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广西壮族自治区桂林市龙胜各族自治县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1．（2025八下·龙胜各族期中）央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是中心对称图形，不符合题意；
B、图案不是中心对称图形，符合题意；
C、图案不是中心对称图形，不符合题意；
D、图案不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的意义，对四个图形逐一分析，再作出判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．（2025八下·龙胜各族期中）以下列长度的三条线段为边，能围成一个直角三角形的是（　　）
A．4，3，6 B．5，6，12 C．6，8，10 D．7，20，25
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，故A选项不能组成直角三角形，
∵，故B选项不能组成直角三角形，
∵，故C选项能组成直角三角形，
∵，故D选项不能组成直角三角形，
故选：C．
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025八下·龙胜各族期中）在中，与的度数之比为，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
与的度数之比为，
，
，
，
故选：D．
【分析】根据平行四边形性质可得，，则，再根据题意即可求出答案.
4．（2025八下·龙胜各族期中）如图，已知，，垂足为点D，则下列说法错误的是（　　）
A．与互为余角 B．与互为余角
C．与互为余角 D．与互为余角
【答案】D
【知识点】直角三角形的性质；余角
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
故与互为余角，与互为余角，故A、B正确，不符合题意；
∵，
∴，，
故与互为余角，与互为余角，故C正确，不符合题意，D不正确，符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查直角三角形两锐角互余的性质，先根据，利用直角三角形两锐角互余得出、，再结合得到和，再次利用直角三角形两锐角互余得出、，依次验证每个选项的角度关系即可判断对错。
5．（2025八下·龙胜各族期中）如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D作于E，
∵在中，，是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，即点D到的距离为，
故选：B．
【分析】本题考查角平分线的性质，要求点D到的距离，需先过点D作于E，此时的长度即为所求距离，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，得出，代入的数值即可求解。
6．（2025八下·龙胜各族期中）在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学实践活动中，四个活动小组分别拟定了如下的方案，其中正确的是（　　）
A．测量一组对角是否都为直角 B．测量三个内角是否都为直角
C．测量两条对角线是否相等 D．测量两组对边是否分别相等
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A．测量一组对角是否都为直角，无法判断四边形门框是矩形，不符合题意；
B．测量三个内角是否都为直角，根据有三个角是直角的四边形为矩形，可以判断四边形门框是矩形，符合题意；
C．测量两条对角线是否相等，无法判断四边形门框是矩形，不符合题意；
D．测量两组对边是否分别相等，无法判断四边形门框是矩形，不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查矩形的判定定理，需结合矩形的各类判定方法逐一分析选项，一组对角为直角无法判定四边形是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形，两组对边分别相等只能判定是平行四边形，而根据矩形判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形，据此可确定正确方案。
7．（2025八下·龙胜各族期中）如图，已知平行四边形框架，现将木条固定不动，向右推动框架至，整个变化过程中，下列说法不正确的是（　　）
A．四边形由平行四边形变成矩形
B．点B，D之间的距离不变
C．四边形的面积变大
D．四边形的周长不变
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、根据根据有一个角的平行四边形是矩形，该选项正确，不符合题意，
B、向右推动框架，点B，D之间的距离变大，该选项不正确，符合题意，
C、四边形的高变大，面积变大，该选项正确，不符合题意，
D、四边形的周长不变，该选项正确，不符合题意，
故选：B．
【分析】本题考查平行四边形的不稳定性及矩形的判定与性质，先根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”判断选项A，再分析推动过程中，四边形的各边长度不变因此周长不变，底边不变但高逐渐增大因此面积变大，而点B、D的距离会随框架推动发生变化，依次验证各选项即可。
8．（2025八下·龙胜各族期中）如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（　　）
A．始终不变 B．不断变小
C．不断变大 D．先变小后变大
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，且点P为的中点，
∴为斜边上的中线，
∴，
∵梯子的长度不变，
∴P点和C点的距离始终不变．
