资源简介

教材拓展：立体几何与空间向量
教材挖掘拓展1：祖暅原理及其应用
教材挖掘拓展2：几个特殊多面体
教材挖掘拓展3：重要结论
教材挖掘拓展4：三余弦定理与三正弦定理
教材挖掘拓展1：
祖暅原理及其应用
【链接教材】人教A版必修第二册P121探究与发现
祖暅(456年一536年)是南北朝时期伟大的数学家，在数学领域做出了突出的贡献.他提
出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”，“势”即高，“幂”即面积，后人称为“祖
暅原理”，用现代语言描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的
任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等
代数语言为：如图，平面a∥平面B,两个几何体T1,T2夹在a与B之间，任意平面y∥a(或
y∥B,y可以与a或B重合)
平面y截T1,T2的截面面积分别为S1与S2,若S1=S2,则VT1=VT2
简记为等高（势）等面（幂）等体积（容），
【应用1】我国南北朝时期著名的数学家祖暅提出了祖堩原理：“幂势既同，则积不容
异.”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，
若截得的两个截面的面积总相等，则这两个几何体的体积相等.某工艺品（如图1）对应的立体
x2 y2
图形是由双曲线4一日=1和直线y=3及y=一3围成的封闭图形绕y轴旋转一周后所得到
的几何体（如图2），则该几何体的体积为
图
图2
【答案】32π
试卷第1页，共14页
3
【解析】由题可得双曲线的渐近线y=戈×与y=3的交点为仕2,3)，对于双曲线上半
部分，如图，构造底面圆心为坐标原，点，底面半径为2，高为3的圆柱，则S圆柱底=4π，在圆
柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶，点，以圆柱上底面为底面的圆锥，用一平行于圆柱底面的
截面截圆锥，当截面与顶点的距离为h(0≤h≤3)时，设截得的小圆锥的底面半径为【，则由3
专，得r号n,
把y=h代入答苦=1，解得X=4+号记，
4
则阴影部分的截面面积为πx2-)=(4+与h2-与h的=4π，与所构造的圆柱底面面积相
等，故图中阴影部分绕y轴旋转所成几何体的体积与所构造圆柱体的体积相等，由祖胞原理得
1
旋转后所得几何体的体积V=2×(4π×3+3×4π×3)=32π.
【举一反三1】祖暅（公元前5~6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原
原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几
何体若在所有等商处的水平截面的面积相等。附这两个几何体体积相等。设由箱圆学+长-组>D0所
围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求
球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于()
raB.a2
A.
4
C.2πa2b
D.2πab2
【答案】A
【解析】椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,先构造两个底面半径为a,高为b的圆柱，然后在圆柱内挖
去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积
为V=2WVau)=2e×ax0×ax0号a,故选：A
教材挖掘拓展2：几个特殊多面体（正四面体、正八面体、正二十面体、阿基米德体等）
试卷第2页，共14页

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