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贵州省铜仁市万山区2025年中考三模数学试题
一、选择题（以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分）
1．（2025·万山模拟）冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：在温度的表示规则中，题目将零上温度定义为正，那么与之相反的零下温度就应记为负。已知保鲜室零上 4℃记作 + 4℃，按照这一规则，冷冻室零下 18℃就需要在数字 18 前添加负号来表示，即记作 - 18℃。故答案为：B。
【分析】本题考查正负数的意义，解题核心是明确 “零上” 与 “零下” 是一对具有相反意义的量，需用正负数来区分表示。
2．（2025·万山模拟）榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”如图是其中一种卯，其主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正前方观察该榫卯结构，其正面轮廓为两侧凸起、中间下凹的形状，主视图是
故答案为：A。
【分析】本题考查几何体主视图的识别，核心是明确主视图是从物体正前方观察得到的平面图形，需准确还原物体正面的轮廓与结构。
3．（2025·万山模拟）一张A4纸的规格为，它的面积为平方毫米．将数字用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：这道题考查科学记数法的正确书写形式，关键要满足 1≤a＜10 这一核心条件。把 62370 转化为符合要求的形式时，需把小数点向左移动四位得到 6.237，对应的指数就是 4，
故答案为：C。
【分析】 先依据科学记数法的书写规则确定 a 的取值范围，再通过移动小数点确定 10 的指数，最后对照选项选出正确答案。
4．（2025·万山模拟）化简结果正确的是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：同分母分式相减，分母不变，分子相减，所以 ：；
故答案为：C。
【分析】本题考查同分母分式的减法运算，核心是利用同分母分式相减的法则，分子相减、分母不变，再对分子进行化简计算。
5．（2025·万山模拟）如图，直线，分别与直线交于点、，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，直线 l1与 l2平行，根据平行线 “同位角相等” 的性质，∠1 =∠3 = 46°。其次，三角板含 30° 角，因此在点 B 处，与∠2 相邻的三角板内角∠4=30°。
最后，根据平角为 180°，可计算∠2 = 180° - ∠3- ∠4= 180° - 46° - 30° = 104°。
故答案为：B。
【分析】本题利用平行线的性质和三角形内角和为 180° 的规律，结合对顶角相等，逐步推导出∠2 的度数。
6．（2025·万山模拟）二次根式中字母的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式被开方数非负的要求，列不等式 x 2≥0，解得 x≥2，
故答案为：D。
【分析】本题考查二次根式的定义，核心是明确二次根式中被开方数必须是非负数，据此列出不等式求解字母的取值范围。
7．（2025·万山模拟）为了应对九年级中考体育测试，某班对学生的立定跳远进行了抽测，其中一名同学进行了6次测试，其立定跳远的数据如下（单位：厘米）：239，236，240，242，240，245．则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．240，240 B．240，242 C．241，240 D．240，241
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：众数：在这组立定跳远数据中，240 出现了 2 次，出现次数最多，因此众数是 240。
中位数：先将数据从小到大排序为 236，239，240，240，242，245，共 6 个数据，中间位置是第 3 个和第 4 个数据，即 240 和 240，两者的平均数为 (240+240)÷2=240，因此中位数是 240。
故答案为：A。
【分析】本题考查众数和中位数的定义，先找出出现次数最多的数确定众数，再将数据排序后计算中间两个数的平均数得到中位数。
8．（2025·万山模拟）如图，为的直径，、为上两点，连接、和．若，则的大小为（　　）
A．36° B．44° C．52° D．54°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可知∠BCD 与∠BAD 均对应弧 BD，
因此∠BAD = ∠BCD = 36°。
因为 AB 是圆 O 的直径，由 “直径所对的圆周角为直角” 可得∠ADB = 90°。
在直角三角形 ABD 中，根据直角三角形两锐角互余，可计算∠ABD = 90° - ∠BAD = 90° - 36° = 54°。
故答案为：D。
【分析】 连接 AD，利用同弧所对的圆周角相等得出∠DAB=36°，由 AB 为直径得∠ADB=90°，在 Rt△ADB 中用三角形内角和求出∠ABD 的度数。
9．（2025·万山模拟）下列说法错误的是（　　）
A．掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是随机事件
B．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件
C．在单词中任意选择一个字母为的概率为
D．天气预报说明天的降水概率是，则明天一定会下雨
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、掷一枚正方体骰子，点数可能是奇数也可能是偶数，偶数朝上这一结果具有不确定性，符合随机事件的定义，A正确；
B、根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和都固定为 180°，这是一定会发生的事件，属于必然事件，B正确；
C、单词 mathematics 共有 11 个字母，其中字母 m 出现了 2 次，依据概率公式，选中字母 m 的概率为 2 除以 11，C正确；
D、降水概率 90% 意味着明天下雨的可能性很大，但并非绝对会发生，降水概率只是对下雨可能性大小的预测，不是必然结果，D错误；
故答案为：D。
【分析】 本题围绕随机事件、必然事件的定义及概率计算展开，核心是逐一辨析每个选项的概念正确性，找出错误的说法。
10．（2025·万山模拟）如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为6，则的值为（　　）
A．6 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设点的坐标为，因为在反比例函数上，所以。
已知是的中点，且垂直于轴，因此，。
的面积为，题目中的面积为，即，所以。
故答案为：A。
【分析】 本题通过反比例函数的几何意义，结合三角形面积与中点性质，建立等量关系求解 k 的值。
