资源简介

2026年高考数学计算能力强化训练
基础卷
基础卷 1
参考答案与解析 7
多维细目表 12
提速技巧总结 14
注意事项：
1.训练目标：本卷旨在提升计算基础薄弱学生的运算速度和准确性.题目数据以整数为主，计算步骤控制在2-4步，侧重于基础公式、法则的熟练运用和基本代数运算能力的训练.
2.训练时间：建议用时120分钟，请严格控制时间，模拟真实考场环境.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 (　　)
A. B.
C. D.
2. 已知复数 满足 ( 为虚数单位), 则 的虚部为(　　)
A. B. C. D.
3. 已知空间向量 ，平面 的一个法向量为 ，则向量 在平面 上的投影向量是(　　)
A. B.
C. D.
4. 已知函数 则 的值为(　　)
A. 2 B. .2 C. 3 D. .3
5. 已知函数 在 处取得最大值，则 (　　)
A. B. 1 C. D. 2
6. 设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，且 .则 和 的值为(　　)
A. , B. ,
C. , D. ,
7. 若 的展开式的常数项为60，则 (　　)
A. 4 B. 2 C. 16 D. 8
8. 一个大于1的自然数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．在不超过20的质数中任取三个不同数，则其和是偶数的取法有(　　)
A. 15 B. 21 C. 35 D. 28
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知两条不同的直线 ， ，两个不同的平面 ， ，则下列命题为真命题的是(　　)
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ， ， ，则
10. 已知 为第二象限角， ，则(　　)
A.
B.
C.
D.
11. 设 为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为 ，则下列结论正确的是(　　)
A. 若事件 互斥，则
B. 若事件 互斥，则
C. 若事件 相互独立，则
D. 若 ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为 ，则圆台的体积为______.
13. 的展开式中，常数项为______.
14. 若函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分） 设函数 .
（1） 若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 若函数 在区间 内单调递增，求 的取值范围.
16. （15分） 记 的内角 、 、 的对边分别是 ， ， ，已知 ， 为锐角.
（1） 求角 的大小；
（2） 若 ， 的面积为 ，求 的周长.
17. （15分） 设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，且 .
（1） 求 和 ；
（2） 求 .
18. （17分） 在 中，内角A，B，C所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1） 证明： ；
（2） 若 的面积为 ，证明 为等边三角形.
19. （17分） 如图，在正三棱台 中， ， .
（1） 求正三棱台 的体积 ；
（2） 若 是 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
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第 2 页，共 17 页
参考答案与解析
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D B D B A B
1. 【解析】因为 ， ，所以 . 故选：A.
2. 【解析】由 ，可得 .故 的虚部为 .故选： A.
3. 【解析】向量 在平面 上的投影向量为 . ， . 则投影向量为 .故选：D.
4. 【解析】因为 ，所以 .故选：B.
5. 【解析】由正弦函数的性质，当 在 处取得最大值时，有 . 解得 .又因为 ，所以取 ，得 .故选： D.
6. 【解析】当 时， ，又 ，所以 . 当 时， 两式相减得 ，即 .所以 . 将 代入 ，得 ，解得 .故选：B.
7. 【解析】 展开式的通项公式为 . 令 ，得 .常数项为 . 由题意， ，解得 .故选： A.
8. 【解析】不超过20的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，共8个数. 要使取出的三个不同数的和为偶数，由于质数中只有一个偶数2，其余均为奇数，因此必须包含2. 从剩下的7个奇数中任选2个，则共有 种取法.故选：B.
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 AC ABC ACD
9. 【解析】对于A，根据直线与平面垂直的性质定理知A正确. 对于B，除非加上 ，可以推出 ，其他情况容易举反例，故B错误. 对于C，因为 ，过 作平面 ，则易得 ，因为 ，所以 .又 ，所以 ，故C正确. 对于D，直线 ， 相交时符合平面与平面平行的判定定理，否则结论不成立，故D错误. 故选：AC.
10. 【解析】因为 为第二象限角， ，所以 . 对于A， ，故A正确. 对于B， ，故B正确. 对于C， ，故C正确. 对于D， ，故D错误. 故选：ABC.
11. 【解析】对于A，若事件 互斥，则 ，故A正确. 对于B，若事件 互斥， ，故B错误. 对于C，若事件 相互独立，则 . ，故C正确. 对于D，由 ，得 ，解得 ，故D正确. 故选：ACD.
三、填空题
题号 12 13 14
答案 10
12. 【解析】设圆台母线长为 ，由侧面积公式 ，得 ，解得 . 圆台的高 . 所以圆台的体积 .
13. 【解析】因为 ， 又 的展开式的通项为 ， 所以当 时， ， 所以 的展开式中常数项为10.
14. 【解析】因为 ，所以 . 令 ，得 ，解得 . 所以 ，则 . 所以曲线在点 处的切线方程为 ，即 .
四、解答题
15. 【答案】（1） ；（2）
【解析】 (1)【步骤分值：求导2分，求斜率1分，求切点1分，点斜式写方程1分，共5分】 当 时， . . 所以 ，又 . 故切线方程为 ，即 .
(2)【步骤分值：求导2分，分析导数符号2分，解不等式2分，得出结论2分，共8分】 . 由题意， 在 内恒成立，即 在 上恒成立. 令 ，其为一次函数，需满足 . 即 ，解得 且 . 所以 的取值范围是 .
16. 【答案】（1） ；（2）
【解析】 (1)【步骤分值：展开化简3分，求出 2分，得出角B 2分，共7分】 因为 ， 所以 ， 即 . 因为 ，所以 ，故 . 又 为锐角，所以 .
(2)【步骤分值：面积公式求 2分，余弦定理求 3分，求 2分，求周长1分，共8分】 因为 的面积为 ，所以 ，解得 . 由余弦定理 ，得 ，即 ， 所以 . 所以 . 所以 的周长为 .
