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教材挖掘拓展一一导数
救材拓展一：三次函数的圈象和性质求
1.三次函数的单调性
【链接教材】（人教A版2019选择性必修第二册P99T13)
1.利用信息技术工具，根据给定的a,b,c,d的值，可以画出函数f(x)=ax3+bx2+cx十d
的图象，当a=-4,b=1,c=5,d=-1时，f(x)的图象如图所示，改变a,b,c,d的值，观
察图象的形状：
=-4.00
b=1.00
c=5.00
d=-1.00
f()=ax8+r2十cx+d
5
0
(1)你能归纳函数(x)图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估
计它的单调区间吗？
(2)运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间.
【解析】(1)a≠0时，f(x)有如下图所示的几种情况，其图象大致为“S”型，当图象存在驼
峰，即存在极值点，则必有一个极大值，一个极小值：当不存在驼峰时，函数在定义域内为单调
增或单调减，如下图所示：
Mci
fixl
fi
【第1页（共13页）】
题设中的函数f()=-12x2+2x+5的图象，f)=0有=1±Y6:f)在
12
(-m,1)上单调递减，（后，1中面）上单调递增，(，+四)上单调递诚
12
12
(2)I、当a≠0时f'(x)=3ax2+2bx+c,
当a>0时，b2-3ac≤0，则f'(x)≥0，即f(x)单调递增：
当a>0时，b2-3ae>0,若f()=0,则西，=-b-y-3ac,=-b+vF-3ac
.x<时，f'(x)>0,f(x)单调递增：x2
时，f'(x)>0,f(x)单调递增：
当a<0时，b-3ac≤0，则f'(x)≤0，即f(x)单调递减：
当a<0时，P-3ac>0,若f)=0,则，=-b-=3ac,=-b+-30e
a
.x<,时，f"(x)<0,f(x)单调递减：G0,f(x)单调递增：x>2
时，f'(x)<0,f(x)单调递减：
Ⅱ、当a=0时，f()=bx2+cx+d,对称轴为x=-&
26
当b>0时，f)在(-0，一元)）上单调递减，在(-元+0)上单调递增：
当6<0时，f回在（仁0，一元）上单调递增，在(-元+0）上单调递减：
I、当a=0、b=0时，f(x)=cx+d:当c>0时，f(x)单调递增：当c<0时，f(x)单调
递减：
V、当a=0、b=0、c=0时，f(x)=d:f(x)无单调性
2.三次函数图象的对称性
推广拓展：对于一个三次函数f(x)=aac+bx2+cx+d(a≠0)来说，点(，f(x)是函
数f(x)图象的对称中心，其中满足方程f”()三0f"(x)为函数f(x)的二阶导数
证明：因为f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，所以f'(x)=3aax2+2bx+c,所以f"(x)=
6ax+2b.因为f"()=0,所以f"()=6a+2b=0,所以=-6，所以f(+x）+f(n
3a
-x)=a(zo+x)+b(xo+x)+c(zo+x)+d+a(xo-x)+b(zo-x)2+c(zo-)+d=2ax8
++2c+2d+(+2+2cd+f()
以点(cn,f(x)是函数f(x)图象的对称中心
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