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广东省茂名市高州市 2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题（第11周联考）
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（2025七下·高州期中）下列运算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故原式计算错误，不符合题意；
B．，故原式计算错误，不符合题意；
C．，故原式计算正确，符合题意；
D．，故原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查整式的四则运算，涵盖同底数幂的乘除、积的乘方以及合并同类项的法则，解题需分别依据各运算法则对四个选项逐一验证计算。同底数幂相乘时，底数不变指数相加，因此应计算为；积的乘方需将每个因式分别乘方再相乘，要计算与的乘积，其中幂的乘方底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，计算为；合并同类项只需将系数相加，字母和字母的指数保持不变，只需计算3与4的和再与a相乘。
2．（2025七下·高州期中）在下列多项式的乘法中，能直接用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解；A、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意；
B、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意；
C、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意；
D、，可以用平方差公式计算，本选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查平方差公式的应用条件，平方差公式的形式为，核心是两个因式中，一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项是否符合该特征。对选项A变形可得，两项均为相同项，无互为相反数的项；选项B的因式中多了常数项c，无法拆分为平方差公式的标准形式；选项C中两个因式的两项既非完全相同，也非互为相反数；选项D中一个因式为，一个为，a为相同项，b与-b互为相反数，符合平方差公式的使用条件。
3．（2025七下·高州期中）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（　　）
A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解∶A．守株待兔是极小概率事件，不符合题意；
B．大海捞针是不可能事件，不符合题意；
C．返老还童是不可能事件，不符合题意；
D．旭日东升是必然事件，符合题意；
故选：D．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025七下·高州期中）如图，在下列给出的条件中，能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、若，无法得到，故本选项不符合题意；
B、若，无法得到，故本选项不符合题意；
C、若，无法得到，故本选项不符合题意；
D、若，则，故本选项符合题意；
故选：D
【分析】本题考查平行线的判定定理，需结合图形中角的位置关系，判断哪组角相等能推出，平行线的判定需根据内错角、同位角、同旁内角的数量关系进行判断。与的位置关系无法构成判定的角的关系；可推出，与无关；可推出，不能判定；与是和被同一条直线所截形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可判定。
5．（2025七下·高州期中）如图，已知直线，将含角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即
∴，
故选：A．
【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，结合直角三角板的角度特征，构建角度和的等式求解。已知三角板为直角三角板且含30°角，因此，，直线，则、、与构成同旁内角，其和为180°，据此列出等式，计算即可得出的度数。
6．（2025七下·高州期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图：过C作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】过C作，根据直线平行性质即可求出答案.
7．（2025七下·高州期中）某路口交通信号灯的一个完整周期为60秒．在每个周期中，绿灯时长为25秒，黄灯5秒，红灯30秒．出租车司机小李在通过该路口时，刚好遇上绿灯的概率为（　　）
A． B． C． D．无法计算
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：当人或车随机经过该路口时，遇到绿灯的概率．
故选：B．
【分析】本题考查简单的古典概型概率计算，概率公式为事件发生的时长除以总时长，据此代入绿灯时长和信号灯完整周期时长计算即可。该事件的总结果数对应信号灯一个完整周期的60秒，符合遇上绿灯的结果数对应绿灯的25秒，因此用25除以60，化简分数后即可得到遇上绿灯的概率。
8．（2025七下·高州期中）如图，随意抛出的一枚硬币落在如图所示地板的某块方砖上（每一块方砖的大小相同），它停落在黑色方砖上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意得，硬币停落在黑色方砖上的概率是，
故选：C ．
【分析】本题考查了几何概率，如果每个事件发生的概率与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型，根据题意，利用黑色方砖的面积除以方砖的总面积，得出比值，即可得到答案．
9．（2025七下·高州期中）如图，是的角平分线，，交于点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】
由角平分线的概念和平行线的性质知，再由平行线的性质知即可．
10．（2025七下·高州期中）如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是（　　）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图，
大正方形与小正方形的面积之差是8，
，
由图可知：
，
故答案为：B．
【分析】
如图，根据题意可得，再表出出阴影部分的面积，，根据三角形面积公式及平方差公式即可化简整理，最后得出答案.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2025七下·高州期中）在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，用科学记数法表示这个半径为　 　米．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，科学记数法表示小于1的正数的形式为，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数，据此确定和的值即可。原数0.0000025中，左边第一个不为零的数字是2，其前面有6个0，因此，将原数表示为即可。
12．（2025七下·高州期中）杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是　 　事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”）
【答案】随机
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件．
故答案为：随机．
【分析】根据事件的分类即可求出答案.