故选：A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
9．（2025八下·龙胜各族期中）如图，在菱形中，，菱形的面积为，则其边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形的面积，，，
，
，，
在中，
，
菱形的边长为，
故选：A．
【分析】本题考查菱形的面积公式及勾股定理的应用，先根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即，代入和面积的数值求出对角线的长度，再根据菱形的对角线互相垂直且平分，得出、，最后在中，利用勾股定理计算出菱形的边长。
10．（2025八下·龙胜各族期中）在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
对这两种画法的描述中正确的是（　　）
A．小赵同学作图判定的依据是
B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C．小刘同学作图判定的依据是
D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；
小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为．
故选：A．
【分析】本题考查尺规作图与直角三角形全等的判定，先分析小赵的作图步骤，其先截取，再截取，在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等可判定全等，即依据HL；再分析小刘的作图步骤，其先截取，再截取，依据是SAS，结合全等判定定理逐一验证选项即可。
11．（2025八下·龙胜各族期中）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图其中分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点作的延长线于点，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】本题考查直角三角形中角的性质，要求上升的高度，需先过点C作的延长线于点E，此时，由可求出补角，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即，代入的长度即可求出。
12．（2025八下·龙胜各族期中）如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：中，
当和全等时，一定为直角三角形，
当点在上时，不能构成三角形；
当点在上时，如下图所示，
构成的不是直角三角形，此时和不全等；
当点在上时，如下图所示，
，
则有，
此时点运动的路程为，
运动的时间为；
当点在上时，如下图所示，
，
，
此时点运动的路程为，
运动的时间为，
综上所述，当和全等时，的值是或．
故选：D ．
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定及动点问题，先明确是直角三角形，因此全等的也必为直角三角形，先排除点M在、上的情况，再分点M在上和点M在上两种情况讨论，当点M在上时，由得，计算运动路程后求时间；当点M在上时，由得，计算总运动路程后求时间。
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025八下·龙胜各族期中）如图，，，要使得，若以“”为依据，需添加条件　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：，，
，
和是直角三角形，
和有公共直角边，
以“”为依据判定需要添加斜边相等，即，
故答案为：．
【分析】本题考查直角三角形全等的HL判定定理，由、可得和都是直角三角形，且为两个三角形的公共直角边，HL判定定理要求斜边和一条直角边对应相等，因此只需添加两个三角形的斜边相等，即即可。
14．（2025八下·龙胜各族期中）在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为　 　米．
【答案】300
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，周长为600米，分别为的中点，
则均为的中位线，
（米），
即水渠的总长为300米，
故答案为：300．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
15．（2025八下·龙胜各族期中）如图，在菱形中，，连接，则　 　度．
【答案】63
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵是菱形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
16．（2025八下·龙胜各族期中）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为 　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解： 把一张矩形纸片沿对角线折叠，BC＝9，CD＝3，
解得：
故答案为：
【分析】由矩形与轴对称的性质可证明 在Rt△ABF中，用勾股定理可得关于BF的方程，解方程求得BF的值， 然后用三角形的面积公式计算可求解．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（2025八下·龙胜各族期中）（1）求12边形内角和度数；
（2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n．
【答案】解：（1）由题意，得
（12-2）×180°=1800°；
（2）由题意得：
（n-2） 180°-360°=720°，
解得：n=8．
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【分析】（1）根据多边形内角和即可求出答案.
（2）根据多边形内角与外角建立方程，解方程即可求出答案.
