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广东省深圳高级中学2025-2026学年九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026九下·深圳月考）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．（2026九下·深圳月考） 下列运算正确的是（　　）
A．2a2b-a2b=a2b B．2a-a=2 C．3a2+2a2=5a4 D．2a+b=2ab
【答案】A
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A：2a2b-a2b=a2b，正确，符合题意；
B：2a-a=a，错误，不符合题意；
C：3a2+2a2=5a2，错误，不符合题意；
D：2a+b，不能合并，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
3．（2026九下·深圳月考） 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）. 某商场“飞梯”从2层直达5层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，则AC的长是（　　）
A．50cos24° B．50sin24° C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 50 米，∠BAC = 24°。
根据余弦的定义：；
将 AB = 50 代入，变形得：；
因此，AC 的长为 米，
故答案为：A。
【分析】本题考查直角三角形的余弦函数应用，核心是将实际场景转化为直角三角形模型，利用锐角三角函数的定义建立边角关系，进而求出未知边长。解题要点是明确：在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比值等于该角的余弦值。
4．（2026九下·深圳月考） DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务. 其活跃用户数在上线21天后达到了3370万. 将3370万用科学记数法表示为（　　）
A．33. 7×106 B．3. 37×106 C．3. 37×107 D．0. 337×107
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：3370万=33700000用科学记数法表示为3. 37×107
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
5．（2026九下·深圳月考） 如图，在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆弧上取点C，连接AC，则∠ACB的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由网格的直角特性可知∠AOB = 90°。因为∠ACB 和∠AOB 同对弧 AB，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以∠ACB = × 90° = 45°。
故答案为：B。
【分析】 本题考查圆周角定理的应用，核心是先确定圆心角∠AOB 的度数，再利用 “同弧所对的圆周角等于圆心角的一半” 这一性质求出∠ACB。解题关键是通过网格的直角特征，判断出∠AOB 为 90°。
6．（2026九下·深圳月考） 如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G，若∠ABE=140°，∠CDF=160°，则∠BGD的度数是（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：因为 AB 平行于主光轴 PQ，∠ABE=140°，
所以 BE 与 PQ 的夹角为 180° 140°=40°；
因为 CD 平行于主光轴 PQ，∠CDF=160°，
所以 DF 与 PQ 的夹角为 180° 160°=20°；
在由 BE、DF 和 PQ 围成的△BGD 中，∠BGD=40°+20°=60°。
故答案为：A。
【分析】本题结合平行线性质与三角形内角和定理进行角度计算，核心是利用 “平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过焦点” 的物理特性，转化为几何中平行线与三角形的角度关系，通过邻补角求出折射光线与主光轴的夹角，再在三角形中计算目标角。
7．（2026九下·深圳月考）“五一”旅游黄金周期间，几名同学包租一辆面包车前往某景区游玩，面包车的租价为180元，出发时，又增加了2名学生，结果每个同学比原来少分担3元车费．设参加游玩的同学为人，则可得方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设参加游玩的同学为人，则原来的几名同学每人分担的车费为：元，出发时每名同学分担的车费为：元，
根据题意得：．
故答案为：D．
【分析】设参加游玩的同学为人，根据每个同学比原来少分担3元车费即可得到．
8．（2026九下·深圳月考） 如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知：
四边形ABCD为正方形
同理：EO=FO
四边形ABCD为菱形
又
四边形AEOF为正方形
又
故答案为： D.
【分析】由折叠的性质知，可得AEOF为正方形，可得AO=EF，即可得EF与GC的比值.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．（2026九下·深圳月考） 已知x=2是关于x的方程5x-m=8的解，则m的值是　 　.
【答案】2
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入方程可得：
5×2-m=8，解得：m=2
故答案为：2
【分析】将x=2代入方程可得关于m的一次方程，解方程即可求出答案.
10．（2026九下·深圳月考） 周末，小亮打算在“甘坑古镇”、“大芬油画村”、“龙城公园”、“鹤湖新居”、“园山风景区”这五个景点中随机选择一个去游玩，恰好选中“龙城公园”的概率是　 　.
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】简单随机事件的概率直接利用概率公式计算即可.
11．（2026九下·深圳月考） 如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y=ax与反比例函数相交于点A和点B. 若A的横坐标为1，则B的坐标为　 　.
