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广东省惠州市仲恺高新区2024-2025学年八年级数学下学期四月份联考试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八下·期中）下列各组数据中，是勾股数的是（　　）
A．8、10、6 B．1、1、
C．、、 D．5、12、14
【答案】A
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：，故选项A符合题意；
不是正整数，故选项B不符合题意；
、、均不是整数，故选项C不符合题意；
，故选项D不符合题意；
故选A．
【分析】本题考查勾股数的定义与判定方法，勾股数需要同时满足两个核心条件，一是所有数均为正整数，二是较小两个数的平方和等于最大数的平方，据此依次对四个选项进行验证，先判断数的类型是否为正整数，再验证是否满足的等式关系。
2．（2025八下·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：不属于最简二次根式，故选项A不符合题意；
不属于最简二次根式，故选项B不符合题意；
属于最简二次根式，故选项C符合题意；
不属于最简二次根式，故选项D不符合题意；
故选C．
【分析】本题考查最简二次根式的定义及判定，最简二次根式需满足被开方数不含分母，且被开方数中没有能开得尽方的因数或因式，解题时将各选项的二次根式通过化简、分母有理化等方式转化为最简形式，再判断是否符合最简二次根式的两个特征。
3．（2025八下·期中）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是（　　）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，DO=BO，AO=CO，
∴AO=DO，
∵∠AOD=60°，
∴△OAD是等边三角形．
∴OA=AD=2．
∴AC=2OA=2×2=4．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质可证得AO=DO，BD=AC，继而可根据等边三角形的判定定理得△AOD为等边三角形，求得AO的长，继而可得AC长.
4．（2025八下·期中）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A. 与 不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；
B. 与 不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；
C. ，正确，故此选项符合题意；
D、 ，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则对各项进行计算即可得到结果.
5．（2025八下·期中）下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、，不能与合并，故本选项不符合题意；
B、，能与合并，故本选项符合题意；
C、，不能与合并，故本选项不符合题意；
D、，不能与合并，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查同类二次根式的概念及二次根式的化简，能相互合并的二次根式为同类二次根式，其核心特征是化简后的被开方数相同，因此先将各选项中的二次根式化为最简二次根式，再判断其被开方数是否与的被开方数3一致。
6．（2025八下·期中）如图，为了测量一个人工湖湖畔A、B两点之间的距离，实践小组先在湖边地面上确定点O，再用卷尺分别确定、的中点C、D，最后用卷尺量出，则A、B之间的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点C、D分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：D．
【分析】本题考查三角形中位线定理的实际应用，根据中点的定义，点、分别为、的中点，可确定是的中位线，利用三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半的性质，可得，将代入即可求出的长度。
7．（2025八下·期中）如图，菱形中，，，则菱形的周长为（　　）
A．48 B．40 C．24 D．20
【答案】D
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：，四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∴菱形的周长为，
故选：D．
【分析】根据菱形性质可得，，根据勾股定理可得AB，再根据菱形周长即可求出答案.