18．（2025八下·龙胜各族期中）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
（1）画出向下平移3个单位后的△；
（2）画出关于点O的中心对称图形△；
（3）连接，请直接写出的长为___________．
【答案】（1）如下图所示：即为所求；
（2）如下图所示：即为所求；
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣中心对称；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（3），
故答案为：
【分析】本题考查平面直角坐标系中的平移作图、中心对称作图及勾股定理的应用。
(1)根据平移的性质，将的三个顶点分别向下平移3个单位，得到对应点、、，顺次连接即可；
(2)根据中心对称的性质，分别作出、、关于点的对称点、、，顺次连接即可；
(3)根据网格特点确定、的位置，构造以为斜边的直角三角形，利用勾股定理计算长度即可。
（1）如下图所示：即为所求；
（2）如下图所示：即为所求；
（3），
故答案为：
19．（2025八下·龙胜各族期中）如图，在中，的平分线交于E点，且，．
（1）求的周长；
（2）连结，若，求的面积．
【答案】（1）解：在平行四边形中，，
，
平分，
，
，
，
，
平行四边形的周长为：．
（2）解：，，，
，
为直角三角形，即，
平行四边形的面积．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的性质及勾股定理的逆定理。
(1)根据平行四边形对边平行得，进而推出，结合角平分线的性质，得到，因此，求出平行四边形的邻边长后，根据周长公式计算即可；
(2)先求出的长度，再验证，根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，即，再根据平行四边形面积公式计算面积。
（1）解：在平行四边形中，，
，
平分，
，
，
，
，
平行四边形的周长为：．
（2）解：，，，
，
为直角三角形，即，
平行四边形的面积．
20．（2025八下·龙胜各族期中）如图，的中线交于点，点分别是的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，当时，判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：连接，
∵是的中线，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
同理可证，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，证明如下：由（）知，四边形是平行四边形，
∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定及菱形的判定。
(1)先连接，根据三角形中位线定理，是的中位线，因此且，同理可得且，进而推出且，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明；
(2)由(1)知四边形是平行四边形，根据三角形中位线定理，是的中位线，因此，结合及，推出，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可判断形状。
（1）证明：连接，
∵是的中线，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
同理可证，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，证明如下：
由（）知，四边形是平行四边形，
∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
21．（2025八下·龙胜各族期中）阅读理解：
课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，_________，_________；
（2）若第一个数用字母（为奇数，且）表示，则后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，，……于是他很快表示出了第二个数为，则用含的代数式表示第三个数为_________．
（3）用所学知识说明（2）中用表示的三个数是勾股数．
【答案】（1）60，61
（2）
（3）解：∵，，∴，
又∵a为奇数，且a≥3，
∴由a，，三个数组成的数是勾股数．
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理的逆定理；勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
∴11，60，61；
故答案为：60，61；
（2）解：第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为；
则用含a的代数式表示第三个数为；
故答案为：；
【分析】本题考查勾股数的规律探究及勾股定理的逆定理。
(1)分析已知勾股数的规律，勾为奇数，股为勾的平方减1的一半，弦为勾的平方加1的一半，将代入规律即可写出下一组勾股数；
(2)根据已知规律，弦比股大1，因此用含的代数式表示第三个数只需在第二个数的基础上加1即可；
(3)要证明三个数是勾股数，需验证，分别展开等式左右两边，证明两边相等即可。
（1）解：∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
∴11，60，61；
故答案为：60，61；
（2）解：第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为；
则用含a的代数式表示第三个数为；
故答案为：；
（3）解：∵，，
∴，
又∵a为奇数，且a≥3，
∴由a，，三个数组成的数是勾股数．
22．（2025八下·龙胜各族期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．
（1）用含有的代数式表示：　 　，　 　，　 　；
（2）当为何值时，四边形是矩形？
（3）四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；；
（2）解：∵在四边形中，，，∴当时，四边形是矩形，
∴，
解得，
即当时，四边形是矩形；
（3）解：四边形不能成为菱形，理由如下：若四边形是菱形，则，
∴，