【答案】（-1，-1）
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，因此它们的交点、关于原点对称。
已知点的横坐标为1，根据中心对称的性质，点的横、纵坐标分别是点横、纵坐标的相反数，故点的坐标为。
故答案为：。
【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的图象对称性，核心是理解这两类函数的交点关于原点对称的特性：正比例函数是过原点的直线，反比例函数的图象关于原点中心对称，因此它们的两个交点、必然关于原点对称，即横、纵坐标均互为相反数。
12．（2026九下·深圳月考）赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物．如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径，拱高，则拱桥的半径为　 　m．
【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用
13．（2026九下·深圳月考） 如图， 正方形ABCD中， AB=6， 点E为CD中点， 点 F在AD 延长线上， 且DF=CE， 连接BE 并延长， 交CF于点 G， 则EG=　 　。
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；内错角相等，两直线平行；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥CD，垂足为E，并交CF于点H，如图所示，
∴∠CEH = 90°，
∵四边形ABCD是正方形，且AB=6，
∴BC=CD=AB=6， ∠BCD=∠CDA=90°，
∵点E是CD的中点，
∴CE=DE=CD=3，
∵点F在AD延长线上，且DF=CE，
∴∠CDF = 180° -∠CDA= 90°，DF=CE=3，
在Rt△BCE中，BE=，
设EG=a，则BG=BE+EG=3+a，
∵∠CEH=∠CDF=90°，
∴EH∥DF，
∵点E是CD的中点，
∴EH是△CDF的中位线，
∴EH=DF=×3=1.5，
∵∠CEH=∠BCD=90°，
∴EH∥BC，
即△GEH∽△GBC，
∴，即，
解得：a=，
∴EG=a=.
故答案为：5.
【分析】做辅助线后，结合正方形性质以及中点定义，得出CE=DE=CD=3；然后结合条件DF=CE以及勾股定理，计算得出BE=；接着利用中位线性质得出EH=1.5，并依据“内错角相等、两直线平行”得出EH∥BC，从而推出△GEH∽△GBC，得出，代入计算即可求出EG=a=.
三、解答题：本题共7小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．（2026九下·深圳月考） 计算：.
【答案】解：原式=
=
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据绝对值性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．（2026九下·深圳月考） 先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式=
=
=，
当a=1+时，原式=
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将a值代入即可求出答案.
16．（2026九下·深圳月考）第四届全民阅读大会于2025年4月23日在山西太原开幕. 大会的主题是“培育读书风尚建设文化强国”. 某校借此机会举办了主题为“书香校园重读经典”的演讲比赛，满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及以上为合格，达到9分及以上为优秀. 从九年级一班和九年级二班各随机抽取10名同学的成绩，并进行整理.
数据整理：小晋将随机抽取的两个班级的成绩整理成如下统计图：
数据分析：小晋对两个班级的成绩进行了如下分析：
班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 合格率 优秀率
九年级一班 7 6 b 90% 30%
九年级二班 7. 3 a 8 c 20%
根据上述信息回答下列问题：
（1）填空：a=　 　，b=　 　，c=　 　.
（2）在所抽取同学的成绩中，每班成绩前50%的同学可以得到“阅读小能手”的称号. 被抽到的小张同学的成绩是7分，他没有得到“阅读小能手”的称号. 请你判断小张是哪个班级的同学，并说明理由.
（3）请你结合表格中的信息，对两个班级的成绩进行评价. （写出两条即可）
【答案】（1）8；6；80%
（2）解：小张是九年级二班的同学，理由如下：
九年级一班成绩的中位数是6分，九年级二班成绩的中位数是8分，小张的成绩是7分，
∵6＜7＜8，且小张同学没有得到“阅读小能手”称号，
∴小张是力年级二班的同学
（3）解：答案不唯一，例如：
九年级一班成绩的优秀率为30%，高于九年级二班成绩的优秀率20%，所以从优秀率角度看，九年级一班的成绩比九年级二班的成绩好
【知识点】条形统计图；众数
【解析】【解答】（1）a：九年级二班成绩排序后第5、6位均为8分，中位数 ；
b：九年级一班成绩中6分出现次数最多，众数 ；
c：九年级二班合格8人，合格率 。
故答案为：8；6；80%
【分析】(1)先从统计图中梳理并整理两个班级的成绩数据，再依据中位数、众数定义和合格率公式分别计算得出 a=8，b=6，c=80%。
(2)根据 “阅读小能手” 的称号判定规则（成绩前 50%），结合两个班级的中位数差异进行判断，得出小张是九年级二班的同学。
(3)结合表格中的平均数、中位数、众数、合格率、优秀率等统计量，从不同维度对两个班级的成绩进行分析和评价。
17．（2026九下·深圳月考）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地. 河源市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖. 已知2箱百香果和3箱金桔的价格为245元，1箱百香果和4箱金桔的价格为260元，百香果和金桔的成本价如表所示：
品名 百香果 金桔
成本/箱 30元 40元
（1）求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？
（2）深圳某公司决定向农户张先生采购400箱水果（对水果种类没有特别要求）. 张先生目前仅有金桔和百香果各库存300箱，在只能整箱销售的情况下，张先生该如何搭配销售，在满足公司要求的情况下，获利最大.
