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教材挖掘拓展12：圆锥曲线
教材挖掘拓展1：圆锥曲线的由来
【链接教材】人教A版选择性必修第一册P104第三章序
【应用1】2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，
古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线.用垂直于圆锥的轴的
平面去截圆锥，得到的是圆：把平面渐渐倾斜，得到椭圆：当平面倾斜到“和且仅和”圆锥
的一条母线平行时，得到抛物线：用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支
(把圆锥面换成相应的二次锥面时，则可得到双曲线)，现用一个垂直于母线的平面去截
个等边圆锥（轴截面为等边三角形），则所得的圆锥曲线的离心率为
【答案】
3
【解析】如图口PAB是等边三角形，设棱长为12，不妨过点A作垂直于母线PB的平面，得
到截面曲线为椭圆，截面过PB的中点M,则椭圆长轴长2aAM=6√3，
取线段AM的中点O',连接PO'并延长交AB于点Q,过Q作EF⊥AB交底面圆于点
E,F,连接PE,PF分别交椭圆于点G,H,则椭圆短轴长2bGH|,且EF/GH,
取BO中点N,连接MN,则MN//PQ.IPQ非2MN,1QO'-IMN IPQI,
因此
P即2D引EF,品然Q,N是线段AB的两个3等分点
即AQ=4,BQ=8,由相交弦定理得|EQAQ‖BQ=32,解得1EQ=4√2，
于是2b=321EQF6N2,b-2
4
所以椭圆的离心率e=Va3-b2
1b23
a
a23
故答案为：
3
OO N
B
试卷第1页，共26页
教材挖掘拓展2：动点与两定点斜率关系的轨迹问题
【链接教材1】（人教A版选择性必修第一册P例3）如图，设A,B
两点的坐标分别为（一5,0），(5,0).直线AM,BM相交于点M,且它
们的斜率之积是一g(教材P121探究斜率之积是9)，求点M的轨迹方
A
程，
解：设点M的坐标为(X,y),因为点A的坐标是(-5，O),所以直线AM的
斜率kw=本5≠-5八
同理，直线BM的斜率k@w文之5≠5)
由已知，有x名5X5=台≠均，
4
x
y2
化简，得点M的轨迹方程为
25+100
=1(X≠±5).，点M的轨迹是除去(-5，
9
0),(5,0)两点的椭圆.
此类问题在教材P109练习T4,P126练习T1,P139习题3.3综合运用T11,P145
复习参考题3综合运用Tg中多次呈现，是典型的通过动点与两定点斜率关系来
确定点的轨迹问题.
拓展：一般地，A(-a,O),B(a,O)(a>0)是两定点，直线MA与直线MB交于
点M,两直线的斜率分别为k1,k2,若
(1)kk2=0≠0)
当1<0，且1≠一1时，点M的轨迹是以A,B为顶点的椭圆（去掉点A,B),
当1=一1时，点M的轨迹是以A,B为直径的圆（去掉点A,B),
当>0时，点M的轨迹是以A,B为顶点的双曲线（去掉点A,B)
【链接教材2】（人教A版选择性必修第一册P139习题3.3T11)已知A,B两点
的坐标分别是(-1，O),(1O),直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM
的斜率的差是2，求点M的轨迹方程.
【答案】y=1-x2,(x≠±1)
试卷第2页，共26页

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