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广东省清远市清城区清城中学教育集团 2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·清城期中）某校八年级2班学生计划用三根竹子制作一个三角形形状的班旗，已知三根竹子长度分别为，，，则a的值可以是（　　）
A．100 B．80 C．70 D．60
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：三根竹子长度分别为，，，
，即，
的值可以是60，
故选：
【分析】本题主要考查三角形三边关系的实际应用，根据三角形三边关系中“任意两边的差小于第三边，任意两边的和大于第三边”这一核心，结合已知的两条边长30cm和40cm，列出不等式，计算得出的取值范围为，再结合选项筛选出在此范围内的数值即可得到答案。
2．（2025七下·清城期中）中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为吨，将用科学记数法表示为（　　）
A．吨 B．吨
C．吨 D．吨
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵，
故选 ：A．
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．（2025七下·清城期中）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．小明站在罚球线上投篮，未投中
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．任意画一个平行四边形，它的对角线互相平分
D．掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、小明站在罚球线上投篮，未投中，是随机事件，故本选项不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故本选项不符合题意；
C、任意画一个平行四边形，它的对角线互相平分，是必然事件，故本选项符合题意；
D、掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13，是不可能事件，故本选项不符合题意；
故选：C
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025七下·清城期中）如图，，为了证明，还需添加条件（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴A．添加，不能得到，故A不符合题意；
B．添加，根据不能得到，故B不符合题意；
C．添加，根据能得到，故C符合题意；
D．添加，根据不能得到，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查全等三角形判定定理的灵活应用，已知，且是和的公共边，即，结合全等三角形的SSS、SAS、ASA、AAS判定定理逐一分析选项，A选项仅重复公共边，无新的判定条件；B、D选项添加后形成SSA的形式，并非全等三角形的判定定理，无法证明全等；C选项添加后，满足SAS判定定理的两边及其夹角对应相等，可证明。
5．（2025七下·清城期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025七下·清城期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A，B的坐标分别是（2，0），（4，2），若在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是（　　）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，﹣2）
C．（4，﹣2）或（﹣2，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：点P关于x轴的对称点为点B，
点P1的坐标为（4，-2），
在△OAB和△OAP1中，
∵ ，
∴△OAB和△OAP1（SSS），
过点A作AP∥BO，过点O作OP∥BA，
则四边形PABO为平行四边形，
所以OP=AB，AP=OB，
在△OAP和△AOB中，
∵ ，
△OAP≌△AOB（SSS），
∴ ， ，
点P（-2，-2），
∴满足条件的P点的坐标（-2，-2）或（4，-2）.
故答案为：C.
【分析】点P关于x轴的对称点为点B，点P1的坐标为（4，-2），证明△OAB和△OAP1，过点A作AP∥BO，过点O作OP∥BA，则四边形PABO为平行四边形，得到OP=AB，AP=OB，证明△OAP≌△AOB，据此不难求出点P的坐标.