【答案】（1）解：设每箱百香果的售价是x元，每箱金桔的售价是y元．
根据题意，得，
解得．
答：每箱百香果的售价是40元，每箱金桔的售价是55元．
（2）解：设张先生销售百香果m箱，则销售金桔（400-m）箱，获利W元．
根据题意，得，
解得100≤m≤300．
W=（40-30）m+（55-40）（400-m）=-5m+6000，
∵-5＜0，
∴W随m的减小而增大，
∵100≤m≤300，
∴当m=100时，W值最大，
400-100=300（箱）．
答：张先生销售100箱百香果、300箱金桔在满足公司要求的情况下，获利最大．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每箱百香果的售价是x元，每箱金桔的售价是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设张先生销售百香果m箱，则销售金桔（400-m）箱，获利W元，根据题意建立不等式组，解不等式组可得m的取值范围，再根据总利润=单件利润×总销售量建立函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
18．（2026九下·深圳月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，E为CD中点，过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接BF.
（1）证明：四边形DCFB为菱形；
（2）AF与BC相交于点G，若AC=12，BF=10，求GC的长.
【答案】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠EAD=∠EFC，
∵点E为CD中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD=CF，
∵点D为AB中点，
∴BD=AD，
∴BD=CF，
又∵CF∥AB，
∴四边形DCFB是平行四边形，
在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，
∴DC=BD=AD=AB，
∴平行四边形DCFB是菱形
（2）解：由(1)知四边形 是菱形，故 。
在 中， 是 中点，所以 ，即 。
由勾股定理：
因为 ，所以 。
又 ，故相似比 ，因此 ，即 。
因为 ，代入 ：
故。
【知识点】菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由 得内错角相等，结合 是 中点，用AAS证 ，推出 ；由 是 中点得 ，故 ，又 ，所以四边形 是平行四边形；在 中， 是斜边 中点，故 ，一组邻边相等的平行四边形是菱形，即四边形 为菱形。
（2）由菱形性质得 ，结合直角三角形斜边中线性质得 ，再用勾股定理算出 。由 得 ，相似比为 ，故 。结合 ，列方程求解得 。
19．（2026九下·深圳月考）太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具. 目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的. 若抛物线的表达式为y=ax2，则抛物线的焦点为.
（1）已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为，则焦点的坐标是　 　；
（2）如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与y轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径AB为1. 5米，凹面深度CD为0. 25米，求抛物线的表达式　 　；
（3）如图4，在（2）的条件下，MN为平行于y轴的入射光线，NF为反射光线，N为切点，F为焦点，当∠MNG=∠FNG=22. 5°时，求点N的横坐标；
（4）如图5，在（1）的条件下，点E是焦点，α表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当α为45°时，求点B的坐标.