11．（2025·万山模拟）如图，在已知的中，按以下步骤作图：
①分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点、；
②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图知 MN 垂直平分 BC，故 DB=DC，∠B=∠DCB。
由 CD=AC，∠A=50°，得∠CDA=∠A=50°。
根据外角性质，∠CDA=2∠B，解得∠B=25°，即∠DCB=25°。
在△ACD 中，∠ACD=80°，因此∠ACB=∠ACD+∠DCB=80°+25°=105°，
故答案为：C。
【分析】 先由等腰三角形性质得∠ADC=∠A=50°，再由垂直平分线性质得 BD=CD，进而求出∠B=25°，最后用三角形内角和定理算出∠ACB 的度数。
12．（2025·万山模拟）已知：二次函数的图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④两根分别为，；⑤．其中正确的项有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①抛物线开口向上，故；对称轴为直线，由对称轴公式，可得；抛物线与轴交于负半轴，故。因此，结论①正确；
②由对称轴，整理得，即，而非，结论②错误；
③当时，函数取得最小值；当（）时，函数值为。因为是最小值点，所以，两边同时减去，得，结论③正确；
④抛物线对称轴为，且与轴的一个交点为，根据抛物线的对称性，另一个交点为，因此方程的根为，，结论④错误；
⑤当时，函数值，由图象可知，此时点在轴上方，故，即，结论⑤正确；
综上，①③⑤正确，共3个。
故答案为：B。
【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴公式、与y轴交点位置，分别判断a、b、c的符号，进而确定abc的符号；
②由对称轴公式，推导b与a的关系，验证结论；
③利用抛物线在对称轴处取得最小值的性质，比较与的函数值，推导不等式；
④根据抛物线的对称性，由已知交点和对称轴，求出另一交点，确定方程的根；
⑤代入，结合图象判断该点函数值的正负，验证的符号。
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．（2025·万山模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】 先找出多项式 y2-5y 两项的公因式，再提取公因式完成因式分解。
14．（2025·万山模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：现有若干人乘车，若每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少个人？多少辆车？根据题意可得，有　 　个人．
【答案】39
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x辆车，
由题意得，，
解得，
∴，
∴一共有39人，
故答案为：39．
【分析】设车辆数为未知数，根据两种乘车方式下总人数不变列出一元一次方程，求解后算出总人数
15．（2025·万山模拟）如图，在平面直角坐标系中，的边、的中点、的横坐标分别是2、5，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点是中点，
∴，
∵点的横坐标分别是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】 利用三角形中位线定理，结合中点横坐标的差值算出中位线长度，进而得到 OB 的长度，确定点 B 的坐标。
16．（2025·万山模拟）如图，在中，，，．为边上的一点，，为边上的一动点，将沿翻折得，连接、，则面积的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：取的中点G，连接，
∵，
∴，
∵在中，，且，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当点在上时，最小，
由折叠知，，
∴最小值为，
∴面积的最小值为．
故答案为：．
【分析】先通过平行四边形性质和等边三角形判定求出 BE 的长度及位置，再结合折叠性质与 “两点之间线段最短” 找到 BD' 的最小值，最后代入三角形面积公式计算△ABD' 的最小面积。
三、解答题（本大题9个小题，共98分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形）
17．（2025·万山模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）
；
（2）
，
当时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；零指数幂；二次根式的化简求值；利用整式的混合运算化简求值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1） 利用乘方、特殊三角函数值、二次根式化简、零次幂的运算法则，分别计算各项后合并得到结果。
（2）先通过提取公因式将整式化简为x+1，再代入计算最终结果。
18．（2025·万山模拟）如图是反比例函数，的图象，点为图象上的一点，且轴，轴，垂足分别为点、点，、分别交的图象于点、点．
（1）当点的横坐标为1时，求点、点的坐标；
（2）在（1）的条件下，求的面积．
【答案】（1）解：∵点的横坐标为1，∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
当时，，，
∴点的坐标为；
（2）解：由（1）得，，同理点的坐标为，∴，，
∴．
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【分析】(1)根据点 P 的横坐标求出其坐标，再结合 PA⊥x 轴、PB⊥y 轴的性质，分别确定点 A 的坐标和点 C 的纵坐标，代入反比例函数求出点 C 的横坐标。
(2) 先求出点 D 的坐标，再计算 PC 和 PD 的长度，最后利用直角三角形面积公式求出△PCD 的面积。
（1）解：∵点的横坐标为1，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
当时，，，
∴点的坐标为；
（2）解：由（1）得，，同理点的坐标为，
∴，，
∴．
19．（2025·万山模拟）2025年3月14日是全球第六个“国际数学日”．今年的主题是“数学、艺术与创意”．某校在“国际数学日”当天举办了“数学节”活动，通过开展趣味数学游戏、知识拓展、数学创意展示等活动，展现数学魅力，传播数学文化．研究小组为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制）进行整理和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩用表示，共分成四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的成绩：
