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广东省茂名市高州市十三校联考2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025九下·高州期中）中国传统节日，是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，下列四幅作品分别代表“春节”、“端午节”、“中秋节”、“元宵节”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九下·高州期中）当前，我国人工智能产业在技术创新、产品创造和行业应用等方面实现快速发展，形成庞大市场规模．中国互联网络信息中心发布的《生成式人工智能应用发展报告（）》显示，我国初步构建了较为全面的人工智能产业体系，核心产业规模接近亿元，数据“亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·高州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·高州期中）已知，若相似比，则=（　　）
A． B．2 C． D．4
5．（2025九下·高州期中）体育锻炼是学生健康成长的重要组成部分，为此学校开展了丰富的体育活动．甲乙两位同学积极参加学校举办的1分钟跳绳比赛，训练期间甲乙两名同学各进行10次跳绳练均成绩均为195下，他们成绩的方差分别是：，，根据方差的意义可知（　　）
A．甲的成绩波动比乙大
B．乙的成绩波动比甲大
C．甲、乙两人成绩波动一样大
D．无法比较甲、乙两人成绩波动大小
6．（2025九下·高州期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·高州期中）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九下·高州期中）如图，若一次函数（，为常数，且）的图象经过点，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九下·高州期中）如图所示，已知四边形为菱形，点为边上的一点，连接，将线段沿折叠后点与点恰好重合在一起．已知菱形的边长为4，则线段的长为（　　）
A． B．4 C． D．
10．（2025九下·高州期中）八角窗棂是中国传统建筑中一种极具特色的装饰元素，象征着天地间的和谐，寓意四面八方的吉祥．如图1是某景区的一个正八边形窗棂，其独特的几何美感为景区增添了艺术魅力，图2是该正八边形窗棂的平面示意图，连接、交于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分），请将答案填在答题卡上对应的横线上．
11．（2025九下·高州期中）因式分解：　 　．
12．（2025九下·高州期中）已知圆锥母线长为，圆锥的侧面积是，则圆锥底面周长是　 　．（保留）
13．（2025九下·高州期中）为培养和促进学生对数理化科普知识的兴趣，激发学生形成学科学、用科学、爱科学、积极探索的学习风尚，学校举办了“数理化科普知识竞赛”，设有数学、物理、化学三个科目，学校按照的比例计算综合成绩来评定参赛学生的奖项．在这次竞赛中，小王数学竞赛成绩为分，物理竞赛成绩为分，化学竞赛成绩为分，那么小王的竞赛综合成绩为　 　分．
14．（2025九下·高州期中）如图，是的直径，，是上两点，若，则的度数为　 　．
15．（2025九下·高州期中）如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，点，直线与交交于点，交于点，与交于点，则的长为　 　．
三、解答题（一）（本大题共3题，每小题7分，共21分），请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．
16．（2025九下·高州期中）计算：．
17．（2025九下·高州期中）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个矩形场地，若垂直于墙的一边长为，它的面积为．
（1）求矩形的面积与的函数关系式（要求写出自变量的取值范围）；
（2）当长为时，求矩形场地的面积．
18．（2025九下·高州期中）如图1所示，在户外活动时，为了遮阳和防雨常常会用到天幕帐篷，其截面示意图是轴对称图形（如图2所示），对称轴是垂直于地面的支撑杆，已知幕布，支撑杆，于点．、为防风绳，通过调节防风绳在地面的固定点与支撑杆的距离可控制天幕的开合（、、三点共线，、、三点共线）．
（1）当时，求的长（结果保留根号）；
（2）当由调节至时，左侧防风绳在地面的固定点需向右平移多少米？（结果保留根号）
四、解答题（二）（本大题共3题，每小题9分，共27分），请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．
19．（2025九下·高州期中）某校为了解班级学生参加课后服务的学习效果，李老师对本班部分学生进行了为期一个月的追踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次调查的总人数为______人；扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是______°；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，李老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
20．（2025九下·高州期中）某网店推出甲、乙两种纪念文化衫，已知每件甲种纪念文化衫的进价比乙种纪念文化衫多元，若该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元．
（1）甲、乙两种纪念文化衫每件的进价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，则该网店共有几种进货方案？
21．（2025九下·高州期中）如图，为的直径，点是上方上异于的点，点是的中点，过点作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
22．（2025九下·高州期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．
【猜想】（1）请直接写出线段、的数量关系．
【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．
（2）若，，求的长；
（3）猜想、、的数量关系，并加以证明．
23．（2025九下·高州期中）数学来源于生活，数学之美无处不在，在几何图形中，最美的角是45°，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我们把45°的角称为一中美角，最美的等腰直角三角形称为一中美三角．根据该约定，完成下列问题：
（1）如图1，已知正方形ABCD中O是对角线AC上一动点，过O作OP⊥OD，垂足为O，交BC边于P，△POD是否为一中美三角，并说明理由；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），点P在第二象限内，且在直线y＝﹣2x﹣2上，若△ABP恰好构成一中美三角，求出此时P点的坐标；
