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教材挖掘拓展 解三角形
教材挖掘拓展一: 三角形的解有问题
1. 【链接教材】(人教A版必修二P47例 8)在△ABC中，已知B= 30°，b= 2，c= 2，解这
个三角形.
csinB 2sin30° 2
【解析】由正弦定理，得 sinC= = = .
b 2 2
因为 c> b，B= 30°，所以 30° (1)当C= 45°时，A= 105°.此时
2sin 60°+45°
a= bsinA = 2sin105° =
sinB sin30° sin30°
2 sin60°cos45°+cos60°sin45°=
sin30°
2 3 × 2 + 12 2 2 ×
2
2 = = 3+ 1.
1
2
(1)当C= 135°时，A= 15°.此时
a= bsinA = 2sin15°
2sin 45°-30°=
sinB sin30° sin30°
2 sin45°cos30°-cos45°sin30°=
sin30°
2× 2 × 32 2 -
2 1
= 2
× 2 = 3- 1.
1
2
由三角函数的性质可知，在区间 0,π 内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有
一解；正弦函数在区间 0, π π内单调递增，在区间 ,π 内单调递减，所以利用正弦定理2 2
求角，可能有两解.
2. 【应用 1】△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，sin2C+ 3cos(A+B) = 0且 c=
13，a < c, a +b= 5.则△ABC的面积是 .
【解析】由 sin2C+ 3cos(A+B) = 0且A+B+C= π，
有 2sinCcosC- 3cosC= 0，所以,cosC= 0 sinC= 3或 .
2
由 a= 4,c= 13 ,有 c< a,所以只能 sinC= 3 ,则C= π ，
2 3
c2= a2+ b2- 2abcosC= (a+ b)2- 3ab= 25- 3ab= 13，ab= 4,
S= 1 absinC= 1 × 4× 3 = 3 .
2 2 2
教材挖掘拓展二: 射影定理及向量方法证明
1. 已知在△ABC中BC，CA，AB的长分别为 a，b，c，试用向量方法证明：
(1)c= bcosA+ acosB；
(2)c2= a2+ b2- 2abcosC.

【解析】(1) ∵AB=AC +CB，

∴AB·AB= (AC +CB)·AB，即 |AB|2= |AC|·|AB|cosA+ |CB||AB|cosB，
【第1页（共6页）】
∴ c2= bccosA+ accosB，则 c= bcosA+ acosB；