解得，
∴，
过点作于，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形不能成为菱形．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：由题意得，，，
∵，，
∴，，
故答案为：，，；
【分析】本题考查列代数式、矩形的判定、菱形的性质及勾股定理的应用。
(1)根据路程=速度×时间，得出、，再结合、的长度，通过线段的和差关系表示出和；
(2)由、，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，当时四边形是矩形，据此列方程求解即可；
(3)假设四边形是菱形，则，列方程求出的值，再求出的长度，过点D作于E，构造矩形求出的长度，利用勾股定理求出的长度，比较和的长度，若不相等则假设不成立。
（1）解：由题意得，，，
∵，，
∴，，
故答案为：，，；
（2）解：∵在四边形中，，，
∴当时，四边形是矩形，
∴，
解得，
即当时，四边形是矩形；
（3）解：四边形不能成为菱形，理由如下：
若四边形是菱形，则，
∴，
解得，
∴，
过点作于，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形不能成为菱形．
23．（2025八下·龙胜各族期中）已知在矩形ABCD中，，，四边形EFGH的三个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上，．
（1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求的面积；
（2）如图2，当四边形EFGH为菱形，且时，求的面积（用含a的代数式表述）；
（3）在（2）的条件下，当的面积等于6时，求AH的长．
【答案】（1）解：如图1，过点G作于M，
在正方形中，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
同理可证．
∴，
∴，
∴；
（2）如图2，过点G作交的延长线于M，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵当，则，∴．
在中，
．
在中，
，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】本题考查矩形、正方形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用。
(1)过点G作于M，利用正方形的性质推出，证明，同理证明，得出，再求出的长度，根据三角形面积公式计算即可；
(2)过点G作交的延长线于M，连接，利用菱形和平行线的性质推出，证明，得出，结合求出的长度，再根据三角形面积公式表示出面积；
(3)根据的面积为6列方程求出的值，在中利用勾股定理求出的长度，结合菱形的性质，在中利用勾股定理求出的长度。
（1）解：如图1，过点G作于M，
在正方形中，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
同理可证．
∴，
∴，
∴；
（2）如图2，过点G作交的延长线于M，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵当，则，
∴．
在中，
．
在中，
，
1 / 1广西壮族自治区桂林市龙胜各族自治县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1．（2025八下·龙胜各族期中）央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·龙胜各族期中）以下列长度的三条线段为边，能围成一个直角三角形的是（　　）
A．4，3，6 B．5，6，12 C．6，8，10 D．7，20，25
3．（2025八下·龙胜各族期中）在中，与的度数之比为，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·龙胜各族期中）如图，已知，，垂足为点D，则下列说法错误的是（　　）
A．与互为余角 B．与互为余角
C．与互为余角 D．与互为余角
5．（2025八下·龙胜各族期中）如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·龙胜各族期中）在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学实践活动中，四个活动小组分别拟定了如下的方案，其中正确的是（　　）
A．测量一组对角是否都为直角 B．测量三个内角是否都为直角
C．测量两条对角线是否相等 D．测量两组对边是否分别相等
7．（2025八下·龙胜各族期中）如图，已知平行四边形框架，现将木条固定不动，向右推动框架至，整个变化过程中，下列说法不正确的是（　　）
A．四边形由平行四边形变成矩形
B．点B，D之间的距离不变
C．四边形的面积变大
D．四边形的周长不变
8．（2025八下·龙胜各族期中）如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（　　）
A．始终不变 B．不断变小
C．不断变大 D．先变小后变大
9．（2025八下·龙胜各族期中）如图，在菱形中，，菱形的面积为，则其边长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·龙胜各族期中）在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
对这两种画法的描述中正确的是（　　）
A．小赵同学作图判定的依据是
B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C．小刘同学作图判定的依据是
D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
11．（2025八下·龙胜各族期中）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图其中分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025八下·龙胜各族期中）如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（　　）
A． B． C．或 D．或