（3）如图3，若二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P为第二象限上的点，在直线AC上，且∠OPB恰好构成一中美角；Q为x轴上方抛物线上的一动点，令Q点横坐标为m（0＜m＜3），当m为何值时，△PBQ的面积最大，求出此时Q点坐标和最大面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判定，解题的核心是紧扣两种图形的定义逐一分析选项。先根据轴对称图形的定义，判断图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能否重合，再根据中心对称图形的定义，判断图形绕某一点旋转180°后能否与原图形重合，依次验证四个选项后，确定同时满足两个定义的图形。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为（，为整数），解题关键是确定和的值。先将6000亿转化为具体数字600000000000，再把小数点向左移动11位得到，根据小数点移动的位数确定，进而写出科学记数法的表达式。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项正确，符合题意；
C、不能合并，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查整式的运算，涵盖同底数幂的乘除、幂的乘方以及合并同类项法则，解题需根据不同运算法则分别计算各选项。对于同底数幂的除法，按照底数不变指数相减计算；对于幂的乘方，按照底数不变指数相乘计算；根据合并同类项的条件，判断能否合并；按照同底数幂相乘底数不变指数相加计算，通过计算结果判断选项正误。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，
∴
故选：C．
【分析】本题考查相似三角形的性质，核心知识点是相似三角形的面积比与相似比的关系。直接利用相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，将相似比进行平方运算，即可得到两个相似三角形的面积比。
5．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：甲乙两名同学的平均成绩相同，，
甲的成绩波动比乙大，
故选：A．
【分析】本题考查方差的实际意义，方差反映一组数据的波动大小，解题关键是明确方差与数据波动的关系。在两组数据平均成绩相同的前提下，方差越小，数据的波动越小，对比和的大小，即可判断甲、乙两人成绩的波动情况。
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，
该反比例函数图象位于二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，
，
点和点位于第二象限，点位于第四象限，
，
故选：D．
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题需先根据反比例函数的比例系数判断图象所在象限和增减性。由，可知函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，再判断三点所在的象限，第二象限的点的纵坐标为正，第四象限的点的纵坐标为负，结合第二象限内的增减性比较和的大小，进而确定三个纵坐标的大小关系。
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵第二次比第一次增加6人，且第二次分钱的人数为x人，
∴第一次分钱的人数为人，
根据题意得：，
故选：D．
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键是找到题目中的等量关系并表示出两次每人分得的钱数。设第二次分钱的人数为人，根据第二次比第一次增加6人，可得第一次分钱的人数为人，再根据“总钱数÷人数=每人分得的钱数”，分别表示出第一次和第二次每人分得的钱数，结合两次每人分得的钱数相等这一等量关系列出方程。
8．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据函数图象，当时，，
所以不等式的解集为．
故选：A．
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题核心是结合函数图象分析不等式的解集。不等式表示的是一次函数图象上纵坐标小于2的点对应的横坐标范围，已知函数图象过点，结合一次函数的图象走势，找到纵坐标小于2的区域对应的横坐标，即可得到不等式的解集。
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，
线段沿折叠后点与点恰好重合在一起，
，，
，
故选：C．
【分析】本题考查菱形的性质、折叠的性质以及勾股定理的应用，解题需逐步利用性质求出相关线段长度，再用勾股定理计算。由菱形的性质得，根据折叠的性质可知垂直平分，进而得到且，在中用勾股定理求出的长度，再在中，结合和求出的，利用勾股定理计算的长。
10．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：多边形是正八边形，
，，
，
，
故选：A．
【分析】本题考查正多边形的内角计算、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题需先求出正八边形的内角度数，再逐步推导相关角的度数。先利用正多边形内角和公式（）求出正八边形的内角度数，结合正八边形的边长相等得到等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出和的度数，最后在中，根据三角形内角和定理减去两个底角的度数，求出的度数。
11．【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的母线长是，侧面积是，
圆锥的侧面展开扇形的弧长为：，
锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
圆锥的底面周长为．
故答案为：．
【分析】本题考查圆锥的侧面积公式的应用，圆锥侧面积公式为（为底面周长，为母线长）。将已知的侧面积和母线长代入公式，变形求解出底面周长，圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，由此得到结果。
13．【答案】86
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小王的综合成绩是（分）．
故答案为：．
【分析】本题考查加权平均数的计算，加权平均数的计算公式为（为权重）。将数学、物理、化学的成绩分别乘以对应的权重5、3、2，求和后再除以权重之和，计算即可得到加权平均的综合成绩。
14．【答案】
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】如图，连接，
为的直径，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题考查圆周角定理及其推论，解题需先利用直径所对的圆周角为直角，再结合同弧所对的圆周角相等求解。连接，由是的直径，根据圆周角定理推论得，在中求出的度数，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，进而求出的度数。
15．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：由作法得垂直平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
∴是的中位线，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解题需逐步推导线段关系和长度。由作图方法可知是的垂直平分线，故且，结合直角三角形斜边上的中线性质得，用勾股定理求出，进而得；再由中位线定理得且，从而判定，根据相似比得到，最后结合求出的长度。