8．（2025八下·期中）如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（　　）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，点M是斜边的中点，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查正方形的面积公式和直角三角形斜边上的中线的性质，根据正方形的面积公式（为边长），由可求出边长的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，可得，代入的数值即可计算出的长度。
9．（2025八下·期中）如图，在 中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点作射线交于点，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图得：平分，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线定义可得，再根据平行四边形性质可得，，，则，即，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．（2025八下·期中）有一个面积为的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变成“枝繁叶茂”的“勾股树”．请你算出“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由勾股定理可知，“生长”次，“生长”出的两个正方形面积和原来正方形的面积，所有正方形的面积和为；
“生长”次，“生长”出的四个正方形面积和第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积和为；
，
经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是；
经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是，
故选：C．
【分析】本题考查勾股定理的应用和数字规律的探究，根据勾股定理，直角三角形两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，因此每次“生长”出的所有小正方形的面积和等于上一次中作为斜边的正方形的面积，即每一次生长后，所有正方形的面积和比上一次增加1，由此可总结出“生长”次后面积和为的规律，将代入规律式即可求解。
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025八下·期中）若代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：要代数式有意义，
则即，
x的取值范围是，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．（2025八下·期中）已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的平方是　 　．
【答案】25或7
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：①当两边长3和4是直角边时，则第三边的平方是，
②当是斜边时，则第三边的平方是．
故答案为：25或7．
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论，题目中未明确给出3和4是直角边还是斜边，因此需分两种情况计算：第一种情况3和4均为直角边，利用勾股定理直接计算第三边的平方；第二种情况4为斜边、3为直角边，利用勾股定理的变形公式计算第三边的平方。
13．（2025八下·期中）如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为　 　．
【答案】8
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：，
四边形为平行四边形，
，
，
，
点和点到直线的距离相等，
设点到的距离为，
的面积为，
，
解得，
四边形的面积．
故答案为：8．
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质以及三角形、平行四边形的面积公式，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，得到，进而求出的长度，由可知点和点到直线的距离相等，设该距离为，根据三角形面积公式求出，再利用平行四边形面积公式计算其面积。
14．（2025八下·期中）如图，已知四边形为平行四边形，则点B的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∵点向左平移个单位得到点，
∴点向左平移个单位得到点，
∴，即：；
故答案为：．
【分析】本题考查平行四边形的性质和平面直角坐标系中的平移规律，平行四边形的对边平行且相等，因此和的平移规律完全相同，先分析点到点的横坐标、纵坐标变化，再将点按照相反的平移规律移动，即可得到点的坐标。
15．（2025八下·期中）已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝　 　．
【答案】2+
【知识点】平行线的性质；正方形的性质；等腰直角三角形；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图作FH//BC交BD于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°
∵FH//BC，
∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，
∴∠OHF＝∠OFH，
∴OH＝OF＝1，FH＝，
∵BF平分∠OBC，
∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，
∴BH＝FH＝，
∴OB＝OC＝1+，
∴BC＝OB＝2+．
故答案为：2+．
【分析】如图作FH//BC交BD于点H，根据正方形性质可得∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°，再根据直线平行性质可得∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，则∠OHF＝∠OFH，根据勾股定理可得FH，根据角平分线定义可得∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，则BH＝FH＝，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025八下·期中）计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式混合运算遵循“先乘除，后加减”的运算顺序，计算时需将所有二次根式化为最简形式，进而即可求解；
（2）先化简二次根式和计算零指数幂，进而根据二次根式的加减运算即可求解。
（1）解：原式．
（2）解：原式．
17．（2025八下·期中）如图，正方形网格中有，点、、都在格点上，每个小方格的边长为．
（1）求出、、的长；
（2）求证：．
【答案】（1）解：，，；
（2）解：由（1）知，，，，
，，
，
．
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理在网格图形中的应用。
(1)中利用网格的直角特征，将、、分别置于三个直角三角形中，根据勾股定理分别计算出三边的长度；
(2)中验证的计算结果是否等于，若满足该等式，根据勾股定理的逆定理可直接判定为直角三角形，且。