13．（2025七下·高州期中）若，，则的值为　 　．
【答案】6
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为；．
【分析】本题考查积的乘方的运算法则，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即，据此将已知条件代入计算即可。直接将，代入公式，计算2与3的乘积，即可得到的值。
14．（2025七下·高州期中）如图是一款小推车的示意图，其中扶手平行于座板，前轮支撑杆平行于推杆，若，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查平行线的性质，利用两直线平行，内错角相等和两直线平行，同位角相等的性质，逐步推导角度即可。由，根据两直线平行，内错角相等，可得；再将与相加，得到的度数；又因为，根据两直线平行，同位角相等，可得，据此即可求出的度数。
15．（2025七下·高州期中）如图1纸片（），将按如图2所示沿着折叠至，与线段交于，，点在线段上，若将按如图3所示沿着折叠至，且在线段的延长线上，点在线段上，则　 　．（用含的式子表示）
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；补角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
由折叠性质得，
，
．
故答案为：．
【分析】根据补角可得∠DFC，根据直线平行性质可得，再根据补角可得∠C'DC，根据折叠性质可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
三、解答题（一）（本大题3小题，每题8分，共24分）
16．（2025七下·高州期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【分析】本题考查整式的混合运算和实数的混合运算，涵盖幂的乘方、同底数幂的乘法、零指数幂、负整数指数幂以及有理数的乘方运算，需依据各运算法则分步计算。
(1)先根据幂的乘方法则，底数不变指数相乘计算，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，最后将两个结果合并；
(2)先分别计算的乘方、的零指数幂（任何非零数的零次幂为1）、的负整数指数幂（一个数的负指数幂等于其正指数幂的倒数），再将结果进行加减运算。
（1）解：
；
（2）解：
．
17．（2025七下·高州期中）如图所示的正方形网格，点、、都在格点上．
（1）利用网格作图：
①过点画直线的平行线，并标出平行线所经过的格点；
②过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点，垂足为点；
（2）线段_________的长度是点到直线的距离；
（3）比较大小：（填＞、＜或＝），理由是：__________________．
【答案】（1）解：①的平行线如图所示；
②的垂线如图所示；
（2）
（3），垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离；尺规作图-垂线；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】（2）解：线段的长度是点到直线的距离，
故答案是：CF；
（3）解：．理由是：垂线段最短．
故答案是：＜，垂线段最短．
【分析】本题考查平行线和垂线的尺规作图、点到直线的距离的定义以及垂线段的性质，结合网格的特征完成作图，并根据相关定义和性质解答后续问题。
(1)根据网格中横竖线的平行和垂直特征，过点C作与AB走向一致的直线即为平行线CD，作与AB夹角为90°的直线即为垂线CE；
(2)根据点到直线的距离的定义，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，因此点C到直线AB的距离为垂线段CF的长度；
(3)根据垂线段的性质，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此CF小于CB。
（1）解：①的平行线如图所示；
②的垂线如图所示；
（2）解：线段的长度是点到直线的距离，
故答案是：CF；
（3）解：．理由是：垂线段最短．
故答案是：＜，垂线段最短．
18．（2025七下·高州期中）如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字．
（1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是_____________，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是_____________；