7．（2025七下·清城期中）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如图，和 组成圆的折弦，，是的中点，于，则下列结论一定成立的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接，，，，
是的中点，
，
，
和都是所对的圆周角，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
故C选项正确，
现有条件不能证明选项A，B，D中的结论一定成立，
故选C．
【分析】本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形“三线合一”性质的综合应用，解题时先在上截取，连接、、、，由M是的中点根据圆周角定理的推论得，再结合同弧所对的圆周角相等得，利用SAS证明，推出，又因，根据等腰三角形三线合一得，最后通过线段的等量代换推导线段间的关系，判断各选项的正确性。
8．（2025七下·清城期中）下列式子中，计算正确的有（　　）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∴所有式子中，计算正确的只有算式④，
故选：A．
【分析】本题考查完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则，解题时根据完全平方公式对①③④式逐一展开，根据多项式乘多项式“逐项相乘再合并同类项”的法则对②式展开，核对每个式子的计算结果，统计计算正确的式子个数即可。
9．（2025七下·清城期中）如下图，中，，，，是上一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，可知的值最小，此时，
∵，，，
∴，
∴，
解得，
∴线段的最小值是，
故选：．
【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短的性质，同时结合勾股定理和三角形面积公式综合求解，解题时先连接，由判定四边形为矩形，根据矩形的对边相等得，因此求的最小值即转化为求的最小值；根据垂线段最短，当时取最小值，先由勾股定理求出，再利用直角三角形的面积等积法，代入数值计算出的最小值，即为的最小值。
10．（2025七下·清城期中）如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（　　）
A．16 B．15 C．14 D．12
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式的应用，同时结合几何图形面积进行代数变形，解题时先根据题意写出、，对作差并消去，得到，再利用平方差公式将其变形为；已知，根据完全平方公式，代入、求出的正值（因），最后将和的值代入变形后的式子计算即可。
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
11．（2025七下·清城期中）我国拥有最先进的网络，已建成了2340000多个基站，其中2340000用科学记数法可表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2340000用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】本题考查用科学记数法表示较大数的方法，科学记数法的形式为（，为正整数），解题时先将2340000的小数点移至左边第一个非零数字后，确定，再数出原数的整数位数为7位，因此，据此写出对应的科学记数法形式。
12．（2025七下·清城期中）如图，转盘中个扇形的面积都相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时（指向边界则重转次），指针指向小于的数的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵共个数，小于的有个，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查古典概型的概率计算，核心是应用概率公式，解题时先确定转盘的总情况数为6，再找出其中数字小于3的情况数为2，将数值代入概率公式化简计算即可得到结果。
13．（2025七下·清城期中）工人师傅砌门时，常用一根木条来固定矩形木框，使其不变形，这是利用　 　．
【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：根据三角形的稳定性即可得知，工人师傅砌门时，常用一根木条来固定矩形木框，使其不变形，是利用了：三角形的稳定性，
故答案是：三角形的稳定性．
【分析】根据三角形的稳定性及数学常识求解即可。
14．（2025七下·清城期中）设，则M与N的大小关系为　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
∴，
故答案为：．
【分析】用作差法并结合多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”和合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”计算求出的值即可判断求解．
15．（2025七下·清城期中）利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由，就可以求出多项式的最小值为n．例如：求多项式的最小值，解：当时，的最小值为多项式的最小值为1．根据上述方法，多项式的最小值为　 　．
【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
当时，的最小值为，
故多项式的最小值为．
故答案为：．
【分析】本题考查完全平方公式的配方应用以及非负数的性质，解题时对多项式进行配方，将配成完全平方式，即加上一次项系数一半的平方9，同时减去9，将原式变形为，再根据完全平方式的非负性，可得多项式的最小值为式子中的常数项。
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025七下·清城期中）计算：
【答案】解：
=
= .