（1）解：，，；
（2）解：由（1）知，，，，
，，
，
．
18．（2025八下·期中）如图，在平行四边形中，是对角线，、是直线上的点，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】解：连接，交于点O，∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质与判定定理，解题的关键是作辅助线连接交于点，先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到、，结合已知条件，通过等式的基本性质推出，即，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理，即可证明四边形为平行四边形。
四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025八下·期中）已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）∵，，∴，，
∴．
（2）∵，，∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的化简求值，以及平方差公式、完全平方公式的灵活应用，直接将、代入代数式展开计算较为繁琐，因此采用公式变形简化运算；
(1)中先求出和的值，再利用平方差公式代入计算；
(2)中先求出和的值，将代数式变形为，再代入数值计算。
（1）∵，，
∴，，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴．
20．（2025八下·期中）如图，我校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，给八年级的学生分别种“番茄”和“土豆”．经测量，，，，，，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：∵，，，∴；
（2）解：∵，，，，，，∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴
答：四边形的面积为18．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理以及图形面积的计算。
(1)中在中，直接利用勾股定理的变形公式，代入数值即可求出的长度；
(2)中先通过线段的和差求出、的长度，再验证是否等于，判定为直角三角形，最后用面积差法计算四边形的面积。
（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：∵，，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴
答：四边形的面积为18．
21．（2025八下·期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，交CB延长线于E，交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若，，求OB的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC
∴∠AEC=90°，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：四边形ABCD是菱形，则AB=BC=AD=5，线段AC，BD互相垂直平分，
Rt△AEB中，由勾股定理得BE=，
Rt△AEC中，CE=CB＋BE=5＋3=8，AC=，
Rt△AOB中，AO=AC=，OB=，
故OB的长为：
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查菱形的性质、矩形的判定以及勾股定理的综合应用。
(1)中先利用菱形对边平行的性质，结合，判定四边形为平行四边形，再根据得到，利用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”的判定定理证明；
(2)中由菱形四条边相等的性质得，在中用勾股定理求出的长度，进而得到，再在中求出的长度，结合菱形对角线互相平分的性质得，最后在中利用勾股定理求出的长度。
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC
∴∠AEC=90°，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：四边形ABCD是菱形，则AB=BC=AD=5，线段AC，BD互相垂直平分，
Rt△AEB中，由勾股定理得BE=，
Rt△AEC中，CE=CB＋BE=5＋3=8，AC=，
Rt△AOB中，AO=AC=，OB=，
故OB的长为：
五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2025八下·期中）如图，在中，，，，求的面积．
（1）古希腊的几何学家海伦在他的数学著作《度量》一书中给出了海伦公式：如果一个三角形的三条边的长为a，b，c，记，那么三角形的面积为．请你运用海伦公式求出的面积；
（2）“日新”学习小组合作交流后，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
过点A作于点D，设，用含x的代数式表示 → 根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x → 利用勾股定理求出的长，再计算的面积
【答案】（1）解：由题意知：，，，∴，
∴，，，
∴；
（2）解：如图所示，作，
，
设，则，
在中，
，
即，
在中，
，
即，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】二次根式的实际应用；解一元一次方程；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】本题考查海伦公式的应用以及勾股定理在求三角形面积中的应用。
(1)中先根据海伦公式的要求，将三角形三边长度代入计算出的值，再将、、、代入海伦公式，进行二次根式的乘法和开方运算即可；
(2)中设，则，分别在和中利用勾股定理表示出，建立关于的一元一次方程，求解出后求出的长度，再根据三角形面积公式计算面积。
（1）解：由题意知：，，，
∴，
∴，，，
∴；
（2）解：如图所示，作，
，
设，则，
在中，
，
即，
在中，
，
即，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．（2025八下·期中）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
【答案】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，
即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC=BD．
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=AC，FG=BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】（3）证明：如图，设AC与BD交于点Q．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠AQD=∠BDC+∠ACD=∠BDP+∠PDC+∠ACD=∠ACP+∠PDC+∠ACD=∠PCD+∠PDC=90°，
∴ACBD，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴EHGH，即∠EHG=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
