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教材挖掘拓展 数列
教材挖掘拓展一: 深度理解概念与性质　 1
教材挖掘拓展二: 斐波那契数列 2
教材挖掘拓展三: 牛顿法求方程的近似解与数列 4
教材挖掘拓展一: 深度理解概念与性质　
【链接教材 1】下列命题是充要条件吗
(1) (人教A版选择性必修第二册P17例 5) 已知数列 an}是等差数列，p，q，s，t∈N
*，且 p+ q= s+ t.则ap+ aq= as+ at.
( S2)人教A版选择性必修第二册P25T7:Sn是等差数列 an}前 n项和,则 n n
是等差数列 (3) (人教A版选择性必修第二册 P20)等差数列 an},其前 n项和
, (a +aS S = 1 n)n 则 n n2
【链接教材 2】
人教A版选择性必修第二册P37例9 (略改)判断:已知等比数列 an ，其前n项和Sn,
则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列
解析：不一定正确；因为当 q=-1,n为偶数时,Sn= 0,不成等比数列
当q=1时,Sn=na1,S2n-Sn=2na1-na1=na1,
S3n-S2n=3na1-2na1=na1,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列
q≠1 ,S = a1 1-q
n ,S -S = a
2n n n n
1 1-q - a1 1-q = a1q 1-q 当 时 n 1-q 2n n 1-q 1-q 1-q =q
nSn
a 1-q3n a 1-q2n 2nS -S = 1 - 1 = a1q 1-q
n n
3n 2n 1-q 1-q 1-q =q S2n-Sn ,
因为qn为常数,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列
拓展思考:性质使用时,(S2n-S )2n =Sn(S3n-S2n)若结果有两解,如何确定取舍
1. 记Sn为等比数列 an 的前n项和，若S4=-5，S6= 21S2，则S8= ( )．
A. 120 B. 85 C. - 85 D. - 120
【答案】C
【解析】方法一：设等比数列 an 的公比为 q，首项为 a1，
若 q= 1，则S6= 6a1= 3× 2a1= 3S2，与题意不符，所以 q≠ 1；
a 4 6 2
S =-5 S = 21S 1
1-q a1 1-q a1 1-q
由 4 ， 6 2可得， 1- =-5， = 21× ①，q 1-q 1-q
由①可得，1+ q2+ q4= 21，解得：q2= 4，
a 1-q8 a 4
S = 1 = 1
1-q
所以 48 - - × 1+q =-5× 1+16 =-85．故选：C．1 q 1 q
方法二：设等比数列 an 的公比为 q，
因为S4=-5，S6= 21S2，所以 q≠-1，否则S4= 0，
从而，S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列，
所以有， -5-S 22 =S2 21S2+5 ，解得：S2=-1或S = 52 ，4
当S2=-1时，S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6，即为-1, -4, -16,S8+ 21，
【第1页（共7页）】
易知，S8+ 21=-64，即S8=-85；
当S2= 5 时，S4= a1+ a2+ a3+ a 24= a1+a2 1+q = 1+q2 S2> 0，4
与S4=-5矛盾，舍去．故选：C．
教材挖掘拓展二: 斐波那契数列
【链接教材】(人教A版选择性必修第二册P10阅读与思考)
1202年，意大利数学家斐波那契 (Fibonacci)在《算盘书》中提到下面的问
题：
如果 1对兔子每月能生 1对小兔子 (一雄一雌)，而每 1对小兔子在它出生后
的第 3个月里，又能生 1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由 1对初生的小
兔子开始，50个月后会有多少对兔子？
即从第 1个月开始，每月末的兔子总对数是
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， .
如果用Fn表示第n个月的兔子的总对数，则
Fn=Fn-1+Fn-2(n> 2).
这是由递推公式给出的数列，称为斐波那契数列，也称兔子数列，通常用数
列 {Fn}表示．数列 {Fn}有很多优美的性质，其中常用的有如下几个基本性质．
[性质 1]　面积关系图与黄金螺旋线
[性质 2]　F 21 +F 2+ +F 22 n =FnFn+1
证明：方法一：由性质 1面积关系--前 n个小正方形的面积之和等于长为
Fn+1，宽为Fn的大矩形的面积，
即F 21 +F 22 + +F 2n =FnFn+1.
方法二：由Fn+2=Fn+1+Fn得，FnFn+1=Fn(Fn+Fn-1)
=F 2n + (F 2 2n-1+Fn-2)Fn-1=Fn +Fn-1+Fn-2(Fn-2+Fn-3)
=F 2+F 2 2 2 2 2 2n n-1+Fn-2+ (Fn-3+Fn-4)Fn-3= =Fn +Fn-1+ +F2 +F1 .