【答案】（1）（0，1）
（2）
（3）解：由(2)知抛物线为 ，焦点 。
设点 的坐标为 。
由 ，得 ，结合 轴，可知直线 的倾斜角为 ，斜率为 。
根据两点斜率公式：
整理得：
两边同乘 消去分母：
由求根公式：
即点 的横坐标为 或 （取正值）。
（4）解：由(1)知抛物线为 ，焦点 。
，即反射光线 与 轴正方向夹角为 ，故直线 的斜率为 。
设直线 的方程为 。
联立抛物线方程 ：
整理得：
由求根公式：
取正根 ，代入 得：
因此，点 的坐标为 。
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】（1）已知抛物线表达式为 ，对应 。
将 代入焦点公式的纵坐标部分：
因此，焦点坐标为 。
故答案为：（0，1）；
（2）设抛物线表达式为 。
由题意， 米， 米，所以点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 。
将 代入 ：
解得：
因此，抛物线表达式为 。
故答案为：；
【分析】(1) 题目给出抛物线 的焦点公式为 ，只需代入 的值计算即可。
(2) 抛物线顶点在原点、对称轴为 轴，故设表达式为 ；由 米、 米，可确定点 的坐标，代入求解 。
(3) 由 轴，，得 ；结合焦点 ，利用几何关系与抛物线方程列方程求解。
(4) 在 中，焦点 ， 即反射光线 与 轴夹角为 ，设直线 方程，联立抛物线求解。
20．（2026九下·深圳月考）【定义】如果一个凸四边形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则称该四边形为对称四边形，称该直线为对称轴.
【概念理解】
（1）下列图形一定是对称四边形的是　 　 ；（填序号）
（2）如图1，在平面直角坐标系中，若点A（1，1），B（5，1），C（1，3），D组成的四边形为对称四边形，则满足点D的个数为　 　 ；
（3）【性质探究】
如图2，对称四边形ABCD关于直线AC对称，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点E，若AE=EO=OC=2，求对称四边形ABCD的面积.
（4）【拓展应用】
如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E为对角线BD上一点，△AED沿边AE折叠得到△AEF，延长AE交射线DC于G，则当A，B，E，F组成的四边形为对称四边形时，求的值. （作答要求：画出所有满足条件的情况示意图，并写出相应的答案即可）
【答案】（1）①③④
（2）3
（3）解：∵ 四边形ABCD关于AC对称，∴ AC垂直平分BD，即，。
已知，则，。
设，在中，。
由，，即。
由，得，故，。
在中，，。
代入面积等式：，解得。
。
故面积为。
（4）解：如图2-1，因为△AED沿边AE折叠得到△AEF，所以AF=AD，∠FAE=∠DAE，因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AC=AD=CD，∠ADC=∠ABC =60°，△ACD和△ABC是等边三角形，所以∠BAC=∠DAC=60°，AC=AD，当筝形ABFE是对称四边形时，此时点F在点C处，∠CAE=∠DAE=30°，四边形ABEF是对称四边形，故DG=CG，=1，
如图2-2，，当筝形AFBE是对称四边形时，此时BF=AF=AD=AB，AE=BE=CE.
所以△ABF是等边三角形，点E是△ABE的中心，所以∠BAF=60°，∠BAE=30°，所以AE⊥AF，∠DAE=∠FAE=90°，所以D、A、F共线，因为∠ADC =60°，所以DG=2AD=2CD，=2，
如图2-3，，当等腰梯形ABFE是对称四边形时，此时AB=AD=AF=BE，DE=DG，因为DG=DE=BD-BE=CD-CD=(-1)CD。
所以GC=CD-DG=(2-)CD，=+1，
如图2-4，，当等腰梯形AEBF是对称四边形时，此时AD=DE=AB=EF，因为AB//CD，所以△ABE∽△GDE，所以，因为BE=BD-DE=AD-DE=DE-DE，
所以，所以。
综上， 的值为或或或。
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）①矩形沿对边中点连线或对角线所在直线折叠后重合，是轴对称图形；
②平行四边形一般无法沿直线折叠后重合，不是轴对称图形；
③等腰梯形沿上下底中点连线折叠后重合，是轴对称图形；
④筝形沿对角线AC折叠后，AB与AD、BC与CD分别重合，是轴对称图形。
所以一定是对称四边形的是 ①③④。
故答案为：①③④；
（2）已知A(1，1)、B(5，1)、C(1，3)，要使四边形ABCD为对称四边形：
以AB的垂直平分线为对称轴，得；
以AC的垂直平分线为对称轴，得（与B重合，舍去）、；
以BC的垂直平分线为对称轴，得、；
去重后共3个不同的点D，
故答案为：3。
【分析】(1)根据轴对称图形定义，逐一判断各图形是否为轴对称图形。
(2)根据对称四边形的轴对称性质，分三类对称轴讨论点D的位置。
(3) 利用对称四边形的轴对称性质，结合勾股定理与面积法求解。
(4)根据菱形与折叠性质，分四种轴对称情况讨论与的比值。
1 / 1广东省深圳高级中学2025-2026学年九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026九下·深圳月考）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026九下·深圳月考） 下列运算正确的是（　　）
A．2a2b-a2b=a2b B．2a-a=2 C．3a2+2a2=5a4 D．2a+b=2ab
3．（2026九下·深圳月考） 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）. 某商场“飞梯”从2层直达5层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，则AC的长是（　　）