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据绝对值的性质、二次根式的性质、0次幂、负整数指数幂的运算性质分别化简，同时代入特殊角的三角函数值，进而合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
17．（2025七下·清城期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘除法、积的乘方以及合并同类项的综合运算，解题时遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序，先分别根据幂的乘方法则计算，同底数幂的乘法法则计算，积的乘方法则计算，再进行同底数幂的除法运算，最后合并同类项得到结果。
18．（2025七下·清城期中）如图，四边形ABCD是正方形，，，EF与BC交于点G．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
（2）解：∵，∴，
又∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的值为．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题综合考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形外角的性质。
(1)中由正方形的性质可得、，结合得，通过角的和差关系推出，再利用SAS判定定理证明，根据全等三角形对应边相等即可证得；
(2)中由且，可得是等腰直角三角形，因此，结合正方形的和已知，求出的度数，再利用三角形外角的性质得，结合三角形外角与内角的关系可知，进而计算出结果。
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的值为．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025七下·清城期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到表格：
抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000
合格频数 49 94 192 285 950
合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95
（1）表格中的值为　 　，的值为　 　（结果精确到0.01）；
（2）估计任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率．（结果精确到0.01）
【答案】（1）475；0.95
（2）解：∵抽取件数为时，合格的频率趋近于，∴任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率为．
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【解答】（1）解：，，
故答案为：，．
【分析】本题考查频数、频率、总数三者之间的数量关系，以及用频率估计概率的统计方法。
(1)中根据频率的计算公式，分别代入总数500、频率0.95求，代入频数950、总数1000求；
(2)中观察表格中合格频率的变化趋势，当抽取件数逐渐增大时，合格频率稳定在0.95附近，根据用频率估计概率的思想，稳定的频率可作为事件发生的概率。
（1）解：，，
故答案为：，．
（2）解：∵抽取件数为时，合格的频率趋近于，
∴任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率为．
20．（2025七下·清城期中）如图，在四边形中，延长至点，延长至点，连接，已知，，求证：．
【答案】证明：，
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
（同角的补角相等），
（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题时先根据“内错角相等，两直线平行”，由推出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”，由得到，结合已知条件，根据“同角的补角相等”推出，最后根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明。
21．（2025七下·清城期中）如图，和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米）
（1）用含有，的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
（2）若，，求出绿化的总面积．
【答案】（1）解：根据题意，
绿化的总面积为平方米．
（2）解：当，时，（平方米），
绿化的总面积为13200平方米．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】本题考查多项式乘多项式、完全平方公式在几何图形面积计算中的应用，以及代数式的化简与求值。
(1)中根据绿化总面积的计算逻辑，可得绿化总面积=大长方形面积-两个小正方形的面积，分别用多项式乘多项式法则计算，用完全平方公式计算，再对式子进行去括号、合并同类项，将结果化为最简形式；
(2)中将、代入(1)中化简后的代数式，按照有理数的混合运算法则逐步计算，即可得到绿化的总面积。
（1）解：根据题意，
绿化的总面积为平方米．
（2）解：当，时，（平方米），
绿化的总面积为13200平方米．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2025七下·清城期中）如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒．
（1）当为何值时，是以为顶角的等腰三角形？
（2）当为何值时，的面积为？
（3）当为何值时，与相似？
【答案】（1）解：∵，，
∴．
由题意，，，
∵是以为顶角的等腰三角形，
∴，
∴，
解得．
（2）解：过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
（3）当时，，
∴，
解得：．
当时，，
∴，
解得：．
综上所述或时，与相似．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；三角形-动点问题；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AC，由题意，，，再根据等腰三角形性质建立方程，解方程即可求出答案.
（2）过点作于点，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得PD，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，当时，根据相似三角形性质建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵，，
∴．
由题意，，，
∵是以为顶角的等腰三角形，
∴，
∴，
解得．
（2）过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
（3）当时，，
∴，
解得：．
当时，，
∴，
解得：．
综上所述或时，与相似．
23．（2025七下·清城期中）问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点P作，通过平行线的性质来求．
（1）按照小明的思路，求度数；
问题迁移：
（2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出间的数量关系，并说明理由．
【答案】解：（1）过点作，如图所示，
，
，
，，
，，
，，
；
（2），
理由是：如图3，过作交于，
，
，
，，
；
（3）当在延长线时，如图所示，
，
，，
．
当在延长线时，如图所示，
，
，，
．
【知识点】铅笔头模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】本题考查平行线的性质与判定的综合应用，核心是通过作辅助线构造平行线，将角进行转化。
(1)中过点P作，由根据平行公理的推论得，再根据“两直线平行，同旁内角互补”，分别求出和的度数，通过角的和即可求出；
(2)中过P作交CD于E，由得，根据“两直线平行，内错角相等”，分别得到、，再通过角的和推出与、的数量关系；
(3)中分点P在延长线和点P在延长线两种情况，均作，结合得到三线平行，再根据平行线的性质得到角的等量关系，通过角的差分别推出两种情况下与、的数量关系。
