金平期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·金平期中）下列运算，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·金平期中）E，F，G，H分别为矩形ABCD四边的中点，则四边形EFGH一定是（　　）
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．非特殊的平行四边形
4．（2025八下·金平期中）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．AB//DC，AD//BC B．AB=DC，AD=BC
C．AO=CO，BO=DO D．AB//DC，AD=BC
5．（2025八下·金平期中）下列命题的逆命题成立的是（　　）．
A．全等三角形的对应角相等
B．若三角形的三边满足，则该三角形是直角三角形
C．对顶角相等
D．同位角互补，两直线平行
6．（2025八下·金平期中）如图，在数轴上点A表示的实数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·金平期中）如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点A，B，C是展开后小正方形的顶点，连接AB，BC，则∠ABC的大小是（　　）
A．60° B．50° C．45° D．30°
8．（2025八下·金平期中）矩形中，，，分别平分，，交于点E，F，射线，交于点G，若，则的长是（　　）
A．6或7 B．8或9 C．7或9 D．6或9
9．（2025八下·金平期中）将一副直角三角尺和一把宽度为的直尺按如图所示的方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿，这两个三角尺的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则的长是（　　）．
A． B．2 C． D．
10．（2025八下·金平期中）如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿折线运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点，连接，有下列结论：①四边形是矩形；②当点E在边上，且时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；④当点E在边上，且时，是等边三角形．其中正确的结论有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2025八下·金平期中）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是　 　 ．
12．（2025八下·金平期中）菱形的边长为5，则它的周长为　 　．
13．（2025八下·金平期中）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简＋|a－2|的结果为　 　．
14．（2025八下·金平期中）如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点处用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了　 　米（的长）（假设绳子是直的）．
15．（2025八下·金平期中）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　 　cm．
三、解答题（一）（每题8分，共24分）
16．（2025八下·金平期中）计算
（1）
（2）﹣
17．（2025八下·金平期中）化简求值：，其中
18．（2025八下·金平期中）如图，在四边形中，，E，F，M分别是，，的中点，连接，，求证：．
四、解答题（二）（每题9分，共27分）
19．（2025八下·金平期中）如图，甲乙两船从港口A 同时出发，甲船以16海里/时的速度向南偏东 50°航行，乙船向北偏东 40°航行，3小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛，若C，B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？
20．（2025八下·金平期中）如图，已知某开发区有一块四边形空地，经测量，，，，，
（1）求这块空地的面积；
（2）现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？
21．（2025八下·金平期中）如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B'处．AB'与CD交于点E．
（1）求证：△AED≌△CEB'；
（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．
五、解答题（三）（每题12分，共24分）
22．（2025八下·金平期中）如图所示，在矩形中，cm，cm，点P从A开始沿边以4m/s的速度运动，点Q从C开始沿边以2m/s的速度运动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s．
（1）当时，求P，Q两点之间的距离．
（2）当为何值时，线段与互相平分
（3）当为何值时，四边形的面积为矩形面积的．
23．（2025八下·金平期中）如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H．
（1）证明：△ADG≌△CDE；
（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明；
（3）连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式是最简二次根式，故A符合题意；
B、，被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、，被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
2．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A. 与 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B.3与 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C. ，此选项错误；
D. ，此选项计算正确.
故答案为：D.
【分析】（1）由同类二次根式的定义可知与不是同类二次根式，所以不能合并；
（2）同理可知不能合并；
（3）由二次根式的除法法则可得原式=；
（4）由二次根式的乘法法则可得原式=.
3．【答案】B
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】如图，
连结AC，BD.
、H、F、G分别是AB、AD、BC、DC中点，
， ，
.
四边形EFGH是菱形；
所以B选项是正确.
【分析】根据菱形判定条件即可求出结果.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断解题.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；勾股定理；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的两三角形全等，此逆命题为假命题；
B、若三角形的三边满足，则该三角形是直角三角形的逆命题为若a、b、c为直角三角形的三边，则满足，此逆命题为真命题；
C、对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题；
D、两条直线平行，同位角互补的逆命题为同位角互补，两条直线平行，此逆命题为假命题．
故选：B．
【分析】分别写出四个命题的逆命题，再根据全等三角形的性质、勾股定理、对顶角的定义、平行线的性质逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由勾股定理，得斜边的长为，
由圆的性质，得点A表示的数为，
故选：A．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接AC，由图可知∠ACB=90°，由勾股定理可得AC=BC=，则△ACB是一个直角等腰三角形，则∠ABC=45°，
故选择C.