100，98，97，95，94，93，89，88，87，86，86，85，84，82，79，79，79，68，66，65；
八年级20名学生的成绩在等级的数据：89，89，87，85，82，81．
七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 85 85
中位数 86
众数 79
根据以上信息，解答下列问题：
（1）七年级20名学生成绩的众数为_____分；八年级20名学生成绩的中位数为_____分；
（2）小华本次数学活动的最后得分是87分，在进行活动总结时，他说：“在我们年级抽取的20位同学中，我的得分是中等偏上”，若他的话没有问题，请判断小华是哪个年级的学生，并说明理由；
（3）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生的数学素养竞赛成绩更好？请说明理由．
【答案】（1）79，88
（2）解：小华是七年级的学生，理由如下：∵七年级的中位数为86，八年级的中位数为88，而小华的成绩，
∴小华是七年级的学生；
（3）解：八年级成绩较好，理由如下：
因为两个年级平均数、众数相同，八年级竞赛成绩的中位数高于七年级．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：由七年级20名学生的成绩可得七年级成绩的众数为，
八年级成绩为D人数为（人），成绩为C人数为（人），等级人数为6人，则等级人数为人，
∴八年级成绩第10、11个数据分别为89，87，
所以八年级的中位数为，
故答案为：79，88；
【分析】(1) 七年级众数：找出成绩中出现次数最多的数；八年级中位数：先根据扇形图确定各等级人数，排序后取第 10、11 位数据的平均数。
(2)对比两个年级的中位数，判断 87 分在各自年级中的位置是否为中等偏上。
(3) 从平均数、中位数、众数等统计量角度分析，比较两个年级的成绩水平。
（1）解：由七年级20名学生的成绩可得七年级成绩的众数为，
八年级成绩为D人数为（人），成绩为C人数为（人），等级人数为6人，则等级人数为人，
∴八年级成绩第10、11个数据分别为89，87，
所以八年级的中位数为，
故答案为：79，88；
（2）解：小华是七年级的学生，理由如下：
∵七年级的中位数为86，八年级的中位数为88，而小华的成绩，
∴小华是七年级的学生；
（3）解：八年级成绩较好，理由如下：
因为两个年级平均数、众数相同，八年级竞赛成绩的中位数高于七年级．
20．（2025·万山模拟）如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线交边于点，交边于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，，
，
∵对角线的垂直平分线交边于点，交边于点，
，
在和中
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形为菱形．
（2）解：∵四边形为菱形，，
又 ∵，
，
设，则，
在中，，
，
在中，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】(1)利用矩形对边平行及垂直平分线性质，证明三角形全等从而得到四边形是平行四边形，再结合邻边相等判定其为菱形。
(2)先利用勾股定理求出对角线 BD 长度，设未知数结合菱形性质和勾股定理求出边长，再通过勾股定理求出线段 OE 长度，最终得到 EF 的长度。
（1）证明：∵四边形是矩形，
，
，
∵对角线的垂直平分线交边于点，交边于点，
，
在和中
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形为菱形．
（2）解：∵四边形为菱形，
，
又 ∵，
，
设，则，
在中，，
，
在中，，
．
21．（2025·万山模拟）贵州近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建、两种光伏车棚．已知修建3个种光伏车棚和1个种光伏车棚共需投资11万元，修建5个种光伏车棚和3个种光伏车棚共需投资21万元．
（1）求修建每个种、种光伏车棚分别需投资多少万元；
（2）若修建、两种光伏车棚共20个，要求投资总额不超过55万元，则最多可以修建种光伏车棚多少个？
【答案】（1）解：设修建每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元，
由题意得，，
解得，
答：修建每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元；
（2）解：设修建个种光伏车棚，则修建个种光伏车棚，由题意得，，
解得：，
∵为正整数，
∴最大值为，
答：最多可以修建种光伏车棚个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1) 设每个 A、B 种车棚投资分别为 x、y 万元，根据 “3 个 A 种 + 1 个 B 种总投资 11 万元”“5 个 A 种 + 3 个 B 种总投资 21 万元” 列二元一次方程组，求解得到单个车棚的投资金额。
(2) 设修建 m 个 A 种车棚，则修建 (20 m) 个 B 种车棚，根据 “投资总额不超过 55 万元” 列一元一次不等式，求解后取最大正整数解，得到 A 种车棚最多可修建的数量。
（1）解：设修建每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元，
由题意得，，
解得，
答：修建每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元；
（2）解：设修建个种光伏车棚，则修建个种光伏车棚，
由题意得，，
解得：，
∵为正整数，
∴最大值为，
答：最多可以修建种光伏车棚个．
22．（2025·万山模拟）如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，．
（1）求的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3.2米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：，
，
，
，
的度数为；
（2）解：该运动员能挂上篮网，
理由如下：延长，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
在中，米，
（米），
（米），
米米，
该运动员能挂上篮网．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；直角三角形的性质
【解析】【分析】(1) 根据 CG 垂直 CD 得到直角∠ACG，再利用直角三角形两锐角互余，计算出∠GAC 的度数。
(2) 延长 OA 和 ED 交于点 M，借助平行线性质得到直角三角形 ADM，用三角函数算出 AM 的长度，进而得到篮筐高度 OM，再和 3.2 米比较。
（1）解：，
，
，
，
的度数为；
（2）解：该运动员能挂上篮网，
理由如下：延长，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