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025八下·龙胜各族期中）如图，，，要使得，若以“”为依据，需添加条件　 　．
14．（2025八下·龙胜各族期中）在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为　 　米．
15．（2025八下·龙胜各族期中）如图，在菱形中，，连接，则　 　度．
16．（2025八下·龙胜各族期中）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为 　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（2025八下·龙胜各族期中）（1）求12边形内角和度数；
（2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n．
18．（2025八下·龙胜各族期中）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
（1）画出向下平移3个单位后的△；
（2）画出关于点O的中心对称图形△；
（3）连接，请直接写出的长为___________．
19．（2025八下·龙胜各族期中）如图，在中，的平分线交于E点，且，．
（1）求的周长；
（2）连结，若，求的面积．
20．（2025八下·龙胜各族期中）如图，的中线交于点，点分别是的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，当时，判断四边形的形状，并证明你的结论．
21．（2025八下·龙胜各族期中）阅读理解：
课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，_________，_________；
（2）若第一个数用字母（为奇数，且）表示，则后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，，……于是他很快表示出了第二个数为，则用含的代数式表示第三个数为_________．
（3）用所学知识说明（2）中用表示的三个数是勾股数．
22．（2025八下·龙胜各族期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．
（1）用含有的代数式表示：　 　，　 　，　 　；
（2）当为何值时，四边形是矩形？
（3）四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
23．（2025八下·龙胜各族期中）已知在矩形ABCD中，，，四边形EFGH的三个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上，．
（1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求的面积；
（2）如图2，当四边形EFGH为菱形，且时，求的面积（用含a的代数式表述）；
（3）在（2）的条件下，当的面积等于6时，求AH的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是中心对称图形，不符合题意；
B、图案不是中心对称图形，符合题意；
C、图案不是中心对称图形，不符合题意；
D、图案不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的意义，对四个图形逐一分析，再作出判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，故A选项不能组成直角三角形，
∵，故B选项不能组成直角三角形，
∵，故C选项能组成直角三角形，
∵，故D选项不能组成直角三角形，
故选：C．
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
与的度数之比为，
，
，
，
故选：D．
【分析】根据平行四边形性质可得，，则，再根据题意即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】直角三角形的性质；余角
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
故与互为余角，与互为余角，故A、B正确，不符合题意；
∵，
∴，，
故与互为余角，与互为余角，故C正确，不符合题意，D不正确，符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查直角三角形两锐角互余的性质，先根据，利用直角三角形两锐角互余得出、，再结合得到和，再次利用直角三角形两锐角互余得出、，依次验证每个选项的角度关系即可判断对错。
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D作于E，
∵在中，，是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，即点D到的距离为，
故选：B．
【分析】本题考查角平分线的性质，要求点D到的距离，需先过点D作于E，此时的长度即为所求距离，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，得出，代入的数值即可求解。
6．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A．测量一组对角是否都为直角，无法判断四边形门框是矩形，不符合题意；
B．测量三个内角是否都为直角，根据有三个角是直角的四边形为矩形，可以判断四边形门框是矩形，符合题意；
C．测量两条对角线是否相等，无法判断四边形门框是矩形，不符合题意；
D．测量两组对边是否分别相等，无法判断四边形门框是矩形，不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查矩形的判定定理，需结合矩形的各类判定方法逐一分析选项，一组对角为直角无法判定四边形是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形，两组对边分别相等只能判定是平行四边形，而根据矩形判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形，据此可确定正确方案。
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、根据根据有一个角的平行四边形是矩形，该选项正确，不符合题意，