1 / 1广东省清远市清城区清城中学教育集团 2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·清城期中）某校八年级2班学生计划用三根竹子制作一个三角形形状的班旗，已知三根竹子长度分别为，，，则a的值可以是（　　）
A．100 B．80 C．70 D．60
2．（2025七下·清城期中）中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为吨，将用科学记数法表示为（　　）
A．吨 B．吨
C．吨 D．吨
3．（2025七下·清城期中）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．小明站在罚球线上投篮，未投中
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．任意画一个平行四边形，它的对角线互相平分
D．掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13
4．（2025七下·清城期中）如图，，为了证明，还需添加条件（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·清城期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·清城期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A，B的坐标分别是（2，0），（4，2），若在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是（　　）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，﹣2）
C．（4，﹣2）或（﹣2，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
7．（2025七下·清城期中）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如图，和 组成圆的折弦，，是的中点，于，则下列结论一定成立的是 （　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·清城期中）下列式子中，计算正确的有（　　）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2025七下·清城期中）如下图，中，，，，是上一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·清城期中）如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（　　）
A．16 B．15 C．14 D．12
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
11．（2025七下·清城期中）我国拥有最先进的网络，已建成了2340000多个基站，其中2340000用科学记数法可表示为　 　．
12．（2025七下·清城期中）如图，转盘中个扇形的面积都相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时（指向边界则重转次），指针指向小于的数的概率是　 　．
13．（2025七下·清城期中）工人师傅砌门时，常用一根木条来固定矩形木框，使其不变形，这是利用　 　．
14．（2025七下·清城期中）设，则M与N的大小关系为　 　．
15．（2025七下·清城期中）利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由，就可以求出多项式的最小值为n．例如：求多项式的最小值，解：当时，的最小值为多项式的最小值为1．根据上述方法，多项式的最小值为　 　．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025七下·清城期中）计算：
17．（2025七下·清城期中）计算：．
18．（2025七下·清城期中）如图，四边形ABCD是正方形，，，EF与BC交于点G．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025七下·清城期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到表格：
抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000
合格频数 49 94 192 285 950
合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95
（1）表格中的值为　 　，的值为　 　（结果精确到0.01）；
（2）估计任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率．（结果精确到0.01）
20．（2025七下·清城期中）如图，在四边形中，延长至点，延长至点，连接，已知，，求证：．
21．（2025七下·清城期中）如图，和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米）
（1）用含有，的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
（2）若，，求出绿化的总面积．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2025七下·清城期中）如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒．
（1）当为何值时，是以为顶角的等腰三角形？
（2）当为何值时，的面积为？
（3）当为何值时，与相似？
23．（2025七下·清城期中）问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点P作，通过平行线的性质来求．
（1）按照小明的思路，求度数；
问题迁移：
（2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：三根竹子长度分别为，，，
，即，
的值可以是60，
故选：
【分析】本题主要考查三角形三边关系的实际应用，根据三角形三边关系中“任意两边的差小于第三边，任意两边的和大于第三边”这一核心，结合已知的两条边长30cm和40cm，列出不等式，计算得出的取值范围为，再结合选项筛选出在此范围内的数值即可得到答案。
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵，
故选 ：A．
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、小明站在罚球线上投篮，未投中，是随机事件，故本选项不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故本选项不符合题意；
C、任意画一个平行四边形，它的对角线互相平分，是必然事件，故本选项符合题意；
D、掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13，是不可能事件，故本选项不符合题意；
故选：C
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴A．添加，不能得到，故A不符合题意；
B．添加，根据不能得到，故B不符合题意；
C．添加，根据能得到，故C符合题意；
D．添加，根据不能得到，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查全等三角形判定定理的灵活应用，已知，且是和的公共边，即，结合全等三角形的SSS、SAS、ASA、AAS判定定理逐一分析选项，A选项仅重复公共边，无新的判定条件；B、D选项添加后形成SSA的形式，并非全等三角形的判定定理，无法证明全等；C选项添加后，满足SAS判定定理的两边及其夹角对应相等，可证明。
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：点P关于x轴的对称点为点B，
点P1的坐标为（4，-2），
在△OAB和△OAP1中，
∵ ，
∴△OAB和△OAP1（SSS），
过点A作AP∥BO，过点O作OP∥BA，
则四边形PABO为平行四边形，
所以OP=AB，AP=OB，
在△OAP和△AOB中，
∵ ，
△OAP≌△AOB（SSS），
∴ ， ，
点P（-2，-2），
∴满足条件的P点的坐标（-2，-2）或（4，-2）.