在中，米，
（米），
（米），
米米，
该运动员能挂上篮网．
23．（2025·万山模拟）如图，在中，，以为直径的分别与、交于点、，过点作，垂足为点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若的半径为，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接，∵是的直径，
∴；
∵，
∴D点是的中点；
∵O点是的中点，
∴是的中位线，
∴；
∵，
∴；
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）证明：如图，连接，则；由（1）知点D是的中点，即；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
（3）解：如图，连接，∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定；扇形面积的计算；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1) 连接 OD、AD，利用 AB 是直径证 AD⊥BC，结合 AB=AC 得 D 是 BC 中点，由中位线性质得 OD∥AC，再由 DF⊥AC 推出 OD⊥DF，证明 DF 是切线。
(2) 连接 AD，先证△CDF∽△CAD，得到比例式 CD2=CF AC，再结合 AB=AC 完成证明。
(3) 连接 OE，由 AB=AC 及已知角度求出∠BAC=45°，进而得∠AOE=90°，用扇形 AOE 面积减去△AOE 面积得到阴影部分面积。
（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴；
∵，
∴D点是的中点；
∵O点是的中点，
∴是的中位线，
∴；
∵，
∴；
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）证明：如图，连接，则；
由（1）知点D是的中点，即；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴
．
24．（2025·万山模拟）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间之间的函数关系式为，该航模飞机相对于出发点的飞行高度与飞行时间之间的函数关系式为（为常数）．如图所示，若该航模飞机从水平安全线上的处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为．
（1）求的值；
（2）求关于的函数解析式，并求飞行高度的最大值；
（3）该活动小组在水平安全线上的点处设置一个高度可以变化的发射平台进行试飞训练，发射平台高度的取值范围为，并在水平安全线上设置一个飞机降落区域，若保证飞机能落在区域内，求线段的最小长度．
【答案】（1）解：对于，当时，
∴，
∴当时，，
，
解得：；
（2）解：，，
，
∵，且
∴当时，最大，最大值为，
答：飞行高度的最大值为．
（3）解：当最小时，由题意知，，当时，该航模飞机飞行的高度与飞行的水平距离之间的函数关系式为，
令，即，
解得，
，
∴的最小值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）核心是利用“航模再次落到水平安全线时高度”这一关键条件，结合水平距离时对应的时间，代入高度函数求解：由，当时，计算得；此时航模落到水平安全线，高度，将、代入，解方程即可求出。
（2）先通过进行变量代换，把用表示（），再代入高度函数，消去得到与的解析式；再通过配方法将解析式化为顶点式，根据二次函数的性质求出最大值。
（3）结合发射平台高度的范围，确定时对应飞行距离的临界情况，将代入关于的解析式，令解方程求出航模落地的最大水平距离，再结合已知条件得到的最小长度。
（1）解：对于，当时，
∴，
∴当时，，
，
解得：；
（2）解：，
，
，
∵，且
∴当时，最大，最大值为，
答：飞行高度的最大值为．
（3）解：当最小时，由题意知，，
当时，该航模飞机飞行的高度与飞行的水平距离之间的函数关系式为，
令，即，
解得，
，
∴的最小值为．
25．（2025·万山模拟）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点、分别为、上的动点（不含端点），且．
【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小李发现：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，请思考并证明；
【类比探究】（2）小强尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．求证：；
【拓展延伸】（3）潘老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接、，求的最小值．
【答案】解：（1）证明∵为等边三角形，∴，
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由旋转的性质可得，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理（1）证明，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，
，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
当点三点共线时，，此时的值最小，
如图所示，过点作延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，（负值舍去），
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的实际应用-最短路径问题；平行四边形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】(1) 利用等边三角形性质和旋转条件，证明△ANM≌△DNC（SAS），从而得到 MN=CD。
(2)先证△AND 为等腰直角三角形得 AD∥CF，再证△ANM≌△NDC（SAS）得角相等，进而推出 CD∥AF，结合 AD∥CF 证得四边形 AFCD 是平行四边形，得到 AF=CD。
(3)通过旋转构造平行四边形 ACBP，证△APM≌△CBN（SAS）将 BN 转化为 PM，利用 “两点之间线段最短”，当 P、M、C 共线时 BN+CM=PC 最小，最后用勾股定理算出 PC 的长度，即得最小值。
1 / 1贵州省铜仁市万山区2025年中考三模数学试题
一、选择题（以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分）