【分析】本题考查正方体展开图、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是连接辅助线AC，构造直角三角形并计算边长，进而判断三角形的形状求角度。首先连接AC，根据正方体展开图的结构，结合棱长为1的条件，利用勾股定理分别计算AC和BC的长度，可得，同时能确定，因此为直角三角形；又因为直角三角形的两条直角边AC和BC相等，所以是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，其底角。
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
分两种情况：
①当点G在矩形内部时，如图所示：
则，
即，
解得：，
∴；
②当点G在矩形外部时，如图所示：
则，
∴，
∴；
综上所述，的长为7或9，
故选：C．
【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题需先利用矩形和角平分线的性质求出AE、DF的长度，再判定的形状求出EF，最后分点G在矩形内部、外部两种情况计算BC的长。由矩形的性质得，，结合BE平分，可得，因此是等腰直角三角形，，同理可得，；由，可判定为等腰直角三角形，根据勾股定理，代入，求出；再分两种情况，当G在矩形内部时，满足，代入数值可求AD；当G在矩形外部时，满足，代入数值求出AD，而矩形中，即可得BC的两个取值。
9．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】本题考查勾股定理、等腰直角三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是分别在两个直角三角形中求出AD和BD的长度，再通过线段的和差关系求AB。在中，，，可判定其为等腰直角三角形，直尺宽度，因此；在中，，则，根据含30°角的直角三角形的性质，对边是斜边的一半，可得，再利用勾股定理，求出；最后根据，代入数值计算即可得到AB的长度。
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，故①正确；
②由①可知，四边形是矩形，
∴，
∵O，F分别是，的中点，点在上，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴点E是的中点，故②正确；
③∵是的中位线，
∴，
∴当的值最大时，的值最大，
当点E与点D重合时，的值最大，此时，
∴线段长度的最大值是2，故③正确；
④当点E在边上，且时，，
∴不是等边三角形，故④错误．
综上所述，正确的结论有3个，
故选：C．
【分析】本题综合考查矩形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定，解题需逐一分析每个结论，结合相关定理进行推理验证。①中由，先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定ABCD是平行四边形，再由（），根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，判定结论①正确；②中O、F分别为AC、CE的中点，根据三角形中位线定理得，结合矩形和，推出，即E是AB中点，结论②正确；③中始终有，则OF的最大值取决于AE的最大值，当E与D重合时AE最长，此时，故最大值为2，结论③正确；④中根据三角形的外角性质，，不满足等边三角形“三个角都是60°”的判定条件，结论④错误。
11．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意可得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．【答案】20
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵菱形的四条边相等．
∴周长： ，
故答案为：20．
【分析】根据菱形的四边相等求解即可。
13．【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴得，a>2且a<5，
所以a-5<0，a-2>0，
原式=5-a+a-2=3．
故答案为：3
【分析】根据数轴上点的位置关系可得a>2且a<5，则a-5<0，a-2>0，再化简代数值即可求出答案.
14．【答案】9
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】在Rt△ABC中：∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米，
∴（米），
∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
答：船向岸边移动了9米．
故答案为：9．
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，解题的思路是分两次利用勾股定理，先求出初始时船到岸边的距离AB，再求出收绳后船到岸边的距离AD，最后通过线段差求出BD。首先在中，已知，，根据勾股定理求出AB的长度；再根据收绳速度和时间求出CD的长度为，在中，再次利用勾股定理求出AD的长度；最后由，代入数值计算即可。
15．【答案】15
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形，
过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，
则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
，，
，
，，
在△中，由勾股定理得：，
故答案为：15．
【分析】沿过的圆柱的高剪开，得出矩形，过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据边之间的关系可得CQ，A'Q，再根据勾股定理即可求出答案.