（2）小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：游戏公平，理由如下：
8个汉字中笔画多于7画的有：骄、傲、是、国，
8个汉字中笔画不多于7画的有：我、我、中、人，
所以小明获胜的概率为，
小华获胜的概率为，
小明获胜的概率小华获胜的概率，
所以游戏公平．
【知识点】游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】（1）解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是，
指针指向汉字的笔画数是偶数的有：人，傲，中，国，有4个，故指针指向汉字的笔画数是偶数的
概率是，
故答案为：，；
【分析】本题考查古典概型的概率计算和游戏公平性的判断，概率计算需用符合条件的情况数除以总情况数，游戏公平性的判断标准是双方获胜的概率是否相等。
(1)转盘被平均分成8等份，总情况数为8，先数出“我”字的个数为2，用2除以8可得指向“我”的概率；再数出笔画数为偶数的汉字个数为4，用4除以8可得对应概率；
(2)先分别数出笔画多于7画的汉字个数和笔画不多于7画的汉字个数，均为4个，再分别计算小明和小华获胜的概率，若概率相等则游戏公平，否则不公平。
（1）解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是，
指针指向汉字的笔画数是偶数的有：人，傲，中，国，有4个，故指针指向汉字的笔画数是偶数的
概率是，
故答案为：，；
（2）解：游戏公平，理由如下：
8个汉字中笔画多于7画的有：骄、傲、是、国，
8个汉字中笔画不多于7画的有：我、我、中、人，
所以小明获胜的概率为，
小华获胜的概率为，
小明获胜的概率小华获胜的概率，
所以游戏公平．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025七下·高州期中）若的计算结果中不含与x项．
（1）求m，n的值；
（2）求代数式的值．
【答案】（1）解：
，
∵计算结果中不含与项，
∴，，
解得，；
（2）解：
，
∵，，
∴原式．
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】本题考查多项式乘多项式的运算以及整式的化简求值，多项式乘多项式需用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项，结合“不含某一项则该项系数为0”求解参数，再化简代数式代入求值。
(1)先将展开，合并同类项后得到，因为结果不含与项，所以这两项的系数分别为0，列出方程组和，求解即可得到m、n的值；
(2)先利用完全平方公式和平方差公式将代数式展开，合并同类项后进行整式的除法运算，化简为最简形式，再将(1)中求得的m、n的值代入计算。
（1）解：
，
∵计算结果中不含与项，
∴，，
解得，；
（2）解：
，
∵，，
∴原式．
20．（2025七下·高州期中）国庆期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有抽奖机会抽奖方式：一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除颜色外都相同，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是，其中黄球个数比白球多3个，摸中白球中一等奖，摸中红球中二等奖，摸中黄球不中奖.
（1）袋中红球有　 　个，从袋中摸出一个球是白球的概率为　 　.
（2）小明前两次摸走2个球后未中奖，求小明第三次摸球中二等奖的概率；
（3）若"五一"期间有1000人参与抽奖活动，估计获得一等奖的人数是多少
【答案】（1）3；
（2）解：因为取走2个球后，还剩8个球，其中红球的个数没有变化，
所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率是
（3）解： (人)，
答：中一等奖的有200人
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】(1) 根据题意得： (个)，
设白球有x个，则黄球有( 个，
根据题意得x+2x+1=10-3，
解得x = 2；
所以摸出一个球是白球的概率.
故答案为：3，；
【分析】(1)总个数乘以摸出一个球是红球的概率即可得出答案；设白球有x个，则黄球有( )个，根据白球与黄球的个数之和列出关于x的方程，求出x的值，再根据概率公式求解即可；
(3)取走2个球后，还剩8个球，其中红球的个数没有变化，据此根据概率公式求解即可；
(4)用球的总个数乘以白球的概率即可得出答案.