17. 【答案】（1） ， ；（2）
【解析】 (1)【步骤分值：利用n=1求关系2分，n≥2时作差求q 3分，求a1 2分，共7分】 当 时， ，即 ，所以 . 当 时，由 两式相减得 ，即 . 所以数列的公比 . 将 代入 ，得 ，解得 .
(2)【步骤分值：写出求和公式2分，代入计算1分，化简1分，共4分】 由(1)知，数列 是以2为首项，2为公比的等比数列. 所以前 项和 .
18. 【解析】 (1)【步骤分值：正弦定理边化角2分，化简3分，再次用正弦定理角化边2分，得出结论1分，共8分】 由正弦定理 ，可将等式 化为： . 展开得 . 移项得 . 因为 ，所以 . 故 . 再由正弦定理角化边得 ，命题得证.
(2)【步骤分值：面积公式求A 2分，余弦定理代入化简4分，得出b=c 2分，结论1分，共9分】 由三角形面积公式 ，得 . 因为 ，由(1)知A为锐角，所以 . 由余弦定理 . 又由(1)知 ，代入上式得 . 整理得 ，即 ，所以 . 因此 ，再结合(1)知 ，所以 为等边三角形.
19. 【答案】（1） ；（2）
【解析】 (1)【步骤分值：求高2分，用台体体积公式计算2分，共4分】 设上、下底面的中心分别为 ，连接 ，过 作底面垂线，垂足为 ，则 为高. 由题意， 和 都是正三角形，且 ，可得 ，故 . 由勾股定理，高 . 正三棱台体积 .
(2)【步骤分值：建系并写坐标4分，求法向量3分，求线面角3分，共10分】 以 为原点， 为 轴，平行于 的直线为 轴， 为 轴建系. 则 . . . 设平面 的法向量为 ，由 ，得法向量 . 设直线 与平面所成角为 ，则 .
多维细目表
题型 题号 分值 必备知识 易错类型
单选题 1 5 集合的运算 忽略不等式端点
单选题 2 5 复数四则运算 虚部概念混淆
单选题 3 5 空间向量的投影向量 投影公式记错
单选题 4 5 分段函数求值 代入错误
单选题 5 5 三角函数最值与求参 代入条件求解错误
单选题 6 5 等比数列通项 由Sn求an关系不清
单选题 7 5 二项式定理 通项公式指数错误
单选题 8 5 古典概型与组合 分类遗漏
多选题 9 6 立体几何线面关系 判定定理条件不清
多选题 10 6 三角函数恒等变换 象限符号错误
多选题 11 6 概率基本性质 独立与互斥公式混淆
填空题 12 5 圆台的体积 高与母线关系混淆
填空题 13 5 二项式定理（常数项） 漏乘系数
填空题 14 5 导数的几何意义 不会求f’(1)
解答题 15 13 导数应用（切线、单调性） 参数讨论不全
解答题 16 15 解三角形 余弦定理化简错
解答题 17 15 数列的通项与求和 Sn与an关系应用
解答题 18 17 解三角形（边角互化） 三角恒等变换不熟
解答题 19 17 立体几何（体积、线面角） 建系坐标与法向量
提速技巧总结
一、单选题提速技巧
题号 典型题类型 易错点/计算难点 提速技巧
1 集合交集/并集 忽略不等式端点；解二次不等式出错 集合运算务必画数轴。解不等式时，注意二次项系数正负、判别式。写区间时，严格区分开闭。口诀：解集要画轴，端点看等号。
2 复数虚部 虚部概念混淆（是否带 i）；分母实数化计算出错 复数除法必须分子分母同乘共轭复数。虚部是实数，不带 i。口诀：除复数，乘共轭；问虚部，看 i 前。
3 投影向量 投影向量公式记混（数量积除以模长的平方再乘向量本身？还是乘方向向量？） 投影向量公式：。记死：分母是模长平方，乘的是目标方向向量。
4 分段函数求值 代入错误（x=1/2 用错解析式）；对数运算不熟 分段函数求值，先判断自变量所在区间，再代入对应解析式。，。
5 三角函数求参 最大值条件转化错误（） 在 取最大值，则 。结合范围定参数。
6 等比数列基本量 由 求 时忽略 条件；作差计算出错 与 关系： (n≥2)。必须检验 n=1 时是否满足。
7 二项式定理 通项公式指数算错；常数项条件设为 后 r 取错 写出通项 ，令 x 的指数为 0 求 r。注意负号和分数指数。
8 古典概型计数 分类遗漏（和为偶数的条件未考虑必须含 2） 质数中只有一个偶数 2。和为偶数，必须选 2 和两个奇数。
二、多选题提速技巧
题号 典型题类型 易错点/计算难点 提速技巧
9 线面关系判断 判定定理条件记忆模糊（如面面平行需相交线） 逐项用定理检验。线面垂直性质定理可推线线平行。面面平行判定必须“两条相交直线”。
10 三角函数恒等变换 象限符号错误；诱导公式、二倍角公式记混 先由象限定 符号（第二象限为负）。再用公式逐项计算。，。
11 概率基本性质 互斥与独立公式混淆；对立事件概率计算错误 互斥时 ，独立时 。对立事件概率为 1 减去原事件概率。
三、填空题提速技巧
题号 典型题类型 易错点/计算难点 提速技巧
12 圆台体积 高与母线关系混淆；公式记错（1/3） 圆台体积 。高、母线、半径差构成直角三角形：。
13 二项式常数项 漏乘系数（前面还有因式 (x-2)） 先展开后面的二项式，再乘以前面的因式，合并同类项找常数。不要直接对整体用通项。
14 导数切线方程 不会求 （含参导数） 先求导函数，再代入 ，建立关于 的方程求解。切点坐标、斜率、点斜式方程三步走。
四、解答题提速技巧
题号 典型题类型 计算难点 提速技巧
15 导数：切线、单调性求参 求导后化简；含参不等式恒成立讨论 ①求导要准（乘积求导法则）。②切线方程用点斜式。③单调性转化为导函数符号问题，一次函数恒成立看端点。
16 解三角形：正弦余弦定理 和差角公式化简；面积公式与余弦定理联立 ①边角互化首选正弦定理。②。③已知面积和夹角求边积，再用余弦定理求边和。
17 数列：由 Sn 求通项与求和 作差后符号处理；等比求和公式 ① 是核心。②求出 q 和 a1 后，套公式 ，注意 q=1 的情况。
18 解三角形：边角互化证明 三角恒等变形（和差角、诱导公式） 证明题中，正弦定理边化角后，目标是凑出 。然后角化边得出结论。
19 立体几何：棱台体积与线面角 建系坐标易错；法向量计算；台体体积公式 ①正棱台高用勾股定理求。②建系要利用垂直关系。③线面角正弦值 。
基础卷总览口诀
集合数轴画端详，复数虚部不带 i。
投影公式记心间，分段代入先看区。
三角最值套公式，数列关系要验一。
二项通项找常数，古典计数分类细。
立几建系找直角，导数切线步骤齐。2026年高考数学计算能力强化训练
极限卷
极限卷 1
参考答案与解析 11
多维细目表 19
提速技巧 20
注意事项：
1. 训练目标： 本卷旨在挑战计算能力较好学生的运算极限和复杂数据处理能力.题目数据以分数、根号、小数、字母参数为主，计算步骤控制在4-8步，易错点密集，要求学生具备极强的代数变形能力和计算稳定性.