1．（2025·万山模拟）冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·万山模拟）榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”如图是其中一种卯，其主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·万山模拟）一张A4纸的规格为，它的面积为平方毫米．将数字用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·万山模拟）化简结果正确的是（　　）
A．1 B． C． D．
5．（2025·万山模拟）如图，直线，分别与直线交于点、，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·万山模拟）二次根式中字母的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·万山模拟）为了应对九年级中考体育测试，某班对学生的立定跳远进行了抽测，其中一名同学进行了6次测试，其立定跳远的数据如下（单位：厘米）：239，236，240，242，240，245．则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．240，240 B．240，242 C．241，240 D．240，241
8．（2025·万山模拟）如图，为的直径，、为上两点，连接、和．若，则的大小为（　　）
A．36° B．44° C．52° D．54°
9．（2025·万山模拟）下列说法错误的是（　　）
A．掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是随机事件
B．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件
C．在单词中任意选择一个字母为的概率为
D．天气预报说明天的降水概率是，则明天一定会下雨
10．（2025·万山模拟）如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为6，则的值为（　　）
A．6 B．3 C．2 D．1
11．（2025·万山模拟）如图，在已知的中，按以下步骤作图：
①分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点、；
②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·万山模拟）已知：二次函数的图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④两根分别为，；⑤．其中正确的项有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．（2025·万山模拟）因式分解：　 　．
14．（2025·万山模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：现有若干人乘车，若每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少个人？多少辆车？根据题意可得，有　 　个人．
15．（2025·万山模拟）如图，在平面直角坐标系中，的边、的中点、的横坐标分别是2、5，则点的坐标是　 　．
16．（2025·万山模拟）如图，在中，，，．为边上的一点，，为边上的一动点，将沿翻折得，连接、，则面积的最小值为　 　．
三、解答题（本大题9个小题，共98分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形）
17．（2025·万山模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（2025·万山模拟）如图是反比例函数，的图象，点为图象上的一点，且轴，轴，垂足分别为点、点，、分别交的图象于点、点．
（1）当点的横坐标为1时，求点、点的坐标；
（2）在（1）的条件下，求的面积．
19．（2025·万山模拟）2025年3月14日是全球第六个“国际数学日”．今年的主题是“数学、艺术与创意”．某校在“国际数学日”当天举办了“数学节”活动，通过开展趣味数学游戏、知识拓展、数学创意展示等活动，展现数学魅力，传播数学文化．研究小组为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制）进行整理和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩用表示，共分成四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的成绩：
100，98，97，95，94，93，89，88，87，86，86，85，84，82，79，79，79，68，66，65；
八年级20名学生的成绩在等级的数据：89，89，87，85，82，81．
七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 85 85
中位数 86
众数 79
根据以上信息，解答下列问题：
（1）七年级20名学生成绩的众数为_____分；八年级20名学生成绩的中位数为_____分；
（2）小华本次数学活动的最后得分是87分，在进行活动总结时，他说：“在我们年级抽取的20位同学中，我的得分是中等偏上”，若他的话没有问题，请判断小华是哪个年级的学生，并说明理由；
（3）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生的数学素养竞赛成绩更好？请说明理由．
20．（2025·万山模拟）如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线交边于点，交边于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求的长．
21．（2025·万山模拟）贵州近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建、两种光伏车棚．已知修建3个种光伏车棚和1个种光伏车棚共需投资11万元，修建5个种光伏车棚和3个种光伏车棚共需投资21万元．
（1）求修建每个种、种光伏车棚分别需投资多少万元；
（2）若修建、两种光伏车棚共20个，要求投资总额不超过55万元，则最多可以修建种光伏车棚多少个？
22．（2025·万山模拟）如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，．
（1）求的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3.2米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：，，）
23．（2025·万山模拟）如图，在中，，以为直径的分别与、交于点、，过点作，垂足为点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若的半径为，，求图中阴影部分的面积．
24．（2025·万山模拟）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间之间的函数关系式为，该航模飞机相对于出发点的飞行高度与飞行时间之间的函数关系式为（为常数）．如图所示，若该航模飞机从水平安全线上的处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为．