(2) ∵AB=AC +CB，

∴ (AB)2= (AC +CB)2= (AC)2+ (CB)2+ 2AC·CB，即 c2= b2+ a2+ 2b·acos(180°
-C)，
∴ c2= a2+ b2- 2abcosC.
教材挖掘拓展三: 海伦公式与秦九韶公式的等价性
【链接教材】人教A版必修第二册P55阅读与思考：海伦公式与秦九韶公式
已知 △ABC三个内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，面积为 S，则 S =
p(p-a)(p-b)(p-c)，其中 p= 1 (a+ b+ c).这是古希腊数学家海伦 (Heron，
2
约 1世纪)在其著作《测地术》中展现的，而证明过程在海伦的另两本著作《测量仪
器》与《度量术》中，公式呈现了轮换的对称美，用之求已知三角形三边时的面积明
快简捷，人们称之为海伦三角形面积公式，简称海伦公式．
我国南宋著名数学家秦九韶 (约 1202-约 1261)在其著作《数书九章》卷五
2 2 2 2
中，用“三斜求积”求得S== (ab)2- a +b -c ，称之为“三斜求积”公式，后2
人称这一伟大创举为秦九韶公式．
2．两个公式的证明与等价性
下面用现在所学习的求三角形面积的方法先证明秦九韶公式，再说明秦九韶
公式与海伦公式的等价性．
2 2 2
根据余弦定理的推论得 cosC= a +b -c ，
2ab
2 2 2 2
则 sinC= 1-cos2C = 1- a +b -c ，代入S= 1 absinC，2ab 2
2 2 2 2
得S= 1 ab 1- a +b -c = 1 (2ab)2- a2+b2-c2 2 (秦九韶公式的证明)2 2ab 4
= 1 2ab- a2+b2-c2 2ab+ a2+b2-c2
4
= 1 (a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)又 p= 1 (a+ b+ c)，
4 2
1
所以 (b+ c- a) = p- a, 1 (c+ a- b) = p- b, 1 (a+ b- c) = p- c，
2 2 2
代入可得S= p(p-a)(p-b)(p-c)海伦公式；
说明秦九韶公式与海伦公式是等价的，因此统称为海伦-秦九韶公式．
1. 【链接教材】(必修二P54T20) 已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为 a，b，c，设 p
= 1 (a+ b+ c)，求证：
2
(1)三角形的面积S= p(p-a)(p-b)(p-c)；
(2)若 r为三角形的内切圈半径，则 r= (p-a)(p-b)(p-c) ；
p
(3)把边BC，AC，AB上的高分别记为 ha,hb,hc,则 ha=
2 p(p-a)(p-b)(p-c)，h
a b
=
【第2页（共6页）】
2 p(p-a)(p-b)(p-c)，hc= 2 p(p-a)(p-b)(p-c).b c
【解析】【解析】证明：(1)已证 (2)因为 p= 1 (a+ b+ c)，所以三角形的周长 l= a+ b+
2
c= 2p 1 1，又三角形的面积S= lr= 2p r= pr，其中 r为内切圆半径，
2 2
= S = (p-a)(p-b)(p-c)所以 r ；
p p
(3) 1 1 1根据三角形的面积公式S= ah
2 a
= bh = ch ，
2 b 2 c
h = 2S 2得 a = p(p-a)(p-b)(p-c) .a a
2
同理可证 hb= p(p-a)(p-b)(p-c)
2
，hc= p(p-a)(p-b)(p-c) .b c
2. 【应用 1】我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形
三边长求三角形面积的公式.在△ABC中，设 a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对
1 a2+b2-c2 2边，S 2 3 a表示△ABC的面积，其公式为S=
4 a
2b2 - .若 = ，2 sinB sinC
b= 3 3，S= ，则 c=______.
2
21
【答案】1或
3
b a
【解析】在△ABC中，由正弦定理得 = ,
sinB sinA
b= 3 3 = a 2 3 = a 2a a而 ，故 ，结合 可得 =
sinB sinA sinB sinC sinA sinC
即有 sinA= 2sinC, ∴ a= 2c，由 b= 3，S= 3 3可得 =
2 2
1
2
12c2- 4c +3-c
2 2
，整理得 3c4- 10c2+ 7= 0，解得 c2= 1或 c2= 7 ，4 2 3
故 c= 1 c= 21 21或 ，符合题意，故答案为：1或
3 3
教材挖掘拓展四: 三角形中线问题
1. 【链接教材 1】(人教A版必修第二册P53 T15) △ABC的三边分别为 a，b，c，边BC，CA，
AB 1上的中线分别记为ma,mb,mc，利用余弦定理证明ma= 2 b2+c2 -a2，m2 b=
1 2 a2+c2 1 -b2，mc= 2 a2+b2 -c22 2
a2+c2-b2
【解析】证明：根据余弦定理得 cosB= ，
2ac
2 2 2 2
m2= a + c2- 2 a c cosB= a + c2- ac a +c -b
2 1
所以 a = 2 b2+c2 -a2 ，2 2 4 2ac 4
m = 1所以 a 2 b2+c2 -a2，2
1 1
同理可得mb= 2 a2+c2 -b2，m = 2 a2+b2 -c22 c .2
2. 【链接教材 2】(人教A版必修第二册P53习题 6.4T12) 如图，在△ABC中，已知AB= 2,
AC= 5,∠BAC= 60°，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求∠MPN的余弦
值.
【第3页（共6页）】
4 91
【答案】
91
【解析】∵M，N分别是BC，AC的中点，
1 ∴AM = (AB+AC),BN =AN -AB= 1 AC -AB.
2 2