2. 训练时间： 建议用时135分钟.本卷计算量较大，请沉着冷静，细致演算.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若函数 的最小正周期为 ，且 ， 的图象关于点 对称，则 (　　)
A. 1 B. 0 C. .1 D.
2. 若随机变量 ，且 ，则 的最小值为(　　)
A. B. C. 1 D. 2
3. 已知 ，则(　　)
A. B.
C. D.
4. 设椭圆 : ，点 和 均为椭圆 的顶点，点 在椭圆 上.若 ，则四边形 面积的最大值为(　　)
A. B. 4 C. D. 2
5. 已知函数 ， ，若关于 的方程 有三个不同实数根，则实数 的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
6. 已知定义在 上的函数 满足当 时， ( )，且当 时， ，若方程 有无穷多个解，则 的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
7. 已知抛物线 的焦点为 ， 为 上的动点，点 ，则 取最小值时，直线 的斜率为(　　)
A. B. C. D.
8. 已知双曲线 ( ， ) 的左,右焦点分别为 ， ，过点 且与 的一条渐近线平行的直线交 于点 ，若 ( 为坐标原点),则 的离心率为(　　)
A. 3 B. C. 2 D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆: 与双曲线: 有公共焦点 ，它们的离心率分别为 ， 是它们在第一象限的交点， 的内切圆圆心为 ， ， 为坐标原点，则下列结论正确的是(　　)
A. 若 ，则
B. 若 ，则 的最小值为
C. 过 作直线 的垂线，垂足为 ，点 的轨迹是双曲线
D. 两个曲线在 点处的切线互相垂直
10. 如图(1)，在长方形 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点，连接 ， ，分别交 于点 ， ，将 沿直线 折起到 的位置，如图(2)，则下列说法正确的是(　　)
A. 在翻折的过程中，恒有 平面
B. 若 为直线 上一点，则点 到直线 的最短距离为
C. 当二面角 的大小为 时，
D. 当平面 平面 时，三棱锥 外接球的表面积为
11. 伽利略说:大自然这本书是用数学语言写成的.人们在自然界中发现了斐波那契数列 ，其中 ， ，斐波那契数列在动植物生长、艺术设计和金融市场都有广泛应用.下列关于斐波那契数列 的结论中，正确的有(　　)
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 篮球有不同的型号，比如男篮和女篮的比赛用球无论是质量还是大小均不相同，儿童一般用3号球，半径约9厘米.一款儿童篮球为标准球体，半径9厘米，球面上有三点 、 、 ，它们相互之间的直线距离均为9厘米，球面上有一动点 ，则点 到平面 的距离的最大值为______厘米.
13. 一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______.
14. 已知 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 ______；若 ，则 面积的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （15分） 如图，直四棱柱 中，底面 为直角梯形，点 、 、 、 在底面的垂足分别为 、 、 、 ， ， ， ， ， ， 为 的中点， 在 上且 .
（1） 求 与平面 所成角的正弦值；
（2） 求平面 与平面 的夹角的余弦值；
（3） 边 上是否存在点 ，使 、 、 、 四点共面，若存在，求出 的长度，若不存在，则说明理由.
16. （15分） 已知函数 ， .
（1） 当 时，求函数 的图象在 处的切线方程；
（2） 若 有2个极值点，求 的取值范围；
（3） 若 有2个零点，求 的取值范围.
17. （15分） 已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的焦点为 ， ， ， ， 为 上不同的三点.
（1） 求 的标准方程；
（2） 若直线 过点 ，且斜率 ，求 面积的最小值；
（3） 若直线 ， 与 相切，求证：直线 也与 相切.
18. （17分） 某学校有 三个学生餐厅，高一新生王同学在开学第一天随机选择一个餐厅就餐，若前一天在 餐厅就餐，则当天还在 餐厅就餐的概率为 ，若前一天在 餐厅就餐，则当天在 餐厅就餐的概率为 ，若前一天在 餐厅就餐，则当天在 餐厅就餐的概率为 .