（1）求的值；
（2）求关于的函数解析式，并求飞行高度的最大值；
（3）该活动小组在水平安全线上的点处设置一个高度可以变化的发射平台进行试飞训练，发射平台高度的取值范围为，并在水平安全线上设置一个飞机降落区域，若保证飞机能落在区域内，求线段的最小长度．
25．（2025·万山模拟）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点、分别为、上的动点（不含端点），且．
【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小李发现：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，请思考并证明；
【类比探究】（2）小强尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．求证：；
【拓展延伸】（3）潘老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接、，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：在温度的表示规则中，题目将零上温度定义为正，那么与之相反的零下温度就应记为负。已知保鲜室零上 4℃记作 + 4℃，按照这一规则，冷冻室零下 18℃就需要在数字 18 前添加负号来表示，即记作 - 18℃。故答案为：B。
【分析】本题考查正负数的意义，解题核心是明确 “零上” 与 “零下” 是一对具有相反意义的量，需用正负数来区分表示。
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正前方观察该榫卯结构，其正面轮廓为两侧凸起、中间下凹的形状，主视图是
故答案为：A。
【分析】本题考查几何体主视图的识别，核心是明确主视图是从物体正前方观察得到的平面图形，需准确还原物体正面的轮廓与结构。
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：这道题考查科学记数法的正确书写形式，关键要满足 1≤a＜10 这一核心条件。把 62370 转化为符合要求的形式时，需把小数点向左移动四位得到 6.237，对应的指数就是 4，
故答案为：C。
【分析】 先依据科学记数法的书写规则确定 a 的取值范围，再通过移动小数点确定 10 的指数，最后对照选项选出正确答案。
4．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：同分母分式相减，分母不变，分子相减，所以 ：；
故答案为：C。
【分析】本题考查同分母分式的减法运算，核心是利用同分母分式相减的法则，分子相减、分母不变，再对分子进行化简计算。
5．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，直线 l1与 l2平行，根据平行线 “同位角相等” 的性质，∠1 =∠3 = 46°。其次，三角板含 30° 角，因此在点 B 处，与∠2 相邻的三角板内角∠4=30°。
最后，根据平角为 180°，可计算∠2 = 180° - ∠3- ∠4= 180° - 46° - 30° = 104°。
故答案为：B。
【分析】本题利用平行线的性质和三角形内角和为 180° 的规律，结合对顶角相等，逐步推导出∠2 的度数。
6．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式被开方数非负的要求，列不等式 x 2≥0，解得 x≥2，
故答案为：D。
【分析】本题考查二次根式的定义，核心是明确二次根式中被开方数必须是非负数，据此列出不等式求解字母的取值范围。
7．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：众数：在这组立定跳远数据中，240 出现了 2 次，出现次数最多，因此众数是 240。
中位数：先将数据从小到大排序为 236，239，240，240，242，245，共 6 个数据，中间位置是第 3 个和第 4 个数据，即 240 和 240，两者的平均数为 (240+240)÷2=240，因此中位数是 240。
故答案为：A。
【分析】本题考查众数和中位数的定义，先找出出现次数最多的数确定众数，再将数据排序后计算中间两个数的平均数得到中位数。
8．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可知∠BCD 与∠BAD 均对应弧 BD，
因此∠BAD = ∠BCD = 36°。
因为 AB 是圆 O 的直径，由 “直径所对的圆周角为直角” 可得∠ADB = 90°。
在直角三角形 ABD 中，根据直角三角形两锐角互余，可计算∠ABD = 90° - ∠BAD = 90° - 36° = 54°。
故答案为：D。
【分析】 连接 AD，利用同弧所对的圆周角相等得出∠DAB=36°，由 AB 为直径得∠ADB=90°，在 Rt△ADB 中用三角形内角和求出∠ABD 的度数。
9．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、掷一枚正方体骰子，点数可能是奇数也可能是偶数，偶数朝上这一结果具有不确定性，符合随机事件的定义，A正确；
B、根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和都固定为 180°，这是一定会发生的事件，属于必然事件，B正确；
C、单词 mathematics 共有 11 个字母，其中字母 m 出现了 2 次，依据概率公式，选中字母 m 的概率为 2 除以 11，C正确；
D、降水概率 90% 意味着明天下雨的可能性很大，但并非绝对会发生，降水概率只是对下雨可能性大小的预测，不是必然结果，D错误；
故答案为：D。
【分析】 本题围绕随机事件、必然事件的定义及概率计算展开，核心是逐一辨析每个选项的概念正确性，找出错误的说法。
10．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设点的坐标为，因为在反比例函数上，所以。
已知是的中点，且垂直于轴，因此，。
的面积为，题目中的面积为，即，所以。
故答案为：A。
【分析】 本题通过反比例函数的几何意义，结合三角形面积与中点性质，建立等量关系求解 k 的值。
11．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图知 MN 垂直平分 BC，故 DB=DC，∠B=∠DCB。
由 CD=AC，∠A=50°，得∠CDA=∠A=50°。
根据外角性质，∠CDA=2∠B，解得∠B=25°，即∠DCB=25°。
在△ACD 中，∠ACD=80°，因此∠ACB=∠ACD+∠DCB=80°+25°=105°，
故答案为：C。
【分析】 先由等腰三角形性质得∠ADC=∠A=50°，再由垂直平分线性质得 BD=CD，进而求出∠B=25°，最后用三角形内角和定理算出∠ACB 的度数。