∵ ∠ ,∴ ∠ = A M BNAM 与BN 的夹角等于 MPN cos MPN .
|AM ||BN |

∵AM BN = 1 (AB+AC) 1 AC-AB2 2
1 1 1 2 1 = AB AC - AB+ AC - AB AC =- 1 × 2× 5× cos60°- 1 × 22+ 1 ×
4 2 4 2 4 2 4
52= 3，

|AM | = 1 2 2 AB +2AB AC+AC = 1 × 22+2×2×5× 1 +52 = 39 ，4 4 2 2
1 | | = 2

- 2BN AC AC AB+AB = 1 ×52-2×5× 1 +22= 21 ，
4 4 2 2
∴ cos∠MPN= 3 = 4 91 ．
39 21 91
2 × 2
3. 【应用 1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，其外接圆的半径为 3，且满
足 4 3sinBcosC= 2a- c．
(1)求角B．
(2) 5若AC边上的中线长为 ，求△ABC的面积和周长．
2
【解析】(1)由外接圆半径为 3得 b= 2 3sinB，由 4 3sinBcosC= 2a- c，得 2bcosC
= 2a- c，
利用正弦定理得：2sinBcosC= 2sinA- sinC，即 2sinBcosC= 2sin(B+C) - sinC，
化简得 sinC= 2sinCcosB，由C为△ABC 1的内角，得 sinC≠ 0，可得 cosB= ，
2
又B为△ABC π的内角，所以B= ．
3
(2) b由正弦定理得： = 2 3 b= 3，设D 3 5为AC边上的中点，则AD= ,BD= ，
sinB 2 2
25 + 9 -a2 25 + 9 -c2
在△BCD 4 4中，cos∠BDC= ，在△ABD中，cos∠ADB= 4 4 ，
2× 52 ×
3
2 2×
5 3
2 × 2
因为∠ADB+∠BDC= π，所以 cos∠ADB+ cos∠BDC= 0，可得 a2+ c2= 17，
由余弦定理 b2= c2+ a2- 2accosB，即 9= c2+ a2- ac，ac= 8，
1
由三角形面积公式得：S△ABC= acsinB= 2 3，2
由 9= c2+ a2- ac，得 (a+ c)2- 3ac= 9，得 a+ c= 33，所以周长为 3+ 33．
【第4页（共6页）】
教材挖掘拓展五: 角平分线问题
1.角平分线定理及其推导
[定理]　在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D(如图)，则有 AB = BD .
AC CD
证明：因为∠ADB+∠ADC= π，
所以 sin ∠ADB= sin ∠ADC，
在△BAD中，由正弦定理得 AB = BD ，
sin∠ADB sin∠BAD
在△CAD中，由正弦定理得 AC = CD ，又∠BAD=∠CAD，
sin∠ADC sin∠CAD
所以 AB = BD .
AC CD
2.处理角平分线问题的常用策略
1. 【应用 1】如图，已知在△ABC中，M为BC上一点，AB= 2AC≤BC，B∈ 0, π2 且 sinB
= 15 ．
8
(1)若AM=BM AC，求 的值；
AM
(2)若AM为∠BAC的平分线，且AC= 1，求△ACM的面积．
15 π 7
【解析】(1)因为 sinB= ，B∈ 0, ,所以 cosB= 1-sin2B = ，8 2 8
AB= 2AC sinC AB因为 ，所以由正弦定理知 = = 2，即 sinC= 2sinB，
sinB AC
因为AM=BM，所以∠AMC= 2∠B，sin∠AMC= sin2B= 2sinBcosB，
△AMC AC = sin∠AMC = 2sinBcosB在 中， = cosB= 7 ．
AM sinC 2sinB 8
2
(2) 2 +x
2-12 7
由题意知AB= 2AC= 2，设BC= x，由余弦定理得 cosB= = ，解得
4x 8
BC= 2 BC= 3或 ．
2
因为 2AC≤BC，所以BC= 2，因为AM为∠BAC的平分线，∠BAM=∠CAM
1 1
S 2 AB AM sin∠BAM 2 BM×h
所以 △ABM = = (h为底边BC的高)
S△ACM 1
2 AC AM sin∠CAM
1
2 CM×h
BM
所以 = AB = 2，故CM= 1 BC= 2 ，而由 (1)知 sinC= 2sinB= 15 ，
CM AC 3 3 4
所以S△ACM=
1 AC CM sinC= 1 × 1× 2 × 15 = 15 ．
2 2 3 4 12
【第5页（共6页）】
2. 【应用 2】已知△ABC的内角A,B,C π的对边分别为 a,b,c，且 3sin +B +6
sin π -B3 = 0.
(1)求∠B的值；
(2)给出以下三个条件：
条件①：a2- b2+ c2- 3c= 0；条件② a= 3 15 3；条件③S△ABC= .这三个条件中仅有两4
个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
(i)求 sinA的值；(ii)求∠ABC的角平分线BD的长.
【解析】(1) 3sin π +B + sin π -B = 0 3 cosB+ 3， sinB+ 3 cosB- 1 sinB6 3 2 2 2 2
= 0，
sinB+ 3cosB= 0，2sin B+ π = 0，得B+ π = kπ，k∈ Z，由 0(2)若条件①正确，由 a2- b2+ c2- 3c= 0，得 a2+ c2- b2= 3c，由余弦定理，得 cosB=
a2+c2-b2 - 1 = 3c = 3，即 ，解得 a=-3不符合题意，故条件①不正确，则条件②③正
2ac 2 2ac 2a
确；
(i)由S△ABC=
1 acsinB 15 3 15 3 1 3，S
2 △ABC
= ，a= 3，得 = × 3× c，解得 c= 5，
4 4 2 2
由余弦定理，得 b2= a2+ c2- 2accosB= 9+ 25- 30× - 12 = 49，
b> 0 b a asinB 3 3因为 ，所以 b= 7，由正弦定理，得 = ，即 sinA= = ；
sinB sinA b 14
(ii) b c由正弦定理，得 = ，即 sinC= csinB = 5 3 ，因为BD平方∠ABC，
sinB sinC b 14
∠ABC= 2π ，所以∠ABD=∠CBD= π ，在△ABD BD中，由正弦定理，得 =
3 3 sinA
AD
，
sin∠ABD
在△CBD BD CD中，由正弦定理，得 = ∠ ，又CD= 7-AD，上述两式相除，得sinC sin CBD
sinC = AD ，
sinA 7-AD
35 ADsinA 35 3 15
解得AD= ，所以BD= ∠ = × = .8 sin ABD 8 7 8
【第6页（共6页）】

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