21．（2025七下·高州期中）如图，已知点O在直线上，射线平分，过点O作，G是射线上一点，连接，满足．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）平分，
，
，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
．
【知识点】角的运算；垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】本题考查垂线的定义、角平分线的定义以及平行线的判定定理，证明角相等可通过同角的余角相等，证明两直线平行可通过内错角相等进行推导。
(1)由可得，结合点O在直线AB上，平角为180°，可得，又已知，根据同角的余角相等，可证得；
(2)由OD平分可得，由可得，结合，可得，又已知，通过等量代换得，根据内错角相等，两直线平行，可证得。
（1）证明：（1），
，
，
，
，
，
；
（2）平分，
，
，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（2025七下·高州期中）如图1是一个长为、宽为的长方形．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：___________
（2）利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题：
①已知，则的值为___________；
②已知，求的值；
（3）两个正方形、如图3摆放．边长分别为，若、，求图中阴影部分面积和．
【答案】（1）
（2）①，
②∵
∴
，
（3）解：∵，∴．
由图可知的底为x，高为2，
∴．
的底为2，高为，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
∴，
∴（舍去负值），
∴阴影部分面积和为8．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：依题意，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积
则；
故答案为：；
（2）解：①与（1）同理得，
∵，
∴，
∴
∴；
故答案为：；
【分析】本题考查完全平方公式的几何意义和公式变形应用，几何意义可通过图形的面积关系推导公式，再利用公式变形求解代数问题和几何面积问题。
(1)图2中大正方形的边长为，面积为，大正方形由边长为的小正方形和4个长为m、宽为n的小长方形组成，小正方形面积为，4个小长方形面积和为，因此可得；
(2)①将，代入(1)的结论，解关于的方程即可；②将变形为，再代入已知条件计算；
(3)由得，将阴影部分拆分为两个三角形，分别表示出面积并求和得阴影面积为，再利用完全平方公式求出，最后用求出的值，即为阴影部分面积和。
（1）解：依题意，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积
则；
故答案为：；
（2）解：①与（1）同理得，
∵，
∴，
∴
∴；
②∵
∴
，
故答案为：，13；
（3）解：∵，
∴．
由图可知的底为x，高为2，
∴．
的底为2，高为，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
∴，
∴（舍去负值），
∴阴影部分面积和为8．
23．（2025七下·高州期中）如图1，已知直线，点A在直线上，点B在直线上．
（1）如图1，点C在直线、之间，连接、，若，，则的度数为　 　；
（2）如图2，点C在直线的上方，平分，平分，延长与交于点D，若，，求的度数：
（3）如图3，点C在直线的上方，，，平分交于点F，将绕着点A以每秒的速度逆时针方向旋转得，旋转时间为t秒；同时将射线绕着点B以每秒的速度顺时针方向旋转得射线，当射线与射线首次重合时，和射线同时停止转动，在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时t的值．
【答案】（1）64
（2）解：∵平分，，∴，
∵平分，，
∴，
过D作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）18或90
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】（1）解：过C作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：64；
（3）解：分两种情况进行讨论：
①当位于与之间时，如图①，
由得：，
∵，经过时间t，
有，
则
而，
∴，
又∵，平分，
∴，
而，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
则，
解得：；
②当位于下方时，如图②，
∵，
∴，
经过时间，
同理：，
则，
而，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
解得，
综上：或90．
【分析】本题考查平行线的性质与判定的综合应用，结合角平分线的定义、角的旋转，分情况讨论角度关系，解题关键是作辅助线构造平行线，利用平行线的性质转化角的关系。
(1)过点C作，由得，根据两直线平行，内错角相等，得，，将两角相加即可得到的度数；
(2)由AE平分求出，由BF平分求出，过点D作，由得，根据平行线的性质得，，将两角相加即可得到的度数；
(3)先确定旋转的停止条件，再分在与之间、在下方两种情况，结合角平分线的定义表示出和相关的角，再根据的平行线性质列出关于t的方程，求解即可得到t的值。
（1）解：过C作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：64；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵平分，，
∴，
过D作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：分两种情况进行讨论：
①当位于与之间时，如图①，
由得：，
∵，经过时间t，
有，
则
而，
∴，
又∵，平分，
∴，
而，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
则，
解得：；
②当位于下方时，如图②，
∵，
∴，
经过时间，
同理：，
则，
而，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