16．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；求有理数的绝对值的方法；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的综合运算，涉及负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值和零指数幂的运算规则，解题需依次计算各部分再合并。根据负整数指数幂法则计算，根据绝对值的性质去掉的绝对值符号得，代入特殊角的三角函数值计算，根据零指数幂法则得，再将各部分结果代入原式进行加减运算。
17．【答案】（1）解：由题意，得；
（2）解：当时，，
答：当长为时，矩形场地的面积为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，围绕矩形的周长和面积公式展开解题。
(1)根据篱笆总长和垂直于墙的边长，表示出平行于墙的边长为，再根据矩形面积公式列出函数关系式，结合边长为正数的条件确定自变量的取值范围；
(2)将直接代入(1)中求出的函数关系式，计算即可得到对应的面积值。
（1）解：由题意，得；
（2）解：当时，，
答：当长为时，矩形场地的面积为．
18．【答案】（1）解：，，
，，
在中，，
，
答：当时，长为．
（2）解：如图，作，
在中，，
在中，，
，
答：当由调节至时，点向右平移的距离为．
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，结合等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义解题。
(1)由等腰三角形且，得，，在中，利用正弦函数求出的长度，再乘以2得到的长；
(2)分别在（）和（）中，利用正切函数、求出和的长度，两者的差值即为点向右平移的距离。
（1）解：，，
，，
在中，，
，
答：当时，长为．
（2）解：如图，作，
在中，，
在中，，
，
答：当由调节至时，点向右平移的距离为．
19．【答案】（1）20；36
（2）解：等级的人数有：（人），
等级的女生人数有：（人），
等级的男生人数有：（人），
补全统计图如下：
（3）解：由题意画树状图如下：
从树状图可知，所有可能出现的结果共有种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一名男生和一名女生的结果共有种．
所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由条形统计图知，B类学生共有（人），由扇形统计图知，B类学生所占的百分比为，则参与调查的总人数为：（人），
由扇形统计图知，D类学生所占的百分比为：，则扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是：，
故答案为：；；
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，以及古典概型的概率计算，解题需先从统计图中提取信息计算相关数据，再用列举法求概率。
(1)由条形统计图得B类男女生总人数，结合扇形统计图中B类的百分比，用“部分数量÷对应百分比”求出总人数；先算出D类的百分比，再用D类百分比得到对应圆心角度数；
(2)根据总人数和扇形统计图中C、D类的百分比，求出C、D类的总人数，结合条形统计图中已知的男女生人数，算出未知的男女生人数，进而补全条形统计图；
(3)用树状图列举出从A类和D类中各抽一人的所有可能结果，数出恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，再根据概率公式计算概率。
（1）解：由条形统计图知，B类学生共有（人），由扇形统计图知，B类学生所占的百分比为，则参与调查的总人数为：（人），
由扇形统计图知，D类学生所占的百分比为：，则扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是：，
故答案为：；；
（2）解：等级的人数有：（人），
等级的女生人数有：（人），
等级的男生人数有：（人），
补全统计图如下：
（3）解：由题意画树状图如下：
从树状图可知，所有可能出现的结果共有种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一名男生和一名女生的结果共有种．
所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生．
20．【答案】（1）解：设甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元，
由题意得：，
解得：，
元，
答：甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元；
（2）解：设购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件，
由题意得：，
解得：，
为整数，
的值为：，，，
该网店共有3种进货方案．
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式组的实际应用，解题需先列方程求进价，再列不等式组求进货方案数。
(1)设甲种文化衫进价为元，根据甲比乙贵10元表示出乙的进价为元，结合“20件甲的进价+30件乙的进价=2200元”列出一元一次方程，解方程求出的值，进而得到乙的进价；
(2)设购进甲种文化衫件，表示出乙的数量为件，根据“总进价≤8780元”和“甲的数量>乙的数量”列出一元一次不等式组，解不等式组得到的取值范围，再根据为正整数确定进货方案的数量。
（1）解：设甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元，
由题意得：，
解得：，
元，
答：甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元；
（2）解：设购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件，
由题意得：，
解得：，
为整数，
的值为：，，，
该网店共有3种进货方案．
21．【答案】（1）证明：连接，
，
点是的中点，
∴，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线；
（2）解：为的直径，
，
，，
，
，
由（1）得，
，
图中阴影部分的面积是．
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理可得，再根据直线平行性质可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据圆周角定理的推论可得，根据勾股定理可得AB，再根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据割补法，结合三角形，扇形的面积即可求出答案.
（1）证明：连接，
，
点是的中点，
∴，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线；
（2）解：为的直径，
，
，，
，
，
由（1）得，
，
图中阴影部分的面积是．
22．【答案】解：（1）；
（2）矩形沿所在直线折叠，
，，，
设，
，
在中，，
，
，解得，
．
（3），
理由如下：
由折叠的性质可得，，
，
，即，
，
又，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1），
理由如下：∵矩形纸片沿所在的直线折叠，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）先利用折叠的性质可得，再利用矩形的性质及平行线可得，再利用等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得；
（2）设，则，再利用勾股定理可得，即，最后求出x的值即可；
（3）先利用折叠的性质可得，， 再利用角的运算和等量代换可得，利用勾股定理可得，再结合，利用等量代换可得.