（1） 求王同学第二天在 餐厅就餐的概率；
（2） 求王同学第 天在 餐厅就餐的概率；
（3） 以王同学在 餐厅就餐的概率估计高一新生在 餐厅就餐的概率，若餐厅当天就餐人数比前一天就餐人数增加的比例不超过 ，则称就餐人数趋于稳定，试判断 餐厅从第几天开始就餐人数趋于稳定.
19. （17分） 将所有正整数按照如下规律形成数阵：
第1行 1 2 3 7 8 9
第2行 10 11 12 97 98 99
第3行 100 101 102 997 998 999
第4行 1000 1001 1002 9997 9998 9999 …
（1） 将数列 与数列 的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列 ，试确定 在该数阵中的位置；
（2） 将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第 行中正整数的个数为 .
（i） 求 ， ， ；
（ii） 求 .
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参考答案与解析
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A B B B A B
1. 【解析】 .则最小正周期 . 由 ，得 . 由 关于点 对称，得 ，即 . 结合范围，取 ，得 . 则 . .故选：A.
2. 【解析】由正态分布对称性知， 意味着 和 关于均值 对称，所以 . 则 . 当且仅当 时取等号.故选：C.
3. 【解析】对于 和 ，由于函数 是增函数，且 ，所以 . 对于 和 ，同时取对数： ， . 构造函数 ，利用其单调性或直接计算，可得 . 对于 和 ，同理可比较得 . 所以 .故选：A.
4. 【解析】由 得椭圆方程为 .直线 的斜率为 ，方程为 . 由 ，设直线 的方程为 . 与椭圆方程联立，消去 得 . 由 得 . 弦长 ，点 到直线 的距离为 . 梯形 的面积 . 令 ，换元求最大值，得当 时，面积最大为4.故选：B.
5. 【解析】作出 的图像.令 ，则方程变为 . 原方程有三个不同实根，等价于关于 的方程在 有一个根，另一个根在 ；或一个根为0，另一个在(0,1)（经检验不成立）；或一个根为1，另一个根不符. 设 ，则需满足 . 即 ，解得 .故选：B.
6. 【解析】当 时，在区间 上， ，其值域为 . 且 满足周期性 . 方程 有无穷多个解，即直线 与 的图像在无穷多个区间上有交点. 分析图像可知，当 时，直线 会与每个周期内的函数图像有交点，从而有无穷多个解.故选：B.
7. 【解析】由题意 ，设 ，则 .由抛物线定义， . . 则 . 令 ，则需最大化 .代入 ，经过换元和基本不等式，当 时， 取最大值 ，此时 取最小值. 点 ， ，斜率 .故选：A.
8. 【解析】设半焦距为 .过 且与渐近线 平行的直线斜率为 . 由 ，得 为直角三角形，且 . 由于 与渐近线平行，可求 ，进而在 中， . 由双曲线定义， ，得 . 在 中，由勾股定理： ，即 . 所以 ，离心率 .故选：B.
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 ABD ABD ACD
9. 【解析】A项，由 得 ，由椭圆和双曲线定义表示边长，结合勾股定理得 ，正确. B项，利用余弦定理和基本不等式，可得 ，正确. C项，H的轨迹是以O为圆心， 为半径的圆，错误. D项，利用椭圆和双曲线在P点的切线方程，可证斜率之积为.1，正确. 故选：ABD.
10. 【解析】A项，由相似和勾股定理得 ，翻折后得 平面 ，正确. B项，MN为AM和PN的公垂线段，最小距离为 ，正确. C项，利用空间向量数量积求得 ，错误. D项，外接球球心为BD中点，半径 ，表面积 ，正确. 故选：ABD.
11. 【解析】A项，利用递推关系累加，得 ，正确. B项，取特殊值验证如 ，不成立，错误. C项，通过并项累加得 ，正确. D项，利用递推和累乘思想可得等式成立，正确. 故选：ACD.
三、填空题
题号 12 13 14
答案 82 2；
12. 【解析】由题意，球半径 . 是边长为9的等边三角形. 设球心 到平面 的距离为 ，由几何关系，正三角形 的外接圆半径 . 所以 . 球面上动点 到平面 的最大距离为球心距加半径，即 厘米.
13. 【解析】分三种情况讨论： （1） ①②③④四边同色，共有 种.
（2） ①②③④只有三边同色，另一边不同色时，共有 种.
（3） 当①②③④每两个同色时，共有 种. 综上，共有 种.
14. 【解析】第一空：由正弦定理和三角恒等变换， . 再由正弦定理， ，所以 . 第二空：由 ，设 .由余弦定理， . 面积 . 将 看作整体，当 时取最大值 ，故最大面积为 .
四、解答题
15. 【答案】（1） ；（2） ；（3） 存在，
【解析】
(1)【步骤分值：建系并求坐标3分，求法向量与方向向量2分，用公式求线面角2分，共7分】 以 为原点， 所在直线为 轴建系. 由题意得 ，平面 的法向量为 . . .
(2)【步骤分值：求两个法向量4分，用公式求夹角2分，共6分】 平面 的法向量 ，平面 的法向量 ..
(3)【步骤分值：利用共面条件列方程2分，解参数得长度2分，共4分】 设 ，若四点共面，则 ，其中 为平面 法向量.解得 ，即 .
16. 【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
(1)【步骤分值：求导代值2分，写切线方程2分，共4分】 时， . . .切线方程为 ，化简得答案.
(2)【步骤分值：求导并分离参数2分，研究新函数单调性极值3分，得范围2分，共7分】 .令 ，得 . 设 ， . 在 单减，在 单增. 极小值 .要使 与 有两个交点，需 .
(3)【步骤分值：参变分离构造函数2分，求导分析单调极值4分，结合图像得范围2分，共8分】 .令 ，求导得 . 分析出极大值 ，极小值 ，且 时值域包含 . 结合图像，当 或 时， 与 有两个交点.故范围是 .