B、向右推动框架，点B，D之间的距离变大，该选项不正确，符合题意，
C、四边形的高变大，面积变大，该选项正确，不符合题意，
D、四边形的周长不变，该选项正确，不符合题意，
故选：B．
【分析】本题考查平行四边形的不稳定性及矩形的判定与性质，先根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”判断选项A，再分析推动过程中，四边形的各边长度不变因此周长不变，底边不变但高逐渐增大因此面积变大，而点B、D的距离会随框架推动发生变化，依次验证各选项即可。
8．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，且点P为的中点，
∴为斜边上的中线，
∴，
∵梯子的长度不变，
∴P点和C点的距离始终不变．
故选：A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形的面积，，，
，
，，
在中，
，
菱形的边长为，
故选：A．
【分析】本题考查菱形的面积公式及勾股定理的应用，先根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即，代入和面积的数值求出对角线的长度，再根据菱形的对角线互相垂直且平分，得出、，最后在中，利用勾股定理计算出菱形的边长。
10．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；
小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为．
故选：A．
【分析】本题考查尺规作图与直角三角形全等的判定，先分析小赵的作图步骤，其先截取，再截取，在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等可判定全等，即依据HL；再分析小刘的作图步骤，其先截取，再截取，依据是SAS，结合全等判定定理逐一验证选项即可。
11．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点作的延长线于点，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】本题考查直角三角形中角的性质，要求上升的高度，需先过点C作的延长线于点E，此时，由可求出补角，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即，代入的长度即可求出。
12．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：中，
当和全等时，一定为直角三角形，
当点在上时，不能构成三角形；
当点在上时，如下图所示，
构成的不是直角三角形，此时和不全等；
当点在上时，如下图所示，
，
则有，
此时点运动的路程为，
运动的时间为；
当点在上时，如下图所示，
，
，
此时点运动的路程为，
运动的时间为，
综上所述，当和全等时，的值是或．
故选：D ．
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定及动点问题，先明确是直角三角形，因此全等的也必为直角三角形，先排除点M在、上的情况，再分点M在上和点M在上两种情况讨论，当点M在上时，由得，计算运动路程后求时间；当点M在上时，由得，计算总运动路程后求时间。
13．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：，，
，
和是直角三角形，
和有公共直角边，
以“”为依据判定需要添加斜边相等，即，
故答案为：．
【分析】本题考查直角三角形全等的HL判定定理，由、可得和都是直角三角形，且为两个三角形的公共直角边，HL判定定理要求斜边和一条直角边对应相等，因此只需添加两个三角形的斜边相等，即即可。
14．【答案】300
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，周长为600米，分别为的中点，
则均为的中位线，
（米），
即水渠的总长为300米，
故答案为：300．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
15．【答案】63
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵是菱形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解： 把一张矩形纸片沿对角线折叠，BC＝9，CD＝3，
解得：
故答案为：
【分析】由矩形与轴对称的性质可证明 在Rt△ABF中，用勾股定理可得关于BF的方程，解方程求得BF的值， 然后用三角形的面积公式计算可求解．
17．【答案】解：（1）由题意，得
（12-2）×180°=1800°；
（2）由题意得：
（n-2） 180°-360°=720°，
解得：n=8．
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【分析】（1）根据多边形内角和即可求出答案.
（2）根据多边形内角与外角建立方程，解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）如下图所示：即为所求；
（2）如下图所示：即为所求；
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣中心对称；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（3），
故答案为：
【分析】本题考查平面直角坐标系中的平移作图、中心对称作图及勾股定理的应用。
(1)根据平移的性质，将的三个顶点分别向下平移3个单位，得到对应点、、，顺次连接即可；
(2)根据中心对称的性质，分别作出、、关于点的对称点、、，顺次连接即可；
(3)根据网格特点确定、的位置，构造以为斜边的直角三角形，利用勾股定理计算长度即可。
（1）如下图所示：即为所求；
（2）如下图所示：即为所求；
（3），
故答案为：
19．【答案】（1）解：在平行四边形中，，
，
平分，
，
，
，
，
平行四边形的周长为：．
（2）解：，，，
，
为直角三角形，即，
平行四边形的面积．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的性质及勾股定理的逆定理。
(1)根据平行四边形对边平行得，进而推出，结合角平分线的性质，得到，因此，求出平行四边形的邻边长后，根据周长公式计算即可；