A．50cos24° B．50sin24° C． D．
4．（2026九下·深圳月考） DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务. 其活跃用户数在上线21天后达到了3370万. 将3370万用科学记数法表示为（　　）
A．33. 7×106 B．3. 37×106 C．3. 37×107 D．0. 337×107
5．（2026九下·深圳月考） 如图，在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆弧上取点C，连接AC，则∠ACB的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．（2026九下·深圳月考） 如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G，若∠ABE=140°，∠CDF=160°，则∠BGD的度数是（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
7．（2026九下·深圳月考）“五一”旅游黄金周期间，几名同学包租一辆面包车前往某景区游玩，面包车的租价为180元，出发时，又增加了2名学生，结果每个同学比原来少分担3元车费．设参加游玩的同学为人，则可得方程（　　）
A． B．
C． D．
8．（2026九下·深圳月考） 如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．（2026九下·深圳月考） 已知x=2是关于x的方程5x-m=8的解，则m的值是　 　.
10．（2026九下·深圳月考） 周末，小亮打算在“甘坑古镇”、“大芬油画村”、“龙城公园”、“鹤湖新居”、“园山风景区”这五个景点中随机选择一个去游玩，恰好选中“龙城公园”的概率是　 　.
11．（2026九下·深圳月考） 如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y=ax与反比例函数相交于点A和点B. 若A的横坐标为1，则B的坐标为　 　.
12．（2026九下·深圳月考）赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物．如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径，拱高，则拱桥的半径为　 　m．
13．（2026九下·深圳月考） 如图， 正方形ABCD中， AB=6， 点E为CD中点， 点 F在AD 延长线上， 且DF=CE， 连接BE 并延长， 交CF于点 G， 则EG=　 　。
三、解答题：本题共7小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．（2026九下·深圳月考） 计算：.
15．（2026九下·深圳月考） 先化简，再求值：，其中.
16．（2026九下·深圳月考）第四届全民阅读大会于2025年4月23日在山西太原开幕. 大会的主题是“培育读书风尚建设文化强国”. 某校借此机会举办了主题为“书香校园重读经典”的演讲比赛，满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及以上为合格，达到9分及以上为优秀. 从九年级一班和九年级二班各随机抽取10名同学的成绩，并进行整理.
数据整理：小晋将随机抽取的两个班级的成绩整理成如下统计图：
数据分析：小晋对两个班级的成绩进行了如下分析：
班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 合格率 优秀率
九年级一班 7 6 b 90% 30%
九年级二班 7. 3 a 8 c 20%
根据上述信息回答下列问题：
（1）填空：a=　 　，b=　 　，c=　 　.
（2）在所抽取同学的成绩中，每班成绩前50%的同学可以得到“阅读小能手”的称号. 被抽到的小张同学的成绩是7分，他没有得到“阅读小能手”的称号. 请你判断小张是哪个班级的同学，并说明理由.
（3）请你结合表格中的信息，对两个班级的成绩进行评价. （写出两条即可）
17．（2026九下·深圳月考）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地. 河源市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖. 已知2箱百香果和3箱金桔的价格为245元，1箱百香果和4箱金桔的价格为260元，百香果和金桔的成本价如表所示：
品名 百香果 金桔
成本/箱 30元 40元
（1）求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？
（2）深圳某公司决定向农户张先生采购400箱水果（对水果种类没有特别要求）. 张先生目前仅有金桔和百香果各库存300箱，在只能整箱销售的情况下，张先生该如何搭配销售，在满足公司要求的情况下，获利最大.
18．（2026九下·深圳月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，E为CD中点，过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接BF.
（1）证明：四边形DCFB为菱形；
（2）AF与BC相交于点G，若AC=12，BF=10，求GC的长.
19．（2026九下·深圳月考）太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具. 目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的. 若抛物线的表达式为y=ax2，则抛物线的焦点为.