23．【答案】（1）解：△POD为一中美三角，理由如下：过O作EF⊥BC于F，交AD于E，如图：
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，
∴∠ACB＝45°，四边形EFCD是矩形，
∴△OFC是等腰直角三角形，ED＝FC，
∴OF＝FC，
∴OF＝ED，
∵OP⊥OD，
∴∠2＝90°﹣∠3＝∠1，
在△DEO和△OFP中，
，
∴△DEO≌△OFP（ASA），
∴OD＝OP，
又∠DOP＝90°，
∴△POD是等腰直角三角形，即△POD为一中美三角；
（2）设P（m，﹣2m﹣2），∵点A（﹣2，0），点B（0，2），
∴AP2＝（m+2）2+（﹣2m﹣2）2＝5m2+12m+8，
BP2＝m2+（﹣2m﹣2﹣2）2＝5m2+16m+16，
AB2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣2）2＝8，
△ABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，如图：
①若AP、BP为腰，则需满足：AP＝BP且AP2+BP2＝AB2，
∴5m2+12m+8＝5m2+16m+16且5m2+12m+8+5m2+16m+16＝8，
解得m＝﹣2，
∴P（﹣2，2）；
②若AP、AB为腰，同理可得：
5m2+12m+8＝8且5m2+12m+8+8＝5m2+16m+16，
满足两个方程的m＝0，此时不存在P，使△ABP构成一中美三角；
③若BP、AB为腰，则5m2+16m+16＝8且5m2+16m+16+8＝5m2+12m+8，
没有m能同时满足两个方程，故此时不存在P，使△ABP构成一中美三角；
综上所述，△ABP构成一中美三角，则P（﹣2，2）；
（3）连接BC，作BC中点D，连接DP，过Q作QM∥y轴交BP于M，如图：
∵y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，BC＝3，D（，），
∴∠BCO＝45°，
∵∠OPB恰好构成一中美角，即∠OPB＝45°，
∴∠OPB＝∠BCO，
∴P、B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上，
∵∠BOC＝90°，
∴D为△BOC的外接圆圆心，
∴PD＝BC＝，
设直线AC为y＝kx+b，则 ，
解得，
∴直线AC为y＝3x+3，
设P（t，3t+3），
∴（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2，
解得t＝﹣或t＝0（舍去），
∴P（﹣，），
设直线BP为y＝sx+r，
则，
解得 ，
∴直线BP为y＝﹣x+1，
∵Q点横坐标为m，
∴Q（m，﹣m2+2m+3），M（m，﹣m+1），
∴QM＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+1）＝﹣m2+m+2，
∴S△PBQ＝QM （xB﹣xP）＝（﹣m2+m+2）×（3+）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝时，S△PBQ有最大值为，
此时Q（，）．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题考查二次函数综合应用，新定义、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数及二次函数图象上点坐标特征、四点共圆、三角形面积.（1）过O作EF⊥BC于F，交AD于E，利用等腰三角形的性质可得：OF＝ED，再利用角的运算可得：∠2＝∠1，利用全等三角形的判定定理可得：，利用全等三角形的性质可推出：OD＝OP，据此可证明△POD是等腰直角三角形，即△POD为一中美三角；
（2）设P（m，-2m-2），进而可求出AP2，BP2，AB2=（-2-0）2+（0-2）2=8，进而可推出△ABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，分三种情况讨论：①若AP、BP为腰，②若AP、AB为腰，③若BP、AB为腰，根据AP＝BP且AP2+BP2＝AB2，可列出方程组，解方程组可求出m的值，据此可求出 P点的坐标；
（3）连接BC，作BC中点D，连接DP，过Q作QM∥y轴交BP于M，由∠OPB=∠BCO知P、B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上，根据PD=BC=，P（t，3t+3），根据定义可列出方程：（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2，解方程可求出t得值，进而可求出点P的坐标，进而可求出直线线BP的方程，根据题意求出点Q（m，-m2+2m+3），M（m，-m+1），进而可求出QM，利用三角形的面积公式可得：S△PBQ=﹣（m﹣）2+，利用二次函数的性质可得：当m= 时，S△PBQ有最大值为，求出点Q的坐标．
（1）解：△POD为一中美三角，理由如下：
过O作EF⊥BC于F，交AD于E，如图：
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，
∴∠ACB＝45°，四边形EFCD是矩形，
∴△OFC是等腰直角三角形，ED＝FC，
∴OF＝FC，
∴OF＝ED，
∵OP⊥OD，
∴∠2＝90°﹣∠3＝∠1，
在△DEO和△OFP中，
，
∴△DEO≌△OFP（ASA），
∴OD＝OP，
又∠DOP＝90°，
∴△POD是等腰直角三角形，即△POD为一中美三角；
（2）设P（m，﹣2m﹣2），
∵点A（﹣2，0），点B（0，2），
∴AP2＝（m+2）2+（﹣2m﹣2）2＝5m2+12m+8，
BP2＝m2+（﹣2m﹣2﹣2）2＝5m2+16m+16，
AB2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣2）2＝8，
△ABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，如图：
①若AP、BP为腰，则需满足：AP＝BP且AP2+BP2＝AB2，
∴5m2+12m+8＝5m2+16m+16且5m2+12m+8+5m2+16m+16＝8，
解得m＝﹣2，
∴P（﹣2，2）；
②若AP、AB为腰，同理可得：
5m2+12m+8＝8且5m2+12m+8+8＝5m2+16m+16，
满足两个方程的m＝0，此时不存在P，使△ABP构成一中美三角；
③若BP、AB为腰，则5m2+16m+16＝8且5m2+16m+16+8＝5m2+12m+8，
没有m能同时满足两个方程，故此时不存在P，使△ABP构成一中美三角；
综上所述，△ABP构成一中美三角，则P（﹣2，2）；
（3）连接BC，作BC中点D，连接DP，过Q作QM∥y轴交BP于M，如图：
∵y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，BC＝3，D（，），
∴∠BCO＝45°，
∵∠OPB恰好构成一中美角，即∠OPB＝45°，
∴∠OPB＝∠BCO，
∴P、B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上，
∵∠BOC＝90°，
∴D为△BOC的外接圆圆心，
∴PD＝BC＝，
设直线AC为y＝kx+b，则 ，
解得，
∴直线AC为y＝3x+3，
设P（t，3t+3），
∴（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2，
解得t＝﹣或t＝0（舍去），
∴P（﹣，），
设直线BP为y＝sx+r，
则，
解得 ，
∴直线BP为y＝﹣x+1，
∵Q点横坐标为m，
∴Q（m，﹣m2+2m+3），M（m，﹣m+1），