16．【答案】解：（1）原式＝+2
＝24+2；
（2）原式＝5+2+2﹣﹣
＝．
【知识点】二次根式的混合运算；完全平方式
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算法则和完全平方公式，运算时先算乘除/乘方，再算加减，同时注意将二次根式化为最简形式。
(1)中根据二次根式乘除运算法则，先计算，再将化为最简二次根式，最后合并同类二次根式；
(2)中先利用完全平方公式展开，得到，再去括号进行加减运算即可。
17．【答案】解：原式
当时
原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将分式除法变成分式乘法并对能因式分解的分子或分母进行分解再约分，再进行通分进行加减计算，最后把已知数据代入求出答案即可.
18．【答案】证明：，F分别是，的中点，
是的中位线，
，
，M是的中点，
，
．
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
19．【答案】解：根据题意，得∠CAB=180°-40°-50°=90°，
∵AB=16×3=48（海里），BC=60海里，
∴在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC=（海里）．
则乙船的速度是36÷3=12海里/时．
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】根据补角可得∠CAB，再根据勾股定理可得AC，再根据速度=路程÷速度即可求出答案.
20．【答案】（1）解：连接AC，如图：
在中，，
在中，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴
；
（2）解：∵计划在该空地上种植草皮，每平方米草皮需200元，∴在该空地上种植草皮共需费用为：（元）．
【知识点】勾股定理；有理数乘法的实际应用；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的综合应用，解题的关键是连接AC，将四边形分割为两个三角形，先判定直角三角形，再分别计算面积求差得到四边形面积，再根据单价计算总价。
(1)中先连接AC，在中，利用勾股定理求出；再根据勾股定理的逆定理，验证，判定是直角三角形且；最后用求出四边形ABCD的面积，其中三角形面积用计算。
(2)中根据“总价=单价×面积”，用四边形的面积乘以每平方米草皮的价格200元，即可求出总费用。
（1）解：连接AC，如图：
在中，，
在中，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴
；
（2）解：∵计划在该空地上种植草皮，每平方米草皮需200元，
∴在该空地上种植草皮共需费用为：（元）．
21．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D
∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠
∴BC＝B'C，∠B＝∠B'
∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC
∴△ADE≌△B'EC
（2）四边形AECF是菱形
∵△ADE≌△B'EC
∴AE＝CE
∵AE＝CE，EF⊥AC
∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF
∴AF＝CF
∵CD∥AB
∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF
∴∠AEF＝∠EFA
∴AF＝AE
∴AF＝AE＝CE＝CF
∴四边形AECF是菱形
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D，再根据折叠性质可得BC＝B'C，∠B＝∠B'，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得AE＝CE，根据垂直平分线判定定理可得EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF，则AF＝CF，根据直线平行性质可得∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF，则∠AEF＝∠EFA，根据等角对等边可得AF＝AE，再根据菱形判定定理即可求出答案.
22．【答案】（1）解：连接PQ，过D点P作PE⊥DQ于点E，如图所示：
∵AB=24cm，BC=10cm，点P从A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，点QA从C开始沿CD边2cm/s的速度移动，
∴当t=2秒时，QC=4cm，AP=8cm，
∴DQ=24-QC=20cm，则EQ=12cm，
∴(cm)，
∴P，Q两点之间的距离cm．
（2）解：∵AP=4t，DQ=24-2t，
当线段AQ与DP互相平分，则四边形APQD为矩形时，
则AP=DQ，即4t=24-2t，
解得：t=4，
故t为4s时，线段AQ与DP互相平分．
（3）解：∵P在AB上，
∴
，
，
，
解得：，
∴t为3秒时，四边形APQD的面积为矩形面积的．
【知识点】矩形的性质；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接PQ，过D点P作PE⊥DQ于点E，根据点的运动可得当t=2秒时，QC=4cm，AP=8cm，根据边之间的关系可得EQ，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）当线段AQ与DP互相平分，则四边形APQD为矩形时，则AP=DQ，根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据矩形，梯形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：连接PQ，过D点P作PE⊥DQ于点E，如图所示：
∵AB=24cm，BC=10cm，点P从A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，点QA从C开始沿CD边2cm/s的速度移动，
∴当t=2秒时，QC=4cm，AP=8cm，
∴DQ=24-QC=20cm，则EQ=12cm，
∴(cm)，
∴P，Q两点之间的距离cm．
（2）∵AP=4t，DQ=24-2t，