17. 【答案】（1） ；（2） ；（3） 证明见解析
【解析】
(1)【步骤分值：求焦点2分，解p 2分，共4分】 . ，解得 .故 方程为 .
(2)【步骤分值：设直线联立得弦长3分，求点到直线距离2分，表示面积并求最值4分，共9分】 设 ，代入 得 . 弦长 . 到 距离 . .令 ，求导知其在 单增，故 时取最小值 .
(3)【步骤分值：设切点得切线方程3分，利用切线与C2相切得关系3分，证直线BC与C2相切4分，共10分】 设 .则 方程为 .代入 ，由相切得 ，即 .同理， . 这表明 均在直线 上，即直线 的方程.将其代入 ，得 （因为 ）.所以 也与 相切.
18. 【答案】（1） ；（2） ；（3） 第5天
【解析】
(1)【步骤分值：设出事件并全概率公式3分，计算2分，共5分】 设第 天去 餐厅的概率分别为 . 则 .
(2)【步骤分值：建立递推关系4分，构造等比数列3分，求出通项3分，共10分】 由全概率公式得 ，结合 ，化简得 . 构造等比数列， . 又 .所以 .
(3)【步骤分值：写出稳定条件2分，代入计算验证3分，得出结论2分，共7分】 方法一：依次计算概率得 . 计算相邻两天比例： ，而 .故从第5天开始稳定. 方法二：解不等式 ，代入通项化简得 ，解得 .
19. 【答案】（1） 第4行，第3097个数；(2)（i） ；（ii）
【解析】
(1)【步骤分值：求公共项通项3分，计算 并定位3分，共6分】 设公共项为 ，利用二项式定理知当 为偶数时， 可取正整数. 故 的通项为 .则 . 观察数阵结构，4096是4位数，且位于第4行.该行前3个数是1000,1001,1002，故4096是第 个数.
(2)(i)【步骤分值：直接计数3分，共3分】 ：第1行为1到9，不含12，故 . ：第2行为10到99，共90个数，去掉含“12”的一个（12），故 . ：第3行为100到999，共900个，去掉含12的数：百十位12有10个，十个位12有10个（其中122重复1次），故共去掉19个. .
(ii)【步骤分值：建立递推关系3分，利用特征根法求通项5分，共8分】 当 时， .特征方程 ，两根为 . 由初值 ，代入通项公式 ，解得 ，即得结果.
多维细目表
题型 题号 分值 必备知识 易错类型
单选题 1 5 三角函数周期与对称性 周期与对称点条件转化错误
单选题 2 5 正态分布与基本不等式 等号成立条件遗漏
单选题 3 5 指数与幂函数比较大小 函数单调性综合运用不当
单选题 4 5 椭圆中的四边形面积最值 换元法、最值求解
单选题 5 5 复合函数零点与根的分布 换元后根的分布讨论不全
单选题 6 5 分段周期函数与方程解 周期性与图象分析
单选题 7 5 抛物线定义与距离最值 距离比的处理与换元求最值
单选题 8 5 双曲线离心率与渐近线 几何性质挖掘不充分
多选题 9 6 椭圆与双曲线综合 切线方程证明及公式运用
多选题 10 6 立体几何翻折与二面角 动态几何中的不变量与计算
多选题 11 6 数列递推与性质 递推关系变形与累加
填空题 12 5 球面距离与立体几何最值 球心到面距离公式
填空题 13 5 染色问题与计数原理 分类讨论不重不漏
填空题 14 5 解三角形与面积最值 正余弦定理与函数最值结合
解答题 15 15 立体几何（线面角、面面角） 建系坐标计算与法向量
解答题 16 15 导数（极值点、零点） 含参讨论与函数图像分析
解答题 17 15 解析几何（切线与面积最值） 切点弦方程与复杂代数运算
解答题 18 17 概率统计（马尔可夫链） 全概率公式与递推数列构造
解答题 19 17 数列新定义与特征根 递推关系建立与特征根法
提速技巧
一、单选题提速技巧
题号 典型题类型 易错点/计算难点 提速技巧
1 三角函数周期对称求值 对称点条件转化（中心对称）；周期范围限制 关于 对称，则 且对称中心在零点.结合周期范围确定参数唯一值.
2 正态分布对称性 对称性得 a+b=4；基本不等式等号条件 正态分布中 且 a,b 在均值两侧时，.
3 指数幂函数比大小 底数指数均不同，需构造中间量或取对数 比较 与 ，可同时取对数，转化为比较 与 .或利用函数 的单调性.
4 椭圆四边形面积最值 换元法（三角换元）；面积表达式复杂 面积最值问题，先表示为目标函数，通过换元（三角或代数）转化为二次函数或均值不等式求最值.
5 复合函数零点分布 换元后一元二次方程根的分布；参数范围讨论 型，令 ，先研究 t 的方程根的分布，再结合 g（x） 图像确定 x 解的个数.
6 分段周期函数与方程解 周期性分析；区间值域；无穷多解条件 无穷多解意味着直线与每个周期段都有交点.分析一段上的值域和交点条件，推广到所有周期.
7 抛物线距离比最值 距离比的处理（平方或换元）；定义转化 抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离.将距离比转化为单变量函数，用换元或导数求最值.
8 双曲线离心率 几何性质挖掘（渐近线平行、直角三角形） 渐近线斜率为 .直角三角形中边长关系用勾股定理.最终构建 a,c 齐次方程求离心率.
二、多选题提速技巧
题号 典型题类型 易错点/计算难点 提速技巧
9 椭圆双曲线综合 焦半径、定义、切线方程综合运用；复杂公式推导 共焦点问题，注意 a,b,c 与 m,n,c 的关系.切线方程可用替换法则（ 代 ）.
10 立体几何翻折 折叠前后不变量（垂直关系）；空间向量求长度 翻折问题中，折痕上的垂直关系不变.求空间距离和夹角，建系用向量法最稳妥.