故答案为：C.
【分析】点P关于x轴的对称点为点B，点P1的坐标为（4，-2），证明△OAB和△OAP1，过点A作AP∥BO，过点O作OP∥BA，则四边形PABO为平行四边形，得到OP=AB，AP=OB，证明△OAP≌△AOB，据此不难求出点P的坐标.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接，，，，
是的中点，
，
，
和都是所对的圆周角，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
故C选项正确，
现有条件不能证明选项A，B，D中的结论一定成立，
故选C．
【分析】本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形“三线合一”性质的综合应用，解题时先在上截取，连接、、、，由M是的中点根据圆周角定理的推论得，再结合同弧所对的圆周角相等得，利用SAS证明，推出，又因，根据等腰三角形三线合一得，最后通过线段的等量代换推导线段间的关系，判断各选项的正确性。
8．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∴所有式子中，计算正确的只有算式④，
故选：A．
【分析】本题考查完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则，解题时根据完全平方公式对①③④式逐一展开，根据多项式乘多项式“逐项相乘再合并同类项”的法则对②式展开，核对每个式子的计算结果，统计计算正确的式子个数即可。
9．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，可知的值最小，此时，
∵，，，
∴，
∴，
解得，
∴线段的最小值是，
故选：．
【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短的性质，同时结合勾股定理和三角形面积公式综合求解，解题时先连接，由判定四边形为矩形，根据矩形的对边相等得，因此求的最小值即转化为求的最小值；根据垂线段最短，当时取最小值，先由勾股定理求出，再利用直角三角形的面积等积法，代入数值计算出的最小值，即为的最小值。
10．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式的应用，同时结合几何图形面积进行代数变形，解题时先根据题意写出、，对作差并消去，得到，再利用平方差公式将其变形为；已知，根据完全平方公式，代入、求出的正值（因），最后将和的值代入变形后的式子计算即可。
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2340000用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】本题考查用科学记数法表示较大数的方法，科学记数法的形式为（，为正整数），解题时先将2340000的小数点移至左边第一个非零数字后，确定，再数出原数的整数位数为7位，因此，据此写出对应的科学记数法形式。
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵共个数，小于的有个，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查古典概型的概率计算，核心是应用概率公式，解题时先确定转盘的总情况数为6，再找出其中数字小于3的情况数为2，将数值代入概率公式化简计算即可得到结果。
13．【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：根据三角形的稳定性即可得知，工人师傅砌门时，常用一根木条来固定矩形木框，使其不变形，是利用了：三角形的稳定性，
故答案是：三角形的稳定性．
【分析】根据三角形的稳定性及数学常识求解即可。
14．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
∴，
故答案为：．
【分析】用作差法并结合多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”和合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”计算求出的值即可判断求解．
15．【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
当时，的最小值为，
故多项式的最小值为．
故答案为：．
【分析】本题考查完全平方公式的配方应用以及非负数的性质，解题时对多项式进行配方，将配成完全平方式，即加上一次项系数一半的平方9，同时减去9，将原式变形为，再根据完全平方式的非负性，可得多项式的最小值为式子中的常数项。
16．【答案】解：
=
= .