当线段AQ与DP互相平分，则四边形APQD为矩形时，
则AP=DQ，即4t=24-2t，
解得：t=4，
故t为4s时，线段AQ与DP互相平分．
（3）∵P在AB上，
∴
，
，
，
解得：，
∴t为3秒时，四边形APQD的面积为矩形面积的．
23．【答案】（1）∵四边形ABCD与DEFG都是正方形，∴AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADC+∠CDG=∠EDG+∠CDG，
∴∠ADG=∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
（2）AG=CE，AG⊥CE，
∵△ADG≌△CDE，
∴AG=CE，∠DAG=∠DCE，
∵∠DAG+∠AMD=90°，∠AMD=∠CMG，
∴∠DCE+∠CMG=90°，
∴∠CHA=90°，
∴AG⊥CE；
（3）△ADE的面积=△CDG的面积，
作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延长线于N，则∠DPG=∠DNE=90°，
∵∠GDE=90°，
∴∠EDN+∠GDN=90°，
∵∠PDG+∠GDN=90°，
∴∠EDN=∠PDG，
∵DE=DG，
∴△DPG≌△DNE，
∴PG=EN，
∵△ADE的面积=，△CDG的面积=，
∴△ADE的面积=△CDG的面积.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；旋转全等模型
【解析】【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直的判定以及三角形面积公式的应用。
(1)中由正方形的性质得、、，根据角的和差得，即，再根据SAS即可判定。
(2)中由，根据全等三角形“对应边相等”得，根据“对应角相等”得；再结合对顶角和，利用三角形内角和得，进而推出，即。
(3)中分别作于P，交AD延长线于N，得；由得，结合，得，再结合，根据AAS判定，得；最后根据三角形面积公式结合，，结合正方形，推出两个三角形面积相等。
1 / 1广东省汕头市金平区汕头市汕樟中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（2025八下·金平期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式是最简二次根式，故A符合题意；
B、，被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、，被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
2．（2025八下·金平期中）下列运算，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A. 与 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B.3与 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C. ，此选项错误；
D. ，此选项计算正确.
故答案为：D.
【分析】（1）由同类二次根式的定义可知与不是同类二次根式，所以不能合并；
（2）同理可知不能合并；
（3）由二次根式的除法法则可得原式=；
（4）由二次根式的乘法法则可得原式=.
3．（2025八下·金平期中）E，F，G，H分别为矩形ABCD四边的中点，则四边形EFGH一定是（　　）
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．非特殊的平行四边形
【答案】B
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】如图，
连结AC，BD.
、H、F、G分别是AB、AD、BC、DC中点，
， ，
.
四边形EFGH是菱形；
所以B选项是正确.
【分析】根据菱形判定条件即可求出结果.
4．（2025八下·金平期中）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．AB//DC，AD//BC B．AB=DC，AD=BC
C．AO=CO，BO=DO D．AB//DC，AD=BC
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断解题.
5．（2025八下·金平期中）下列命题的逆命题成立的是（　　）．
A．全等三角形的对应角相等
B．若三角形的三边满足，则该三角形是直角三角形
C．对顶角相等
D．同位角互补，两直线平行
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；勾股定理；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的两三角形全等，此逆命题为假命题；
B、若三角形的三边满足，则该三角形是直角三角形的逆命题为若a、b、c为直角三角形的三边，则满足，此逆命题为真命题；
C、对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题；
D、两条直线平行，同位角互补的逆命题为同位角互补，两条直线平行，此逆命题为假命题．
故选：B．
【分析】分别写出四个命题的逆命题，再根据全等三角形的性质、勾股定理、对顶角的定义、平行线的性质逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025八下·金平期中）如图，在数轴上点A表示的实数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由勾股定理，得斜边的长为，
由圆的性质，得点A表示的数为，
故选：A．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
7．（2025八下·金平期中）如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点A，B，C是展开后小正方形的顶点，连接AB，BC，则∠ABC的大小是（　　）
A．60° B．50° C．45° D．30°
【答案】C
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接AC，由图可知∠ACB=90°，由勾股定理可得AC=BC=，则△ACB是一个直角等腰三角形，则∠ABC=45°，
故选择C.