解得，
综上：或90．
1 / 1广东省茂名市高州市 2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题（第11周联考）
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（2025七下·高州期中）下列运算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·高州期中）在下列多项式的乘法中，能直接用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·高州期中）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（　　）
A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升
4．（2025七下·高州期中）如图，在下列给出的条件中，能判定的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·高州期中）如图，已知直线，将含角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·高州期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·高州期中）某路口交通信号灯的一个完整周期为60秒．在每个周期中，绿灯时长为25秒，黄灯5秒，红灯30秒．出租车司机小李在通过该路口时，刚好遇上绿灯的概率为（　　）
A． B． C． D．无法计算
8．（2025七下·高州期中）如图，随意抛出的一枚硬币落在如图所示地板的某块方砖上（每一块方砖的大小相同），它停落在黑色方砖上的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七下·高州期中）如图，是的角平分线，，交于点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·高州期中）如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是（　　）
A．8 B．4 C．2 D．1
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2025七下·高州期中）在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，用科学记数法表示这个半径为　 　米．
12．（2025七下·高州期中）杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是　 　事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”）
13．（2025七下·高州期中）若，，则的值为　 　．
14．（2025七下·高州期中）如图是一款小推车的示意图，其中扶手平行于座板，前轮支撑杆平行于推杆，若，，则的度数为　 　．
15．（2025七下·高州期中）如图1纸片（），将按如图2所示沿着折叠至，与线段交于，，点在线段上，若将按如图3所示沿着折叠至，且在线段的延长线上，点在线段上，则　 　．（用含的式子表示）
三、解答题（一）（本大题3小题，每题8分，共24分）
16．（2025七下·高州期中）计算：
（1）；
（2）．
17．（2025七下·高州期中）如图所示的正方形网格，点、、都在格点上．
（1）利用网格作图：
①过点画直线的平行线，并标出平行线所经过的格点；
②过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点，垂足为点；
（2）线段_________的长度是点到直线的距离；
（3）比较大小：（填＞、＜或＝），理由是：__________________．
18．（2025七下·高州期中）如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字．
（1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是_____________，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是_____________；
（2）小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025七下·高州期中）若的计算结果中不含与x项．
（1）求m，n的值；
（2）求代数式的值．
20．（2025七下·高州期中）国庆期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有抽奖机会抽奖方式：一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除颜色外都相同，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是，其中黄球个数比白球多3个，摸中白球中一等奖，摸中红球中二等奖，摸中黄球不中奖.
（1）袋中红球有　 　个，从袋中摸出一个球是白球的概率为　 　.
（2）小明前两次摸走2个球后未中奖，求小明第三次摸球中二等奖的概率；
（3）若"五一"期间有1000人参与抽奖活动，估计获得一等奖的人数是多少
21．（2025七下·高州期中）如图，已知点O在直线上，射线平分，过点O作，G是射线上一点，连接，满足．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（2025七下·高州期中）如图1是一个长为、宽为的长方形．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：___________
（2）利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题：
①已知，则的值为___________；
②已知，求的值；
（3）两个正方形、如图3摆放．边长分别为，若、，求图中阴影部分面积和．
23．（2025七下·高州期中）如图1，已知直线，点A在直线上，点B在直线上．
（1）如图1，点C在直线、之间，连接、，若，，则的度数为　 　；