(2)先求出的长度，再验证，根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，即，再根据平行四边形面积公式计算面积。
（1）解：在平行四边形中，，
，
平分，
，
，
，
，
平行四边形的周长为：．
（2）解：，，，
，
为直角三角形，即，
平行四边形的面积．
20．【答案】（1）证明：连接，
∵是的中线，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
同理可证，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，证明如下：由（）知，四边形是平行四边形，
∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定及菱形的判定。
(1)先连接，根据三角形中位线定理，是的中位线，因此且，同理可得且，进而推出且，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明；
(2)由(1)知四边形是平行四边形，根据三角形中位线定理，是的中位线，因此，结合及，推出，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可判断形状。
（1）证明：连接，
∵是的中线，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
同理可证，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，证明如下：
由（）知，四边形是平行四边形，
∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
21．【答案】（1）60，61
（2）
（3）解：∵，，∴，
又∵a为奇数，且a≥3，
∴由a，，三个数组成的数是勾股数．
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理的逆定理；勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
∴11，60，61；
故答案为：60，61；
（2）解：第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为；
则用含a的代数式表示第三个数为；
故答案为：；
【分析】本题考查勾股数的规律探究及勾股定理的逆定理。
(1)分析已知勾股数的规律，勾为奇数，股为勾的平方减1的一半，弦为勾的平方加1的一半，将代入规律即可写出下一组勾股数；
(2)根据已知规律，弦比股大1，因此用含的代数式表示第三个数只需在第二个数的基础上加1即可；
(3)要证明三个数是勾股数，需验证，分别展开等式左右两边，证明两边相等即可。
（1）解：∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
∴11，60，61；
故答案为：60，61；
（2）解：第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为；
则用含a的代数式表示第三个数为；
故答案为：；
（3）解：∵，，
∴，
又∵a为奇数，且a≥3，
∴由a，，三个数组成的数是勾股数．
22．【答案】（1）；；
（2）解：∵在四边形中，，，∴当时，四边形是矩形，
∴，
解得，
即当时，四边形是矩形；
（3）解：四边形不能成为菱形，理由如下：若四边形是菱形，则，
∴，
解得，
∴，
过点作于，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形不能成为菱形．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：由题意得，，，
∵，，
∴，，
故答案为：，，；
【分析】本题考查列代数式、矩形的判定、菱形的性质及勾股定理的应用。
(1)根据路程=速度×时间，得出、，再结合、的长度，通过线段的和差关系表示出和；
(2)由、，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，当时四边形是矩形，据此列方程求解即可；
(3)假设四边形是菱形，则，列方程求出的值，再求出的长度，过点D作于E，构造矩形求出的长度，利用勾股定理求出的长度，比较和的长度，若不相等则假设不成立。
（1）解：由题意得，，，
∵，，
∴，，
故答案为：，，；
（2）解：∵在四边形中，，，
∴当时，四边形是矩形，
∴，
解得，
即当时，四边形是矩形；
（3）解：四边形不能成为菱形，理由如下：
若四边形是菱形，则，
∴，
解得，
∴，
过点作于，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形不能成为菱形．
23．【答案】（1）解：如图1，过点G作于M，
在正方形中，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
同理可证．
∴，
∴，
∴；
（2）如图2，过点G作交的延长线于M，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵当，则，∴．
在中，
．
在中，
，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】本题考查矩形、正方形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用。
(1)过点G作于M，利用正方形的性质推出，证明，同理证明，得出，再求出的长度，根据三角形面积公式计算即可；
(2)过点G作交的延长线于M，连接，利用菱形和平行线的性质推出，证明，得出，结合求出的长度，再根据三角形面积公式表示出面积；
(3)根据的面积为6列方程求出的值，在中利用勾股定理求出的长度，结合菱形的性质，在中利用勾股定理求出的长度。
（1）解：如图1，过点G作于M，
在正方形中，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
同理可证．
∴，
∴，
∴；
（2）如图2，过点G作交的延长线于M，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵当，则，
∴．
在中，
．
在中，
，
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