【分析】本题考查正方体展开图、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是连接辅助线AC，构造直角三角形并计算边长，进而判断三角形的形状求角度。首先连接AC，根据正方体展开图的结构，结合棱长为1的条件，利用勾股定理分别计算AC和BC的长度，可得，同时能确定，因此为直角三角形；又因为直角三角形的两条直角边AC和BC相等，所以是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，其底角。
8．（2025八下·金平期中）矩形中，，，分别平分，，交于点E，F，射线，交于点G，若，则的长是（　　）
A．6或7 B．8或9 C．7或9 D．6或9
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
分两种情况：
①当点G在矩形内部时，如图所示：
则，
即，
解得：，
∴；
②当点G在矩形外部时，如图所示：
则，
∴，
∴；
综上所述，的长为7或9，
故选：C．
【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题需先利用矩形和角平分线的性质求出AE、DF的长度，再判定的形状求出EF，最后分点G在矩形内部、外部两种情况计算BC的长。由矩形的性质得，，结合BE平分，可得，因此是等腰直角三角形，，同理可得，；由，可判定为等腰直角三角形，根据勾股定理，代入，求出；再分两种情况，当G在矩形内部时，满足，代入数值可求AD；当G在矩形外部时，满足，代入数值求出AD，而矩形中，即可得BC的两个取值。
9．（2025八下·金平期中）将一副直角三角尺和一把宽度为的直尺按如图所示的方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿，这两个三角尺的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则的长是（　　）．
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】本题考查勾股定理、等腰直角三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是分别在两个直角三角形中求出AD和BD的长度，再通过线段的和差关系求AB。在中，，，可判定其为等腰直角三角形，直尺宽度，因此；在中，，则，根据含30°角的直角三角形的性质，对边是斜边的一半，可得，再利用勾股定理，求出；最后根据，代入数值计算即可得到AB的长度。
10．（2025八下·金平期中）如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿折线运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点，连接，有下列结论：①四边形是矩形；②当点E在边上，且时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；④当点E在边上，且时，是等边三角形．其中正确的结论有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，故①正确；
②由①可知，四边形是矩形，
∴，
∵O，F分别是，的中点，点在上，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴点E是的中点，故②正确；
③∵是的中位线，
∴，
∴当的值最大时，的值最大，
当点E与点D重合时，的值最大，此时，
∴线段长度的最大值是2，故③正确；
④当点E在边上，且时，，
∴不是等边三角形，故④错误．
综上所述，正确的结论有3个，
故选：C．
【分析】本题综合考查矩形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定，解题需逐一分析每个结论，结合相关定理进行推理验证。①中由，先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定ABCD是平行四边形，再由（），根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，判定结论①正确；②中O、F分别为AC、CE的中点，根据三角形中位线定理得，结合矩形和，推出，即E是AB中点，结论②正确；③中始终有，则OF的最大值取决于AE的最大值，当E与D重合时AE最长，此时，故最大值为2，结论③正确；④中根据三角形的外角性质，，不满足等边三角形“三个角都是60°”的判定条件，结论④错误。
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2025八下·金平期中）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是　 　 ．
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意可得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．（2025八下·金平期中）菱形的边长为5，则它的周长为　 　．
【答案】20
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵菱形的四条边相等．
∴周长： ，
故答案为：20．
【分析】根据菱形的四边相等求解即可。
13．（2025八下·金平期中）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简＋|a－2|的结果为　 　．
【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴得，a>2且a<5，
所以a-5<0，a-2>0，
原式=5-a+a-2=3．
故答案为：3
【分析】根据数轴上点的位置关系可得a>2且a<5，则a-5<0，a-2>0，再化简代数值即可求出答案.