（2）如图2，点C在直线的上方，平分，平分，延长与交于点D，若，，求的度数：
（3）如图3，点C在直线的上方，，，平分交于点F，将绕着点A以每秒的速度逆时针方向旋转得，旋转时间为t秒；同时将射线绕着点B以每秒的速度顺时针方向旋转得射线，当射线与射线首次重合时，和射线同时停止转动，在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时t的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故原式计算错误，不符合题意；
B．，故原式计算错误，不符合题意；
C．，故原式计算正确，符合题意；
D．，故原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查整式的四则运算，涵盖同底数幂的乘除、积的乘方以及合并同类项的法则，解题需分别依据各运算法则对四个选项逐一验证计算。同底数幂相乘时，底数不变指数相加，因此应计算为；积的乘方需将每个因式分别乘方再相乘，要计算与的乘积，其中幂的乘方底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，计算为；合并同类项只需将系数相加，字母和字母的指数保持不变，只需计算3与4的和再与a相乘。
2．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解；A、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意；
B、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意；
C、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意；
D、，可以用平方差公式计算，本选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查平方差公式的应用条件，平方差公式的形式为，核心是两个因式中，一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项是否符合该特征。对选项A变形可得，两项均为相同项，无互为相反数的项；选项B的因式中多了常数项c，无法拆分为平方差公式的标准形式；选项C中两个因式的两项既非完全相同，也非互为相反数；选项D中一个因式为，一个为，a为相同项，b与-b互为相反数，符合平方差公式的使用条件。
3．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解∶A．守株待兔是极小概率事件，不符合题意；
B．大海捞针是不可能事件，不符合题意；
C．返老还童是不可能事件，不符合题意；
D．旭日东升是必然事件，符合题意；
故选：D．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、若，无法得到，故本选项不符合题意；
B、若，无法得到，故本选项不符合题意；
C、若，无法得到，故本选项不符合题意；
D、若，则，故本选项符合题意；
故选：D
【分析】本题考查平行线的判定定理，需结合图形中角的位置关系，判断哪组角相等能推出，平行线的判定需根据内错角、同位角、同旁内角的数量关系进行判断。与的位置关系无法构成判定的角的关系；可推出，与无关；可推出，不能判定；与是和被同一条直线所截形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可判定。
5．【答案】A
【知识点】角的运算；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即
∴，
故选：A．
【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，结合直角三角板的角度特征，构建角度和的等式求解。已知三角板为直角三角板且含30°角，因此，，直线，则、、与构成同旁内角，其和为180°，据此列出等式，计算即可得出的度数。
6．【答案】D
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图：过C作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】过C作，根据直线平行性质即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：当人或车随机经过该路口时，遇到绿灯的概率．
故选：B．
【分析】本题考查简单的古典概型概率计算，概率公式为事件发生的时长除以总时长，据此代入绿灯时长和信号灯完整周期时长计算即可。该事件的总结果数对应信号灯一个完整周期的60秒，符合遇上绿灯的结果数对应绿灯的25秒，因此用25除以60，化简分数后即可得到遇上绿灯的概率。
8．【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意得，硬币停落在黑色方砖上的概率是，
故选：C ．
【分析】本题考查了几何概率，如果每个事件发生的概率与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型，根据题意，利用黑色方砖的面积除以方砖的总面积，得出比值，即可得到答案．
9．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】
由角平分线的概念和平行线的性质知，再由平行线的性质知即可．
10．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图，
大正方形与小正方形的面积之差是8，
，
由图可知：
，
故答案为：B．
【分析】
如图，根据题意可得，再表出出阴影部分的面积，，根据三角形面积公式及平方差公式即可化简整理，最后得出答案.
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，科学记数法表示小于1的正数的形式为，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数，据此确定和的值即可。原数0.0000025中，左边第一个不为零的数字是2，其前面有6个0，因此，将原数表示为即可。
12．【答案】随机
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件．
故答案为：随机．
【分析】根据事件的分类即可求出答案.