∴QM＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+1）＝﹣m2+m+2，
∴S△PBQ＝QM （xB﹣xP）＝（﹣m2+m+2）×（3+）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝时，S△PBQ有最大值为，
此时Q（，）．
1 / 1广东省茂名市高州市十三校联考2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025九下·高州期中）中国传统节日，是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，下列四幅作品分别代表“春节”、“端午节”、“中秋节”、“元宵节”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判定，解题的核心是紧扣两种图形的定义逐一分析选项。先根据轴对称图形的定义，判断图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能否重合，再根据中心对称图形的定义，判断图形绕某一点旋转180°后能否与原图形重合，依次验证四个选项后，确定同时满足两个定义的图形。
2．（2025九下·高州期中）当前，我国人工智能产业在技术创新、产品创造和行业应用等方面实现快速发展，形成庞大市场规模．中国互联网络信息中心发布的《生成式人工智能应用发展报告（）》显示，我国初步构建了较为全面的人工智能产业体系，核心产业规模接近亿元，数据“亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为（，为整数），解题关键是确定和的值。先将6000亿转化为具体数字600000000000，再把小数点向左移动11位得到，根据小数点移动的位数确定，进而写出科学记数法的表达式。
3．（2025九下·高州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项正确，符合题意；
C、不能合并，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查整式的运算，涵盖同底数幂的乘除、幂的乘方以及合并同类项法则，解题需根据不同运算法则分别计算各选项。对于同底数幂的除法，按照底数不变指数相减计算；对于幂的乘方，按照底数不变指数相乘计算；根据合并同类项的条件，判断能否合并；按照同底数幂相乘底数不变指数相加计算，通过计算结果判断选项正误。
4．（2025九下·高州期中）已知，若相似比，则=（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，
∴
故选：C．
【分析】本题考查相似三角形的性质，核心知识点是相似三角形的面积比与相似比的关系。直接利用相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，将相似比进行平方运算，即可得到两个相似三角形的面积比。
5．（2025九下·高州期中）体育锻炼是学生健康成长的重要组成部分，为此学校开展了丰富的体育活动．甲乙两位同学积极参加学校举办的1分钟跳绳比赛，训练期间甲乙两名同学各进行10次跳绳练均成绩均为195下，他们成绩的方差分别是：，，根据方差的意义可知（　　）
A．甲的成绩波动比乙大
B．乙的成绩波动比甲大
C．甲、乙两人成绩波动一样大
D．无法比较甲、乙两人成绩波动大小
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：甲乙两名同学的平均成绩相同，，
甲的成绩波动比乙大，
故选：A．
【分析】本题考查方差的实际意义，方差反映一组数据的波动大小，解题关键是明确方差与数据波动的关系。在两组数据平均成绩相同的前提下，方差越小，数据的波动越小，对比和的大小，即可判断甲、乙两人成绩的波动情况。
6．（2025九下·高州期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，
该反比例函数图象位于二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，
，
点和点位于第二象限，点位于第四象限，
，
故选：D．
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题需先根据反比例函数的比例系数判断图象所在象限和增减性。由，可知函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，再判断三点所在的象限，第二象限的点的纵坐标为正，第四象限的点的纵坐标为负，结合第二象限内的增减性比较和的大小，进而确定三个纵坐标的大小关系。
7．（2025九下·高州期中）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵第二次比第一次增加6人，且第二次分钱的人数为x人，
∴第一次分钱的人数为人，
根据题意得：，
故选：D．
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键是找到题目中的等量关系并表示出两次每人分得的钱数。设第二次分钱的人数为人，根据第二次比第一次增加6人，可得第一次分钱的人数为人，再根据“总钱数÷人数=每人分得的钱数”，分别表示出第一次和第二次每人分得的钱数，结合两次每人分得的钱数相等这一等量关系列出方程。
8．（2025九下·高州期中）如图，若一次函数（，为常数，且）的图象经过点，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据函数图象，当时，，
所以不等式的解集为．
故选：A．
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题核心是结合函数图象分析不等式的解集。不等式表示的是一次函数图象上纵坐标小于2的点对应的横坐标范围，已知函数图象过点，结合一次函数的图象走势，找到纵坐标小于2的区域对应的横坐标，即可得到不等式的解集。
9．（2025九下·高州期中）如图所示，已知四边形为菱形，点为边上的一点，连接，将线段沿折叠后点与点恰好重合在一起．已知菱形的边长为4，则线段的长为（　　）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，
线段沿折叠后点与点恰好重合在一起，
，，
，
故选：C．
【分析】本题考查菱形的性质、折叠的性质以及勾股定理的应用，解题需逐步利用性质求出相关线段长度，再用勾股定理计算。由菱形的性质得，根据折叠的性质可知垂直平分，进而得到且，在中用勾股定理求出的长度，再在中，结合和求出的，利用勾股定理计算的长。
10．（2025九下·高州期中）八角窗棂是中国传统建筑中一种极具特色的装饰元素，象征着天地间的和谐，寓意四面八方的吉祥．如图1是某景区的一个正八边形窗棂，其独特的几何美感为景区增添了艺术魅力，图2是该正八边形窗棂的平面示意图，连接、交于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：多边形是正八边形，
，，
，
，
故选：A．
【分析】本题考查正多边形的内角计算、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题需先求出正八边形的内角度数，再逐步推导相关角的度数。先利用正多边形内角和公式（）求出正八边形的内角度数，结合正八边形的边长相等得到等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出和的度数，最后在中，根据三角形内角和定理减去两个底角的度数，求出的度数。
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分），请将答案填在答题卡上对应的横线上．