【分析】
（1）连接BD，由三角形中位线定理可得EH与FG平行且相等即可．
（2）连接AC、BD，则利用手拉手全等模型可证明△APC≌△BPD，则AC=BD，再利用三角形中位线定理证明EF=FG即可由定义得平行四边形EFGH是菱形．
（3）证明正方形可先证菱形再证矩形，或先证矩形再证菱形，由于已知四边形EFGH是菱形，只需证明其一个角为90°即可，由于△APC≌△BPD，则∠ACP=∠BDP，再利用三角形外角的性质结合直角三角形两锐角互余即可．
1 / 1广东省惠州市仲恺高新区2024-2025学年八年级数学下学期四月份联考试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八下·期中）下列各组数据中，是勾股数的是（　　）
A．8、10、6 B．1、1、
C．、、 D．5、12、14
2．（2025八下·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·期中）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是（　　）
A．2 B．4 C． D．
4．（2025八下·期中）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·期中）下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·期中）如图，为了测量一个人工湖湖畔A、B两点之间的距离，实践小组先在湖边地面上确定点O，再用卷尺分别确定、的中点C、D，最后用卷尺量出，则A、B之间的距离是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·期中）如图，菱形中，，，则菱形的周长为（　　）
A．48 B．40 C．24 D．20
8．（2025八下·期中）如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（　　）
A． B．2 C．4 D．8
9．（2025八下·期中）如图，在 中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点作射线交于点，若，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·期中）有一个面积为的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变成“枝繁叶茂”的“勾股树”．请你算出“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025八下·期中）若代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2025八下·期中）已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的平方是　 　．
13．（2025八下·期中）如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为　 　．
14．（2025八下·期中）如图，已知四边形为平行四边形，则点B的坐标为　 　．
15．（2025八下·期中）已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝　 　．
三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025八下·期中）计算：
（1）．
（2）．
17．（2025八下·期中）如图，正方形网格中有，点、、都在格点上，每个小方格的边长为．
（1）求出、、的长；
（2）求证：．
18．（2025八下·期中）如图，在平行四边形中，是对角线，、是直线上的点，且．求证：四边形是平行四边形．
四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025八下·期中）已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
20．（2025八下·期中）如图，我校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，给八年级的学生分别种“番茄”和“土豆”．经测量，，，，，，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
21．（2025八下·期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，交CB延长线于E，交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若，，求OB的长．
五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2025八下·期中）如图，在中，，，，求的面积．
（1）古希腊的几何学家海伦在他的数学著作《度量》一书中给出了海伦公式：如果一个三角形的三条边的长为a，b，c，记，那么三角形的面积为．请你运用海伦公式求出的面积；
（2）“日新”学习小组合作交流后，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
过点A作于点D，设，用含x的代数式表示 → 根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x → 利用勾股定理求出的长，再计算的面积
23．（2025八下·期中）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：，故选项A符合题意；
不是正整数，故选项B不符合题意；
、、均不是整数，故选项C不符合题意；
，故选项D不符合题意；
故选A．
【分析】本题考查勾股数的定义与判定方法，勾股数需要同时满足两个核心条件，一是所有数均为正整数，二是较小两个数的平方和等于最大数的平方，据此依次对四个选项进行验证，先判断数的类型是否为正整数，再验证是否满足的等式关系。
2．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：不属于最简二次根式，故选项A不符合题意；
不属于最简二次根式，故选项B不符合题意；
属于最简二次根式，故选项C符合题意；
不属于最简二次根式，故选项D不符合题意；
故选C．
【分析】本题考查最简二次根式的定义及判定，最简二次根式需满足被开方数不含分母，且被开方数中没有能开得尽方的因数或因式，解题时将各选项的二次根式通过化简、分母有理化等方式转化为最简形式，再判断是否符合最简二次根式的两个特征。
3．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，DO=BO，AO=CO，
∴AO=DO，
∵∠AOD=60°，
∴△OAD是等边三角形．
∴OA=AD=2．
∴AC=2OA=2×2=4．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质可证得AO=DO，BD=AC，继而可根据等边三角形的判定定理得△AOD为等边三角形，求得AO的长，继而可得AC长.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A. 与 不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；
B. 与 不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；
C. ，正确，故此选项符合题意；
D、 ，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则对各项进行计算即可得到结果.