14．（2025八下·金平期中）如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点处用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了　 　米（的长）（假设绳子是直的）．
【答案】9
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】在Rt△ABC中：∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米，
∴（米），
∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
答：船向岸边移动了9米．
故答案为：9．
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，解题的思路是分两次利用勾股定理，先求出初始时船到岸边的距离AB，再求出收绳后船到岸边的距离AD，最后通过线段差求出BD。首先在中，已知，，根据勾股定理求出AB的长度；再根据收绳速度和时间求出CD的长度为，在中，再次利用勾股定理求出AD的长度；最后由，代入数值计算即可。
15．（2025八下·金平期中）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　 　cm．
【答案】15
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形，
过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，
则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
，，
，
，，
在△中，由勾股定理得：，
故答案为：15．
【分析】沿过的圆柱的高剪开，得出矩形，过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据边之间的关系可得CQ，A'Q，再根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题（一）（每题8分，共24分）
16．（2025八下·金平期中）计算
（1）
（2）﹣
【答案】解：（1）原式＝+2
＝24+2；
（2）原式＝5+2+2﹣﹣
＝．
【知识点】二次根式的混合运算；完全平方式
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算法则和完全平方公式，运算时先算乘除/乘方，再算加减，同时注意将二次根式化为最简形式。
(1)中根据二次根式乘除运算法则，先计算，再将化为最简二次根式，最后合并同类二次根式；
(2)中先利用完全平方公式展开，得到，再去括号进行加减运算即可。
17．（2025八下·金平期中）化简求值：，其中
【答案】解：原式
当时
原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将分式除法变成分式乘法并对能因式分解的分子或分母进行分解再约分，再进行通分进行加减计算，最后把已知数据代入求出答案即可.
18．（2025八下·金平期中）如图，在四边形中，，E，F，M分别是，，的中点，连接，，求证：．
【答案】证明：，F分别是，的中点，
是的中位线，
，
，M是的中点，
，
．
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
四、解答题（二）（每题9分，共27分）
19．（2025八下·金平期中）如图，甲乙两船从港口A 同时出发，甲船以16海里/时的速度向南偏东 50°航行，乙船向北偏东 40°航行，3小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛，若C，B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？
【答案】解：根据题意，得∠CAB=180°-40°-50°=90°，
∵AB=16×3=48（海里），BC=60海里，
∴在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC=（海里）．
则乙船的速度是36÷3=12海里/时．
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】根据补角可得∠CAB，再根据勾股定理可得AC，再根据速度=路程÷速度即可求出答案.
20．（2025八下·金平期中）如图，已知某开发区有一块四边形空地，经测量，，，，，
（1）求这块空地的面积；
（2）现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？
【答案】（1）解：连接AC，如图：
在中，，
在中，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴
；
（2）解：∵计划在该空地上种植草皮，每平方米草皮需200元，∴在该空地上种植草皮共需费用为：（元）．
【知识点】勾股定理；有理数乘法的实际应用；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的综合应用，解题的关键是连接AC，将四边形分割为两个三角形，先判定直角三角形，再分别计算面积求差得到四边形面积，再根据单价计算总价。
(1)中先连接AC，在中，利用勾股定理求出；再根据勾股定理的逆定理，验证，判定是直角三角形且；最后用求出四边形ABCD的面积，其中三角形面积用计算。
(2)中根据“总价=单价×面积”，用四边形的面积乘以每平方米草皮的价格200元，即可求出总费用。
（1）解：连接AC，如图：
在中，，
在中，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴
；
（2）解：∵计划在该空地上种植草皮，每平方米草皮需200元，
∴在该空地上种植草皮共需费用为：（元）．
21．（2025八下·金平期中）如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B'处．AB'与CD交于点E．
（1）求证：△AED≌△CEB'；
（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D
∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠
∴BC＝B'C，∠B＝∠B'
∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC
∴△ADE≌△B'EC
（2）四边形AECF是菱形
∵△ADE≌△B'EC
∴AE＝CE
∵AE＝CE，EF⊥AC
∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF
∴AF＝CF
∵CD∥AB
∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF
∴∠AEF＝∠EFA
∴AF＝AE
∴AF＝AE＝CE＝CF
∴四边形AECF是菱形
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D，再根据折叠性质可得BC＝B'C，∠B＝∠B'，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得AE＝CE，根据垂直平分线判定定理可得EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF，则AF＝CF，根据直线平行性质可得∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF，则∠AEF＝∠EFA，根据等角对等边可得AF＝AE，再根据菱形判定定理即可求出答案.