11 斐波那契数列 递推关系变形与累加、累乘 斐波那契数列常用技巧：累加法求和、递推变形.记一些常见恒等式可加快判断.
三、填空题提速技巧
题号 典型题类型 易错点/计算难点 提速技巧
12 球面距离 球心到面距离公式；等边三角形外接圆半径 球心到截面距离 ，其中 r 为截面圆半径.最大距离为 .
13 染色计数 分类讨论不重不漏；分步乘法原理 复杂染色问题，按颜色使用种类或对称性分类，每类用分步乘法计数，最后相加.
14 解三角形面积最值 边角互化；正余弦定理与函数最值结合 已知角的关系和边比，可求边，再表示面积.用余弦定理和面积公式转化为单变量函数求最值.
四、解答题提速技巧
题号 典型题类型 计算难点 提速技巧
15 立体几何：线面角、面面角、共面 坐标计算量大；法向量多次求解；四点共面条件 建系要充分利用垂直关系.四点共面等价于向量混合积为 0 或存在平面法向量与连线垂直.
16 导数：极值点、零点含参讨论 含参讨论分类标准；参变分离后函数图像分析 讨论极值点个数即讨论导函数变号零点个数.参变分离后，将问题转化为水平直线与函数图像交点个数.
17 解析几何：切线与面积 切点弦方程推导；面积最值函数构造 过曲线外一点作切线，切点弦所在直线方程可用替换法则.面积最值通常用导数或基本不等式.
18 概率：马尔可夫链 全概率公式建立递推关系；数列通项求解 第 n 天状态概率用第 n.1 天全概率表示.得到递推式后，用特征根法或构造等比数列求通项.
19 数列新定义：特征根法 递推关系建立；特征根法求通项；复杂代数式化简 新定义数列问题，关键是理解规则写出递推.二阶线性递推 ，用特征方程 求通项.
极限卷总览口诀
对称周期定参数，正态对称和定值.
比大取对构函数，面积最值换元时.
复合零点先换元，无穷解看周期段.
距离之比定义化，双曲离心找几何.
共焦问题用定义，翻折不变量建系.
斐波那契累加和，球面距离截圆求.
染色分类不重漏，面积最值函数求.
立几坐标要精准，导数讨论分界点.
切点弦用替换写，马尔可夫全概率.
新定义数列特征根，递推通项代数稳.2026年高考数学计算能力强化训练
综合卷
综合卷 1
参考答案与解析 9
多维细目表 15
提速技巧 16
注意事项：
1. 训练目标：本卷旨在提升中等水平学生的复杂运算处理能力和计算稳定性.题目数据包含整数、分数、根号的混合运算，计算步骤控制在3-6步，侧重于公式变形、多步代入及含参问题的常规讨论.
2. 训练时间：建议用时120分钟，请合理分配时间，确保计算准确.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 (　　)
A. B. C. D.
2. 若 ( 为虚数单位)，则 (　　)
A. B. C. D.
3. 在正方形ABCD中， ， 为 的中点， 为 边上靠近 的四等分点， 与 交于点 ，则 (　　)
A. B. C. D.
4. 已知集合 ， ，则 (　　)
A. B. C. D.
5. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则 (　　)
A. B. C. D.
6. 若双曲线 的离心率为 ，则 的值为(　　)
A. B. C. 3 D. 2
7. 已知i为虚数单位，复数 满足 ，则 (　　)
A. B. C. D.
8. 将数列 和数列 的公共项按从小到大的次序组成数列 ，则 (　　)
A. 100 B. 441 C. 121 D. 361
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知在棱长为1的正方体 中， 为侧面 内一点(包含边界)，则下列结论正确的是(　　)
A. 若 平面 ，则 的最大值为
B. 若点 在线段 上，则 的最小值为
C. 存在点 ，使得点 和点 到平面 的距离相等
D. 三棱锥 外接球的体积的最小值是
10. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦.如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形ABCDEFGH，其中 ， 为正八边形的中心，则(　　)
A.
B.
C.
D.
11. 已知实数 满足 ，则下列不等关系一定成立的是(　　)
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线 的右焦点为 ，过原点 的直线交 于 ， 两点，且 .若直线 的斜率为 ，则双曲线 的离心率为______.
13. 已知直线 ， ，若圆 的圆心在 轴正半轴上，且与直线 ， 都相切，则圆 的方程为______.
14. 已知数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分） 某科技公司统计了过去10年每年的研发投入 （单位：亿元）和营业额 （单位：亿元）的数据，如下表：参考数据： ， ， ， . 参考公式：相关系数
年份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
研发投入 （亿元） 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2
营业额 （亿元） 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660
（1） 估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额；
（2） 求样本 的相关系数（精确到0.01）；
（3） 已知 与 的关系可以用线性回归模型 来拟合，利用该模型预测当研发投入为13.5亿元时，该公司今年的营业额.
16. （15分） 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 为 的中点， ， .
（1） 证明：平面 平面 ；
（2） 若 ，直线 与平面 所成角的正切值等于2，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. （15分） 某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）：
等待时间（分钟）
频数（人） 20 14 10 6
（1） 估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2） 记乘客等待时间为 ，随机变量 服从指数分布，且 取值不超过 的概率为 ，其中e是自然对数的底数.
（i） 证明：对于任意的 ，有 ；
（ii） 如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为 （单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若 ，则坐公交车（费用2元）；若 ，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值.
18. （17分） 已知椭圆 的方程为 ，上顶点为 ，右顶点为 ， ，椭圆的离心率为 ，过点 的直线与椭圆 交于点 ( 在第一或第四象限)，过原点 且与直线 平行的直线与椭圆 在第二象限交于点 .
（1） 求椭圆方程；
（2） 轴上有一点 ， ，求直线 的斜率；
（3） 若直线 与 轴交于点 ，求直线 的斜率.