5．【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、，不能与合并，故本选项不符合题意；
B、，能与合并，故本选项符合题意；
C、，不能与合并，故本选项不符合题意；
D、，不能与合并，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查同类二次根式的概念及二次根式的化简，能相互合并的二次根式为同类二次根式，其核心特征是化简后的被开方数相同，因此先将各选项中的二次根式化为最简二次根式，再判断其被开方数是否与的被开方数3一致。
6．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点C、D分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：D．
【分析】本题考查三角形中位线定理的实际应用，根据中点的定义，点、分别为、的中点，可确定是的中位线，利用三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半的性质，可得，将代入即可求出的长度。
7．【答案】D
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：，四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∴菱形的周长为，
故选：D．
【分析】根据菱形性质可得，，根据勾股定理可得AB，再根据菱形周长即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，点M是斜边的中点，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查正方形的面积公式和直角三角形斜边上的中线的性质，根据正方形的面积公式（为边长），由可求出边长的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，可得，代入的数值即可计算出的长度。
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图得：平分，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线定义可得，再根据平行四边形性质可得，，，则，即，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由勾股定理可知，“生长”次，“生长”出的两个正方形面积和原来正方形的面积，所有正方形的面积和为；
“生长”次，“生长”出的四个正方形面积和第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积和为；
，
经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是；
经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是，
故选：C．
【分析】本题考查勾股定理的应用和数字规律的探究，根据勾股定理，直角三角形两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，因此每次“生长”出的所有小正方形的面积和等于上一次中作为斜边的正方形的面积，即每一次生长后，所有正方形的面积和比上一次增加1，由此可总结出“生长”次后面积和为的规律，将代入规律式即可求解。
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：要代数式有意义，
则即，
x的取值范围是，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．【答案】25或7
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：①当两边长3和4是直角边时，则第三边的平方是，
②当是斜边时，则第三边的平方是．
故答案为：25或7．
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论，题目中未明确给出3和4是直角边还是斜边，因此需分两种情况计算：第一种情况3和4均为直角边，利用勾股定理直接计算第三边的平方；第二种情况4为斜边、3为直角边，利用勾股定理的变形公式计算第三边的平方。
13．【答案】8
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：，
四边形为平行四边形，
，
，
，
点和点到直线的距离相等，
设点到的距离为，
的面积为，
，
解得，
四边形的面积．
故答案为：8．
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质以及三角形、平行四边形的面积公式，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，得到，进而求出的长度，由可知点和点到直线的距离相等，设该距离为，根据三角形面积公式求出，再利用平行四边形面积公式计算其面积。
14．【答案】
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∵点向左平移个单位得到点，
∴点向左平移个单位得到点，
∴，即：；
故答案为：．
【分析】本题考查平行四边形的性质和平面直角坐标系中的平移规律，平行四边形的对边平行且相等，因此和的平移规律完全相同，先分析点到点的横坐标、纵坐标变化，再将点按照相反的平移规律移动，即可得到点的坐标。
15．【答案】2+
【知识点】平行线的性质；正方形的性质；等腰直角三角形；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图作FH//BC交BD于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°
∵FH//BC，
∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，
∴∠OHF＝∠OFH，
∴OH＝OF＝1，FH＝，
∵BF平分∠OBC，
∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，
∴BH＝FH＝，
∴OB＝OC＝1+，
∴BC＝OB＝2+．
故答案为：2+．
【分析】如图作FH//BC交BD于点H，根据正方形性质可得∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°，再根据直线平行性质可得∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，则∠OHF＝∠OFH，根据勾股定理可得FH，根据角平分线定义可得∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，则BH＝FH＝，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