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据绝对值的性质、二次根式的性质、0次幂、负整数指数幂的运算性质分别化简，同时代入特殊角的三角函数值，进而合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
17．【答案】解：
．
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘除法、积的乘方以及合并同类项的综合运算，解题时遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序，先分别根据幂的乘方法则计算，同底数幂的乘法法则计算，积的乘方法则计算，再进行同底数幂的除法运算，最后合并同类项得到结果。
18．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
（2）解：∵，∴，
又∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的值为．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题综合考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形外角的性质。
(1)中由正方形的性质可得、，结合得，通过角的和差关系推出，再利用SAS判定定理证明，根据全等三角形对应边相等即可证得；
(2)中由且，可得是等腰直角三角形，因此，结合正方形的和已知，求出的度数，再利用三角形外角的性质得，结合三角形外角与内角的关系可知，进而计算出结果。
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的值为．
19．【答案】（1）475；0.95
（2）解：∵抽取件数为时，合格的频率趋近于，∴任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率为．
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【解答】（1）解：，，
故答案为：，．
【分析】本题考查频数、频率、总数三者之间的数量关系，以及用频率估计概率的统计方法。
(1)中根据频率的计算公式，分别代入总数500、频率0.95求，代入频数950、总数1000求；
(2)中观察表格中合格频率的变化趋势，当抽取件数逐渐增大时，合格频率稳定在0.95附近，根据用频率估计概率的思想，稳定的频率可作为事件发生的概率。
（1）解：，，
故答案为：，．
（2）解：∵抽取件数为时，合格的频率趋近于，
∴任抽一件甲员工近期生产的产品是合格品的概率为．
20．【答案】证明：，
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
（同角的补角相等），
（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题时先根据“内错角相等，两直线平行”，由推出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”，由得到，结合已知条件，根据“同角的补角相等”推出，最后根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明。
21．【答案】（1）解：根据题意，
绿化的总面积为平方米．
（2）解：当，时，（平方米），
绿化的总面积为13200平方米．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】本题考查多项式乘多项式、完全平方公式在几何图形面积计算中的应用，以及代数式的化简与求值。
(1)中根据绿化总面积的计算逻辑，可得绿化总面积=大长方形面积-两个小正方形的面积，分别用多项式乘多项式法则计算，用完全平方公式计算，再对式子进行去括号、合并同类项，将结果化为最简形式；
(2)中将、代入(1)中化简后的代数式，按照有理数的混合运算法则逐步计算，即可得到绿化的总面积。
（1）解：根据题意，
绿化的总面积为平方米．
（2）解：当，时，（平方米），
绿化的总面积为13200平方米．
22．【答案】（1）解：∵，，
∴．
由题意，，，
∵是以为顶角的等腰三角形，
∴，
∴，
解得．
（2）解：过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
（3）当时，，
∴，
解得：．
当时，，
∴，
解得：．
综上所述或时，与相似．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；三角形-动点问题；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AC，由题意，，，再根据等腰三角形性质建立方程，解方程即可求出答案.
（2）过点作于点，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得PD，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，当时，根据相似三角形性质建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵，，
∴．
由题意，，，
∵是以为顶角的等腰三角形，
∴，
∴，
解得．
（2）过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
（3）当时，，
∴，
解得：．
当时，，
∴，
解得：．
综上所述或时，与相似．
23．【答案】解：（1）过点作，如图所示，
，
，
，，
，，
，，
；
（2），
理由是：如图3，过作交于，
，
，
，，
；
（3）当在延长线时，如图所示，
，
，，
．
当在延长线时，如图所示，
，
，，
．
【知识点】铅笔头模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】本题考查平行线的性质与判定的综合应用，核心是通过作辅助线构造平行线，将角进行转化。
(1)中过点P作，由根据平行公理的推论得，再根据“两直线平行，同旁内角互补”，分别求出和的度数，通过角的和即可求出；
(2)中过P作交CD于E，由得，根据“两直线平行，内错角相等”，分别得到、，再通过角的和推出与、的数量关系；
(3)中分点P在延长线和点P在延长线两种情况，均作，结合得到三线平行，再根据平行线的性质得到角的等量关系，通过角的差分别推出两种情况下与、的数量关系。
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