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①抛物线开口向上，故；对称轴为直线，由对称轴公式，可得；抛物线与轴交于负半轴，故。因此，结论①正确；
②由对称轴，整理得，即，而非，结论②错误；
③当时，函数取得最小值；当（）时，函数值为。因为是最小值点，所以，两边同时减去，得，结论③正确；
④抛物线对称轴为，且与轴的一个交点为，根据抛物线的对称性，另一个交点为，因此方程的根为，，结论④错误；
⑤当时，函数值，由图象可知，此时点在轴上方，故，即，结论⑤正确；
综上，①③⑤正确，共3个。
故答案为：B。
【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴公式、与y轴交点位置，分别判断a、b、c的符号，进而确定abc的符号；
②由对称轴公式，推导b与a的关系，验证结论；
③利用抛物线在对称轴处取得最小值的性质，比较与的函数值，推导不等式；
④根据抛物线的对称性，由已知交点和对称轴，求出另一交点，确定方程的根；
⑤代入，结合图象判断该点函数值的正负，验证的符号。
13．【答案】
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】 先找出多项式 y2-5y 两项的公因式，再提取公因式完成因式分解。
14．【答案】39
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x辆车，
由题意得，，
解得，
∴，
∴一共有39人，
故答案为：39．
【分析】设车辆数为未知数，根据两种乘车方式下总人数不变列出一元一次方程，求解后算出总人数
15．【答案】
【知识点】点的坐标；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点是中点，
∴，
∵点的横坐标分别是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】 利用三角形中位线定理，结合中点横坐标的差值算出中位线长度，进而得到 OB 的长度，确定点 B 的坐标。
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：取的中点G，连接，
∵，
∴，
∵在中，，且，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当点在上时，最小，
由折叠知，，
∴最小值为，
∴面积的最小值为．
故答案为：．
【分析】先通过平行四边形性质和等边三角形判定求出 BE 的长度及位置，再结合折叠性质与 “两点之间线段最短” 找到 BD' 的最小值，最后代入三角形面积公式计算△ABD' 的最小面积。
17．【答案】解：（1）
；
（2）
，
当时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；零指数幂；二次根式的化简求值；利用整式的混合运算化简求值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1） 利用乘方、特殊三角函数值、二次根式化简、零次幂的运算法则，分别计算各项后合并得到结果。
（2）先通过提取公因式将整式化简为x+1，再代入计算最终结果。
18．【答案】（1）解：∵点的横坐标为1，∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
当时，，，
∴点的坐标为；
（2）解：由（1）得，，同理点的坐标为，∴，，
∴．
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【分析】(1)根据点 P 的横坐标求出其坐标，再结合 PA⊥x 轴、PB⊥y 轴的性质，分别确定点 A 的坐标和点 C 的纵坐标，代入反比例函数求出点 C 的横坐标。
(2) 先求出点 D 的坐标，再计算 PC 和 PD 的长度，最后利用直角三角形面积公式求出△PCD 的面积。
（1）解：∵点的横坐标为1，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
当时，，，
∴点的坐标为；
（2）解：由（1）得，，同理点的坐标为，
∴，，
∴．
19．【答案】（1）79，88
（2）解：小华是七年级的学生，理由如下：∵七年级的中位数为86，八年级的中位数为88，而小华的成绩，
∴小华是七年级的学生；
（3）解：八年级成绩较好，理由如下：
因为两个年级平均数、众数相同，八年级竞赛成绩的中位数高于七年级．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：由七年级20名学生的成绩可得七年级成绩的众数为，
八年级成绩为D人数为（人），成绩为C人数为（人），等级人数为6人，则等级人数为人，
∴八年级成绩第10、11个数据分别为89，87，
所以八年级的中位数为，
故答案为：79，88；
【分析】(1) 七年级众数：找出成绩中出现次数最多的数；八年级中位数：先根据扇形图确定各等级人数，排序后取第 10、11 位数据的平均数。
(2)对比两个年级的中位数，判断 87 分在各自年级中的位置是否为中等偏上。
(3) 从平均数、中位数、众数等统计量角度分析，比较两个年级的成绩水平。
（1）解：由七年级20名学生的成绩可得七年级成绩的众数为，
八年级成绩为D人数为（人），成绩为C人数为（人），等级人数为6人，则等级人数为人，
∴八年级成绩第10、11个数据分别为89，87，
所以八年级的中位数为，
故答案为：79，88；
（2）解：小华是七年级的学生，理由如下：
∵七年级的中位数为86，八年级的中位数为88，而小华的成绩，
∴小华是七年级的学生；
（3）解：八年级成绩较好，理由如下：
因为两个年级平均数、众数相同，八年级竞赛成绩的中位数高于七年级．
20．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，，
，
∵对角线的垂直平分线交边于点，交边于点，
，
在和中
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形为菱形．
（2）解：∵四边形为菱形，，
又 ∵，
，
设，则，
在中，，
，
在中，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】(1)利用矩形对边平行及垂直平分线性质，证明三角形全等从而得到四边形是平行四边形，再结合邻边相等判定其为菱形。
(2)先利用勾股定理求出对角线 BD 长度，设未知数结合菱形性质和勾股定理求出边长，再通过勾股定理求出线段 OE 长度，最终得到 EF 的长度。
（1）证明：∵四边形是矩形，
，
，
∵对角线的垂直平分线交边于点，交边于点，
，
在和中
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形为菱形．
（2）解：∵四边形为菱形，
，
又 ∵，
，
设，则，
在中，，
，
在中，，
．
21．【答案】（1）解：设修建每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元，
由题意得，，
解得，