13．【答案】6
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为；．
【分析】本题考查积的乘方的运算法则，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即，据此将已知条件代入计算即可。直接将，代入公式，计算2与3的乘积，即可得到的值。
14．【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查平行线的性质，利用两直线平行，内错角相等和两直线平行，同位角相等的性质，逐步推导角度即可。由，根据两直线平行，内错角相等，可得；再将与相加，得到的度数；又因为，根据两直线平行，同位角相等，可得，据此即可求出的度数。
15．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；补角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
由折叠性质得，
，
．
故答案为：．
【分析】根据补角可得∠DFC，根据直线平行性质可得，再根据补角可得∠C'DC，根据折叠性质可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【分析】本题考查整式的混合运算和实数的混合运算，涵盖幂的乘方、同底数幂的乘法、零指数幂、负整数指数幂以及有理数的乘方运算，需依据各运算法则分步计算。
(1)先根据幂的乘方法则，底数不变指数相乘计算，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，最后将两个结果合并；
(2)先分别计算的乘方、的零指数幂（任何非零数的零次幂为1）、的负整数指数幂（一个数的负指数幂等于其正指数幂的倒数），再将结果进行加减运算。
（1）解：
；
（2）解：
．
17．【答案】（1）解：①的平行线如图所示；
②的垂线如图所示；
（2）
（3），垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离；尺规作图-垂线；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】（2）解：线段的长度是点到直线的距离，
故答案是：CF；
（3）解：．理由是：垂线段最短．
故答案是：＜，垂线段最短．
【分析】本题考查平行线和垂线的尺规作图、点到直线的距离的定义以及垂线段的性质，结合网格的特征完成作图，并根据相关定义和性质解答后续问题。
(1)根据网格中横竖线的平行和垂直特征，过点C作与AB走向一致的直线即为平行线CD，作与AB夹角为90°的直线即为垂线CE；
(2)根据点到直线的距离的定义，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，因此点C到直线AB的距离为垂线段CF的长度；
(3)根据垂线段的性质，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此CF小于CB。
（1）解：①的平行线如图所示；
②的垂线如图所示；
（2）解：线段的长度是点到直线的距离，
故答案是：CF；
（3）解：．理由是：垂线段最短．
故答案是：＜，垂线段最短．
18．【答案】（1）；
（2）解：游戏公平，理由如下：
8个汉字中笔画多于7画的有：骄、傲、是、国，
8个汉字中笔画不多于7画的有：我、我、中、人，
所以小明获胜的概率为，
小华获胜的概率为，
小明获胜的概率小华获胜的概率，
所以游戏公平．
【知识点】游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】（1）解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是，
指针指向汉字的笔画数是偶数的有：人，傲，中，国，有4个，故指针指向汉字的笔画数是偶数的
概率是，
故答案为：，；
【分析】本题考查古典概型的概率计算和游戏公平性的判断，概率计算需用符合条件的情况数除以总情况数，游戏公平性的判断标准是双方获胜的概率是否相等。
(1)转盘被平均分成8等份，总情况数为8，先数出“我”字的个数为2，用2除以8可得指向“我”的概率；再数出笔画数为偶数的汉字个数为4，用4除以8可得对应概率；
(2)先分别数出笔画多于7画的汉字个数和笔画不多于7画的汉字个数，均为4个，再分别计算小明和小华获胜的概率，若概率相等则游戏公平，否则不公平。
（1）解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是，
指针指向汉字的笔画数是偶数的有：人，傲，中，国，有4个，故指针指向汉字的笔画数是偶数的
概率是，
故答案为：，；
（2）解：游戏公平，理由如下：
8个汉字中笔画多于7画的有：骄、傲、是、国，
8个汉字中笔画不多于7画的有：我、我、中、人，
所以小明获胜的概率为，
小华获胜的概率为，
小明获胜的概率小华获胜的概率，
所以游戏公平．
19．【答案】（1）解：
，
∵计算结果中不含与项，
∴，，
解得，；
（2）解：
，
∵，，
∴原式．
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】本题考查多项式乘多项式的运算以及整式的化简求值，多项式乘多项式需用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项，结合“不含某一项则该项系数为0”求解参数，再化简代数式代入求值。
(1)先将展开，合并同类项后得到，因为结果不含与项，所以这两项的系数分别为0，列出方程组和，求解即可得到m、n的值；
(2)先利用完全平方公式和平方差公式将代数式展开，合并同类项后进行整式的除法运算，化简为最简形式，再将(1)中求得的m、n的值代入计算。
（1）解：
，
∵计算结果中不含与项，
∴，，
解得，；
（2）解：
，
∵，，
∴原式．
20．【答案】（1）3；
（2）解：因为取走2个球后，还剩8个球，其中红球的个数没有变化，
所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率是
（3）解： (人)，
答：中一等奖的有200人
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】(1) 根据题意得： (个)，
设白球有x个，则黄球有( 个，
根据题意得x+2x+1=10-3，
解得x = 2；
所以摸出一个球是白球的概率.