19. （17分） 已知函数 .
（1） 讨论 的单调性；
（2） 若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
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参考答案与解析
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A C A D B D
1. 【解析】集合 ，故 . 集合 . 所以 .故选：C.
2. 【解析】由题得 . 所以 .故选：
A.
3. 【解析】以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立坐标系.则 . . .故选：
A.
4. 【解析】根据集合交集的定义，在数轴上表示出集合A和B，它们的公共部分是 .故选：C.
5. 【解析】由 及奇函数性质，得 ，进而周期为4. 所以 . 因为 是奇函数， . 当 时， ，所以 . 因此 .故选：
A.
6. 【解析】双曲线 中， ，则 . 离心率 . 两边平方得 ，即 ，解得 . 因为 ，所以 .故选：D.
7. 【解析】 .故选：B.
8. 【解析】数列 的项是所有正奇数. 数列 的项是完全平方数. 它们的公共项是奇数的平方，即数列 的通项为 . 所以 .故选：D.
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 ACD ACD ABD
9. 【解析】A项，点M轨迹为线段 ，当M在 时DM最大为 ，正确. B项，将侧面展开， 的最小值为 ，错误. C项，当M在线段AD上时，由于 ，故点C和点B到平面 距离相等，又 平分 ，故A1和B距离相等，从而A1和C距离相等，正确. D项，三棱锥外接球球心在线段 上，通过计算得当M为 时半径最小为 ，体积最小为 ，正确. 故选：ACD.
10. 【解析】A项，由正八边形性质和向量加法， ，正确. B项， （M为AC中点），不等于 ，错误. C项，在 中计算，正确. D项，连接EB，则 ，故 ，正确. 故选：ACD.
11. 【解析】由 ，故 ，A正确. 由 平方得 .又 ，故 ，B正确. C项，取 ，满足条件但 不成立，错误. D项，分类讨论易知恒成立，正确. 故选：ABD.
三、填空题
题号 12 13 14
答案
12. 【解析】由双曲线和直线的对称性，可得 .又 ，所以在 中， . 由 斜率为 ，得 ，所以 为等边三角形， . 连接左焦点 ，则 为直角三角形，且 . 由双曲线定义， ，而 ，所以 . 在 中， ，所以 . 代入得 ，所以离心率 .
13. 【解析】设圆心 . 圆与两直线相切，则圆心到两直线距离相等，即 . 化简得 ，解得 或 (舍去). 半径 . 圆C的方程为 .
14. 【解析】当 时， ，即 . 设 ，则 ，变形为 . 又 . 所以数列 是首项为4，公比为2的等比数列. 故 ，即 . 取 ，得 .
四、解答题
15. 【答案】（1） 12亿元，650亿元；（2） 0.96；（3） 710亿元
【解析】 (1)【步骤分值：计算x均值2分，计算y均值2分，共4分】 平均每年的研发投入 （亿元）. 平均每年的营业额 （亿元）.
(2)【步骤分值：代入公式2分，计算结果2分，共4分】 由相关系数公式得： .
(3)【步骤分值：解释回归模型1分，代入x值2分，计算结果2分，共5分】 已知线性回归模型为 . 将 代入回归方程，得 （亿元）. 故预测该公司今年的营业额为710亿元.
16. 【答案】（1） 证明见解析；（2）
【解析】 (1)【步骤分值：证明线面垂直3分，由线面垂直证面面垂直2分，共5分】 设 为 的中点，连接 .因为 为 中点，所以 且 . 又底面 为矩形， 且 ，所以 ，且 ，故 与 必相交. 因为 ， 为 中点，所以 .又已知 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以 .又 ，且 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以平面 平面 .
(2)【步骤分值：证PO垂直底面并建系3分，求各点坐标2分，求法向量3分，求夹角余弦2分，共10分】 取 中点 ，连接 .因为 ，所以 为等边三角形， . 又平面 平面 ，交线为 ，所以 平面 . 以 为原点， (过O平行于AB), 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系. 由题意，直线 与平面 所成角的正切值为2，即 ，设 ，则 ， . 则 . 平面 的法向量 . 设平面 的法向量为 ， . 由 ，取 . 设平面 与平面 夹角为 ， .
17. 【答案】（1） 7.7分钟；(2)（i） 证明见解析；（ii） 元
【解析】 (1)【步骤分值：正确使用组中值2分，加权平均计算2分，共4分】 平均等待时间 分钟.
(2)(i)【步骤分值：写出概率表达式2分，条件概率公式展开并化简3分，共5分】 由题意， . 由条件概率公式， .得证.
(ii)【步骤分值：利用(i)求Y>10概率2分，求Y≤10概率2分，计算期望2分，共6分】 由(i)知， . 所以 . 所以交通费用 的期望为 (元).
18. 【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】 (1)【步骤分值：利用离心率和a,b,c关系1分，利用AB长求c 2分，得方程2分，共5分】 由题意， ，所以 . 上顶点 ，右顶点 . 由 ，解得 . 所以 .椭圆方程为 .
(2)【步骤分值：设出直线方程2分，联立求P点坐标3分，联立求Q点坐标2分，利用垂直斜率关系求k 3分，共10分】 由(1)知 .设直线 方程为 (k < 0). 联立 ，消y得 . 解得 ， . 直线 方程为 ，联立椭圆得 ， . 由 ，则 . . 由 ，则 ，代入解得 (舍去 因为此时P不在第一/四象限).
(3)【步骤分值：利用平行线分线段成比例2分，代入坐标得方程2分，解方程得斜率3分，共7分】 因为 ，所以 . 已知 ， ，所以 . 所以 . 代入 的表达式，得 （注意k<0，所以 为正， 为正）. 化简得 ，两边平方并整理得 ，解得 或 (舍). 因为 ，所以 .