11．（2025九下·高州期中）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
12．（2025九下·高州期中）已知圆锥母线长为，圆锥的侧面积是，则圆锥底面周长是　 　．（保留）
【答案】
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的母线长是，侧面积是，
圆锥的侧面展开扇形的弧长为：，
锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
圆锥的底面周长为．
故答案为：．
【分析】本题考查圆锥的侧面积公式的应用，圆锥侧面积公式为（为底面周长，为母线长）。将已知的侧面积和母线长代入公式，变形求解出底面周长，圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，由此得到结果。
13．（2025九下·高州期中）为培养和促进学生对数理化科普知识的兴趣，激发学生形成学科学、用科学、爱科学、积极探索的学习风尚，学校举办了“数理化科普知识竞赛”，设有数学、物理、化学三个科目，学校按照的比例计算综合成绩来评定参赛学生的奖项．在这次竞赛中，小王数学竞赛成绩为分，物理竞赛成绩为分，化学竞赛成绩为分，那么小王的竞赛综合成绩为　 　分．
【答案】86
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小王的综合成绩是（分）．
故答案为：．
【分析】本题考查加权平均数的计算，加权平均数的计算公式为（为权重）。将数学、物理、化学的成绩分别乘以对应的权重5、3、2，求和后再除以权重之和，计算即可得到加权平均的综合成绩。
14．（2025九下·高州期中）如图，是的直径，，是上两点，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】如图，连接，
为的直径，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题考查圆周角定理及其推论，解题需先利用直径所对的圆周角为直角，再结合同弧所对的圆周角相等求解。连接，由是的直径，根据圆周角定理推论得，在中求出的度数，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，进而求出的度数。
15．（2025九下·高州期中）如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，点，直线与交交于点，交于点，与交于点，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：由作法得垂直平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
∴是的中位线，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解题需逐步推导线段关系和长度。由作图方法可知是的垂直平分线，故且，结合直角三角形斜边上的中线性质得，用勾股定理求出，进而得；再由中位线定理得且，从而判定，根据相似比得到，最后结合求出的长度。
三、解答题（一）（本大题共3题，每小题7分，共21分），请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．
16．（2025九下·高州期中）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；求有理数的绝对值的方法；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的综合运算，涉及负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值和零指数幂的运算规则，解题需依次计算各部分再合并。根据负整数指数幂法则计算，根据绝对值的性质去掉的绝对值符号得，代入特殊角的三角函数值计算，根据零指数幂法则得，再将各部分结果代入原式进行加减运算。
17．（2025九下·高州期中）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个矩形场地，若垂直于墙的一边长为，它的面积为．
（1）求矩形的面积与的函数关系式（要求写出自变量的取值范围）；
（2）当长为时，求矩形场地的面积．
【答案】（1）解：由题意，得；
（2）解：当时，，
答：当长为时，矩形场地的面积为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，围绕矩形的周长和面积公式展开解题。
(1)根据篱笆总长和垂直于墙的边长，表示出平行于墙的边长为，再根据矩形面积公式列出函数关系式，结合边长为正数的条件确定自变量的取值范围；
(2)将直接代入(1)中求出的函数关系式，计算即可得到对应的面积值。
（1）解：由题意，得；
（2）解：当时，，
答：当长为时，矩形场地的面积为．
18．（2025九下·高州期中）如图1所示，在户外活动时，为了遮阳和防雨常常会用到天幕帐篷，其截面示意图是轴对称图形（如图2所示），对称轴是垂直于地面的支撑杆，已知幕布，支撑杆，于点．、为防风绳，通过调节防风绳在地面的固定点与支撑杆的距离可控制天幕的开合（、、三点共线，、、三点共线）．
（1）当时，求的长（结果保留根号）；
（2）当由调节至时，左侧防风绳在地面的固定点需向右平移多少米？（结果保留根号）
【答案】（1）解：，，
，，
在中，，
，
答：当时，长为．
（2）解：如图，作，
在中，，
在中，，
，
答：当由调节至时，点向右平移的距离为．
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，结合等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义解题。
(1)由等腰三角形且，得，，在中，利用正弦函数求出的长度，再乘以2得到的长；
(2)分别在（）和（）中，利用正切函数、求出和的长度，两者的差值即为点向右平移的距离。
（1）解：，，
，，
在中，，
，
答：当时，长为．
（2）解：如图，作，
在中，，
在中，，
，
答：当由调节至时，点向右平移的距离为．
四、解答题（二）（本大题共3题，每小题9分，共27分），请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．
19．（2025九下·高州期中）某校为了解班级学生参加课后服务的学习效果，李老师对本班部分学生进行了为期一个月的追踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次调查的总人数为______人；扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是______°；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，李老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）20；36
（2）解：等级的人数有：（人），
等级的女生人数有：（人），
等级的男生人数有：（人），
补全统计图如下：
（3）解：由题意画树状图如下：
从树状图可知，所有可能出现的结果共有种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一名男生和一名女生的结果共有种．
所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由条形统计图知，B类学生共有（人），由扇形统计图知，B类学生所占的百分比为，则参与调查的总人数为：（人），
由扇形统计图知，D类学生所占的百分比为：，则扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是：，
故答案为：；；