答：修建每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元；
（2）解：设修建个种光伏车棚，则修建个种光伏车棚，由题意得，，
解得：，
∵为正整数，
∴最大值为，
答：最多可以修建种光伏车棚个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1) 设每个 A、B 种车棚投资分别为 x、y 万元，根据 “3 个 A 种 + 1 个 B 种总投资 11 万元”“5 个 A 种 + 3 个 B 种总投资 21 万元” 列二元一次方程组，求解得到单个车棚的投资金额。
(2) 设修建 m 个 A 种车棚，则修建 (20 m) 个 B 种车棚，根据 “投资总额不超过 55 万元” 列一元一次不等式，求解后取最大正整数解，得到 A 种车棚最多可修建的数量。
（1）解：设修建每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元，
由题意得，，
解得，
答：修建每个种光伏车棚需投资万元，每个种光伏车棚需投资万元；
（2）解：设修建个种光伏车棚，则修建个种光伏车棚，
由题意得，，
解得：，
∵为正整数，
∴最大值为，
答：最多可以修建种光伏车棚个．
22．【答案】（1）解：，
，
，
，
的度数为；
（2）解：该运动员能挂上篮网，
理由如下：延长，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
在中，米，
（米），
（米），
米米，
该运动员能挂上篮网．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；直角三角形的性质
【解析】【分析】(1) 根据 CG 垂直 CD 得到直角∠ACG，再利用直角三角形两锐角互余，计算出∠GAC 的度数。
(2) 延长 OA 和 ED 交于点 M，借助平行线性质得到直角三角形 ADM，用三角函数算出 AM 的长度，进而得到篮筐高度 OM，再和 3.2 米比较。
（1）解：，
，
，
，
的度数为；
（2）解：该运动员能挂上篮网，
理由如下：延长，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
在中，米，
（米），
（米），
米米，
该运动员能挂上篮网．
23．【答案】（1）证明：如图，连接，∵是的直径，
∴；
∵，
∴D点是的中点；
∵O点是的中点，
∴是的中位线，
∴；
∵，
∴；
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）证明：如图，连接，则；由（1）知点D是的中点，即；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
（3）解：如图，连接，∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定；扇形面积的计算；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1) 连接 OD、AD，利用 AB 是直径证 AD⊥BC，结合 AB=AC 得 D 是 BC 中点，由中位线性质得 OD∥AC，再由 DF⊥AC 推出 OD⊥DF，证明 DF 是切线。
(2) 连接 AD，先证△CDF∽△CAD，得到比例式 CD2=CF AC，再结合 AB=AC 完成证明。
(3) 连接 OE，由 AB=AC 及已知角度求出∠BAC=45°，进而得∠AOE=90°，用扇形 AOE 面积减去△AOE 面积得到阴影部分面积。
（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴；
∵，
∴D点是的中点；
∵O点是的中点，
∴是的中位线，
∴；
∵，
∴；
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）证明：如图，连接，则；
由（1）知点D是的中点，即；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴
．
24．【答案】（1）解：对于，当时，
∴，
∴当时，，
，
解得：；
（2）解：，，
，
∵，且
∴当时，最大，最大值为，
答：飞行高度的最大值为．
（3）解：当最小时，由题意知，，当时，该航模飞机飞行的高度与飞行的水平距离之间的函数关系式为，
令，即，
解得，
，
∴的最小值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）核心是利用“航模再次落到水平安全线时高度”这一关键条件，结合水平距离时对应的时间，代入高度函数求解：由，当时，计算得；此时航模落到水平安全线，高度，将、代入，解方程即可求出。
（2）先通过进行变量代换，把用表示（），再代入高度函数，消去得到与的解析式；再通过配方法将解析式化为顶点式，根据二次函数的性质求出最大值。
（3）结合发射平台高度的范围，确定时对应飞行距离的临界情况，将代入关于的解析式，令解方程求出航模落地的最大水平距离，再结合已知条件得到的最小长度。
（1）解：对于，当时，
∴，
∴当时，，
，
解得：；
（2）解：，
，
，
∵，且
∴当时，最大，最大值为，
答：飞行高度的最大值为．
（3）解：当最小时，由题意知，，
当时，该航模飞机飞行的高度与飞行的水平距离之间的函数关系式为，
令，即，
解得，
，
∴的最小值为．
25．【答案】解：（1）证明∵为等边三角形，∴，
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由旋转的性质可得，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理（1）证明，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，
，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
当点三点共线时，，此时的值最小，
如图所示，过点作延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，（负值舍去），
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的实际应用-最短路径问题；平行四边形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】(1) 利用等边三角形性质和旋转条件，证明△ANM≌△DNC（SAS），从而得到 MN=CD。
(2)先证△AND 为等腰直角三角形得 AD∥CF，再证△ANM≌△NDC（SAS）得角相等，进而推出 CD∥AF，结合 AD∥CF 证得四边形 AFCD 是平行四边形，得到 AF=CD。
(3)通过旋转构造平行四边形 ACBP，证△APM≌△CBN（SAS）将 BN 转化为 PM，利用 “两点之间线段最短”，当 P、M、C 共线时 BN+CM=PC 最小，最后用勾股定理算出 PC 的长度，即得最小值。
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