（1）已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为，则焦点的坐标是　 　；
（2）如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与y轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径AB为1. 5米，凹面深度CD为0. 25米，求抛物线的表达式　 　；
（3）如图4，在（2）的条件下，MN为平行于y轴的入射光线，NF为反射光线，N为切点，F为焦点，当∠MNG=∠FNG=22. 5°时，求点N的横坐标；
（4）如图5，在（1）的条件下，点E是焦点，α表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当α为45°时，求点B的坐标.
20．（2026九下·深圳月考）【定义】如果一个凸四边形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则称该四边形为对称四边形，称该直线为对称轴.
【概念理解】
（1）下列图形一定是对称四边形的是　 　 ；（填序号）
（2）如图1，在平面直角坐标系中，若点A（1，1），B（5，1），C（1，3），D组成的四边形为对称四边形，则满足点D的个数为　 　 ；
（3）【性质探究】
如图2，对称四边形ABCD关于直线AC对称，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点E，若AE=EO=OC=2，求对称四边形ABCD的面积.
（4）【拓展应用】
如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E为对角线BD上一点，△AED沿边AE折叠得到△AEF，延长AE交射线DC于G，则当A，B，E，F组成的四边形为对称四边形时，求的值. （作答要求：画出所有满足条件的情况示意图，并写出相应的答案即可）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．【答案】A
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A：2a2b-a2b=a2b，正确，符合题意；
B：2a-a=a，错误，不符合题意；
C：3a2+2a2=5a2，错误，不符合题意；
D：2a+b，不能合并，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 50 米，∠BAC = 24°。
根据余弦的定义：；
将 AB = 50 代入，变形得：；
因此，AC 的长为 米，
故答案为：A。
【分析】本题考查直角三角形的余弦函数应用，核心是将实际场景转化为直角三角形模型，利用锐角三角函数的定义建立边角关系，进而求出未知边长。解题要点是明确：在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比值等于该角的余弦值。
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：3370万=33700000用科学记数法表示为3. 37×107
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由网格的直角特性可知∠AOB = 90°。因为∠ACB 和∠AOB 同对弧 AB，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以∠ACB = × 90° = 45°。
故答案为：B。
【分析】 本题考查圆周角定理的应用，核心是先确定圆心角∠AOB 的度数，再利用 “同弧所对的圆周角等于圆心角的一半” 这一性质求出∠ACB。解题关键是通过网格的直角特征，判断出∠AOB 为 90°。
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：因为 AB 平行于主光轴 PQ，∠ABE=140°，
所以 BE 与 PQ 的夹角为 180° 140°=40°；
因为 CD 平行于主光轴 PQ，∠CDF=160°，
所以 DF 与 PQ 的夹角为 180° 160°=20°；
在由 BE、DF 和 PQ 围成的△BGD 中，∠BGD=40°+20°=60°。
故答案为：A。
【分析】本题结合平行线性质与三角形内角和定理进行角度计算，核心是利用 “平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过焦点” 的物理特性，转化为几何中平行线与三角形的角度关系，通过邻补角求出折射光线与主光轴的夹角，再在三角形中计算目标角。
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设参加游玩的同学为人，则原来的几名同学每人分担的车费为：元，出发时每名同学分担的车费为：元，
根据题意得：．
故答案为：D．
【分析】设参加游玩的同学为人，根据每个同学比原来少分担3元车费即可得到．
8．【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知：
四边形ABCD为正方形
同理：EO=FO
四边形ABCD为菱形
又
四边形AEOF为正方形
又
故答案为： D.
【分析】由折叠的性质知，可得AEOF为正方形，可得AO=EF，即可得EF与GC的比值.
9．【答案】2
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入方程可得：
5×2-m=8，解得：m=2
故答案为：2
【分析】将x=2代入方程可得关于m的一次方程，解方程即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】简单随机事件的概率直接利用概率公式计算即可.