16．【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式混合运算遵循“先乘除，后加减”的运算顺序，计算时需将所有二次根式化为最简形式，进而即可求解；
（2）先化简二次根式和计算零指数幂，进而根据二次根式的加减运算即可求解。
（1）解：原式．
（2）解：原式．
17．【答案】（1）解：，，；
（2）解：由（1）知，，，，
，，
，
．
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理在网格图形中的应用。
(1)中利用网格的直角特征，将、、分别置于三个直角三角形中，根据勾股定理分别计算出三边的长度；
(2)中验证的计算结果是否等于，若满足该等式，根据勾股定理的逆定理可直接判定为直角三角形，且。
（1）解：，，；
（2）解：由（1）知，，，，
，，
，
．
18．【答案】解：连接，交于点O，∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质与判定定理，解题的关键是作辅助线连接交于点，先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到、，结合已知条件，通过等式的基本性质推出，即，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理，即可证明四边形为平行四边形。
19．【答案】（1）∵，，∴，，
∴．
（2）∵，，∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的化简求值，以及平方差公式、完全平方公式的灵活应用，直接将、代入代数式展开计算较为繁琐，因此采用公式变形简化运算；
(1)中先求出和的值，再利用平方差公式代入计算；
(2)中先求出和的值，将代数式变形为，再代入数值计算。
（1）∵，，
∴，，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：∵，，，∴；
（2）解：∵，，，，，，∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴
答：四边形的面积为18．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理以及图形面积的计算。
(1)中在中，直接利用勾股定理的变形公式，代入数值即可求出的长度；
(2)中先通过线段的和差求出、的长度，再验证是否等于，判定为直角三角形，最后用面积差法计算四边形的面积。
（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：∵，，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴
答：四边形的面积为18．
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC
∴∠AEC=90°，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：四边形ABCD是菱形，则AB=BC=AD=5，线段AC，BD互相垂直平分，
Rt△AEB中，由勾股定理得BE=，
Rt△AEC中，CE=CB＋BE=5＋3=8，AC=，
Rt△AOB中，AO=AC=，OB=，
故OB的长为：
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查菱形的性质、矩形的判定以及勾股定理的综合应用。
(1)中先利用菱形对边平行的性质，结合，判定四边形为平行四边形，再根据得到，利用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”的判定定理证明；
(2)中由菱形四条边相等的性质得，在中用勾股定理求出的长度，进而得到，再在中求出的长度，结合菱形对角线互相平分的性质得，最后在中利用勾股定理求出的长度。
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC
∴∠AEC=90°，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：四边形ABCD是菱形，则AB=BC=AD=5，线段AC，BD互相垂直平分，
Rt△AEB中，由勾股定理得BE=，
Rt△AEC中，CE=CB＋BE=5＋3=8，AC=，
Rt△AOB中，AO=AC=，OB=，
故OB的长为：
22．【答案】（1）解：由题意知：，，，∴，
∴，，，
∴；
（2）解：如图所示，作，
，
设，则，
在中，
，
即，
在中，
，
即，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】二次根式的实际应用；解一元一次方程；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】本题考查海伦公式的应用以及勾股定理在求三角形面积中的应用。
(1)中先根据海伦公式的要求，将三角形三边长度代入计算出的值，再将、、、代入海伦公式，进行二次根式的乘法和开方运算即可；
(2)中设，则，分别在和中利用勾股定理表示出，建立关于的一元一次方程，求解出后求出的长度，再根据三角形面积公式计算面积。
（1）解：由题意知：，，，
∴，
∴，，，
∴；
（2）解：如图所示，作，
，
设，则，
在中，
，
即，
在中，
，
即，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，
即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC=BD．
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=AC，FG=BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】（3）证明：如图，设AC与BD交于点Q．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠AQD=∠BDC+∠ACD=∠BDP+∠PDC+∠ACD=∠ACP+∠PDC+∠ACD=∠PCD+∠PDC=90°，
∴ACBD，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴EHGH，即∠EHG=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
【分析】
（1）连接BD，由三角形中位线定理可得EH与FG平行且相等即可．
（2）连接AC、BD，则利用手拉手全等模型可证明△APC≌△BPD，则AC=BD，再利用三角形中位线定理证明EF=FG即可由定义得平行四边形EFGH是菱形．
（3）证明正方形可先证菱形再证矩形，或先证矩形再证菱形，由于已知四边形EFGH是菱形，只需证明其一个角为90°即可，由于△APC≌△BPD，则∠ACP=∠BDP，再利用三角形外角的性质结合直角三角形两锐角互余即可．
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