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，以及古典概型的概率计算，解题需先从统计图中提取信息计算相关数据，再用列举法求概率。
(1)由条形统计图得B类男女生总人数，结合扇形统计图中B类的百分比，用“部分数量÷对应百分比”求出总人数；先算出D类的百分比，再用D类百分比得到对应圆心角度数；
(2)根据总人数和扇形统计图中C、D类的百分比，求出C、D类的总人数，结合条形统计图中已知的男女生人数，算出未知的男女生人数，进而补全条形统计图；
(3)用树状图列举出从A类和D类中各抽一人的所有可能结果，数出恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，再根据概率公式计算概率。
（1）解：由条形统计图知，B类学生共有（人），由扇形统计图知，B类学生所占的百分比为，则参与调查的总人数为：（人），
由扇形统计图知，D类学生所占的百分比为：，则扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是：，
故答案为：；；
（2）解：等级的人数有：（人），
等级的女生人数有：（人），
等级的男生人数有：（人），
补全统计图如下：
（3）解：由题意画树状图如下：
从树状图可知，所有可能出现的结果共有种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一名男生和一名女生的结果共有种．
所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生．
20．（2025九下·高州期中）某网店推出甲、乙两种纪念文化衫，已知每件甲种纪念文化衫的进价比乙种纪念文化衫多元，若该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元．
（1）甲、乙两种纪念文化衫每件的进价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，则该网店共有几种进货方案？
【答案】（1）解：设甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元，
由题意得：，
解得：，
元，
答：甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元；
（2）解：设购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件，
由题意得：，
解得：，
为整数，
的值为：，，，
该网店共有3种进货方案．
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式组的实际应用，解题需先列方程求进价，再列不等式组求进货方案数。
(1)设甲种文化衫进价为元，根据甲比乙贵10元表示出乙的进价为元，结合“20件甲的进价+30件乙的进价=2200元”列出一元一次方程，解方程求出的值，进而得到乙的进价；
(2)设购进甲种文化衫件，表示出乙的数量为件，根据“总进价≤8780元”和“甲的数量>乙的数量”列出一元一次不等式组，解不等式组得到的取值范围，再根据为正整数确定进货方案的数量。
（1）解：设甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元，
由题意得：，
解得：，
元，
答：甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元；
（2）解：设购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件，
由题意得：，
解得：，
为整数，
的值为：，，，
该网店共有3种进货方案．
21．（2025九下·高州期中）如图，为的直径，点是上方上异于的点，点是的中点，过点作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接，
，
点是的中点，
∴，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线；
（2）解：为的直径，
，
，，
，
，
由（1）得，
，
图中阴影部分的面积是．
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理可得，再根据直线平行性质可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据圆周角定理的推论可得，根据勾股定理可得AB，再根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据割补法，结合三角形，扇形的面积即可求出答案.
（1）证明：连接，
，
点是的中点，
∴，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线；
（2）解：为的直径，
，
，，
，
，
由（1）得，
，
图中阴影部分的面积是．
22．（2025九下·高州期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．
【猜想】（1）请直接写出线段、的数量关系．
【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．
（2）若，，求的长；
（3）猜想、、的数量关系，并加以证明．
【答案】解：（1）；
（2）矩形沿所在直线折叠，
，，，
设，
，
在中，，
，
，解得，
．
（3），
理由如下：
由折叠的性质可得，，
，
，即，
，
又，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1），
理由如下：∵矩形纸片沿所在的直线折叠，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）先利用折叠的性质可得，再利用矩形的性质及平行线可得，再利用等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得；
（2）设，则，再利用勾股定理可得，即，最后求出x的值即可；
（3）先利用折叠的性质可得，， 再利用角的运算和等量代换可得，利用勾股定理可得，再结合，利用等量代换可得.
23．（2025九下·高州期中）数学来源于生活，数学之美无处不在，在几何图形中，最美的角是45°，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我们把45°的角称为一中美角，最美的等腰直角三角形称为一中美三角．根据该约定，完成下列问题：
（1）如图1，已知正方形ABCD中O是对角线AC上一动点，过O作OP⊥OD，垂足为O，交BC边于P，△POD是否为一中美三角，并说明理由；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），点P在第二象限内，且在直线y＝﹣2x﹣2上，若△ABP恰好构成一中美三角，求出此时P点的坐标；
（3）如图3，若二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P为第二象限上的点，在直线AC上，且∠OPB恰好构成一中美角；Q为x轴上方抛物线上的一动点，令Q点横坐标为m（0＜m＜3），当m为何值时，△PBQ的面积最大，求出此时Q点坐标和最大面积．
【答案】（1）解：△POD为一中美三角，理由如下：过O作EF⊥BC于F，交AD于E，如图：
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，
∴∠ACB＝45°，四边形EFCD是矩形，
∴△OFC是等腰直角三角形，ED＝FC，
∴OF＝FC，
∴OF＝ED，
∵OP⊥OD，
∴∠2＝90°﹣∠3＝∠1，
在△DEO和△OFP中，
，