11．【答案】（-1，-1）
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，因此它们的交点、关于原点对称。
已知点的横坐标为1，根据中心对称的性质，点的横、纵坐标分别是点横、纵坐标的相反数，故点的坐标为。
故答案为：。
【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的图象对称性，核心是理解这两类函数的交点关于原点对称的特性：正比例函数是过原点的直线，反比例函数的图象关于原点中心对称，因此它们的两个交点、必然关于原点对称，即横、纵坐标均互为相反数。
12．【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用
13．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；内错角相等，两直线平行；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥CD，垂足为E，并交CF于点H，如图所示，
∴∠CEH = 90°，
∵四边形ABCD是正方形，且AB=6，
∴BC=CD=AB=6， ∠BCD=∠CDA=90°，
∵点E是CD的中点，
∴CE=DE=CD=3，
∵点F在AD延长线上，且DF=CE，
∴∠CDF = 180° -∠CDA= 90°，DF=CE=3，
在Rt△BCE中，BE=，
设EG=a，则BG=BE+EG=3+a，
∵∠CEH=∠CDF=90°，
∴EH∥DF，
∵点E是CD的中点，
∴EH是△CDF的中位线，
∴EH=DF=×3=1.5，
∵∠CEH=∠BCD=90°，
∴EH∥BC，
即△GEH∽△GBC，
∴，即，
解得：a=，
∴EG=a=.
故答案为：5.
【分析】做辅助线后，结合正方形性质以及中点定义，得出CE=DE=CD=3；然后结合条件DF=CE以及勾股定理，计算得出BE=；接着利用中位线性质得出EH=1.5，并依据“内错角相等、两直线平行”得出EH∥BC，从而推出△GEH∽△GBC，得出，代入计算即可求出EG=a=.
14．【答案】解：原式=
=
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据绝对值性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：原式=
=
=，
当a=1+时，原式=
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将a值代入即可求出答案.
16．【答案】（1）8；6；80%
（2）解：小张是九年级二班的同学，理由如下：
九年级一班成绩的中位数是6分，九年级二班成绩的中位数是8分，小张的成绩是7分，
∵6＜7＜8，且小张同学没有得到“阅读小能手”称号，
∴小张是力年级二班的同学
（3）解：答案不唯一，例如：
九年级一班成绩的优秀率为30%，高于九年级二班成绩的优秀率20%，所以从优秀率角度看，九年级一班的成绩比九年级二班的成绩好
【知识点】条形统计图；众数
【解析】【解答】（1）a：九年级二班成绩排序后第5、6位均为8分，中位数 ；
b：九年级一班成绩中6分出现次数最多，众数 ；
c：九年级二班合格8人，合格率 。
故答案为：8；6；80%
【分析】(1)先从统计图中梳理并整理两个班级的成绩数据，再依据中位数、众数定义和合格率公式分别计算得出 a=8，b=6，c=80%。
(2)根据 “阅读小能手” 的称号判定规则（成绩前 50%），结合两个班级的中位数差异进行判断，得出小张是九年级二班的同学。
(3)结合表格中的平均数、中位数、众数、合格率、优秀率等统计量，从不同维度对两个班级的成绩进行分析和评价。
17．【答案】（1）解：设每箱百香果的售价是x元，每箱金桔的售价是y元．
根据题意，得，
解得．
答：每箱百香果的售价是40元，每箱金桔的售价是55元．
（2）解：设张先生销售百香果m箱，则销售金桔（400-m）箱，获利W元．
根据题意，得，
解得100≤m≤300．
W=（40-30）m+（55-40）（400-m）=-5m+6000，
∵-5＜0，
∴W随m的减小而增大，
∵100≤m≤300，
∴当m=100时，W值最大，
400-100=300（箱）．
答：张先生销售100箱百香果、300箱金桔在满足公司要求的情况下，获利最大．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每箱百香果的售价是x元，每箱金桔的售价是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设张先生销售百香果m箱，则销售金桔（400-m）箱，获利W元，根据题意建立不等式组，解不等式组可得m的取值范围，再根据总利润=单件利润×总销售量建立函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠EAD=∠EFC，
∵点E为CD中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD=CF，
∵点D为AB中点，
∴BD=AD，