五、解答题（三）（每题12分，共24分）
22．（2025八下·金平期中）如图所示，在矩形中，cm，cm，点P从A开始沿边以4m/s的速度运动，点Q从C开始沿边以2m/s的速度运动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s．
（1）当时，求P，Q两点之间的距离．
（2）当为何值时，线段与互相平分
（3）当为何值时，四边形的面积为矩形面积的．
【答案】（1）解：连接PQ，过D点P作PE⊥DQ于点E，如图所示：
∵AB=24cm，BC=10cm，点P从A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，点QA从C开始沿CD边2cm/s的速度移动，
∴当t=2秒时，QC=4cm，AP=8cm，
∴DQ=24-QC=20cm，则EQ=12cm，
∴(cm)，
∴P，Q两点之间的距离cm．
（2）解：∵AP=4t，DQ=24-2t，
当线段AQ与DP互相平分，则四边形APQD为矩形时，
则AP=DQ，即4t=24-2t，
解得：t=4，
故t为4s时，线段AQ与DP互相平分．
（3）解：∵P在AB上，
∴
，
，
，
解得：，
∴t为3秒时，四边形APQD的面积为矩形面积的．
【知识点】矩形的性质；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接PQ，过D点P作PE⊥DQ于点E，根据点的运动可得当t=2秒时，QC=4cm，AP=8cm，根据边之间的关系可得EQ，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）当线段AQ与DP互相平分，则四边形APQD为矩形时，则AP=DQ，根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据矩形，梯形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：连接PQ，过D点P作PE⊥DQ于点E，如图所示：
∵AB=24cm，BC=10cm，点P从A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，点QA从C开始沿CD边2cm/s的速度移动，
∴当t=2秒时，QC=4cm，AP=8cm，
∴DQ=24-QC=20cm，则EQ=12cm，
∴(cm)，
∴P，Q两点之间的距离cm．
（2）∵AP=4t，DQ=24-2t，
当线段AQ与DP互相平分，则四边形APQD为矩形时，
则AP=DQ，即4t=24-2t，
解得：t=4，
故t为4s时，线段AQ与DP互相平分．
（3）∵P在AB上，
∴
，
，
，
解得：，
∴t为3秒时，四边形APQD的面积为矩形面积的．
23．（2025八下·金平期中）如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H．
（1）证明：△ADG≌△CDE；
（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明；
（3）连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）∵四边形ABCD与DEFG都是正方形，∴AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADC+∠CDG=∠EDG+∠CDG，
∴∠ADG=∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
（2）AG=CE，AG⊥CE，
∵△ADG≌△CDE，
∴AG=CE，∠DAG=∠DCE，
∵∠DAG+∠AMD=90°，∠AMD=∠CMG，
∴∠DCE+∠CMG=90°，
∴∠CHA=90°，
∴AG⊥CE；
（3）△ADE的面积=△CDG的面积，
作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延长线于N，则∠DPG=∠DNE=90°，
∵∠GDE=90°，
∴∠EDN+∠GDN=90°，
∵∠PDG+∠GDN=90°，
∴∠EDN=∠PDG，
∵DE=DG，
∴△DPG≌△DNE，
∴PG=EN，
∵△ADE的面积=，△CDG的面积=，
∴△ADE的面积=△CDG的面积.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；旋转全等模型
【解析】【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直的判定以及三角形面积公式的应用。
(1)中由正方形的性质得、、，根据角的和差得，即，再根据SAS即可判定。
(2)中由，根据全等三角形“对应边相等”得，根据“对应角相等”得；再结合对顶角和，利用三角形内角和得，进而推出，即。
(3)中分别作于P，交AD延长线于N，得；由得，结合，得，再结合，根据AAS判定，得；最后根据三角形面积公式结合，，结合正方形，推出两个三角形面积相等。
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