∴△DEO≌△OFP（ASA），
∴OD＝OP，
又∠DOP＝90°，
∴△POD是等腰直角三角形，即△POD为一中美三角；
（2）设P（m，﹣2m﹣2），∵点A（﹣2，0），点B（0，2），
∴AP2＝（m+2）2+（﹣2m﹣2）2＝5m2+12m+8，
BP2＝m2+（﹣2m﹣2﹣2）2＝5m2+16m+16，
AB2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣2）2＝8，
△ABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，如图：
①若AP、BP为腰，则需满足：AP＝BP且AP2+BP2＝AB2，
∴5m2+12m+8＝5m2+16m+16且5m2+12m+8+5m2+16m+16＝8，
解得m＝﹣2，
∴P（﹣2，2）；
②若AP、AB为腰，同理可得：
5m2+12m+8＝8且5m2+12m+8+8＝5m2+16m+16，
满足两个方程的m＝0，此时不存在P，使△ABP构成一中美三角；
③若BP、AB为腰，则5m2+16m+16＝8且5m2+16m+16+8＝5m2+12m+8，
没有m能同时满足两个方程，故此时不存在P，使△ABP构成一中美三角；
综上所述，△ABP构成一中美三角，则P（﹣2，2）；
（3）连接BC，作BC中点D，连接DP，过Q作QM∥y轴交BP于M，如图：
∵y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，BC＝3，D（，），
∴∠BCO＝45°，
∵∠OPB恰好构成一中美角，即∠OPB＝45°，
∴∠OPB＝∠BCO，
∴P、B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上，
∵∠BOC＝90°，
∴D为△BOC的外接圆圆心，
∴PD＝BC＝，
设直线AC为y＝kx+b，则 ，
解得，
∴直线AC为y＝3x+3，
设P（t，3t+3），
∴（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2，
解得t＝﹣或t＝0（舍去），
∴P（﹣，），
设直线BP为y＝sx+r，
则，
解得 ，
∴直线BP为y＝﹣x+1，
∵Q点横坐标为m，
∴Q（m，﹣m2+2m+3），M（m，﹣m+1），
∴QM＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+1）＝﹣m2+m+2，
∴S△PBQ＝QM （xB﹣xP）＝（﹣m2+m+2）×（3+）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝时，S△PBQ有最大值为，
此时Q（，）．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题考查二次函数综合应用，新定义、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数及二次函数图象上点坐标特征、四点共圆、三角形面积.（1）过O作EF⊥BC于F，交AD于E，利用等腰三角形的性质可得：OF＝ED，再利用角的运算可得：∠2＝∠1，利用全等三角形的判定定理可得：，利用全等三角形的性质可推出：OD＝OP，据此可证明△POD是等腰直角三角形，即△POD为一中美三角；
（2）设P（m，-2m-2），进而可求出AP2，BP2，AB2=（-2-0）2+（0-2）2=8，进而可推出△ABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，分三种情况讨论：①若AP、BP为腰，②若AP、AB为腰，③若BP、AB为腰，根据AP＝BP且AP2+BP2＝AB2，可列出方程组，解方程组可求出m的值，据此可求出 P点的坐标；
（3）连接BC，作BC中点D，连接DP，过Q作QM∥y轴交BP于M，由∠OPB=∠BCO知P、B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上，根据PD=BC=，P（t，3t+3），根据定义可列出方程：（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2，解方程可求出t得值，进而可求出点P的坐标，进而可求出直线线BP的方程，根据题意求出点Q（m，-m2+2m+3），M（m，-m+1），进而可求出QM，利用三角形的面积公式可得：S△PBQ=﹣（m﹣）2+，利用二次函数的性质可得：当m= 时，S△PBQ有最大值为，求出点Q的坐标．
（1）解：△POD为一中美三角，理由如下：
过O作EF⊥BC于F，交AD于E，如图：
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，
∴∠ACB＝45°，四边形EFCD是矩形，
∴△OFC是等腰直角三角形，ED＝FC，
∴OF＝FC，
∴OF＝ED，
∵OP⊥OD，
∴∠2＝90°﹣∠3＝∠1，
在△DEO和△OFP中，
，
∴△DEO≌△OFP（ASA），
∴OD＝OP，
又∠DOP＝90°，
∴△POD是等腰直角三角形，即△POD为一中美三角；
（2）设P（m，﹣2m﹣2），
∵点A（﹣2，0），点B（0，2），
∴AP2＝（m+2）2+（﹣2m﹣2）2＝5m2+12m+8，
BP2＝m2+（﹣2m﹣2﹣2）2＝5m2+16m+16，
AB2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣2）2＝8，
△ABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，如图：
①若AP、BP为腰，则需满足：AP＝BP且AP2+BP2＝AB2，
∴5m2+12m+8＝5m2+16m+16且5m2+12m+8+5m2+16m+16＝8，
解得m＝﹣2，
∴P（﹣2，2）；
②若AP、AB为腰，同理可得：
5m2+12m+8＝8且5m2+12m+8+8＝5m2+16m+16，
满足两个方程的m＝0，此时不存在P，使△ABP构成一中美三角；
③若BP、AB为腰，则5m2+16m+16＝8且5m2+16m+16+8＝5m2+12m+8，
没有m能同时满足两个方程，故此时不存在P，使△ABP构成一中美三角；
综上所述，△ABP构成一中美三角，则P（﹣2，2）；
（3）连接BC，作BC中点D，连接DP，过Q作QM∥y轴交BP于M，如图：
∵y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，BC＝3，D（，），
∴∠BCO＝45°，
∵∠OPB恰好构成一中美角，即∠OPB＝45°，
∴∠OPB＝∠BCO，
∴P、B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上，
∵∠BOC＝90°，
∴D为△BOC的外接圆圆心，
∴PD＝BC＝，
设直线AC为y＝kx+b，则 ，
解得，
∴直线AC为y＝3x+3，
设P（t，3t+3），
∴（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2，
解得t＝﹣或t＝0（舍去），
∴P（﹣，），
设直线BP为y＝sx+r，
则，
解得 ，
∴直线BP为y＝﹣x+1，
∵Q点横坐标为m，
∴Q（m，﹣m2+2m+3），M（m，﹣m+1），
∴QM＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+1）＝﹣m2+m+2，
∴S△PBQ＝QM （xB﹣xP）＝（﹣m2+m+2）×（3+）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝时，S△PBQ有最大值为，
此时Q（，）．
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