所以F 2+F 21 2 + +F 2n =FnFn+1.
n n
[性质 3]　数列 {Fn}的通项公式F = 1 1+ 5 1- 5n
5
-2 2
证明：由Fn+2=Fn+1+Fn得，Fn+2- λFn+1= (-λ+ 1)Fn+1+Fn
= (-λ+ 1) F + 1 1 2n+1 - + Fn .令-λ= - + ，得 λ - λ- 1= 0，λ 1 λ 1
解得 λ= 1± 5 .
2
当 λ= 1+ 5 时，F - 1+ 5 F= 1- 5 ，
2 2 2 1 2
Fn+2- 1+ 5 F = 1- 5 F 1+ 52 n+1 2 n+1- Fn .2
所以数列 F - 1+ 5 F 是首项为 1- 5 ，公比为 1- 5 n+1 n 的等比数列，2 2 2
n-1 n
所以F 1+ 5n+1- F = 1- 5 × 1- 5 = 1- 52 n 2 2 2 .①
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当 λ= 1- 5 时，F - 1- 52 F1= 1+ 5 ，2 2 2
F 1- 5n+2- Fn+1= 1+ 5 F 1- 5n+1- Fn .2 2 2
所以数列 F 1+ 5 1+ 5 1+ 5 n+1- F2 n 是首项为 ，公比为 的等比数列，所2 2
n-1 n
以 F - 1- 5 F = 1+ 5 × 1+ 5n+1 n = 1+ 5 .② 由①②联立解2 2 2 2
得F = 1
n-
1+ 5 1- 5
n
n .5 2 2
[性质 4]　数列 {Fn}的前n项和Sn=Fn+2- 1
证明：因为Fn+2=Fn+1+Fn=Fn+Fn-1+Fn-1+Fn-2=Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-2+
Fn-3= =Fn+Fn-1+Fn-2+ +F2+F2+F1=Sn+F2=Sn+ 1.
所以Sn=Fn+2- 1.
1. 满足 a1= a2= 1，an= an-1+ an-2(n≥ 3)的数列 {an}称为斐波那契数列，又称黄金分割数
列．依次以斐波那契数列 {an}各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形
的边长，圆心角为 90°的圆弧，依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线 (也
称“黄金螺旋线”).如图，圆心角为 90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段，
则阴影部分面积与扇形OAB面积的比值为 (　　)
A. 3 B. 1 C. 5 D. 7
8 2 8 8
【答案】C.
【解析】由题意得，a1= a2= 1，a3= 2，a4= 3，a π5= 5，则阴影部分面积为 (a2 2 24 1+ a2+ a3
2
+ a2+ a2) = π × (12+ 12+ 22+ 32+ 2) = (a +a +a ) π4 5 5 10π，扇形OAB 1 3 5的面积为 =4 4
(1+2+5)2π = 16π 10π 5，所以所求比值为 = .
4 16π 8
2. (多选)意大利人斐波那契于 1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，
5，8，13， .即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这一列
数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列 an 说法正确的是 ( )
A. a14= 233 B. a2024是偶数
C. a2024= a1+ a2+ a3+ +a2022 D. a2020+ a2024= 3a2022
【答案】D
【解析】由已知得数列 an 满足递推关系 an+2= an+1+ an，a1= a2= 1，
对选项A：a14= a13+ a12= 2a12+ a11= 3a11+ 2a10= 5a10+ 3a9= 8a9+ 5a8= 13a8+ 8a7
= 13× 21+ 8× 13= 377，故A错误；
对选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，
【第3页（共7页）】
2024= 674× 3+ 2，不能被 3整除，且 a2为奇数，
所以 a2024也为奇数，故B错误；
对选项C：若选项C正确，又 a2024= a2023+ a2022，则 a2023= a1+ a2+ a3+ +a2021，
同理 a2022= a1+ a2+ a3+ +a2020,a2021= a1+ a2+ a3+ +a2019，依次类推，
可得 a4= a1+ a2，显然错误，故C错误；
对选项D：a2024= a2023+ a2022= 2a2022+ a2021，
所以 a2020+ a2024= a2020+ 2a2022+ a2021= 2a2022+ a2020+a2021 = 3a2022，故D正确.
故选：D.
3. 意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对
兔子每月能生 1对小兔子 (一雄一雌)，而每 1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生
1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第 1个月 1对初生的小兔子开始，以后每个月
的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21， ，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式
是 an= a *n-1+ an-2(n≥ 3，n∈N )，其中 a1= 1，a2= 1。若从该数列的前 2025项中随机地
抽取一个数，则这个数是偶数的概率为
31
【答案】
101
【解析】由 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144 是斐波那契数列，可知从第一项开
始，每三项最后一项为偶数， (观察偶数出现的周期性)
2025
而 = 675
3
前 2025项中有 675 675 31个偶数，故所求概率为 = .