∴BD=CF，
又∵CF∥AB，
∴四边形DCFB是平行四边形，
在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，
∴DC=BD=AD=AB，
∴平行四边形DCFB是菱形
（2）解：由(1)知四边形 是菱形，故 。
在 中， 是 中点，所以 ，即 。
由勾股定理：
因为 ，所以 。
又 ，故相似比 ，因此 ，即 。
因为 ，代入 ：
故。
【知识点】菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由 得内错角相等，结合 是 中点，用AAS证 ，推出 ；由 是 中点得 ，故 ，又 ，所以四边形 是平行四边形；在 中， 是斜边 中点，故 ，一组邻边相等的平行四边形是菱形，即四边形 为菱形。
（2）由菱形性质得 ，结合直角三角形斜边中线性质得 ，再用勾股定理算出 。由 得 ，相似比为 ，故 。结合 ，列方程求解得 。
19．【答案】（1）（0，1）
（2）
（3）解：由(2)知抛物线为 ，焦点 。
设点 的坐标为 。
由 ，得 ，结合 轴，可知直线 的倾斜角为 ，斜率为 。
根据两点斜率公式：
整理得：
两边同乘 消去分母：
由求根公式：
即点 的横坐标为 或 （取正值）。
（4）解：由(1)知抛物线为 ，焦点 。
，即反射光线 与 轴正方向夹角为 ，故直线 的斜率为 。
设直线 的方程为 。
联立抛物线方程 ：
整理得：
由求根公式：
取正根 ，代入 得：
因此，点 的坐标为 。
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】（1）已知抛物线表达式为 ，对应 。
将 代入焦点公式的纵坐标部分：
因此，焦点坐标为 。
故答案为：（0，1）；
（2）设抛物线表达式为 。
由题意， 米， 米，所以点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 。
将 代入 ：
解得：
因此，抛物线表达式为 。
故答案为：；
【分析】(1) 题目给出抛物线 的焦点公式为 ，只需代入 的值计算即可。
(2) 抛物线顶点在原点、对称轴为 轴，故设表达式为 ；由 米、 米，可确定点 的坐标，代入求解 。
(3) 由 轴，，得 ；结合焦点 ，利用几何关系与抛物线方程列方程求解。
(4) 在 中，焦点 ， 即反射光线 与 轴夹角为 ，设直线 方程，联立抛物线求解。
20．【答案】（1）①③④
（2）3
（3）解：∵ 四边形ABCD关于AC对称，∴ AC垂直平分BD，即，。
已知，则，。
设，在中，。
由，，即。
由，得，故，。
在中，，。
代入面积等式：，解得。
。
故面积为。
（4）解：如图2-1，因为△AED沿边AE折叠得到△AEF，所以AF=AD，∠FAE=∠DAE，因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AC=AD=CD，∠ADC=∠ABC =60°，△ACD和△ABC是等边三角形，所以∠BAC=∠DAC=60°，AC=AD，当筝形ABFE是对称四边形时，此时点F在点C处，∠CAE=∠DAE=30°，四边形ABEF是对称四边形，故DG=CG，=1，
如图2-2，，当筝形AFBE是对称四边形时，此时BF=AF=AD=AB，AE=BE=CE.
所以△ABF是等边三角形，点E是△ABE的中心，所以∠BAF=60°，∠BAE=30°，所以AE⊥AF，∠DAE=∠FAE=90°，所以D、A、F共线，因为∠ADC =60°，所以DG=2AD=2CD，=2，
如图2-3，，当等腰梯形ABFE是对称四边形时，此时AB=AD=AF=BE，DE=DG，因为DG=DE=BD-BE=CD-CD=(-1)CD。
所以GC=CD-DG=(2-)CD，=+1，
如图2-4，，当等腰梯形AEBF是对称四边形时，此时AD=DE=AB=EF，因为AB//CD，所以△ABE∽△GDE，所以，因为BE=BD-DE=AD-DE=DE-DE，
所以，所以。
综上， 的值为或或或。
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）①矩形沿对边中点连线或对角线所在直线折叠后重合，是轴对称图形；
②平行四边形一般无法沿直线折叠后重合，不是轴对称图形；
③等腰梯形沿上下底中点连线折叠后重合，是轴对称图形；
④筝形沿对角线AC折叠后，AB与AD、BC与CD分别重合，是轴对称图形。
所以一定是对称四边形的是 ①③④。
故答案为：①③④；
（2）已知A(1，1)、B(5，1)、C(1，3)，要使四边形ABCD为对称四边形：
以AB的垂直平分线为对称轴，得；
以AC的垂直平分线为对称轴，得（与B重合，舍去）、；
以BC的垂直平分线为对称轴，得、；
去重后共3个不同的点D，
故答案为：3。
【分析】(1)根据轴对称图形定义，逐一判断各图形是否为轴对称图形。
(2)根据对称四边形的轴对称性质，分三类对称轴讨论点D的位置。
(3) 利用对称四边形的轴对称性质，结合勾股定理与面积法求解。
(4)根据菱形与折叠性质，分四种轴对称情况讨论与的比值。
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