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第七章 相交线与平行线 提优测评卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.(2025·河南中考)如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为( ).
A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
2.(2025·济南市中区一模)为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间.如图(1)是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图(2)的数学问题:已知BC∥DE,∠ADE=80°,∠ABC=110°,则∠A 的度数是( ).
A. 40° B. 30° C. 20° D. 10°
3.(2025·吕梁交城一模)老师让同学们验证教室里黑板的上、下边缘是否平行.小明画出了如图所示的线段，并用量角器测量∠1，∠2 的度数，解决这个问题所应用的数学原理是( ).
A.两点确定一条直线 B.两直线平行，同旁内角互补
C.同旁内角互补，两直线平行 D.对顶角相等
4.(2025·郑州金水区一模)如图,直线AB∥CD,∠C=35°,AE⊥CE,则∠1 的度数为( ).
A. 115° B. 125° C. 135° D. 145°
5.(2025·福建中考)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点 A,E,C,F 在同一条直线上,∠BAC=∠EDF=90°,∠B=45°,∠DEF=60°.当AD∥BC时,∠ADE 的大小为( ).
A. 5° B. 15° C. 25° D. 35°
6.(2025·淄博高新区一模)将一块直角三角尺ABC 按如图方式放置，A，B两点分别落在直线m，n上，已知直线m∥n,且∠2=25°,则∠1的度数为( ).
A. 20° B. 35° C. 45° D. 50°
7.(2025·济南一模)物理学中，光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，反射光线与法线(垂直于平面镜的直线叫法线)的夹角等于入射光线与法线的夹角.如图一个平面镜斜着放在水平面上，形成∠AOB 的形状，∠AOB=36°，在OB 上有一点E，从点E 射出一束光线(入射光线)，经平面镜点D 处反射,反射光线DC 刚好与OB 平行,则∠DEB 的度数为( ).
A. 71° B. 72° C. 54° D. 53°
8.(2025·绵阳二模)如图,直线a∥b,直线AC交a于点B,交b于点C,直线AD 交直线a 于点D.若∠1=50°,∠2=110°,则∠3的度数为( ).
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
9.(2025·河北承德期中)如图，在一块长14m、宽6m 的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m 就是它的右边线，则绿化区的面积是( ).
A. B. C. D.无法确定
10.(2025·威海中考)如图,直线CF∥DE,∠ACB=90°,∠A=30°.若∠1=18°,则∠2等于( ).
A. 42° B. 38° C. 36° D. 30°
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.(2025·福建福州仓山区期中)如图,直线AB,CD 相交于点O,∠AOC:∠BOE=8:3,若∠BOE=30°,则∠DOE 的度数为 .
12.(2025·河北承德期中)如图,在三角形ABC 中,∠BCA=90°,BC=3,AC=4,AB=5. P 是线段AB 上的一动点，则线段CP 的最小值是 .
13.(2025·长春宽城区二模改编)用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1=20°，则∠2的度数为 .
14.(2024·东营中考)如图,将△DEF 沿FE 方向平移3cm得到△ABC,若△DEF 的周长为24cm,则四边形 ABFD 的周长为 cm.
15.(2025·河北唐山路南区期中)如图,AB∥CD,EF 分别交AB,CD 于点M,N,MG平分∠BMF,NG平分∠DNE，MH 平分∠AMF，下列四个结论中正确的是 .(只填序号)
①∠G=90°;②∠BMG+∠MNG=90°;③∠HMN=∠HNM;④MH∥NG.
16.(2025·福建南平建瓯期中)将一定宽度的纸带与一直角三角尺按如图所示的方式放置，下列结论中能判定纸带的边a∥b的结论是： .(写出所有正确结论的序号)
①∠1=∠2;②∠3=∠4;③∠2+∠4=90°;④∠4+∠5=180°;⑤∠1+∠4=90°.
17.(2025·南昌一模)如图,把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后,D,C分别落在D',C'的位置上,ED'与BC 交于点G,若∠EFG=56°,则 ∠AEG= .
18.(2024·江苏南京联合体期中)将一副三角板中直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，点 D 在直线AC 的上方.若三角板 DCE 中有一条边与斜边AB 平行，则∠ACD= °.
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)(2025·福建漳州期中)如图,OD平分∠AOB,P 为OA 上一点.
(1)请用直尺过点 P 作PQ∥OB，交OD 于点Q(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求证:∠POQ=∠PQO.
20.(6分)(2024·山东济南高新区期中)如图,在△ABC中,点E 在边BA 上,AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别是D,F,∠1=∠2.
(1)DG与BA 平行吗 为什么
(2)若∠B=51°,∠C=54°,求∠CGD 的度数.