2025 101
教材挖掘拓展三: 牛顿法求方程的近似解与数列
人教A版选择性必修第二册 P82探究与发现：牛顿 (Isaac Newton)在《流数
法》一书中给出了一种求高次代数方程 f(x) = 0近似解的方法--牛顿法． (如
图)
其步骤是：(1)在曲线C：y= f(x)上取一点P0(x0，f(x0))，作C在点P0处的切
线 l1与 x轴交于点Q1(x1，0).
(2)用 x1代替 x0重复过程 (1)得到点Q2(x2，0)，
依次下去，在 x轴上便得到序列点Q1(x1，0)，Q2(x2，0)， ，Qn(xn，0).
(3)计算 xn
由 y- f(x0) = ′ ( ) ( -
f(x0) f(x )f x0 x x n-10)得 x1= x0- ， ，xn= xn
f′(x ) -1
- .
0 f′(xn-1)
(4)当 |xn- x|很小很小时，将 xn作方程 f(x) = 0的近似解．
【第4页（共7页）】
其中 xn= xn-1-
f(xn-1) (n≥ 1)是我们学习数列时经常见到的递推公式，因
f′(xn-1)
此牛顿法求方程的近似解是与数列知识紧密相关的．
1. 英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中
x 673 x f x 1应用广泛．若数列 n 满足 ，则称数列 n 为牛顿数列．若 = ，数列 xn 2021 x
为牛顿数列，且 x1= 1，xn≠ 0，数列 xn 的前n项和为Sn，则满足Sn≤ 2024的最大正整
数n的值为 ( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】A
1 1 1 1
【解析】因为 f x = ，所以 + + + ，x 1×2 2×3 n×(n+1)
1则 × + 1× + + 1 ，又 x1= 1，xn≠ 0，1 2 2 3 n×(n+1)
1 1 1
所以 xn 是首项为 x1= 1，公比 × + × + + 的等比数列，则1 2 2 3 n×(n+1)
1 + 1 + + 1 ，1×2 2×3 n×(n+1)
1令 × + 1 1× + + ，则 2n≤ 2025，又因为1 2 2 3 n×(n+1)
1× + 1 1× + + 在定义域内单调递增，1 2 2 3 n×(n+1)
1 + 1且 × × + + 1 1 1 1，所以 + + + ，所以最大1 2 2 3 n×(n+1) 1×2 2×3 n×(n+1)
正整数n的值为 10．
故选：A.
2. (多选)牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应
用非常广泛，其定义是：对于函数 f 1 x 和数列 xn ，若 × + 1 + + 1 ，1 2 2×3 n×(n+1)
则称数列 xn 为牛顿数列.已知函数 f x = x2- 4，数列 xn 为牛顿数列，且
1× + 1 + + 1 ，a = 1，x > 2 n∈N* ，则下列结论中正确的是1 2 2×3 ×( + ) 1 nn n 1
( )
A. x = 2e+2 11 - B. × + 1× + + 1e 1 1 2 2 3 n×(n+1)
C. an 是等比数列 D. a6= 32
【答案】ACD
【解析】对于A 1 1，由 × + × + + 1 得，1 2 2 3 n×(n+1)
1 1 1 2e+2× + × + + 解得 x1= - ，故A正确；1 2 2 3 n×(n+1) e 1
对于B，因为 xn> 2 1 1 1，所以 + + + ，1×2 2×3 n×(n+1)
【第5页（共7页）】
1 1所以由 × + × + + 1
f(x )
1 2 2 3 n×(n+1) x = x -
n
可得 n+1 n
f
.
(xn)
x2-4 x2( ) = 2- = - n = n+4由 f x x 4得，xn+1 xn ，2xn 2xn
1 1 1
一方面， × + + + ，另一方面，1 2 2×3 n×(n+1)
1× + 1× + + 1 ，1 2 2 3 n×(n+1)
1 1因此 × + × + + 1 ，故B错误，1 2 2 3 n×(n+1)
x +2 x +2
对于CD，于是 ln n+1 = 2ln n- ，即 an+1= 2a ，xn+1 2 x nn+1-2
所以数列 an 是以 a1= 1为首项，2为公比的等比数列，故 a6= 25= 32.故CD正确，
故选：ACD.
3. (浙江省绍兴市诸暨市 2023- 2024学年高二上学期期末考试)物理学家牛顿用“作切线”
的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对
于函数 ，若满足 ，则称数列 为牛顿数列．已知
，如图，在横坐标为 的点处作 的切线，切线与 x轴交点的横坐标
为 ，用 代替 重复上述过程得到 ，一直下去，得到数列 ．

(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的前n项和为 ，且对任意的 ，满足 ，求整
数 的最小值． (参考数据： ， ， ，
)
【解析】
(1) ， 在点 处的切线方程为：
令 ，得 ，所以 是首项为 1，公比为 的等比数列，故
【第6页（共7页）】
(2)令
，
，
两式相减得：
化简得： 故 ，
化简得 令 ，则
，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以 从而整数 .
【第7页（共7页）】

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