19. 【答案】（1） 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2）
【解析】 (1)【步骤分值：求导2分，解不等式求单调区间3分，共5分】 函数定义域为 . . 令 ，得 . 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减.
(2)【步骤分值：等价变形不等式3分，构造函数并判断单调性4分，分离参数求最值5分，共12分】 不等式 等价于 ，即 . 构造函数 ，其在R上单调递增. 则不等式可化为 ，从而 . 分离参数得 对任意 恒成立. 由(1)知， . 所以 ，即 的取值范围为 .
多维细目表
题型 题号 分值 必备知识 易错类型
单选题 1 5 集合的补集与交集运算 忽略对数定义域
单选题 2 5 复数的四则运算与模 分母实数化错误
单选题 3 5 平面向量数量积与夹角 向量坐标运算错误
单选题 4 5 集合的交集运算 忽略端点取舍
单选题 5 5 函数的奇偶性与周期性 周期计算错误
单选题 6 5 双曲线的离心率 a,b,c关系与公式混淆
单选题 7 5 复数的除法运算 复数乘法计算出错
单选题 8 5 数列的通项与公共项 公共项规律找错
多选题 9 6 立体几何中的动点最值 空间想象不足，计算量大
多选题 10 6 平面向量的线性运算与数量积 向量分解与夹角判断
多选题 11 6 不等式性质与基本不等式 绝对值处理不当
填空题 12 5 双曲线的离心率 几何性质挖掘不足
填空题 13 5 圆的标准方程 点到直线距离公式应用
填空题 14 5 数列的递推与求和 构造新数列能力弱
解答题 15 13 统计（线性回归与相关系数） 公式记忆与代入计算
解答题 16 15 立体几何（面面垂直、二面角） 建系坐标与法向量计算
解答题 17 15 概率统计（条件概率与期望） 条件概率公式应用
解答题 18 17 解析几何（椭圆方程与斜率） 直线与椭圆联立计算
解答题 19 17 导数（单调性、恒成立、同构） 分类讨论与构造函数
提速技巧
一、单选题提速技巧
题号 典型题类型 易错点/计算难点 提速技巧
1 集合补集与对数定义域 补集求解错误；对数真数大于 0 遗漏 先解每个集合的不等式，再画数轴进行交并补。特别注意：对数函数定义域永远是真数 >0。
2 复数模长 分母实数化后忘记求模；模长公式用错 复数 的模长 。先化简为代数形式再求模。
3 向量数量积求角 建系坐标算错；数量积公式与向量模计算 几何图形中求角，优先建系用坐标法。，注意向量方向。
4 集合交集 区间端点取舍 交集取公共部分。端点是否取等，看原不等式是否带等号。
5 函数奇偶性与周期求值 周期推导错误（ 推周期 4） 由 结合奇偶性推周期。奇函数：，周期 T 满足 。
6 双曲线离心率 双曲线 a,b,c 关系记错（） 双曲线中 ，椭圆中 。离心率 。
7 复数除法 复数乘法计算出错（i =-1） 复数除法分子分母同乘分母的共轭复数。计算时注意 i =-1。
8 数列公共项 公共项规律找错（奇数的平方） 列举前几项找规律。两个数列的交集，先分析各自特征（奇偶性、幂次等），再归纳通项。
二、多选题提速技巧
题号 典型题类型 易错点/计算难点 提速技巧
9 立体几何动点最值 轨迹判断；侧面展开图计算；外接球半径计算 正方体动点问题，常用展开图求最短路径，用坐标法或几何法求轨迹。外接球半径找球心到各顶点距离相等。
10 平面向量线性运算 向量分解；正八边形中的角度与长度关系 多边形中向量运算，利用中心对称性和边长关系。数量积可用投影或坐标法。
11 不等式性质 绝对值处理不当；平方后范围变化 等价于 且 。涉及平方时，注意符号。
三、填空题提速技巧
题号 典型题类型 易错点/计算难点 提速技巧
12 双曲线离心率 几何性质挖掘不足（垂直、斜率、焦点三角形） 由垂直和斜率可得焦点三角形的角度，进而求边长关系，最后代入定义求离心率。
13 圆的标准方程 点到直线距离公式应用；绝对值方程求解 圆与两直线相切，则圆心到两直线距离相等且等于半径。解绝对值方程要讨论正负。
14 数列递推与求和 构造新数列（） 遇到 与 的关系，尝试用 转化为 的递推，再构造等比数列。
四、解答题提速技巧
题号 典型题类型 计算难点 提速技巧
15 统计：相关系数与回归 公式记忆；数据代入易错 相关系数 r 公式中分子是，分母是各自离差平方和的根号之积。计算时代入要仔细。
16 立体几何：面面垂直与二面角 线面垂直判定；建系坐标与法向量 证明面面垂直，先证线面垂直。二面角余弦值 ，注意锐角钝角。
17 概率：条件概率与期望 条件概率公式 ；指数分布无记忆性 条件概率问题，先写出事件，再用公式。无记忆性：。
18 解析几何：椭圆与直线 联立方程求解弦长、坐标；斜率关系转化为方程 直线与椭圆联立，韦达定理求中点、弦长。垂直关系转化为斜率之积为 -1。平行关系转化为坐标成比例。
19 导数：恒成立与同构 不等式等价变形；同构函数 的构造 恒成立问题常用分离参数或构造函数。若出现 形式，可考虑同构。单调性求最值。
综合卷总览口诀
补集不忘定义域，复数模长先化代。
坐标求角快又准，周期推导用替换。
双曲离心 a b c，公共数列找奇偶。
动点最值展与球，向量分解看对称。
绝对值去要平方，递推求和构造忙。
回归系数套公式，二面角求法向量。
条件概率写事件，联立韦达弦长现。
恒成立时参分离，同构函数最值取。

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