21.(8分)(2025·安徽池州青阳期中)如图，将一张上、下两边平行(AB∥CD)的纸带沿直线MN 折叠，EF为折痕.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)已知∠2=50°,求∠BEF 的度数.
22.(8分)(2025·河南商丘永城期中)如图,在四边形ABCD 中,AE 平分∠BAD,交 BC 于点E,∠1=∠3.F 是AD 延长线上一点,连接EF,交CD 于点G,若∠2=∠C.
(1)求证:AD//BC.
(2)∠2=∠4吗 请说明理由.
(3)若∠C+∠F=90°,试说明CD 与EF 的位置关系.
23.(8分)(2024·辽宁沈阳铁西区期中)如图,直线 EA,DB 交于点F,点C 在AD 的左侧,且满足∠BDC=∠ABF,∠BAD+∠DCE=180°.
(1)判断 AD 与EC 是否平行 并说明理由.
(2)若 DA 平分∠BDC,CE⊥EA 于点E,∠BAF=52°,求∠ABF 的度数.
24.(8分)(2025·福建三明宁化期中)已知，如图，O是直线AB上一点，C是直线AB外一点,射线OD,OE 分别平分∠AOC,∠BOC,分别连接CD,CE,有∠CDO=∠AOD,∠OCE+∠BOC=180°.
(1)图中的∠DOE 的大小会因为点C 的位置改变而改变吗 说明理由.
(2)请说明点C，D，E是同一条直线上的三点.
25.(10分)如图(1),AB∥CD,在AB,CD 内有一条折线EPF.
(1)求证:∠AEP+∠CFP=∠EPF;
(2)在图(2)中，画∠BEP 的平分线与∠DFP 的平分线，两条角平分线交于点Q，请你补全图形，试探索∠EPF 与∠EQF 之间的关系，并证明你的结论；
(3)已知∠BEP 和∠DFP 均为钝角,点 G 在直线AB,CD 之间,且满足 (其中n为常数且n>1)，直接写出∠EGF 与∠EPF 的数量关系.
26.(12分)(2024·北京人大附中期中)已知点A,B,C,D,E均为定点,直线AB∥CD,P 为射线EA 上一个动点(点 P 不与点A 重合)，连接 PC.
(1)如图(1),当点 P 在线段AE 上时,若∠A=30°,∠C=70°,直接写出∠APC 的度数.
(2)点 M 为直线CD 下方的动点,连接CM,CM平分∠DCP.
①如图(2),当点 P 在线段AE 上时,连接AM,若AM平分∠BAE,用等式表示∠M 与∠APC 之间的数量关系，并证明；
②如图(3),当点 P 在直线CD 的下方运动时(点 P 在射线EA 上),射线 PN 平分∠APC,点 K 在直线CD 的下方,且满足射线CK∥PN,若∠BAE=34°,请直接写出∠MCK 的度数.
1. C
2. B [解析]如图,过点 A 作AF∥DE.
∵∠ADE=80°,
∴∠FAD=∠ADE=80°.
∵BC∥DE,∴AF∥BC.
∵∠ABC=110°,
∴∠FAB=∠ABC=110°,
∴∠BAD=∠FAB-∠FAD=30°. 故选 B.
3. C [解析]当∠1+∠2=180°时,上,下边缘平行,
解决这个问题所应用的数学原理是“同旁内角互补，两直线平行”.故选 C.
4. B [解析]如图,延长 AE 交CD 于点G.
∵∠C=35°,AE⊥CE,
∠CEG=125°.
∵AB∥CD,∴∠1=∠EGD=125°.故选 B
5. B [解析]∵∠BAC=90°,∠B=45°,∴∠ACB=45°.
∵AD∥BC,∴∠DAE=∠ACB=45°.
∵∠DEF=180°-∠AED=∠DAE+∠ADE=60°,
∴∠ADE=15°.故选 B.
6. B [解析]∵m∥n,∴∠2+∠CAB+∠ABC+∠1=180°.
∵∠2=25°,∠CAB=90°,∠ABC=30°,
∴∠1=35°. 故选 B.
7. B [解析]如图,过点 D 作DF⊥AO交OB 于点 F.
∵入射角等于反射角,∴∠CDF=∠EDF.
∵CD∥OB,∴∠CDF=∠DFE,
∴∠EDF=∠DFE.
在 Rt△DOF 中,∠ODF=90°,∠AOB=36°,
在△DEF 中, 、故选 B、
8. B [解析]∵a∥b,∠2=110°,
∴∠CBD=∠2=110°.
又∠1=50°,∴∠3=∠CBD-∠1=60°.故选 B.
9. C [解析]绿化区的面积为(14-3)×6=11×6=66m .故选 C.
10. A [解析]如图所示.
∵∠ACB=90°,∠1=18°,
∴∠GCD=180°-∠ACB-∠1=72°.
