资源简介

教材挖掘拓展平面向量
教材挖掘拓展平面向量…。
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教材挖掘拓展一：向量共线定理的推论
教材挖掘拓展二：向量三角形不等式…
2
教材挖掘拓展三：利用平行四边形对角线定理
.2
教材挖掘拓展四：用极化恒等式解平面向量问题3
教材挖掘拓展五：3个工具的应用：单位圆向量三角函数
.4
教材挖掘拓展六：三角形四心问题6
教材挖掘拓展七：妙用奔驰定理快速解平面向量问题
.8
教材挖掘拓展一：向量共线定理的推论
【链接教材】向量共线定理的推论：已知OA=1O尼+uOC,若1+4=1，则A、B、C
三点共线，反之亦然，其前提是OB,OC不共线（基底）
1.【位用】8工分别为等然数列a,,}的前n项和，受=部号.设点A是直线DC
外一点，点P是直线BC上一点，且A炉=+aA店+1AC,则实数A的取值为()
A.28
25
B.-号
c
D.
【解析J【解法运用：P、BC三点共线，∴十+入三1，
,会+=1会-袋
×5
b+b×5
==3x5+2=只
S2n-1
T
4×5+525
b
Tin-1
2
2+1=4+1=1,入=-25
25
,选B.
2.【应用2】（安微省皖江名校联盟2024届高三上学期第二次联考(10月）改编)己知O,A,B
是不共线的三点，且C,D满足OC=2OA,O元=3OB,直线AD与BC交于点P,若OP
=xOA+yOB.过点P任意作一条动直线交射线OA,OB于M,N两点，OM=AOA,ON
=OB(入，4>0)，则入+u的最小值为
【答案)号+
【解析】(1)由题意画出图像，
D
B
A
因为OP=xOA+yO成，所以O=号Od+vOi且OP=xOA+Oi,
【第1页（共9页）】
注意到B,P,C共线且A,P,D共线，所以
∫+号=1
解得=4，
受+y=1
=3
5
(2)由（①）和图象可知OP=4OA+3OB,结合OM=OA,ON=uO店.
5
D
B
于是o丽=责0N+品ON,所以责+品
5A
=1.
54
所以+=++品)=号+贵+
+4“+3别≥Z+45
5
5
当且仅当=3孔，即=3，
1=号+25
5
5A
54
554
u=g+2
时等号成立
5
于是A+:的最小值为？+4W
5
教材挖掘拓展二：向量三角形不等式头
【链接教材】向量三角形不等式：川-≤a±≤+，此不等式适用于求向量模
的最值或范围。
1.【应用1】(2024济南模拟)已知单位向量e,e2,…,e224,则le1+e2十…+e2m4的最大值是
,最小值是
【解析】当单位向量e1,e2,…,e2m4方向相同时，e+e2+十e224取得最大值，e+e2十
+e224=e+|e++|e2m4l=2024;当单位向量e,e2,…,e224首尾相连时，e1+e2十…
+e224=0,所以e,十e2十…十e22d的最小值为0.
2.【应用2】已知点A,B,C在以原点O为圆心的单位圆上运动，且AB⊥BC,若点P的坐
标为(2,0)，则PA+PB+PC的最大值为(0
A.6
B.7
C.8
D.9
【解析】由题意，AB⊥BC,AC为直径，所以PA+PB+PC=2PO+PB≤4+
P≤4+3=7，当且仅当点B为(-1,0)时，PA+PB+PC取得最大值7.故选B
救材挖掘拓展三：利用平行四边形对角线定理米
【链接教材】（必修二P39例2）平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.（注
意：这是必修五教材上的一个例题证明)即：(d+b)2+(d-b)2=2(+b2),该定理适
用于求模的值或最值。运用的关键是：(1)利用(d+)2+(a-b2=22+b),己知
a+,a-,,中的三个量的值，求第四个值。(2)利用平行四边形对角线定理构
造等式解决模的最值或范围问题。
1.【应用1】已知共面向量d,6,c,满足=3,6+c=2d,且|=b-:若对每一个确定的
【第2页（共9页）】

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