故答案为：3，；
【分析】(1)总个数乘以摸出一个球是红球的概率即可得出答案；设白球有x个，则黄球有( )个，根据白球与黄球的个数之和列出关于x的方程，求出x的值，再根据概率公式求解即可；
(3)取走2个球后，还剩8个球，其中红球的个数没有变化，据此根据概率公式求解即可；
(4)用球的总个数乘以白球的概率即可得出答案.
21．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）平分，
，
，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
．
【知识点】角的运算；垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】本题考查垂线的定义、角平分线的定义以及平行线的判定定理，证明角相等可通过同角的余角相等，证明两直线平行可通过内错角相等进行推导。
(1)由可得，结合点O在直线AB上，平角为180°，可得，又已知，根据同角的余角相等，可证得；
(2)由OD平分可得，由可得，结合，可得，又已知，通过等量代换得，根据内错角相等，两直线平行，可证得。
（1）证明：（1），
，
，
，
，
，
；
（2）平分，
，
，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
．
22．【答案】（1）
（2）①，
②∵
∴
，
（3）解：∵，∴．
由图可知的底为x，高为2，
∴．
的底为2，高为，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
∴，
∴（舍去负值），
∴阴影部分面积和为8．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：依题意，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积
则；
故答案为：；
（2）解：①与（1）同理得，
∵，
∴，
∴
∴；
故答案为：；
【分析】本题考查完全平方公式的几何意义和公式变形应用，几何意义可通过图形的面积关系推导公式，再利用公式变形求解代数问题和几何面积问题。
(1)图2中大正方形的边长为，面积为，大正方形由边长为的小正方形和4个长为m、宽为n的小长方形组成，小正方形面积为，4个小长方形面积和为，因此可得；
(2)①将，代入(1)的结论，解关于的方程即可；②将变形为，再代入已知条件计算；
(3)由得，将阴影部分拆分为两个三角形，分别表示出面积并求和得阴影面积为，再利用完全平方公式求出，最后用求出的值，即为阴影部分面积和。
（1）解：依题意，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积
则；
故答案为：；
（2）解：①与（1）同理得，
∵，
∴，
∴
∴；
②∵
∴
，
故答案为：，13；
（3）解：∵，
∴．
由图可知的底为x，高为2，
∴．
的底为2，高为，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
∴，
∴（舍去负值），
∴阴影部分面积和为8．
23．【答案】（1）64
（2）解：∵平分，，∴，
∵平分，，
∴，
过D作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）18或90
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】（1）解：过C作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：64；
（3）解：分两种情况进行讨论：
①当位于与之间时，如图①，
由得：，
∵，经过时间t，
有，
则
而，
∴，
又∵，平分，
∴，
而，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
则，
解得：；
②当位于下方时，如图②，
∵，
∴，
经过时间，
同理：，
则，
而，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
解得，
综上：或90．
【分析】本题考查平行线的性质与判定的综合应用，结合角平分线的定义、角的旋转，分情况讨论角度关系，解题关键是作辅助线构造平行线，利用平行线的性质转化角的关系。
(1)过点C作，由得，根据两直线平行，内错角相等，得，，将两角相加即可得到的度数；
(2)由AE平分求出，由BF平分求出，过点D作，由得，根据平行线的性质得，，将两角相加即可得到的度数；
(3)先确定旋转的停止条件，再分在与之间、在下方两种情况，结合角平分线的定义表示出和相关的角，再根据的平行线性质列出关于t的方程，求解即可得到t的值。
（1）解：过C作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：64；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵平分，，
∴，
过D作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：分两种情况进行讨论：
①当位于与之间时，如图①，
由得：，
∵，经过时间t，
有，
则
而，
∴，
又∵，平分，
∴，
而，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
则，
解得：；
②当位于下方时，如图②，
∵，
∴，
经过时间，
同理：，
则，
而，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
解得，
综上：或90．
1 / 1

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