∵CF∥DE,∴∠CDE=∠GCD=72°.
∵∠A+∠2=180°-∠ADE=∠CDE,又∠A=30°,∴∠2=∠CDE-∠A=42°.故选 A.
11.50°[解析]∵∠BOE=30°,∠AOC:∠BOE=8:3,∴∠AOC=80°,∴∠BOD=∠AOC=80°,则∠DOE=∠BOD-∠BOE=80°-30°=50°.
12. [解析]由垂线段最短，可知当CP⊥AB时，CP 的长度最短，
∴在直角三角形中，由面积公式得 用两种方法表示同一个图形的面积，简称等面积法解得
13.140°
14.30 [解析]由平移的性质,可知AD=BE=3cm,AB=DE.∵△DEF 的周长为24 cm,
∴DE+EF+DF=24 cm,
∴四边形ABFD 的周长=AB+BE+EF+DF+AD=24+3+3=30(cm).
知识拓展 平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等.
15.①②④ [解析]∵MG 平分∠BMF,NG 平分∠DNE,
∵AB∥CD,∴∠BMN+∠DNM=180°,
∴∠NMG+∠GNM=90°,∠BMG+∠MNG=90°,
∴∠G=180°-∠NMG-∠GNM=180°-90°=90°.
∵MH 平分∠AMF,MG 平分∠BMF,
∠G=180°,∴MH∥NG.
根据题中条件无法判断∠HMN=∠HNM，故③错误.
综上所述，四个结论中正确的有①②④.
16.①②④⑤ [解析]①∵∠1=∠2,∴a∥b,故①符合;
②∵∠3=∠4,∴a∥b,故②符合;
③∠2+∠4=90°,无法得出a∥b,故③不符合;
④∵∠4+∠5=180°,∴a∥b,故④符合;
⑤∵∠2+∠4=90°,∠1+∠4=90°,∴∠1=∠2,∴a∥b,故⑤符合.综上，符合条件的是①②④⑤.
17.68°[解析]∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFG=56°.由折叠的性质,可知∠FEG=∠DEF=56°,∴∠AEG=180°-∠FEG-∠DEF=68°.
18.30或120或165 [解析]如图(1),CD∥AB,∠BCD=∠B=30°,∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°+30°=120°;
如图(2),DE∥AB 时,延长 EC 交AB 于点 F,则∠AFC=∠E=45°.
在△ACF 中,∠ACF=180°-∠A-∠AFC=180°-
∵∠DCE=∠DCF=90°,
∴∠ACD=∠ACF+∠DCF=165°;如图(3),当CE∥AB 时,∠B=∠BCE=30°.
∵∠ACD + ∠BCD = ∠BCE +∠BCD=90°,
∴∠ACD=∠BCE=30°.综上,∠ACD=30°或120°或 165°.
19.(1)如图所示,PQ 即为所求.
(2)∵PQ∥OB,
∴∠PQO=∠BOQ.
∵OD 平分∠AOB,
∴∠POQ=∠BOQ,
∴∠PQO=∠POQ.
20.(1)DG与BA 平行.理由如下:
∵AD⊥BC,EF⊥BC,
∴AD∥EF,∴∠2=∠3.
∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,
∴DG∥AB.
(2)如图,过点 C作CM∥AB,∵∠B=51°,∴∠BCM=180°-∠B=129°.
∵∠ACB=54°,
∴∠ACM=∠BCM-∠ACB=75°.
由(1)得DG∥BA,
∴CM∥DG、
∴∠CGD=∠ACM=75°.
21.(1)∵AB∥CD,
∴∠EFD+∠BEF=180°,即∠EFD+∠FEA'+∠1=180°.
∵A'E∥C'F,
∴∠EFC+∠FEA'=180°,即∠EFD+∠2+∠FEA'=180°,
∴∠1=∠2.
(2)∵∠2=50°,∴∠1=∠2=50°.
由折叠的性质,可得∠AEF=∠A'EF,
∴∠BEF=∠1+∠A'EF=115°.
22.(1)∵AE平分∠BAD,∴∠1=∠2.
∵∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴AD∥BC.
(2)∠2=∠4.理由如下:
由(1),可知AD∥BC,∴∠4=∠C.
∵∠2=∠C,∴∠2=∠4.
(3)由(1),可知AD∥BC,∴∠F=∠FEC.
∵∠C+∠F=90°,∴∠FEC+∠C=90°,
∴∠EGC=180°-∠GEC-∠C=90°,∴CD⊥EF.
23.(1)AD∥EC.理由如下:
∵∠BDC=∠ABF,∴AB∥CD,∴∠BAD=∠ADC.
∵∠BAD+∠DCE=180°,
∴∠ADC+∠DCE=180°,∴AD∥EC.
(2)∵CE⊥EA,∴∠CEF=90°.
∵AD∥EC,∴∠DAF=∠CEF=90°.
∵∠BAF=52°,
∴∠BAD=90°-∠BAF=90°-52°=38°,
∴∠ADC=∠BAD=38°.
∵DA平分∠BDC,∴∠BDC=2∠ADC=76°,
∴∠ABF=∠BDC=76°.
24.(1)∠DOE 的大小不会因为点C 的位置改变而改变.理由如下：
∵点O是直线AB上一点,∴∠AOB=180°.
∵射线OD,OE 分别平分∠AOC,∠BOC,
∵∠DOE=∠COD+∠COE,
∴∠DOE 的大小为定值，不会改变.
(2)∵∠CDO=∠AOD,∴CD∥AB.
∵∠OCE+∠BOC=180°,∴CE∥AB.
∵CD∥AB,CE∥AB,
∴点C，D，E是同一条直线上的三点.
25.(1)如图(1),过点 P 作PG∥AB.
∵AB∥CD,∴PG∥CD,∴∠AEP=∠1,∠CFP=∠2.又∠1+∠2=∠EPF,∴∠AEP+∠CFP=∠EPF.
(2)∠EPF+2∠EQF=360°.证明如下:如图(2),EQ 平分∠BEP,FQ平分∠DFP,交点为 Q.
由(1),可得∠EPF=∠AEP+∠CFP,同理,可得∠EQF=∠BEQ+∠DFQ.
∵∠BEP 的平分线与∠DFP 的平分线相交于点Q，
∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ
∴∠EPF+2∠EQF=360°.
(3)如图(3),由(1),可得∠EPF=∠AEP+CFP,同理,可得∠EGF=∠BEG+∠DFG.
∴∠EGF=∠BEG+∠DFG
∴∠EPF+n∠EGF=360°.
思路导引 本题考查了平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键.
(1)过点 P 作PG∥AB,然后根据AB∥CD,得 PG∥CD,可得∠AEP=∠1,∠CFP=∠2,据此判断出∠AEP+∠CFP=∠EPF 即可;
(2)首先由(1)可得∠EPF=∠AEP+∠CFP,同理可得∠EQF=∠BEQ+∠DFQ,然后根据∠BEP 的平分线与∠DFP的平分线相交于点 Q，推得 即可判断出∠EPF 和∠EQF 的关系.
(3)首先由(1)可得∠EPF=∠AEP+∠CFP,同理可得∠EGF=∠BEG+∠DFG,然后根据 同(2)中的解题步骤即可判断出∠EPF 与∠EGF 的数量关系.
26.(1)如图(1),过点 P 作PF∥AB.
∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD
平行于同一条直线的两条直线平行
∴∠A=∠APF=30°,∠C=∠CPF=70°,
(2)①∠APC=2∠M.证明如下:设∠1=x,∠2=y.
∵CM平分∠DCP,∴∠DCP=2∠1=2x.
∵AM平分∠BAE,∴∠BAE=2∠2=2y.
如图(2),过点P作PO//CD,过点M作MH//AB,
∴∠DCP=2x,∠3=∠2=y.
∵AB∥CD,PO∥CD,MH∥AB,∴AB∥OP,CD∥MH,
∴∠CMH=∠1=x,∠APO=∠BAE=2y,
∴∠APC=2x-2y,∠AMC=x-y,∴∠APC=2∠M.
②如图(3),当点 P 在线段AE上时,过点 P 作QR∥AB.
∵AB∥CD,∴CD∥QR.
设∠APC=2α,∠MCK=β.
∵PN平分∠APC,∴∠CPN=α.
∵CK∥PN,∴∠PCK=α,
∴∠DCM=∠PCM=α+β.
∵QR∥CD,∴∠CPQ=∠DCP=2α+2β.
∵QR∥AB,∴∠BAE=∠APQ=34°.
∵∠CPQ-∠CPA=∠APQ,∴2α+2β-2α=34°,解得β=17°,即∠MCK=17°;
当点 P 在线段 EA 延长线上时,如图(4),过点 P 作 PQ∥CD,则AB∥PQ,设∠APC=2a,∠MCK=β.
∵PN平分∠APC,∴∠CPN=∠APN=α.
∵CK∥PN,∴∠PCK=180°—α,
∵AB∥PQ,∴∠QPA=∠BAE=34°,
∵PQ//CD,∴∠4=∠CPQ=2α-34°.
∵∠4+∠PCK+∠DCK=180°,
,解得β=73°,即∠MCK=73°.
综上,∠MCK 的度数为17°或73°.

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